2025年中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)之因式分解

2025年中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)之因式分解

選擇題（共10小題）

1.(2025?金安區(qū)校級一模)下列因式分解正確的是()

A./+9=(x+3)2B.〃2+2〃+4=(。+2)2

C.c?-4〃2=〃2(〃-4)D.1-4X2=(1+4X)(1-X)

2.（2025?慈利縣一模）下列多項式不能進行因式分解的是（）

A./+而B./+9C./_2〃+1D./-1

3.（2025?管城區(qū)一模）若左為任意整數(shù)，則（攵+3）2-（左-2）2的值總能（）

A.被2整除B.被3整除C.被5整除D.被7整除

11

4.（2025?廣西模擬）己知孫=-1,x+y=2,^）\-x3y+x2y2+~xy3=（）

A.-2B.2C.-4D.4

5.（2025?葉縣模擬）已知a,b,c是△ABC的三邊，且滿足/-廿二兒一改,則△age為（）

A.等腰三角形B.等邊三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

6.(2024?云南)分解因式：。3-9。=()

A.a(a-3)(a+3)B.a(a2+9)

C.(a-3)(a+3)D.a1(a-9)

7.（2024?六盤水二模）將〃za+〃仍+mc因式分解的結(jié)果是（）

A.mabcB.m(〃+Z?+c)C.m(〃+Z?)+mcD.abc

8.（2024?益陽一模）在日常生活中如取款、上網(wǎng)等都需要密碼，有一種用“因式分解”法產(chǎn)生的密碼記

憶方便.原理是：如對于多項式d-y，，因式分解的結(jié)果是（x-y）（x+y）（/+/），若?。?9,y=9,

則各個因式的值是：x-y=0,x+y=18,7+y=162,于是就可以把“018162”作為一個六位數(shù)的密碼.對

于多項式f-孫2,取苫=50,y=20,用上述方法產(chǎn)生的密碼不可能是（）

A.503070B.507030C.307040D.703050

9.（2024?復(fù)興區(qū)校級模擬）利用因式分解計算2023X2024-2023?=（）

A.1B.2023C.2024D.20232

10.（2024?邱縣一模）對于任何整數(shù)a（aWO）,多項式（3a+5）2-4都能（）

A.被9整除B.被。整除C.被a+1整除D.被a-1整除

填空題（共5小題）

H.（2025?四川模擬）分解因式：7尤4-7/=

12.（2025?南崗區(qū)模擬）把多項式"2-6a6+9a分解因式的結(jié)果是.

13.（2025?拱墅區(qū)模擬）因式分解：3/-9a=.

14.（2025?石家莊一模）若根〃=2,m-n—-1,則代數(shù)式加2〃-機層的值是

15.（2025?歷下區(qū)一模）因式分解：3/-3=

三.解答題（共5小題）

16.（2025?鎮(zhèn)坪縣一模）數(shù)學(xué)興趣小組開展探究活動，研究了“相鄰兩個正整數(shù)的積N能否表示為/-x

（x為正整數(shù)）”的問題.

（1）指導(dǎo)教師將學(xué)生的發(fā)現(xiàn)進行整理，部分信息如下（〃為正整數(shù)）:

Nf-x（X為正整數(shù)）

1X222-2

2X332-3

3X442-4

4X552-5

5X662-6

n(n+1)

按如表規(guī)律，完成下列問題:

(I)6X7=()2-；

(II)n(n+1)=；(用含”的式子表示)

(III)證明(II)中的結(jié)論.

（2）興趣小組還猜測：像1X4,2X5,3X6,4X7,…這些形如〃（?+3）（"為正整數(shù)）的正整數(shù)N

不能表示為％2-尤（尤為正整數(shù)）.師生一起研討，分析過程如下：

假設(shè)〃（〃+3）=/-x,其中x為正整數(shù).

分下列兩種情形分析：

①若x為奇數(shù)，設(shè)x=2k+l,其中左為正整數(shù)，

貝i|/-x=（2左+1尸-（2左+1）=4武+4k+1-2k-1=4嚴(yán)+2%

=2左（2E+1）為相鄰兩個正整數(shù)的積，矛盾.故無不可能

為奇數(shù).

②若X為偶數(shù)，設(shè)x=2k,其中人為正整數(shù)，

則/-x=(2k)2-2k=_______________為相鄰兩個正

整數(shù)的積，矛盾.故無不可能為偶數(shù).

由①②可知，猜測正確.

閱讀以上內(nèi)容，請在情形②的橫線上填寫所缺內(nèi)容.

17.(2025?遵化市校級一模)”字母表示數(shù)”被后人稱為從“算術(shù)”到“代數(shù)”的一次飛躍，用字母表示

數(shù)可以從特殊到一般的表達(dá)數(shù)學(xué)規(guī)律.請觀察下列關(guān)于正整數(shù)的平方拆分的等式：

第1個等式：22=1+12+2；

第2個等式：32=2+22+3；

第3個等式：42=3+3?+4；

第4個等式：52=4+42+5；

(1)請用此方法拆分20252.

(2)請你用上面的方法歸納一般結(jié)論，列出第"個等式(〃為正整數(shù))，并借助運算證明這個結(jié)論是正

確的.

18.(2025?慈利縣一模)把下面各式分解因式：

(1)3?-12；

(2)ax1-4axy+4ay2.

19.(2025?旺蒼縣一模)閱讀與思考：配方法是指將一個式子或一個式子的某一部分通過恒等變形化為完

全平方式或幾個完全平方式的和.巧妙的運用“配方法”能對一些多項式進行因式分解.例如：/+4x

-5=/+4x+22-22-5=(x+2)2-9—(尤+2+3)(x+2-3)=(尤+5)(x-1)

(1)解決問題，運用配方法將下列的形式進行因式分解；?-2x-15.

(2)深入研究，說明多項式/-6x+ll的值總是一個正數(shù)；

(3)拓展運用，已知°、b、c分別是△ABC的三邊，且＜?+b2+c2=a6+6c+ac,試判斷△ABC的形狀，

并說明理由.

20.(2025?峰峰礦區(qū)校級一模)數(shù)學(xué)課上老師給出規(guī)定：如果兩個數(shù)的平方差能被4整除，我們稱這個算

式是“佳偶和諧式”.

小亮寫出如下算式：82-62=7X4；142-122=13X4；1062-1042=105X4.

發(fā)現(xiàn)：任意兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差都能被4整除，這些算式都是“佳偶和諧式”.

(1)驗證：22?-202是“佳偶和諧式”；

(2)證明：任意兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差都能被4整除，這些算式都是“佳偶和諧式”；

(3)小紅通過小亮的結(jié)論推廣得到一個命題：任意兩個偶數(shù)的平方差都能被4整除，他們的算式都是

“佳偶和諧式”，直接判斷此命題是真命題還是假命題.

2025年中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)之因式分解

參考答案與試題解析

一.選擇題(共10小題)

題號12345678910

答案CBCAAABCBc

選擇題(共10小題)

1.(2025?金安區(qū)校級一模)下列因式分解正確的是()

A./+9=(尤+3)2B./+24+4=(。+2)2

C.1-4a2=a2(a-4)D.1-4x2=(l+4x)(1-x)

【考點】提公因式法與公式法的綜合運用.

【專題】計算題；整式；運算能力.

【答案】C

【分析】利用提公因式法、公式法逐個分解得結(jié)論.

【解答】解：A./+9￥/+6工+9=(無+3)2,故選項A分解錯誤；

B.a~+2a+4a~+4a+4=(x+2)故選項B解錯誤；

C.a3-4a2—a2(a-4),故選項C分解正確；

D1-4/=(l+2x)(1-2x)W(1+4X)(1-4x),故選項。分解錯誤.

故選：C.

【點評】本題考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解決本題的關(guān)鍵.

2.(2025?慈利縣一模)下列多項式不能進行因式分解的是()

A.a2+4aB.a2+9C.a2-2a+}D.a1-I

【考點】因式分解的意義.

【專題】整式；運算能力.

【答案】B

【分析】根據(jù)因式分解的方法，注意判斷，即可解答.

【解答】解：4利用提公因式法，可得/+4〃=。(?+4),故A不符合題意；

B、/+9無法因式分解，故8符合題意；

C、利用完全平方公式，可得/-2a+l=(a-1)2,故C不符合題意；

D、利用平方差公式，可得/-1=（4+1）（4-1）,故。不符合題意，

故選：B.

【點評】本題考查了能否利用公式法因式分解，熟知可以用完全平方公式和平方差公式因式分解的式子

的形式是解題的關(guān)鍵.

3.（2025?管城區(qū)一模）若左為任意整數(shù)，則*+3）2-（k-2）2的值總能（）

A.被2整除B.被3整除C.被5整除D.被7整除

【考點】因式分解的應(yīng)用.

【專題】整式；運算能力.

【答案】C

【分析】運用乘法公式展開，再根據(jù)整式的加減運算得到5（2打1）,結(jié)合4為任意整數(shù)，得到乂+1是

整數(shù)，由此即可求解.

【解答】解：原式=9+6左+9-（后-4什4）

=10%+5

=5⑵+1）,

由條件可知2k+l是整數(shù)，

（好3）2-（左-2）2的值總能被5整除，

故選：C.

【點評】本題考查了整式的混合運算，掌握乘法公式的運用是解題的關(guān)鍵.

11

4.（2025?廣西模擬）已知孫=-1,x+y=2,則5dy+%2y2+萬孫3=（）

A.-2B.2C.-4D.4

【考點】提公因式法與公式法的綜合運用.

【專題】整式；運算能力.

【答案】A

【分析】先對所求的式子進行因式分解，再整體代入計算即可.

【解答】解：???孫=-Lx+y=2,

?13.22?13

..-xy+xy+~xy

=^xy（W+2孫+y2）

1/、2

=a盯vx+y）

=1x(-1)x22

=-2.

故選：A.

【點評】本題考查了整式的因式分解，掌握提公因式法與公式法的綜合運用是解決本題的關(guān)鍵.

5.(2025?葉縣模擬)已知a,b,c是△ABC的三邊，且滿足/-廿=兒-女，則△ABC為()

A.等腰三角形B.等邊三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

【考點】因式分解的應(yīng)用.

【專題】計算題；運算能力.

【答案】A

【分析】對等式兩邊分別進行因式分解，找出相同項，即可求解.

【解答】解：cr-b2—bc-ac,

(a+6)(a-b)=-c(a-b),

-c,

??ci~b=0,

?.a=b.

...△ABC為等腰三角形.

故選：A.

【點評】考查了因式分解和平方差公式，得出兩邊相等，從而推出△ABC為等腰三角形.

6.(2024?云南)分解因式：/-9。=()

A.a(a-3)(a+3)B.a(a2+9)

C.(a-3)(a+3)D.(T(a-9)

【考點】提公因式法與公式法的綜合運用.

【專題】整式；運算能力.

【答案】A

【分析】提公因式后利用平方差公式因式分解即可.

【解答】解：原式=a(a2-9)

—a(a-3)(a+3),

故選：A.

【點評】本題考查提公因式法與公式法因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵.

7.(2024?六盤水二模)將加。+7"6+相＜?因式分解的結(jié)果是()

A.mabcB.m(a+b+c)C.m(a+6)+mcD.abc

【考點】因式分解-提公因式法.

【專題】整式；運算能力.

【答案】B

【分析】利用提公因式法因式分解即可.

【解答】解：原式=機(a+b+c),

故選：B.

【點評】本題考查提公因式法因式分解，找到正確的公因式是解題的關(guān)鍵.

8.(2024?益陽一模)在日常生活中如取款、上網(wǎng)等都需要密碼，有一種用“因式分解”法產(chǎn)生的密碼記

憶方便.原理是：如對于多項式因式分解的結(jié)果是(x-y)(x+y)(/+y)，若取尤=9,y=9,

則各個因式的值是：x-y=0,尤+y=18,工2+9=162,于是就可以把“018162”作為一個六位數(shù)的密碼.對

于多項式?jīng)_2,取x=50,y=20,用上述方法產(chǎn)生的密碼不可能是()

A.503070B.507030C.307040D.703050

【考點】因式分解的應(yīng)用；因式分解的意義.

【專題】整式；運算能力.

【答案】C

【分析】先提公因式x,然后根據(jù)平方差公式因式分解，進而代入字母的值即可求解.

【解答】解：'.'x3-xy1=x(x2-j2)=x(x+y)(x-y),

'.'x—50,y—2Q,則各個因式的值為x=50,x+y=70,尤-y=30,

產(chǎn)生的密碼不可能是307040,

故選：C.

【點評】本題主要考查提公因式法分解因式、平方差公式分解因式，熟記公式結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵.

9.(2024?復(fù)興區(qū)校級模擬)利用因式分解計算2023X2024-2023?=()

A.1B.2023C.2024D.20232

【考點】因式分解的應(yīng)用.

【專題】因式分解；應(yīng)用意識.

【答案】B

【分析】提取公因式2023,再化簡，整理即可.

【解答】解:2023X2024-20232=2023(2024-2023)=2023X1=2023.

故選：B.

【點評】本題考查因式分解的應(yīng)用.找到公因式并合理提取是解決本題的關(guān)鍵.

10.(2024?邱縣一模)對于任何整數(shù)aQW0),多項式(3a+5)2-4都能()

A.被9整除B.被。整除C.被a+1整除D.被整除

【考點】因式分解-運用公式法.

【專題】計算題.

【答案】C

【分析】多項式利用平方差公式分解，即可做出判斷.

【解答】解：原式=(3fi+5+2)(3o+5-2)=3(3a+7)(a+1),

則對于任何整數(shù)a,多項式(3〃+5)2-4都能被"1整除.

故選：C.

【點評】此題考查了因式分解-運用公式法，熟練掌握平方差公式是解本題的關(guān)鍵.

二.填空題(共5小題)

11.(2025?四川模擬)分解因式：7尤4-7/=7/(x+1)(x-1).

【考點】提公因式法與公式法的綜合運用.

【專題】整式；運算能力.

【答案】7,(x+1)(x-1).

【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可.

【解答】解：原式提取公因式可得：

7x4-7x2

=7x2(x2-1)

=7x2(x+1)(x-1).

故答案為：(x+1)(xT).

【點評】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵.

12.(2025?南崗區(qū)模擬)把多項式"2-6ab+9a分解因式的結(jié)果是a(b-3)2.

【考點】提公因式法與公式法的綜合運用.

【專題】因式分解；運算能力.

【答案】a(b-3)2.

【分析】先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可.

【解答】解：ab2-6ab+9a

=a(/-66+9)

=a(6-3)2,

故答案為：a(b-3)2.

【點評】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握這兩種因式分解的方法是解題的關(guān)鍵.

13.(2025?拱墅區(qū)模擬)因式分解：3a2-9a=3a(a-3).

【考點】因式分解-提公因式法.

【專題】因式分解；運算能力.

【答案】3a(a-3).

【分析】利用提公因式法分解因式即可.

【解答】解:3a2-9a=3a(a-3),

故答案為：3a(a-3).

【點評】本題考查了因式分解-提公因式法，熟練掌握公因式的確定方法是解題的關(guān)鍵.

14.(2025?石家莊一模)若mn=2,m-n=-L則代數(shù)式機％-機層的值是-2

【考點】因式分解的應(yīng)用.

【專題】整式；運算能力.

【答案】-2.

【分析】先將代數(shù)式進行因式分解，然后將條件代入即可求值.

【解答］解：—m-n=-1,

m^n-mrr=mn(m-")=2X(-1)=-2,

故答案為：-2.

【點評】本題考查代數(shù)式求值.熟練掌握因式分解的方法是關(guān)鍵.

15.(2025?歷下區(qū)一模)因式分解：3/-3=3(x-1)(x+l).

【考點】提公因式法與公式法的綜合運用.

【專題】整式；運算能力.

【答案】3(x-1)(x+1).

【分析】首先提公因式3,再利用平方差進行分解即可.

【解答】解：原式=3(x2-1)=3(x-1)(x+1),

故答案為：3(尤-1)(x+1).

【點評】此題主要考查了提公因式法與公式法分解因式,要求靈活使用各種方法對多項式進行因式分解,

一般來說，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考慮運用公式法分解.

三.解答題(共5小題)

16.(2025?鎮(zhèn)坪縣一模)數(shù)學(xué)興趣小組開展探究活動，研究了“相鄰兩個正整數(shù)的積N能否表示為/-x

(x為正整數(shù))”的問題.

(1)指導(dǎo)教師將學(xué)生的發(fā)現(xiàn)進行整理，部分信息如下(〃為正整數(shù))：

Nf-x(X為正整數(shù))

1X222-2

2X332-3

3X442-4

4X552-5

5X662-6

n(H+1)

按如表規(guī)律，完成下列問題：

(I)6X7=(7)2-7；

(II)n(n+1)=(”+1)2-(w+1)；(用含〃的式子表示)

(III)證明(H)中的結(jié)論.

(2)興趣小組還猜測：像1X4,2X5,3X6,4X7,…這些形如w(w+3)("為正整數(shù))的正整數(shù)N

不能表示為尤(尤為正整數(shù)).師生一起研討，分析過程如下：

假設(shè)〃(力+3)=/-尤，其中x為正整數(shù).

分下列兩種情形分析：

①若x為奇數(shù)，設(shè)x=2什1,其中左為正整數(shù)，

貝i|/-x=(2左+1*-(2k+l)=4F+4A+l-2k-l=4M+2發(fā)

=2左(2k+1)為相鄰兩個正整數(shù)的積，矛盾.故無不可能

為奇數(shù).

②若x為偶數(shù)，設(shè)尤=2匕其中左為正整數(shù)，

則/-x=(2k>2-2k=2左(24-1)為相鄰兩個正

整數(shù)的積，矛盾.故x不可能為偶數(shù).

由①②可知，猜測正確.

閱讀以上內(nèi)容，請在情形②的橫線上填寫所缺內(nèi)容.

【考點】因式分解-提公因式法；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方；有理數(shù)的混合運算；列代數(shù)式；代數(shù)式求值；

規(guī)律型：數(shù)字的變化類.

【專題】計算題；閱讀型；運算能力；推理能力.

【答案】⑴(/)72,7.

(II)(n+1)2-

(IID證明過程見解答.

(2)2kC2k-1).

【分析】根據(jù)因式分解的提公因式法，將數(shù)字代入或進行代數(shù)推理，可容易得到答案.

【解答】解：⑴(Z)72,7.

(II)5+1)2-

(III)證明：,等式左邊=〃2+〃，等式右邊=戶+2“+1-W-1=〃2+〃，

...等式左邊=等式右邊，

等式成立.

(2)%2-尤=(2%)2-2k=2k(2左-1).

故答案為：2k(2k-1).

【點評】本題考查了因式分解一提公因式法的相關(guān)知識，通過閱讀材料明確規(guī)律，并掌握整式的乘法與

因式分解的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

17.(2025?遵化市校級一模)”字母表示數(shù)”被后人稱為從“算術(shù)”到“代數(shù)”的一次飛躍，用字母表示

數(shù)可以從特殊到一般的表達(dá)數(shù)學(xué)規(guī)律.請觀察下列關(guān)于正整數(shù)的平方拆分的等式：

第1個等式：22=1+12+2；

第2個等式：32=2+22+3；

第3個等式：42=3+32+4；

第4個等式：52=4+42+5；

(1)請用此方法拆分20252.

(2)請你用上面的方法歸納一般結(jié)論，列出第w個等式(”為正整數(shù))，并借助運算證明這個結(jié)論是正

確的.

【考點】因式分解的應(yīng)用；列代數(shù)式.

【專題】整式；運算能力.

【答案】(1)20252=2024+20242+2025；

(2)”2=(?-i)+(n-1)2+n,證明見解析.

【分析】(1)依據(jù)材料中等式的規(guī)律解答即可；

(2)根據(jù)依據(jù)材料中發(fā)現(xiàn)等式的規(guī)律寫出含〃的等式證明成立即可.

【解答】解：(1)依據(jù)材料中等式的規(guī)律可得：

第1個等式：22=1+12+2；

第2個等式：32=2+22+3；

第3個等式：42=3+32+4；

第4個等式：52=4+42+5；

20252=2024+20242+2025；

(2)依據(jù)材料中等式的規(guī)律可得：

第1個等式：22=1+1+2；

第2個等式：32=2+22+3；

第3個等式：42=3+32+4；

第4個等式：52=4+42+5；

則含〃的等式是/=(?-1)+(77-1)2+n.

理由：?.?右邊-1+，，-2"+1+〃=/,

左邊=層,

，左邊=右邊，

/.n2=(n-1)+(n-1)2+“成立,

【點評】本題主要考查了數(shù)字規(guī)律型問題，還考查了整式的混合運算和乘法公式.熟練掌握等式所反映

的規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

18.(2025?慈利縣一模)把下面各式分解因式：

(1)37-12；

(2)ax1-4axy+4ay2.

【考點】提公因式法與公式法的綜合運用.

【專題】整式.

【答案】(1)3(x+2)(%-2)；

(2)aCx-2y)2.

【分析】(1)先提取公因式3,再利用平方差公式分解即可；

(2)先提取公因式必再利用完全平方公式分解即可.

【解答】解：(D37-12=3(尤2-4)=3(x+2)(%-2)；

(2)ax1-4axy+4ay2=a(x2-4xy+4y2)=a(x-2y)2.

【點評】此題考查了因式分解，熟練掌握因式分解的方法并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

19.(2025?旺蒼縣一模)閱讀與思考：配方法是指將一個式子或一個式子的某一部分通過恒等變形化為完

全平方式或幾個完全平方式的和.巧妙的運用“配方法”能對一些多項式進行因式分解.例如：尤2+以

-5=?+4x+22-22-5=(x+2)2-9=(x+2+3)(x+2-3)=(x+5)(x-1)

(1)解決問題，運用配方法將下列的形式進行因式分解；/-2X-15.

(2)深入研究，說明多項式？-6x+U的值總是一個正數(shù)；

(3)拓展運用，已知a、b、c分別是△A8C的三邊，且『+■+°2=浦+兒+改，試判斷△ABC的形狀，

并說明理由.

【考點】因式分解的應(yīng)用.

【專題】整式；運算能力.

【答案】(1)見解析；

(2)見解析；

(3)△ABC是等邊三角形，理由見解析.

【分析】(1)仿照例子運用配方法進行因式分解即可；

(2)利用配方法和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)進行說明即可；

(3)展開后利用分組分解法因式分解后利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)確定三角形的三邊的關(guān)系即可.

【解答】解:(1)/-2x-15=/-2x+l-1-15=(x-1)2-42=(x+3)(尤-5)；

(2)尤2-6x+ll=/-6x+9+2=(x-3)2+2,

,?(x-3)220,

(%-3)2+2>0,

多項式x2-6尤+11的值總是一個正數(shù)；

(3)由條件可知2/+2廿+2。2=2?！?2兒+2碇，

2a2+2b2+2c2-lab-2bc-2ac—0,

-1ab+b^+b^~T.bc+c^'+c^-2czc+cz~—0,

(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0,

(a-b)220,(6-c)2?0,(a-c)2^0,

'.a-b—0,%-c=0,a-c=0,

?*ci~~b~~cf

...△ABC是等邊三角形.

【點評】本題考查了因式分解的應(yīng)用，完全平方公式，等邊三角形的判定，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)閱讀材料

理解配方的方法.

20.(2025?峰峰礦區(qū)校級一模)數(shù)學(xué)課上老師給出規(guī)定：如果兩個數(shù)的平方差能被4整除，我們稱這個算

式是“佳偶和諧式”.

小亮寫出如下算式：82-62=7X4；142-122=13X4；1062-1042=105X4.

發(fā)現(xiàn)：任意兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差都能被4整除，這些算式都是“佳偶和諧式”.

(1)驗證：222-2()2是“佳偶和諧式”;

(2)證明：任意兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差都能被4整除，這些算式都是“佳偶和諧式”；

(3)小紅通過小亮的結(jié)論推廣得到一個命題：任意兩個偶數(shù)的平方差都能被4整除，他們的算式都是

“佳偶和諧式”，直接判斷此命題是真命題還是假命題.

【考點】因式分解的應(yīng)用；命題與定理.

【專題】計算題；運算能力.

【答案】(1)證明見解析；

(2)證明見解析；

(3)該命題是真命題.

【分析】(1)直接根據(jù)“佳偶和諧式”的定義，即可求解；

(2)設(shè)這兩個連續(xù)偶數(shù)分別為2”，2w+2,再根據(jù)平方差公式，以及“佳偶和諧式”的定義，即可求解；

(3)設(shè)任意兩個偶數(shù)分別為2a,2b,再根據(jù)平方差公式，以及“佳偶和諧式’的定義，即可求解.

【解答】解：(1)證明：V222-202=21X4,

.?.222-202是“佳偶和諧式”；

(2)證明：設(shè)這兩個連續(xù)偶數(shù)分別為2〃，2/2,

貝ij(2w+2)2-(2n)2

=(2w+2+2w)(2/3+2-2”)

=2(4n+2)

=4

任意兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差都能被4整除，這些算式都是“佳偶和諧式”；

(3)設(shè)任意兩個偶數(shù)分別為2a,2b,

：.(2a)2-⑵)2

(2a+2b)(2a-2b)

=4(a+b)(a-b),

???任意兩個偶數(shù)的平方差都能被4整除，他們的算式都是“佳偶和諧式”，

，該命題是真命題.

【點評】本題主要考查的是因式分解的應(yīng)用和命題與定理，熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵.

考點卡片

1.非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方

偶次方具有非負(fù)性.

任意一個數(shù)的偶次方都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)幾個數(shù)或式的偶次方相加和為。時，則其中的每一項都必須等于①

2.有理數(shù)的混合運算

(1)有理數(shù)混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，應(yīng)按從左到右的順序進行計

算；如果有括號，要先做括號內(nèi)的運算.

(2)進行有理數(shù)的混合運算時，注意各個運算律的運用，使運算過程得到簡化.

【規(guī)律方法】有理數(shù)混合運算的四種運算技巧

1.轉(zhuǎn)化法：一是將除法轉(zhuǎn)化為乘法，二是將乘方轉(zhuǎn)化為乘法，三是在乘除混合運算中，通常將小數(shù)轉(zhuǎn)化

為分?jǐn)?shù)進行約分計算.

2.湊整法：在加減混合運算中，通常將和為零的兩個數(shù)，分母相同的兩個數(shù)，和為整數(shù)的兩個數(shù)，乘積

為整數(shù)的兩個數(shù)分別結(jié)合為一組求解.

3.分拆法：先將帶分?jǐn)?shù)分拆成一個整數(shù)與一個真分?jǐn)?shù)的和的形式，然后進行計算.

4.巧用運算律：在計算中巧妙運用加法運算律或乘法運算律往往使計算更簡便.

3.列代數(shù)式

(1)定義：把問題中與數(shù)量有關(guān)的詞語，用含有數(shù)字、字母和運算符號的式子表示出來，就是列代數(shù)式.

(2)列代數(shù)式五點注意：①仔細(xì)辨別詞義.列代數(shù)式時，要先認(rèn)真審題，抓住關(guān)鍵詞語，仔細(xì)辯析詞義.如

“除”與“除以”，“平方的差(或平方差)”與“差的平方”的詞義區(qū)分.②分清數(shù)量關(guān)系.要正確列

代數(shù)式，只有分清數(shù)量之間的關(guān)系.③注意運算順序.列代數(shù)式時，一般應(yīng)在語言敘述的數(shù)量關(guān)系中，

先讀的先寫，不同級運算的語言，且又要體現(xiàn)出先低級運算，要把代數(shù)式中代表低級運算的這部分括起

來.④規(guī)范書寫格式.列代數(shù)時要按要求規(guī)范地書寫.像數(shù)字與字母、字母與字母相乘可省略乘號不寫,

數(shù)與數(shù)相乘必須寫乘號；除法可寫成分?jǐn)?shù)形式，帶分?jǐn)?shù)與字母相乘需把代分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，書寫單位名稱

什么時不加括號，什么時要加括號.注意代數(shù)式括號的適當(dāng)運用.⑤正確進行代換.列代數(shù)式時，有時

需將題中的字母代入公式，這就要求正確進行代換.

【規(guī)律方法】列代數(shù)式應(yīng)該注意的四個問題

1.在同一個式子或具體問題中，每一個字母只能代表一個量.

2.要注意書寫的規(guī)范性.用字母表示數(shù)以后，在含有字母與數(shù)字的乘法中，通常將“X”簡寫作“，或

者省略不寫.

3.在數(shù)和表示數(shù)的字母乘積中，一般把數(shù)寫在字母的前面，這個數(shù)若是帶分?jǐn)?shù)要把它化成假分?jǐn)?shù).

4.含有字母的除法，一般不用“+”(除號)，而是寫成分?jǐn)?shù)的形式.

4.代數(shù)式求值

(1)代數(shù)式