2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)難點(diǎn)與解題模型：三角形中七種常考方法求角度問題（解析版）

難點(diǎn)與解題模型09三角形中七種常考方法求角度問題

題型一：方程法求角度問題

題型二：分類討論法求角度問題

題型三：A字模型

題型四：8字模型

題型五：飛鏢（燕尾）模型

題型六：三角形折疊模型

題型七：雙角平分線模型

精淮提分

題型一：方程法求角度問題

|SiS?Si#...............................

，方程法的解題步驟

；第一步：找出題中的已知角，常涉及的概念有垂直、余角、補(bǔ)角、對(duì)頂角、角平分線等

i

;第二步：根據(jù)題干中出現(xiàn)的角度和差、倍分關(guān)系或者角度比例關(guān)系，考慮設(shè)一個(gè)角為未知數(shù)

I

，第三步：用所設(shè)角度表示出其他角度

i

，第四步：通過列方程求解

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2023?河南信陽(yáng)?二模）【閱讀理解】如圖1,小明把一副三角板直角頂點(diǎn)。重疊在一起?如圖2固

定三角板AO3,將三角板COO繞點(diǎn)0以每秒15。的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為/秒，當(dāng)0。邊與08邊重

合時(shí)停止轉(zhuǎn)動(dòng).

【解決問題】

1

⑴在旋轉(zhuǎn)過程中，請(qǐng)?zhí)畛觥狝OC、/3C?之間的數(shù)量關(guān)系；

⑵當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為9秒時(shí)，圖中有角平分線嗎？找出并說明理由；

⑶當(dāng)NAOC、ZAOB,/BOC中一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角的兩倍時(shí)，則稱射線OC是—AOB的"優(yōu)線"，請(qǐng)直

接寫出所有滿足條件的f值.

【答案】（1）NAOC+N3QD=180。

（2）有，0。平分NAO3,OB平分NCOD,理由見解析

（3）r=2,3,4,9,12

【分析】（1）由題意，根據(jù)題目分析，然后畫出圖形可得結(jié)論；

（2）依據(jù)題意，畫出圖形，然后分別計(jì)算出角的度數(shù)可得解；

（3）依據(jù)題意，將所有可能情形梳理并分類討論可得f的值.

【詳解】（1）解：①如圖，ZAOC+ZBOD=180°,理由如下：

由題意得，ZDOA=900-ZAOC,ZCOB=900-ZAOC.

團(tuán)ZAOC+ZBOZ)=ZAOC+ADOA+ZAOC+ACOB

=ZAOC+90°-ZAOC+ZAOC+90°-ZAOC

=180°,

A

也。②如圖，ZAOC+ZBOD=180°,理由如下:

0B

由題意得，/DOA=90?！?DOB,/COB=90。一/DOB.

0ZAOC+ZBOD=ZDOA+/DOB+ZCOB+/BOD

=90°-/DOB+/DOB+90°-/DOB+/BOD

=180°,

2

D

。\B

綜上，ZAOC+ZBO￡)=180°.

故答案為：ZAOC+ZBOD=18Q°；

(2)解：有，平分/AOB,OB平分NCOD

如圖所示，理由如下：

當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為9秒時(shí)，ZAOC=15°x9=135°,

回ZBOC=ZAOC-ZAOB=135°-90°=45°.

SZCOD=90°,

國(guó)ZBOD=ZCOD-NBOC=90°-45°=45°,

SZBOC=ZBOD^45°,

回03平分NC8,

0ZBOD=45°=-ZAOB,

2

回平分ZAO3；

(3)解：由題意得，ZAOB=90°,ZAOC=(15r)°.

當(dāng)ZBOC=2ZAOC時(shí)，ZAOC=30°,

3

015?=30,解得r=2；

當(dāng)NAO3=2NAOC,OC在NAO3內(nèi)部時(shí)，ZAOC=45°,

Ell5t=45,解得，=3；

當(dāng)NAOC=2ZBOC時(shí)，ZAOC=60°,

即5f=60,解得f=4；

當(dāng)ZAOB=2ZBOC時(shí),ZAOC=135°,

町5t=135,解得t=9；

當(dāng)NAOC=2NAO3時(shí)，ZAOC=180°,

町5/=180,解得f=12；

綜上，t—2,3,4,9,12.

【點(diǎn)睛】本題主要考查角的計(jì)算，解題時(shí)需要全面考慮分析所有可能，學(xué)會(huì)分類討論是解題的關(guān)鍵.

【中考模擬即學(xué)即練】

【變式1-1］（23-24陜西西安）新定義：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，在角的內(nèi)部引兩條射線，如果這兩條射線所

成的角等于這個(gè)角的一半，那么這兩條射線所成的角叫做這個(gè)角的內(nèi)半角.如圖1,若射線OC、0。在

的內(nèi)部，且？CODAOB,則NCOD是NAO3的內(nèi)半角，根據(jù)以上信息，解決下面的問題：

⑴如圖1,44。3=70。,44。。=25。，若NCOD是—AOB的內(nèi)半角，則NCOE>=,ZBOD=.

⑵如圖2,已知NAOB=60。，將NAO3繞點(diǎn)。按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度以0°<g<60。）至NCOD.若

NCO3是NAOD的內(nèi)半角，求a的值.

⑶把一塊含有30。角的三角板COD按圖3方式放置，使OC邊與Q4邊重合，OO邊與08邊重合，如圖4,

將三角板CQD繞頂點(diǎn)。以4度/秒的速度按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為f秒,當(dāng)射線04OB、OC,OD

構(gòu)成內(nèi)半角時(shí)，請(qǐng)求出f的值.

【答案】（1）35。，10。

（2）20°

,、5—45—135—175

⑶5或彳或；一或可

4

【分析】(1)本題主要考查了角的和差，先根據(jù)題意算出NCOD的度數(shù)，再利用

NBOD=ZAOB-ZAOC-Z.COD即可解答；弄清楚角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵；

(2)本題主要考查看旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、內(nèi)半角的定義、一元一次方程的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可推出

NAOC=/3。￡)=夕和NCOD=403=60。，然后可用含有a的式子表示NA0D和NCOB的度數(shù)，根據(jù)

NCO3是/AOD的內(nèi)半角，即可求出a的值即可；掌握內(nèi)半角的定義是解題的關(guān)鍵；

(3)本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、內(nèi)半角的定義、一元一次方程的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)一周構(gòu)成內(nèi)半

角的情況總共有四種，分別畫出圖形，求出對(duì)應(yīng)/值即可.掌握分類討論思想是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：EINCOD是NAO3的內(nèi)半角，ZAOB=10°,

ZCOD=-ZAOB=35°,

2

回NBOD=ZAOB-ZAOC-ZCOD=70°-25°-35°=10°.

故答案為：35°,10°.

(2)解：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：ZAOC=ZBOD=a,ZCOD=ZAOB=60°,

0ZAOD=ZAOC+ZCOD=a+60°,ZCOB=ZAOB-ZAOC=60°-a,

團(tuán)NCOB是NAOD的內(nèi)半角，

SZAOD=2ZCOB,即0+60。=2(60。-可，解得:a=20°.

0a的值為20。.

(3)解:①如圖4：此時(shí)NCQ3是NAOD的內(nèi)半角，

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：ZAOC=ZBOD=4t°,ZCOD=ZAOB=30°,

回ZAOD=ZAOC+ZCOD=4尸+30°,ZCOB=ZAOB-ZAOC=30°-4t°,

國(guó)NCOB是NAOD的內(nèi)半角，

SZAOD=2ZCOB,即4產(chǎn)+30°=2(30°-4『)，解得：?=|:

②如圖：此時(shí)NCO3是NAOD的內(nèi)半角，

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得：NAOC=N8a>=4/。，ZCODZAOB30°,

0ZAOD=ZAOC+ZCOD=4t0+30°,ZBOC=ZAOC-ZAOB=4t°-30°,

5

團(tuán)NCOB是NAOD的內(nèi)半角,

0?AODHBOC,即4尸+30°=2（4產(chǎn)一30°）,解得：f

③如圖所示，此時(shí)NAOD是，BOC的內(nèi)半角,

ZCOD=ZAOB=30°,

0NBOC=ZBOD+ZCOD=390°-4尸，ZAOD=ZAOC-ZCOD=330°-4t°,

回/AOD是/3OC的內(nèi)半角,

135

SZBOC=2ZAOD,即390°—4f°=2（330°—4巧，解得：/=亨

④如圖所示，此時(shí)NAOD是/BOC的內(nèi)半角,

ZCOD=ZAOB=30°,

回ZBOC=ZBOD+ZCOD=390°-4產(chǎn)，ZAOD=ZCOD-ZAOC=4產(chǎn)-330°,

團(tuán)/AOD是，BOC的內(nèi)半角,

175

SZBOC=2ZAOD,即390。-4伊=2（4產(chǎn)一330。），解得：t=

綜上所述：當(dāng)射線。4、OB、oaOD構(gòu)成內(nèi)半角時(shí)，t的值為5|■或45?或1胃35或175

2222

【變式1-2］（23-24湖南長(zhǎng)沙）定義：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，在角的內(nèi)部引兩條射線，如果這兩條射線所成

的角與這個(gè)角互余，那么這兩條射線所成的角叫做這個(gè)角的內(nèi)余角，如圖1,若射線OGOD在NAO3的

內(nèi)部，且NCOD+NAO3=90。，則NCOD是的內(nèi)余角.

圖1

根據(jù)以上信息，解決下面的問題:

6

⑴如圖1,NAOS=72。，ZAOC=20°,若NCOD是NAO3的內(nèi)余角，貝1]/3?！?gt;=；

(2)如圖2.已知NAO3=60。將。4繞點(diǎn)。順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度以0°<a<60。)得到OC.同時(shí)將OB繞

點(diǎn)。順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度ga得到0。.若NCOB是NAOD的內(nèi)余角，求a的值；

⑶把一塊含有30。角的三角板COD按圖3方式放置，使OC邊與邊重合，0。邊與08邊重合，如圖4將

三角板COD繞頂點(diǎn)。以6度/秒的速度按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為f秒，在旋轉(zhuǎn)一周的時(shí)間內(nèi)，當(dāng)射線

OA,OB,OC,OD構(gòu)成內(nèi)余角時(shí)，請(qǐng)求出f的值.

【答案】⑴34°

(2)a的值為45。

⑶當(dāng)射線。4,OB,OC,8構(gòu)成內(nèi)余角時(shí)，。的值為7.5秒或52.5秒

【分析】本題主要考查角的和差的運(yùn)算，掌握內(nèi)余角的概念及計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵.

⑴根據(jù)內(nèi)余角可求出“OD的度數(shù)，再根據(jù)=-ZAOC-NCOD即可求解；

(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)分別用含a的式子表示/CO3,/BQD的度數(shù)，再根據(jù)NCO3是/AOD的內(nèi)余角列

式求解即可；

(3)根據(jù)內(nèi)余角的概念及計(jì)算方法，分類討論，當(dāng)OC在/AO3內(nèi)部時(shí)；當(dāng)OC在射線08下方時(shí)；當(dāng)

在。4上方時(shí)；當(dāng)。。在—AQ3內(nèi)部時(shí)；根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)表示角的數(shù)量關(guān)系，列表求解即可.

【詳解】(1)解:EINCOD是-4QB的內(nèi)余角，

13ZCOD+ZAOB=90°,

0ZAOB=72°,

回ZCOD=90°-ZCOD=90°-72°=18°,

ElZAOC=20°,

團(tuán)ZBOD=ZAOB-ZAOC-ZCOD

=72°—20°-18°

=34°,

故答案為：34°；

(2)解：已知NAQ3=60。，Q4繞點(diǎn)。順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度磯0°<1<60。)得到0008繞點(diǎn)。順時(shí)

針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度;a得到OD,

0ZAOC—a,NBOD=—a,

3

7

0ZBOC=ZAOB-a^60°-a,ZAOD=ZAOB+ZBOD=60°+-a,

3

回NCO3是NAOD的內(nèi)余角，

0ZCOB+ZAOD=90°,

060°-a+60°+-a=90°,

3

解得，a=45。

0?的值為45。；

（3）解：根據(jù)題意可得，ZAOB=3Q°,三角板CO。繞頂點(diǎn)。以6度/秒的速度按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時(shí)間

為/秒，

當(dāng)OC在一AOB內(nèi)部時(shí)，如圖所示，

SZAOC=6t,ZBOD=6t,

0ZBOC=ZAOB-ZAOC=30°-6t,ZAOD^ZAOB+ZBOD=30°+6t,

若ZCOB是ZAOD的內(nèi)余角時(shí)，得/COB+ZAOD=90°,

03O-6r+3O+6r=9O°,無解,

團(tuán)當(dāng)OC在NAQ8內(nèi)部時(shí)，射線0AOB,OC,OD不能構(gòu)成內(nèi)余角；

當(dāng)OC在射線08下方時(shí)，如圖所示，

團(tuán)ZBOC=6t—30°,ZAOD=6r+30°,

若ZBOC是ZAOD的內(nèi)余角，

06r-3Oo+6f+3O°=9O°,

解得，%=7.5（秒）；

當(dāng)在Q4上方時(shí)，如圖所示,

8

c

ElZAOD=360°—6r—30°=330°—6r,ZBOC=ZAOD+60°=330°—+60°=390°-6t,

若NAOD是23OC的內(nèi)余角，

033O°-6r+39O°-6z=9O°,

解得，t=52.5（秒）；

當(dāng)OD在NAO3內(nèi)部時(shí)，如圖所示，

0ZAOC=360°-6Z,ZBOD=360°-6t,ZAOD=6r-ZAOC=6t-（360°-6?）=12r-360°,

ElZBOC=NAOC+ZBOD=360°—6r+360°—6/=720°—12人

若NAOD是Z3OC的內(nèi)余角，

Ell2r—360+720—12,=90°,無解，

團(tuán)當(dāng)OD在-403內(nèi)部時(shí)，射線0AOB,OC,OD不能構(gòu)成內(nèi)余角；

綜上所述，當(dāng)射線Q4,OB,OC,8構(gòu)成內(nèi)余角時(shí)，f的值為7.5秒或52.5秒.

【變式1-3］（23-24河南焦作）一副三角板按如圖1所示放置，邊Q4,OC在直線MN上,

ZAOB=60°,ZCOD=45°.

9

圖3圖4

如圖2,將三角板COD繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到C'OD,轉(zhuǎn)速為每秒鐘轉(zhuǎn)動(dòng)5。，當(dāng)OC旋轉(zhuǎn)一周回到射線QV上

時(shí)停止轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為/秒.

(1)當(dāng)8'與08重合時(shí)，直接寫出的值；

⑵①當(dāng)OD正好平分ZBQ4時(shí)，在圖1中畫出此時(shí)的位置，并求出t的值；

②在旋轉(zhuǎn)過程中，作ZBOD的角平分線0E,當(dāng)NAOE=15。時(shí).直接寫出f的值.

【答案】⑴15秒

⑵①圖見詳解，f的值為21秒；②f的值為33或45秒

【分析】本題考查了角的計(jì)算，特殊角，角平分線的定義，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)已知角的度數(shù)和平角的定義直接求度數(shù)即可；

(2)①根據(jù)"00=105。求解即可；②根據(jù)題意分兩種情況得出的度數(shù)，求解即可.

【詳解】(1)解：由題知，ZBOD=180°-ZAOB-ZCOD

=180°-60°-45°

=75°

75°

^=—=15(秒)；

(2)①如圖所示：

10

圖1

,/OD'正好平分ZBO4

X.BOD'=ZAOD'=-NBOA=30°

2

QZBOD=75°,

ZDOD=ZBOD+ZBOD'=75°+30°=105°

105°?

??t-------=21

5°f

，的值為21；

②當(dāng)OE在ZBQ4內(nèi)部時(shí)，

ZAOE=150,

：.ZBOE=ZBOA-ZAOE=60?！?5。=45°

OE平分NBOD'

ZBOE=ZD'OE=45。

：.ZD,OA=45°-15°=30°

：.ZjyOD=ZDrOA+ZAOD=30°+180°-45°=165°

165°-

t=-----=33

5°

當(dāng)OE在4Q4外部時(shí)，

ZAOE=15°

：.ZBOE=ZBOA+ZAOE=60。+15。=75°

O￡平分NBOD'

ZBOE=ZDrOE=75°

：.O。轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為：ZBOE+ZDfOE+ZBOD=75°+75°+75°=225°,

解得，=券=45,

.?.當(dāng)NAOE=15。時(shí).f的值為33或45（秒）.

11

題型二：分類討論法求角度問題

「輻TAT速T系....................I

i；?？挤诸愑懻摰那樾蝘

i1.若題中出現(xiàn)角度大小，但不明確角度邊的位置，需對(duì)角的位置進(jìn)行分情況討論,再根據(jù)角度大小分別求解：i

2.若題中出現(xiàn)射線旋轉(zhuǎn)，并讓探究三條射線中某一條射線是另兩條射線夾角的平分線，需分別討論哪條射線是；

角平分線的情況；

3.若題中出現(xiàn)射線三等分角，但并未說明射線靠近角度的哪一邊,需對(duì)射線的位置進(jìn)行分情況討論.

【中考母題學(xué)方法】

【典例2］（22-23浙江）【問題提出】已知/3OC與—AOC有共同的始邊0C,且滿足/BOC=2NAOC,

若NAOC=28。，求/AO3的度數(shù).

【問題解決】圓圓首先畫出兩個(gè)符合題意的圖形，運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想，解決問題.

在圖①中，當(dāng)射線在/3OC的內(nèi)部時(shí)，由題意易得NAOB=28。；

在圖②中，當(dāng)射線。4在—3OC的外部時(shí)，由題意易得NAO3=84。.

—8—7—6—5—4—3—2—1012345678

圖③

【問題應(yīng)用】請(qǐng)仿照這種方法，解決下面兩個(gè)問題

⑴如圖③，已知點(diǎn)A,B,C在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為T,2,1,請(qǐng)?jiān)跀?shù)軸上標(biāo)出線段AC的中點(diǎn)。并寫

出。所表示的數(shù)；若數(shù)軸上存在點(diǎn)E,它到點(diǎn)C的距離恰好是線段的長(zhǎng)，求線段DE的長(zhǎng).

（2）如果兩個(gè)角的差的絕對(duì)值等于90。，就稱這兩個(gè)角互為垂角，例如：Zl=120°,Z2=30°,|Zl-Z2|=90°,

則Z1和Z2互為垂角（本題中所有角都是指大于0°且小于180。的角）.

①若/&=140。，求/々的垂角；

12

②如果一個(gè)角的垂角等于這個(gè)角的補(bǔ)角的;，求這個(gè)角的度數(shù).

【答案】（1）8^或3；

（2）①50°；②18?；?26°

【分析】本題考查了互為垂角和補(bǔ)角的定義及運(yùn)用，數(shù)軸，數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，絕對(duì)值，解題關(guān)鍵是

找準(zhǔn)角之間關(guān)系.

（1）根據(jù)中點(diǎn)的定義找到點(diǎn)。，由已知的A、B、C所表示的數(shù)求出A3的長(zhǎng)度，就可以求出E點(diǎn)所在的位

置，再求出DE的長(zhǎng)度.

（2）①根據(jù)互為垂角的定義求出即可.②根據(jù)已知條件，分類列出方程解之.

【詳解】（1）解：回點(diǎn)A,B,C在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為T,2,1,點(diǎn)。的線段AC的中點(diǎn)，

SD所表示的數(shù)為號(hào)^=--，AB=2-（T）=6,

如圖，點(diǎn)。即為所求；

■i?E?2A???D????C?B?i???Ei1A

-8-7-6-5-4-3-2-1012345678

團(tuán)點(diǎn)E到點(diǎn)。的距離恰好是線段AB的長(zhǎng)，

團(tuán)CE=AB=6,

團(tuán)點(diǎn)c表示的數(shù)為7或-5,

EIDE的長(zhǎng)為：7_]_：1；]=8：或_5_1_lgJ=3g；

（2）解:①設(shè)/a的垂角為無。，

根據(jù)題意得：|140°-x°|=90°,

即40°-x°=90°或140°—x°=-90°,

解得x=50或230（舍去），

0/a的垂角為50。；

②設(shè)這個(gè)角的度數(shù)為

當(dāng)0<y<90時(shí)，它的垂角為（90+y）。，

根據(jù)題意得90+y=§（180-y）,

解得：y=18,

13

當(dāng)90<”180時(shí),它的垂角為(y-90)。,

9

根據(jù)題意得V-90=§(180-y),

解得y=126,

故這個(gè)角的度數(shù)為18。或126°.

【中考模擬即學(xué)即練】

【變式2-1](24-25?江蘇無錫)定義：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，在角的內(nèi)部引兩條射線，如果這兩條射線所成

的角等于這個(gè)角的一半，那么這兩條射線所成的角叫做這個(gè)角的內(nèi)半角.如圖①所示，若？COD

則ZCOD是NAOB的內(nèi)半角.

DB

-B

■DO

⑴如圖①所示，已知N40B=70。，ZAOC=15°,NCC?是/AO3的內(nèi)半角，貝.

(2)如圖②，已知NAOB=63。，將—493繞點(diǎn)。按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度1(0<]<63。)至/<?00,當(dāng)旋

轉(zhuǎn)的角度a為何值時(shí)，NCOB是NAOD的內(nèi)半角？

⑶已知ZAO8=30。，把一塊含有30。角的三角板如圖③疊放，將三角板繞頂點(diǎn)。以3。/秒的速度按順時(shí)針方

向旋轉(zhuǎn)，如圖④，問：在旋轉(zhuǎn)一周的過程中，且射線0。始終在-AO3的外部，射線。4,O3,OC,OD能否

構(gòu)成內(nèi)半角？若能，請(qǐng)直接寫出旋轉(zhuǎn)的時(shí)間；若不能，請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴20。

⑵a=21。

⑶當(dāng)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為gs或3ch或90s或與s時(shí)，射線。4,OB,OC,能構(gòu)成內(nèi)半角

【分析】(1)由內(nèi)半角的定義得？COD^AOB=35°,再由/3OD=NAOB-NAOC-NCOD即可求解；

(2)由旋轉(zhuǎn)得：ZAOC=ZBOD=a,由角的和差得N3OC=63。-。，ZAOD=630+a,再由內(nèi)半角的定

義得NCOB=；NAOD,即可求解；

(3)分四種情況討論，利用內(nèi)半角的含義，建立一元一次方程，即可求解.

【詳解】(1)解：NAQB=70。，NCOD是/AOB的內(nèi)半角，

14

ZCOD=-ZAOB

2

=-x70°

2

=35°,

ZBOD=ZAOB-ZAOC-/COD

=70°-15°-35°

=20。；

故答案：200；

(2)解：當(dāng)旋轉(zhuǎn)的角度a為21。時(shí)，NCOB是NAOD的內(nèi)半角；

理由如下：

由旋轉(zhuǎn)得：ZAOC=ZBOD=a,

/.ZBOC=ZAOB-ZAOC

=63?！猘,

ZAOD=ZAOB+ZBOD

=630+a,

???NCC出是NAQD的內(nèi)半角，

ZCOB=-ZAOD

2f

63°-a=1(63°+a),

解得：a=21。；

(3)在旋轉(zhuǎn)一周的過程中，射線Q4,OB,OC,O。能構(gòu)成內(nèi)半角，理由如下;

理由：設(shè)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度。，旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為3

如圖1,團(tuán)。是NAOD的內(nèi)半角，ZAOC=ZBOD=a,

圖1

團(tuán)NAOD=300+a,

團(tuán)3（30。+1）=30。-1,

15

解得：a=10。,

10z、

團(tuán)”可⑸；

如圖2,回。是NAOD的內(nèi)半角,ZAOC=ZBOD=a,

D

圖2

團(tuán)NAOD=300+a,

團(tuán)：（30。+1）=a—30。

0a=90°,

90

mr=——=30（s）；

3

如圖3,EINAOD是N3OC的內(nèi)半角，ZAOC=ZBOD=360-tz,

圖3

0ZBOC=360°+30°-a,

團(tuán)1（360°+30°-a）=360°一a-30°

0?=270°,

0r=9O（s）,

如圖4,EINAOD是的內(nèi)半角，ZAOC=ZBOD=360-a,

圖4

16

團(tuán)ZBOC=3600+30。一。，

01（360。+30。-c）=30。+30°-（360°+30。-a）,

解得：e=350。，

350、

0^=—（zs），

綜上所述，當(dāng)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為gs或33或90s或—s時(shí)，射線Q4,OB,OC,OD能構(gòu)成內(nèi)半角.

【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，角的和差，一元一次方程的應(yīng)用，理解新定義，能根據(jù)旋轉(zhuǎn)的

過程確定時(shí)間范圍，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵.

【變式2-2］（23-24?廣東廣州）（1）如圖，線段AS=20cm,C為A3的中點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s的

速度沿線段A3向右運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)B停止；點(diǎn)。從點(diǎn)2出發(fā)，以lcm/s的速度沿線段向左運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)A停

止.若尸，。兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止.設(shè)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（x>0）

S.

APCQB

（0）AC=cm.

5）是否存在某一時(shí)刻，使得C,P,0這三點(diǎn)中，有一點(diǎn)恰為另外兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)？若存在，求出

所有滿足條件的x的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

（2）一副三角板按左圖中的方式拼接在一起，其中邊。4、OC與直線跖上，ZAO5=45°,ZCOD=60°.

（0）NBOD=度.

（0）如圖，三角板COD固定不動(dòng)，將三角板AOB繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角。（即NAOE=cr）,在轉(zhuǎn)動(dòng)

過程中兩個(gè)二角板一直處于直線EF的上方.

②在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在某一時(shí)刻滿足N3OC=2NAOD?若存在，求此時(shí)的角若不存在，請(qǐng)說明理

由.

【答案】（1）（回）10（0）%=6；x=9（2）（團(tuán)）75（團(tuán)）①a的值為30°,90°,105°②當(dāng)￡=105°或125°

17

時(shí)，存在/30C=2NA0D

【分析】（1）（回）根據(jù)線段中點(diǎn)，可得答案；（回）根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得方程，根據(jù)解方程，可得答

案.

（2）（0）根據(jù)平角的定義即可得到結(jié)論；（團(tuán)）①根據(jù)已知條件和角平分線的定義即可得到結(jié)論；②當(dāng)。4

在。0的左側(cè)時(shí)，當(dāng)。4在OD的右側(cè)時(shí)，列方程即可得到結(jié)論.

【詳解】解：（1）（E）團(tuán)C為的中點(diǎn)

120

0AC=-AB=y=10（C/77）.

故答案為：10；

（0）存在,

①I3P的速度2c〃z/s,。的速度是lcro/s,

^AP^BQ,

又AC=3C,

OPCxCQ

回C不是線段尸。的中點(diǎn)；

②尸為線段CQ的中點(diǎn)，得

2（2x-10）=10-x,解得x=6；

③。為線段尸C的中點(diǎn)，得

2x-10=2（10-%）,解得了=修

綜上所述：久=6或》=二.

2

（2）（0）-.-ZAOB^45°,/COD=60。，

:ZBOD=180°-ZAOB-ZCOD=75°,

故答案為：75；

（團(tuán)）①當(dāng)03平分NAOD時(shí)，

ZAOE=a,/COD=60°,

ZAOD=180°-ZAOE-ZCOD=120。—2,

ZAOB=-ZAOD=60°--a=45°,

22

...cc=30°,

18

當(dāng)05平分/AOC時(shí)，

?.-ZAOC=180°-a,

:.ZAOB=90°--a=45°,

2

a=90°；

當(dāng)05平分NDOC時(shí)，

vZZ)OC=60°,

:.ZBOC=30°,

a=180°-45°-30°=105°,

綜上所述，旋轉(zhuǎn)角度。的值為30。，90°,105°；

②當(dāng)Q4在的左側(cè)時(shí)，則ZAOD=120。-e,NBOC=135。—a,

?.-ZBOC=2ZAOD,

.?.135。—a=2(120。—a),

「.a=105°；

當(dāng)OA在OD的右側(cè)時(shí)，貝UNAOD=a—120。，NBOC=135?！猘,

ZBOC=2ZAODf

:.135°-a=2(a-120),

.”=125°,

綜上所述，當(dāng)a=105。或125。時(shí)，存在NBOC=2NAQD.

【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，角的計(jì)算，特殊角，角平分線的定義，利用線段中點(diǎn)的性質(zhì)得出關(guān)于X

的方程是解題關(guān)鍵，要分類討論，以防遺漏.

【變式2-3］（24-25陜西西安）探究與實(shí)踐

將一副三角板按如圖方式拼接在一起，已知NAOB=90。，ZCOD=60°,按如圖1所示擺放，將。4、OC邊

重合在直線MN上，OB、邊在直線肋V的兩側(cè):

【問題發(fā)現(xiàn)】

19

(1)保持三角板不動(dòng)，將三角板COD繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置，則

①ZAOC+ZBOD=；

②ZBOC-ZAOD=.

【問題探究】

(2)若三角板COD按每分鐘6。的速度繞點(diǎn)。逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，三角板A08按每分鐘4。的速度也繞點(diǎn)。

逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，OC旋轉(zhuǎn)到射線QV上時(shí)都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)旋轉(zhuǎn)f分鐘，計(jì)算/MOC-NAOD(用含f的代數(shù)

式表示).

【問題解決】

(3)保持三角板不動(dòng)，將三角板CQD繞點(diǎn)。逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)〃°(〃<360),若射線OE平分NAOC,

射線OP平分4BOD,求NEOP的大小.

【答案】(1)①150。；②30。；(2)ZMOC-ZAOD=(8f-60)°；(3)NEOR=15。或165。

【分析】本題考查的是角的和差運(yùn)算，角平分線的定義，角的動(dòng)態(tài)定義的理解；

(1)①將NAOC+/3OD轉(zhuǎn)化為NCOD+NAO3即可得；②依據(jù)/BOC=NAO3-NAOC、

ZAOD=/COD—ZAOC,將原式轉(zhuǎn)化為/AOB-/COD計(jì)算可得；

(2)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒，0<fW30,/MOC=(6f)°,只需表示出/AOD即可得出答案，而/AOD在O￡)與。4

相遇時(shí)，/=30,再畫出圖形求解即可；

(3)設(shè)△DOC繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)”。，再分①①0(相4180。時(shí)，如圖；②180。(廢4360。時(shí)，如圖，分

別畫出圖形求解即可.

【詳解】解：(1)0ZAOC+ZBOD=ZAOC+ZAOD+ZAOB

=ZCOD+ZAOB=60°+90°=150°,

②NBOC-ZAOD=(ZAOB-ZAOC)-(ZCOD-ZAOC)

=ZAOB-ZAOC-NCOD+ZAOC

=ZAOB-ZCOD=90°-60°=30°；

(2)設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為/秒，則0<K30,ZMOC=(6r)°,

當(dāng)OD與OA相遇時(shí)，6-4t=60,

解得：7=30,

如圖，

20

ZAOD=(60+4-6。°=(60-2r)°

團(tuán)NMOC-ZAOD=(St-60)°；

(3)設(shè)AOQ繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)瀘，

①0<〃。4180°時(shí)，如圖，

回ZAOB=90°,ZMOD=60°-n°,

0Z.BOD=ZAOB+ZMOD=(150-n)°,

回OF平分/BOA

aZBOF=-(150-n)°=75°，

2N

團(tuán)ZMOC=〃°，OE平分/A°C'

團(tuán)NMOE=:ZMOC=5幾。

2，

0ZBOE=(90--n)°,

回/EOF=NBOE-/BOF=15°;

②180°<M°W360°時(shí)，如圖，

aZAOB=90°,ZMOD=n°-60°,

ZBOD=ZMOD-ZAOB=-150)°,

團(tuán)OF平分/BOD,

12NBOF=ADOF=；5TO)。，

21

ElZMOC=360°-if,OE平分ZAOC,

0ZMOE=NCOE=-ZMOC=180°--M°,

22

0ZEOF=360°-ZBOE-ZBOF=360°-90°-l180°;°U1(n-150°)=165°

綜上，NEO尸=15°或165°.

題型三：A字模型

:指I點(diǎn)I迷I津

；模型結(jié)論:NDBC+NECB=180°+ZA.

【中考母題學(xué)方法】

【典例3】（2024?貴州?模擬預(yù)測(cè)）教材回顧

我們知道，直角三角形的兩個(gè)銳角互余，你能對(duì)直角三角形的這一性質(zhì)進(jìn)行證明嗎？

圖1

性質(zhì)證明

（1）為了證明該性質(zhì)，小明同學(xué)畫出了圖形（如圖1）,并寫出了"已知"和"求證"，請(qǐng)你完成證明過程.

已知：在直角三角形ABC中，ZC=90°

求證：ZA+ZB=90°

性質(zhì)運(yùn)用

（2）如圖2,在中，AB=10,點(diǎn)C,。分別在41/上，且MC=4,AD=CD=5,NB=/MDC,

求證：ZA+ZB=90°.

拓展提升

（3）如圖3,在VABC中，AB=BC=20,AC=24,D,E分別為AB,AC的中點(diǎn).M,N分別在AC,

22

BC上，且EN=2MC,CN=6,DM與BE?相交于b，AE與DAf相交于。求證：點(diǎn)。是萬河的中點(diǎn)

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)證明見解析

【分析】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理逆定理：

(1)根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，即可得出結(jié)論；

MCCD

(2)先證明ACDA/SAMM,得到求出AM的長(zhǎng)，進(jìn)而求出。欣的長(zhǎng)，勾股定理逆定理得到

AMAB

VCDM是直角三角形，且NM=90。，即可得證；

(3)先證明,得到Z4MD=NCEN,進(jìn)而得到OE=OAf,三線合一，得到BE_LAC,得

至!!ZBEC=90。，進(jìn)而得到NMFE=NFEO,推出N=OE,等量代換得到。尸=。加，即可得證.

【詳解】(1)證明：由三角形的內(nèi)角和定理可得NA+NB+NC=180。，

又NC=90°,

0ZA+ZB=9O°.

(2)證明：EI4=NMDC,ZM=ZM,

0KDMS&ABM,

MC―,即/-=2

a——=解得A"=8,

AMABAM10

EIDM=AM—AD=3.

在VCDM中，CM=4,CD=5,DM=3,

SCM2+DM2=CD2

團(tuán)VCDM是直角三角形，且/M=90。，

fflZA+ZB=90°.

(3)證明：EIAC=24,Er為AC的中點(diǎn),

0EC=12,

又EM=2MC,

0CAf=4,

團(tuán)AM=20.

回AB=20,點(diǎn)。為AB的中點(diǎn),

EIAD=1O,

CN6AD10_1

團(tuán)---=--

CE122~AM~2^~2

團(tuán)AB=BC,

23

^ZDAM=ZNCE,

^AADM^CNE，

⑦ZAMD=/CEN,

^OE=OM.

SAB=BC,點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，

0BE±AC,即ZB￡C=900.

團(tuán)ZOEM+ZOEF=ZEMF+ZEFM=90°,

BZMFE=ZFEOf

回OF—OE,

國(guó)OF=OM,

團(tuán)點(diǎn)。為的中點(diǎn).

【中考模擬即學(xué)即練】

【變式3-1］如圖，△ABC中，NA=65。，直線。石交A3于點(diǎn)。，交AC于點(diǎn)則N3D￡+NCED=(

A.180°B.215°C.235°D.245°

【答案】D

【詳解】解：?.?NA=65。，

/.ZADE+ZAED=180°-65°=115°,

NBDE+NCED=360?！?15。=245。，

故選：D.

【變式3-2】如圖所示，//ME的兩邊上各有一點(diǎn)民。，連接5C,求證/。5。+/￡8=180。+44.

24

A

【詳解】解：；NDBC和ZECB是AABC的外角，

ZDBC=NA+ZACB,NECB=NA+ZABC.

X-.-ZA+ZABC+ZACB=180°,

ZDBC+ZECB=ZA+ZACB+ZABC+ZA=180°+ZA.

【變式3-3］如圖1,直線/與AABC的邊AC,A3分別相交于點(diǎn)。，E（都不與點(diǎn)A重合）.

圖4

⑴若NA=64。，①求N1+N2的度數(shù)；②如圖2,直線加與邊AB,AC相交得至ljN3和N4,直接寫出N3+24

的度數(shù).（2）如圖3,EO,分別平分N8ED和NCDE,寫出/EOD和—A的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）如圖4,在四邊形3CDE中，點(diǎn)V,N分別是線段DC、線段BE上的點(diǎn)，NG,MG分別平分/3NM和

ZCMN,直接寫出NNGM與NE,"的關(guān)系.

【答案】（1）①244。；②244o（2）/EOD=90。一g/A,理由見解析⑶NE+/D+2NWGM=360。.

【分析】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理、三角形外角性質(zhì)，掌握三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義等

知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是正確解答的關(guān)鍵.（1）①根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義進(jìn)行計(jì)算

即可；②根據(jù)①的結(jié)論即可解答；（2）由（1）的結(jié)論以及三角形內(nèi)角和定理即可解答；

（3）由（2）的結(jié)論可得+=再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行解答即可.

【詳解】（1）解：①如圖1,

VZ1=ZA+ZADE,Z2=ZA+ZAED,Z1+Z2=ZA+ZADE+ZAED+ZA,

-：ZA+ZADE+ZAED=180°,NA=64。，Zl+Z2=ZA+180°=64o+180o=244°；

②由①方法可得：/3+N4=Nl+N2=244°.

25

(2)解：ZEOD=9Q°--ZA,理由如下：由(1)可得NBED+NCDE=180o+NA.

2

VEO,OO分別平分ZBED和NCDE,ZOED=-ZBED,ZEDO=-ZCDE,

22

ZOED+ZEDO=；(ABED+ZCDE)=1(180°+ZA)=90°+1zA,

ZEOD=180°-(ZOED+NEOO)=180。-190。+；NAJ=90。-gNA.

(3)解：ZE+ZD+2ZNGM=360°,理由如下：由圖2可得，ZBNM+Z.CMN=AD+AE,

'：NG,MG分別平分和NCMV,:.NBNG=NMNG=；NBNM，NCMG=NNMG=gNCMN,

：.ZMGN=180°-(NMNG+NNMG)=180°-1(NBNM+NCMN)=18O°-1(ZD+ZE),

2ZMGN+ZD+ZE=360°.

題型四：8字模型

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i［指I點(diǎn)I迷I津

模型結(jié)論：ZA+ZB=ZC+ZD2ZP=ZB+ZD

【中考母題學(xué)方法】

【典例4】(2024?寧夏?中考真題)綜合與實(shí)踐

如圖1,在VA3C中，5□是/ABC的平分線，的延長(zhǎng)線交外角NC4"的平分線于點(diǎn)E.

【發(fā)現(xiàn)結(jié)論】

結(jié)論1：ZAEB=NACB；

結(jié)論2：當(dāng)圖1中NACB=90。時(shí)，如圖2所示，延長(zhǎng)BC交AE于點(diǎn)/，過點(diǎn)E作"的垂線交所于點(diǎn)G,

交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.則AE與EG的數(shù)量關(guān)系是.

【應(yīng)用結(jié)論】

(1)求證：AH=GF；

(2)在圖2中連接FH,AG,延長(zhǎng)AG交F”于點(diǎn)N,補(bǔ)全圖形，求證：FN=NH+y/2AE.

26

圖1圖2

【答案】【發(fā)現(xiàn)結(jié)論】結(jié)論1：結(jié)論2：相等（或AE=EG）；【應(yīng)用結(jié)論】（1）見解析；（2）見解析

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的定義、三角形外角的性質(zhì)、等邊對(duì)等角、

等角對(duì)等邊、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)推理證明是解題的關(guān)鍵.

［發(fā)現(xiàn)結(jié)論］結(jié)論L根據(jù)角平分線的定義、三角形外角的性質(zhì)，推出

2AEB?MAE1ABE-IMAC-?ABC,1ACB?MAC1ABC,即可得出/AE2=；

222

結(jié)論2：根據(jù)已知NACB=90。，和結(jié)論1NAEB=gzACB,得出/AEB=45。，根據(jù)角平分線的定義得出

2

ZABE=ZGBE,進(jìn)一步推出ZAEB=NGEB,利用ASA證明△ABE四△GBE,即可得出AE=EG；

［應(yīng)用結(jié)論］（1）根據(jù)過點(diǎn)E作AF的垂線交加于點(diǎn)G,得出？7GEF90?,推出？AHE?GFE,

結(jié)合結(jié)論2：AE=EG,利用AAS證明AAEH絲AGEF,即可證明AH=G/；

（2）連接加，AG,延長(zhǎng)AG交五”于點(diǎn)N,根據(jù)垂線的定義得出？AEG?FEH90?,由結(jié)論2得：

AE=EG,由（1）過程得：絲AG￡F,根據(jù)等邊對(duì)等角、勾股