冀教版數(shù)學(xué)九上《銳角三角函數(shù)》導(dǎo)學(xué)案

課堂探究能力點(diǎn)1求銳角三角函數(shù)值題型導(dǎo)引1.當(dāng)一個(gè)銳角在一個(gè)直角三角形中時(shí)，只要求出相應(yīng)邊的長(zhǎng)度即可求出相應(yīng)的三角函數(shù)值．2．在有些問(wèn)題中，可以把求一個(gè)角的銳角三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為與它相等的角的銳角三角函數(shù)值．3．如果這個(gè)銳角不在直角三角形中時(shí)，應(yīng)作輔助線構(gòu)造包含這個(gè)角的直角三角形，然后再求相應(yīng)邊的長(zhǎng)度．【例1】如圖，在△ABC中，D是AB的中點(diǎn)，CD⊥AC于點(diǎn)C，且tan∠BCD＝eq\f(1,3)，求sinA，cosA，tanA的值．分析：解答本題的突破口是將∠BCD轉(zhuǎn)化為直角三角形中的角，通過(guò)作輔助線DE⊥CD，∠BCD是直角三角形CDE中的角．解：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥CD于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E.∵CD⊥AC，∴DE∥AC.∵D為AB的中點(diǎn)，∴E為BC的中點(diǎn)，DE＝eq\f(1,2)AC.設(shè)DE＝x，∴AC＝2DE＝2x.在Rt△CDE中，∵tan∠BCD＝eq\f(1,3)，∴eq\f(DE,CD)＝eq\f(1,3)，即CD＝3x.在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，AC＝2x，CD＝3x，∴AD＝eq\r(AC2＋CD2)＝eq\r(4x2＋9x2)＝eq\r(13)x.∴sinA＝eq\f(CD,AD)＝eq\f(3x,\r(13)x)＝eq\f(3\r(13),13)，cosA＝eq\f(AC,AD)＝eq\f(2x,\r(13)x)＝eq\f(2\r(13),13)tanA＝eq\f(CD,AC)＝eq\f(3x,2x)＝eq\f(3,2)規(guī)律總結(jié)如果所求角不在直角三角形中，需將它轉(zhuǎn)化到直角三角形中去，結(jié)合已知條件合理地構(gòu)造直角三角形來(lái)解答變式訓(xùn)練如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，AC＝2，BD為AD邊上的中線，求tan∠ABD的值．分析：求tan∠ABD必須想辦法把∠ABD放到直角三角形中，而△ABD不是直角三角形，可考慮過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，再求出Rt△BDE的邊DE，BE的長(zhǎng)．解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，∠A＝45°，AC＝2，∴BC＝2，AB＝2eq\r(2).∵BD為AD邊上的中線，∴AD＝CD＝1.在Rt△ADE中，sinA＝eq\f(DE,AD)，∴DE＝AD·sinA＝1×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),2).∴AE＝eq\f(\r(2),2)，BE＝2eq\r(2)－eq\f(\r(2),2)＝eq\f(3,2)eq\r(2).∴tan∠ABD＝eq\f(DE,BE)＝eq\f(\f(\r(2),2),\f(3,2)\r(2))＝eq\f(1,3).能力點(diǎn)2利用特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算題型導(dǎo)引特殊角的三角函數(shù)值經(jīng)常應(yīng)用在計(jì)算中，它會(huì)與求代數(shù)式的值結(jié)合起來(lái)，由特殊的三角函數(shù)值，確定某些字母的取值，然后代入求值即可．【例2】先化簡(jiǎn)，再求值：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(2ab－b2,a)))÷eq\f(a－b,a)，其中a＝sin30°，b＝tan45°.分析：先將括號(hào)內(nèi)的部分通分，并將分式的除法轉(zhuǎn)化為乘法，然后根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出a，b的值，再代入進(jìn)行解答．解：原式＝eq\f(a2－2ab＋b2,a)×eq\f(a,a－b)＝eq\f(（a－b）2,a)×eq\f(a,a－b)＝a－b.當(dāng)a＝sin30°＝eq\f(1,2)，b＝tan45°＝1時(shí)，原式＝a－b＝eq\f(1,2)－1＝－eq\f(1,2).規(guī)律總結(jié)對(duì)于分式的化簡(jiǎn)求值與特殊角的三角函數(shù)值結(jié)合的問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是利用分解因式的方法化簡(jiǎn)分式，將已知量與未知量聯(lián)系起來(lái)．變式訓(xùn)練先化簡(jiǎn)，再求代數(shù)式eq\f(a,a＋2)－eq\f(1,a－1)÷eq\f(a＋2,a2－2a＋1)的值，其中a＝6tan60°－2.分析：除式的分子利用完全平方公式分解因式，同時(shí)將除法變乘法，然后用同分母分式的減法法則計(jì)算，再利用特殊角的三角函數(shù)值求出a的值代入進(jìn)行計(jì)算即可．解：原式＝eq\f(a,a＋2)－eq\f(1,a－1)·eq\f(（a－1）2,a＋2)＝eq\f(a,a＋2)－eq\f(a－1,a＋2)＝eq\f(1,a＋2).∵a＝