2025年中考數(shù)學(xué)考前沖刺：圓的切線的證明 壓軸練習(xí)題（含答案解析）

2025年中考數(shù)學(xué)考前沖刺：圓的切線的證明壓軸練習(xí)題

1.如圖，在VABC中，ZABC=9Q°,以AB為直徑的O。交A3于點(diǎn)。，E是2C的中點(diǎn),

連接ED并延長交B4的延長線于點(diǎn)況

⑴求證：所是。。的切線；

Q)若BC=2非,CD=4,求。。的半徑.

2.如圖，在VA3C中，NC=90。，一班C的平分線交8C于點(diǎn)。，點(diǎn)。在AB上，以點(diǎn)。

為圓心，Q4為半徑的圓恰好經(jīng)過點(diǎn)。，分別交AC、A3于點(diǎn)E、F.

(1)試判斷直線BC與。。的位置關(guān)系，并說明理由；

⑵若80=26，BF=2,求陰影部分的面積(結(jié)果保留兀).

3.如圖，在VABC中，AB=AC,以A3為直徑的。。交2C于點(diǎn)。，過點(diǎn)D作DE1AC,

垂足為點(diǎn)E,延長C4交。。于點(diǎn)凡連接3尸.

(2)連接0E,若3歹=2右，F(xiàn)C=10,求0E的長.

第1頁共30頁

4.如圖，4B為。。的直徑，C為。O上一點(diǎn)，ADLCD,4D交。。于E,且EC=BC，

⑵尸為。。上一點(diǎn)，連接AF,若A尸〃CD,AC=10,AF=12,求QO的半徑.

5.如圖，VABC中，AB=AC,以A3為直徑作。。交BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)。作。E/AC,

⑵若0。半徑為5,44c=60。，求DE的長.

6.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。。，BD為直徑，過點(diǎn)A作AE垂直CD交其延長線于點(diǎn)E,

DA平分NBDE.

(2)若AO=2逐，BC=8,求4B的長.

7.如圖，4B是。。的直徑，AC是弦，。是AB的中點(diǎn)，CD與AB交于點(diǎn)E,歹是力B延長

線上的一點(diǎn)，且CF=EF.

第2頁共30頁

D

G

\\E

(1)求證：CF為。o的切線；

(2)連接8D,取BD的中點(diǎn)G,連接AG.若CF=4,tanZBDC=1,求AG的長.

8.如圖，VABC中，ZS4C=90°,以點(diǎn)A為圓心，AC為半徑作圓，交2C于點(diǎn)尸.

(1)請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)作出線段的的垂直平分線(保留作圖痕跡，不寫作法)；

(2)若(1)中所作的垂直平分線與邊4B交于點(diǎn)。，連接尸。.求證：P。是0A的切線.

9.如圖，點(diǎn)。為圓心，48為半圓的直徑，在。。上取一點(diǎn)C,延長48至點(diǎn)。，連接

E>C,Z1=Z2,過點(diǎn)A作AELAD交。C的延長線于點(diǎn)E.

(2)若8。=2,。。的半徑為3,求AE的長.

10.如圖Rt^ABC中，NC=90。，4D平分/BAC,4D交BC于點(diǎn)。，點(diǎn)E在4B上，以AE

(1)求證：直線BC是。。的切線;

第3頁共30頁

(2)若AC=6,ZB=30°,求圖中陰影部分的面積.

11.如圖，已知A3是0。的直徑，是。。的弦，點(diǎn)尸是0。外的一點(diǎn)，尸C_LAB,垂足

為點(diǎn)C,PC與相交于點(diǎn)E,連接尸￡>,且PD=PE,延長PD交54的延長線于點(diǎn)尸.

⑴求證：PO是。。的切線；

73

⑵若0。半徑為3,PE=-,sinZPFC=j,求BE的長.

12.如圖，在RtZ\ABC中，NC=90。，的平分/ABC交AC于點(diǎn)E,點(diǎn)。在A3上，DEYEB.

(1)求證：AC是V3DE的外接圓的切線；

⑵若AD=2,AE=2s/3,求EC的長.

13.如圖，在AABC中，AC=3C,以BC為直徑的。。與底邊力B交于點(diǎn)D,過點(diǎn)。作DE/AC,

垂足為E.

(1)求證：DE為。。的切線；

(2)若3C=4,ZA=35°,求。C的長.(結(jié)果保留萬)

14.如圖，8。是。。的直徑，A是3。延長線上的一點(diǎn)，點(diǎn)E在。。上，BCLAE,交AE

的延長線于點(diǎn)C,BC交。0于點(diǎn)F,且點(diǎn)E是￡)歹的中點(diǎn).

第4頁共30頁

c

E

oIDA

⑴求證：AC是。。的切線；

⑵若AD=5,AE=50，求。。的半徑.

15.如圖，A3為。。的直徑，點(diǎn)C在。。外，NABC的平分線與。。交于點(diǎn)ZC=90°.

(1)8與。。有怎樣的位置關(guān)系？請(qǐng)說明理由；

(2)若/6。8=60。,43=4,求8。的長.

16.如圖，在等腰VABC中，AB^AC,以A3為直徑的。。與交于點(diǎn)。，連接AD,

過點(diǎn)。作。E2AC,垂足為點(diǎn)E.

⑴求證：DE為。。的切線.

(2)若。。的半徑為2TL44c=60。，則￡>E=.

17.如圖，在VABC中，AB=BC,以2C為直徑作O。，交AC于點(diǎn)O,交AB于點(diǎn)E,

過點(diǎn)。作DEJ_A3于尸.

第5頁共30頁

c

AFEB

⑴求證：。b是。。的切線；

⑵若AC=12,。。的半徑為5,則。尸的長為.

18.如圖，是。。的直徑，。。的半徑為2,〃是0A的中點(diǎn)，弦過點(diǎn)

。作DE，C4交C4的延長線于點(diǎn)E.

(1)連接OCOD,求陰影部分的面積;

⑵求證：DE與。。相切.

第6頁共30頁

《2025年1月25日初中數(shù)學(xué)作業(yè)》參考答案

L(1)見解析

⑵有

2

【分析】(1)連接OD,BD,根據(jù)A3是。。的直徑，得出ZAD3=90。，NBDC=90°,根

據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出DE=BE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出ZBDE=NDBE,

ZOBD=ZODB,即可得出OD_L￡F,即可證明砂是。。的切線.

(2)根據(jù)勾股定理求出=4,在三角形ABC中和三角形AD3中根據(jù)勾股定理求出

AC--BC~=AD2+BD2,IP(AD+4)2-(2^)2=AD2+4,求出AD=1,再根據(jù)勾股定理即

可求解.

【詳解】(1)證明：連接OO,BD,

,.,AB是。。的直徑，

.-.ZBDC=90°,

是BC的中點(diǎn)，

DE=BE,

:.ZBDE=/DBE,

?：OB=OD,

;./OBD=NODB,

???ZABC=90°f

ZOBD+ZDBE=90°,

:.NODB+NBDE=9U0.

???ODLEF于點(diǎn)D,

又,??點(diǎn)。在。。上，

.?.EF是。。的切線.

(2)解：?;NBDC=90°,BC=2y/5,CD=4,

第1頁共30頁

:.BD2=BC--CD1=4,

??,在AABC中NABC=90。，在汨中=90。，

AB2=AC2-BC2=AD2+BD2,

(AO+4>-(20-=A。?+4,

解得：AD=1,

AC=5,AB=y/AC2-BC2=A/5>

.?.0。的半徑為更.

2

【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查圓周角定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、等腰三角形

的性質(zhì)、切線的判定、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

2.⑴直線BC與。O的位置關(guān)系是相切，理由見解析

(2)2A/3-|TI

【分析】本題考查了切線的判定定理、扇形面積、勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)

用是解此題的關(guān)鍵.

(1)連接OD,證明8〃AC,得出/O/)3=NC=90。，即OZ)_L3C,即可得證；

(2)設(shè)Ob=OD=x,則03=0尸+班'=x+2,由勾股定理得出0。=OF=2,解直角三

角形得出4003=60。，再根據(jù)S陰影=S&ODB~S扇形計(jì)算即可得解.

【詳解】(1)解：直線5C與。0的位置關(guān)系是相切，理由如下：

如圖，連接OO,

???ZBAD=ZCAD,

?：OA=OD,

：.ZOAD=ZODA,

：.ZCAD=ZODAf

：.OD//AC,

第2頁共30頁

ZODB=ZC=90°,即OD_LBC,

為半徑，

，直線BC與。o相切；

(2)解：設(shè)O尸=OD=x,貝i]O3=OP+3F=x+2,

由勾股定理可得：OB2=OD-+BD2,即(尤+2『=尤2+(26/，

解得：x=2,

：.OD=OF=2,

：.05=4,

VsinZOBD=—=-

OB2f

：.ZOBD=3Q0,

：.NDOB=60。,

.60TIx4_2

扇形皿=§無'

S陰影=_S扇形DOF=gx2x2g-|?無=2道一：無.

3.(1)見解析；

(2)714.

【分析】(1)連接O。，則OD=O3,所以O(shè)D=O3,由A5=AC,得/C=NABC,貝U

ZODB=ZC,所以O(shè)￡>〃AC,則NODE=ZDEC=90。，即可證明DE是。。的切線；

(2)連接OE,延長。。交互于點(diǎn)",可證明四邊形。跳H是矩形，由AB=AC,BF=2后,

FC=10,OH±BF,得AF=10—AC=10—AB,DE=FH=BH=亞,貝!I

(20J+(10-AB7=AB?,求得AB=6,則OD=；AB=3,所以QE=JOD2+DE?=舊.

【詳解】(1)證明：連接OO,則OD=OB,

:.ZODB=ZABC,

-.AB=AC,

:.ZC=ZABC,

:.NODB=NC,

:.OD//AC,

?.?DELAC于點(diǎn)E,

第3頁共30頁

NODE=NDEC=90°,

???OD是。。的半徑，且。￡人如，

」.上是。。的切線；

（2）解：連接OE,延長DO交BF于點(diǎn)H,

,.?AB是。。的直徑，

ZF=90°,

由（1）知：ZHDE=NDEF=90°,

，四邊形是矩形，

:./DHF=90°,DE=FH,

，F(xiàn)H=BH,

?.?AB是O。的半徑，OA=OB,

：.FH=BH=-BF,

2

AB=AC,BF=2.x/5,FC=10,OH±BF,

AF=10—AC=10—AB,DE—FH=BH=—BF=y[5,

2

BF-+AF'=AB2,

.-.（2A/5）2+（10-AB）2=AB2,

解得AB=6,

:.OD=-AB=3,

2

:.OE=>]OD2+DE2=yj32+（灼2=A/14,

的長為而.

【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理、切線的判定定理、勾股定理等知識(shí),

正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

4.(1)見解析;

第4頁共30頁

（2）y-

【分析】（1）連接OC,根據(jù)圓周角定理可得miC=NC4B,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得

ACAB=ZACO,從而可證OCLCD,即可得CD是。。的切線；

（2）延長CO交A尸于點(diǎn)G,根據(jù)平行線的性質(zhì)可證CG_LAP,根據(jù)垂徑定理可得AG=6,

利用勾股定理可求CG=8,在Rt^AOG根據(jù)勾股定理

即可求出圓的半徑.

【詳解】（1）證明：如下圖所示，連接OC,

■.■ADLCD,

:.ZD=90°,

ZDAC+ZACD=90°,

?.,EC=BC，

.\ZDAC=ZCAB,

-OA=OCf

.\ZCAB=ZACOf

/.ZACO+ZACD=90°,

:.OC上CD,

二?CD是O。的切線；

（2）解：如下圖所示，延長CO交A/于點(diǎn)G,

第5頁共30頁

AF||C￡),

.-.CGLAF,

AG=-AF=6,

2

:.CG=-JAC2-AG2=V102-62=8，

設(shè)<M=OC=r,

則0G=8-r,

■.■OA1=OG2+AG2,

r2=62+(8-r)2,

解得：r=^25.

4

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，切線的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)和判定，等腰

三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求

半徑的長.

5.(1)見解析

⑵域

2

【分析】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，圓的切線的判定定理，等邊三角形的判定和

性質(zhì)，勾股定理，含30度直角三角形，掌握?qǐng)A的相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

(1)連接OD,根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)，推出=進(jìn)而得到OD〃AC,即可證

明￡>￡人OD得到結(jié)論；

(2)證明VABC和ABOD是等邊三角形，從而得出NC=60。，CD=5,再根據(jù)銳角三角函

數(shù)求解即可.

【詳解】(1)證明：如圖，連接8,

■.■AB=AC,

:.ZABC=ZC,

OB=OD,

:.ZABC=ZODB,

:.NODB=NC,

:.OD//AC,

■.■DEYAC,

第6頁共30頁

:.DE±OD,

又是半徑，

，ZJE為。。的切線;

(2)解：：。。半徑為5,

:.OB=5,AB^IO,

-.AB=AC,ZBAC=60°,

.1△ABC是等邊三角形，

.-.BC=AB=10,ZC=ZABC=60°,

OB=OD,

是等邊三角形，

:.BD=OB=5,

：.CD=BC-BD=5,

在RtZXCED中，ZC=60°,CD=5,

：.ZCDE=30°,

Z.CE=-CD=-

22

DE=y/CD2-CE2=—.

2

6.(1)見解析

(2)475

【分析】(1)根據(jù)等邊對(duì)等角得出NODA=ZOAD,進(jìn)而得出ZOAD=/EDA,證得EC//OA,

從而證得AELGH,即可證得結(jié)論；

(2)過點(diǎn)。作OF_LC￡>,垂足為點(diǎn)片從而證得四邊形AOEE是矩形，得出=證

明△ODRSABDC,求出AE=O尸=4,在RbADE中，求出DE=2,再證明^ABD^AEAD,

推出jAF=空DF，即可求得的長?

【詳解】（1）證明：連接。4,

第7頁共30頁

OA=OD,

：.ZOAD=ZODAf

DA平分ZBDE,

:.ZODA=ZEDA,

:.ZOAD=ZEDA,

:.EC//OA,

QAE1CD,

:.OA,LAE,

???Q4是。。的半徑，

是。。的切線；

(2)解：過點(diǎn)。作Ob，CD于H

EA

???ZOAE=ZAEF=ZOFE=90°f

???四邊形Q4EF是矩形,

：.AE=OF,

丁BD是0。的直徑,

???/BCD=90。=/OFE,

BC\\OF,

:.AODFS^BDC,

,OFOP_1

BC~BD~2

XVBC=8,

.??OF=49

第8頁共30頁

AE=0F=4,

22

在RtAADE中，DE=y/AD-AE=2，

?/30是。。的直徑，

/BAD=90。=ZAED,

又：ZADE^ZADB,

：.AABD^AEAD,

???絲=匹，即一f，

ABADAB2V5

AB=4y/5.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾

股定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握切線的判定與性質(zhì).

7.(1)見解析

(2)消

【分析】本題考查了切線的判定，同弧所對(duì)的圓周角相等，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與

判定，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

(1)連接OC,OD.由NOCD=/ODC,FC=FE,可得NOED=NFCE,由AB是。。的

直徑，。是A5的中點(diǎn)，NDOE=90°,進(jìn)而可得NOCF=90。，即可證明CF為。。的切線;

(2)連接BC,過G作垂足為7/.利用相似三角形的性質(zhì)求出族=2,設(shè)

的半徑為「，則OP=r+2.在RSOCF中，勾股定理求得廠=3,證明GH〃OO,得出

△BHGs/OD，根據(jù)黑=黑，求得BH,GH,進(jìn)而求得AH,根據(jù)勾股定理即可求得AG.

BOBD

【詳解】(1)證明：如圖，連接OC,OD.

'：OC=OD,

：.ZOCD=ZODC.

?:FC=FE,

第9頁共30頁

：.ZFCE=ZFEC.

?.*/OED=/FEC,

：./OED=/FCE.

TAB是0。的直徑，。是A3的中點(diǎn)，則。

???NDOE=90。.

???ZOED+ZODC=90°.

???ZFCE+ZOCD=90°,即ZOCF=90°.

：.OC.LCF.

為。。的切線.

(2)解：如圖，連接5C,過G作垂足為X.

??,AB是0。的直徑，

???ZACB=90°,

：.ZOBC+ZFAC=9G0,

?；OC=OB,

：.ZOBC=ZOCB,

,/ZFCO=/FCB+ZOCB=90°,

JZFCB=ZFAC,

'：NF=/F,

???AFCBS^FAC,

.FCBCFCFB

-AC?FA-FCy

*.*CF=4,tanNBDC—tan/BAC==—,

AC2

???AF=8,

??--——，解得FB=2，

84

設(shè)。。的半徑為一，則AF=2r+2=8.

第10頁共30頁

解之得r=3.

VGH1AB,

/GHB=9伊.

ZDOE=90°,

：.ZGHB=ZDOE.

：.GH//DO.

.\^BHG^BOD

.BHBG

**BO-BD,

???G為80中點(diǎn)，

BG=-BD.

2

1313

:.BH=-BO=-,GH=—OD=—.

2222

8.(1)作圖見解析

(2)證明見解析

【分析】本題考查了圓的有關(guān)性質(zhì)、線段的垂直平分線的作法與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、

直角三角形的性質(zhì)和圓的切線的判定定理，掌握作圖方法和添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

(1)利用線段垂直平分線的基本作圖的作法解答即可；

(2)連接AP,利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得到NAP。=90。，再利用圓的切線的判定定

理解答即可.

【詳解】(1)作圖如下：即為線段5P的垂直平分線.

第11頁共30頁

VMQ為線段PB的垂直平分線，

：.QP=QB,

：.ZQPB=ZB,

?/ABAC=90°,

：.ZC+ZB=90°,

?/AC=AP,

：.ZC=ZAPC,

：.ZAPC+ZQPB=90°,

：.ZAPg=180°-(ZAPC+ZgPB)=180°-90°=90°,

J.APLPQ,

AP為OA的半徑，

???PQ是。A的切線.

9.(1)見解析

(2)6

【分析】本題考查了切線的判定，切線長定理，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是：

(1)連接OC,如圖，根據(jù)圓周角定理得到NACB=90。，即Nl+N54c=90。，根據(jù)等邊對(duì)

等角得出/OC4=NQ4C,結(jié)合已知可得到NECO=90。，根據(jù)切線的判定定理得到答案；

(2)根據(jù)切線的判定和切線長定理得到AE=CE,在RSCOD中，根據(jù)勾股定理得到CD=4,

在RtAADE中，根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)證明：連接OC,如圖，

:為直徑,

第12頁共30頁

ZACB=90°,

Zl+ZBAC=90°,

'：CO=AO,

Z.OCA=AOAC,

又N1=N2,

Z2+ZACO=90°,

即NECO=90。，

1/OC是。。的半徑，

?,.CO是0O的切線；

（2）解：VAE±AD,

AE是。。的切線，

又。是。。的切線，

CE=AE,

在RtACOD中，ZDCO=90°,CO=3,DO=DB+BO=5,

CD=siDO2-CO2=4,

設(shè)CE=AE=x,則Z）￡T=4+x,

在RtAADE中，^DAE=90°,AD=AO+DO=8,

AD2+AE2=DE\

：.82+X2=（4+X）2,

解得x-6,

即AE=6.

10.（1）見解析

（2）S陰影=。萬—4班

【分析】（1）連接8,由A￡>平分/BAC,可知NQ4D=/C4Q,易證NOD4=,

所以NO/M=/C4￡>,所以O(shè)D〃AC,由于NC=90。，所以NO￡?=90。，從而可證直線3C

是。。的切線；

（2）根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)可求出A3的長度，然后求出NAOD的度數(shù)，然后根

據(jù)扇形的面積公式即可求出答案.

【詳解】（1）證明：連接O。，

第13頁共30頁

A

”D

:.ZOAD=ZCADf

\'OA=OD,

.\ZODA=ZOAD9

.\ZODA=ZCADf

:.OD//AC,

vZC=90°,

:.ZODB=90°,

J.ODYBC,

???OD是半徑，

，直線5C是。。的切線；

(2)解：由NB=30。，ZC=90°,ZOZ)B=90°,

得：AB=2AC=12fOB=2ODfZAOD=120°,

ZZMC=30°,

'：OA=OD,

OB=2OA,

,\OA=OD=4,

由ZD4C=30。，得DC=26,

-S陰影=S扇形OAD_S^OAD

120cm*4x2』

3602

竺乃一46.

3

【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線的判定，涉及角平分線的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，含30度

角的直角三角形的性質(zhì)，扇形面積公式等，需要學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí).

11.(1)見解析

⑵石

第14頁共30頁

【分析】本題主要考查了切線的判定，解題直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握經(jīng)過半徑外

端且垂直于半徑的直線是圓的切線，以及解直角三角形的方法和步驟.

(1)根據(jù)尸。=尸￡,得出NPED=NPDE,進(jìn)而得出=,易得NB=NODB,

根據(jù)尸C_LAB,得出/B+/3EC=90。，則NODB+/PDE=90。，即可求證尸￡＞是00的切

線；

74

(2)根據(jù)題意得PO=PE=—,0D=3,結(jié)合正弦函數(shù)得出。尸=5,cosZPFC=~,求出

25

9

CF=PFcosZPFC=6,則OC=CF—OR=1,根據(jù)勾股定理求出尸C=一，進(jìn)而求出

2

BC=2,CE=1,最后根據(jù)勾股定理即可求解.

【詳解】(1)證明：連接OO,如圖所示：

...NPED=ZPDE,

ZPED=ZBEC,

：.Z.PDE=Z.BEC,

OB=OD,

：.ZB=ZODB,

'：PC±AB,

：.Z.BCP=90°,則ZB+ZBEC=90°,

：.ZODB+ZPDE=90°,即ZODP=90°,

，尸。是。。的切線；

7

(2)解：,:PD=PE,PE=—,

2

7

PD=-,

2

?.?。0半徑為3,

???。。=3,

是。。的切線，

第15頁共30頁

OD1PD,則NOD尸=90。,

3

VsinZPFC=-,

.OF=OD=￡5

??sinZPFC3,

5

DF=yjoF2-OD2=4?

PF=PD+DF=—,

2

DF4

VcosZDFO=——=—,

OF5

154

CF=PF?as/PFC=——又一=6,

25

???OC=CF-OF=6-5=lf

根據(jù)勾股定理可得：PC=VPF2-CF2=|,

???OB=OD=3,

97

BC=OB-OC=3-1=2,CE=PC-PE=-=1,

22

.?.根據(jù)勾股定理可得：BE=yJCE2+BC2=Vl2+22=75-

12.（1）見解析

⑵百

【分析】⑴取的中點(diǎn)。，連接O段由/血＞=90。，根據(jù)圓周角定理可得為VBDE

的外接圓的直徑，點(diǎn)。為VBDE的外接圓的圓心，再證明OE〃BC,根據(jù)平行線的性質(zhì)得

到NAEO=NC=90。，于是可根據(jù)切線的判定定理判斷即可求解.

（2）設(shè)。。的半徑為「，根據(jù)勾股定理求得「，根據(jù)平行線分線段成比例定理來求解.

【詳解】（1）證明：取3。的中點(diǎn)。，連接OE,如圖，

:.BD為YBDE的外接圓的直徑，點(diǎn)。為7BDE的外接圓的圓心.

第16頁共30頁

平分/ABC,

.\ZCBE=ZOBE.

?;OB=OE,

.\ZOBE=ZOEB,

:./OEB=/CBE,

:.OE//BC,

:.ZAEO=ZC=90°,

:.OE±AE,

??.AC是VBD石的外接圓的切線.

(2)解：設(shè)V32汨的外接圓的半徑為一

在“。￡1中，

O/^=OE2+AE2,

即3+2)2=/+(2石『，

解得r=2.

?：OE〃BC,

、AEAO

\一,

CEOB

2A/3AD+OD2+2

即NN---=---------=-----，

CE11

\CE=G.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，要

證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)(即為半徑)，再證垂直即可，

也考查了勾股定理和平行線分線段成比例定理，圓周角定理.

13.(1)見解析

⑵*

【分析】本題考查的是切線的判定，弧長的計(jì)算，等腰三角形的性質(zhì)，中位線的定義及性質(zhì)，

三角形的外角的性質(zhì)，圓周角定理，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

(1)首先連接OD，CD,由圓周角定理得出CD，,再由等腰三角形的性質(zhì)確定AD=BD,

利用三角形中位線的性質(zhì)及切線的判定即可證明；

(2)由等腰三角形的性質(zhì)求解/8=35°再利用圓周角定理得出/。OC=70°,結(jié)合

第17頁共30頁

BC=4,由弧長公式直接求解OC的長即可.

【詳解】(1)證明：連接。DCD,

：.NBDC=90°,即CD_LAB,

△ABC是等腰三角形，

:.AD=BD,

OB=OC,

???0。是的中位線，

：.OD//AC,

'：DELAC,

C.ODLDE,

點(diǎn)在。。上，

?'DE為。。的切線；

(2)???ZA=35。，AC=BC,

:.ZB=ZA=35°,

:./DOC=70。,

BC=4,

OB—OC—2,

./_70?X2_7萬

-DCiso_V'

14.(1)見解析

(2)2.5

【分析】本題考查了圓周角定理，等邊對(duì)等角，平行線的判定和性質(zhì)，勾股定理，切線的判

定.熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵.

(1)連接OE,根據(jù)同圓中，等弧所對(duì)的圓周角相等得出N￡BC=NDBE,根據(jù)等邊對(duì)等角

第18頁共30頁

得出ZD8E=ZBEO,推得Z￡BC=ZBEO,根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行得出BC〃OE,根

據(jù)兩直線平行，同位角相等得出OELAC,即可證明；

(2)設(shè)。O半徑為廣，根據(jù)勾股定理可得AE2+OE2=AO\據(jù)此列出方程，解方程求出「

即可.

【詳解】(1)證明：如圖，連接OE,

；點(diǎn)E是￡)尸的中點(diǎn),

?**EF=DE，

:.NEBC=NDBE,

又OB=OE,

：.ZDBE=ZBEO,

：.ZEBC=ZBEOf

：.BC//OE,

又3C，AC于點(diǎn)C,

OE_LAC于點(diǎn)E,

是。。的半徑，

AC為。。的切線

(2)解:設(shè)。O半徑為廣，

在RtZXAOE中，AE2+OE2=AO2,

：.((5V2)2+r=(r+5)2,

解得：r=2.5

即。。的半徑為2.5.

15.(1)相切，見解析

(2)273

【分析】本題考查切線的判定，圓周角定理，含30度角的直角三角形：

(1)連接0D,則OD=OB,等邊對(duì)等角得到NODB=ZABD,角平分線得到ZABD=NCBD,

第19頁共30頁

進(jìn)而得到NOD3=NCBD,推出OD〃5C,得到NODC=180。—NC=90。，即可得出結(jié)論；

(2)直徑所對(duì)的圓周角為直角，得到N4M=90。，易得Z4BD=30。，根據(jù)含30度角的直

角三角形的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)解：與O。相切，理由如下：

連接OO,則8=03,

ZODB=ZABD,

???BD平分/ABC,

???ZABD=ZCBD,

：.ZODB=ZCBD,

：.OD〃BC,

???ZC=90°,

ZODC=180。-NC=90°,

???ODLCD,

?.?o。是半徑，

???CO與0。相切.

(2),.,23是。。的直徑,

AZAZ)B=90°,

,.?ZC=90°,ZCDB=60°

???ZABD=ZCBD=90°-Z.CDB=30°,

又???在RtZ\A5O中，ZABD=30°

/.AD=—AB=2,

2

BD=y/3AD=2y/3.

16.(1)證明見解析

(2)3

第20頁共30頁

【分析】（1）先利用圓周角定理得到NADS=90。，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得=CD,

連接OD,證。。為A3AC的中位線，則8〃AC,從而得到ODIDE,即可證明；

（2）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得NBA。=/C4D=30。，由AB=AC=4石，和30。度所

對(duì)的直角邊為斜邊的一半，可得。=26，再根據(jù)勾股定理可得45的值，最后由

AC,EDAD,CD_,,/士

---=---,可rZ得RDE的值.

【詳解】（1）證明：：A3為直徑，

，ZADB=90°,

:AB^AC,

：.BD=CD；

連接OO,如圖，

VBD=CD,AO=OB,

為A54C的中位線，

OD//AC,

?/DEJ.AC,

：.ODIDE,

DE為。。的切線；

(2)解：VZBAC=G0°,AB=AC,BD=CD,

：.ABAD=ACAD