2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：二次根式（練習(xí)）解析版

第一章數(shù)與式

第04講二次根式

口題型09二次根式的混合運(yùn)算

模擬基礎(chǔ)練口題型10二次根式估值

□題型11與二次根式有關(guān)的新定義問題

口題型01二次根式有意義的條件

口題型12與二次根式有關(guān)的規(guī)律探究

口題型02與二次根式有關(guān)的開放性試題

口題型13二次根式的應(yīng)用

□題型03二次根式的非負(fù)性

口題型04二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)重難創(chuàng)新練

口題型05二次根式與數(shù)軸

口題型06應(yīng)用乘法公式求二次根式的值

□題型07最簡(jiǎn)二次公式的判斷真題實(shí)戰(zhàn)練

口題型08分母有理化

模擬基礎(chǔ)練?

□題型01二次根式有意義的條件

1.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）在函數(shù)y=-力-VFTI中，自變量％的取值范圍是_

【答案】久2且支力2

【分析】根據(jù)分式的分母不為零、二次根式的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)求解可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，得：2Ho且汽+1>0,

解得%>一1且％W2,

故答案為：％》一1且%。2.

2.（2024.黑龍江綏化.模擬預(yù)測(cè)）要使代數(shù)式77^1+有意義，則x的取值范圍是（）

1

A.x>2B.x<2C.x=2D.全體實(shí)數(shù)

【答案】C

【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，即被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，列式計(jì)算，即可作答.

【詳解】解:要使代數(shù)式/口+f有意義

■-X—2>0,2—x>0

■■■X-2

故選：C

3.（2023?浙江寧波?模擬預(yù)測(cè)）⑷表示不超過(guò)〃的最大整數(shù).若實(shí)數(shù)〃滿足方程a=斤1+則⑷=

（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】本題主要考查二次根式的性質(zhì)及不等式的解法，熟練掌握二次根式的性質(zhì)及不等式的解法是解題

的關(guān)鍵；由題意易得aN0,1-i>0,?-->0,進(jìn)而問題可求解.

aa

【詳解】解：由。=1--+Ja—工可知：a20,l-->0,a-i>0,

ayaaa

解得：a>1,

???[a]=1;

故選A.

4.（2024?江蘇南京?模擬預(yù)測(cè)）整數(shù)。滿足M-仿<a<十十]成立，則。為（）

A.0B.1C.-1D.1或一1

【答案】B

【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，根據(jù)題中的二次根式的運(yùn)算，有理數(shù)的乘方逐項(xiàng)判斷即可，熟練掌握運(yùn)

算法則是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A、當(dāng)a=0時(shí)，a2-y/a=0,a2+1=1,

a2—<a<a24-1不成立，不符合題意；

B、當(dāng)a=l時(shí)，M—仿=o,a2+1=2,

a2—y[a<a<a2+1成立，符合題意；

C>當(dāng)a=-l時(shí)，正無(wú)意義，不符合題意；

D、當(dāng)a=l時(shí)，a2—y/a=0,a2+1=2,a?—C<。<層十]成立，當(dāng)口=—1時(shí)，迎無(wú)意義，不符合題

2

思；

故選：B.

□題型02與二次根式有關(guān)的開放性試題

1.（2024松江區(qū)三模）下列加取值中，能滿足而在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義的是（）

A.m——2B.m=2024C.m=—0.2D.m=-1

【答案】B

【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，掌握二次根式的被開方數(shù)大于等于零是二次根式有意義的條

件是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)二次根式有意義的條件：被開方數(shù)不小于零，直接解答即可.

【詳解】???標(biāo)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，

m>0,

則在四個(gè)選項(xiàng)中，只有m=2024時(shí)，標(biāo)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義；

故選:B.

2.（2024.河北邢臺(tái).模擬預(yù)測(cè)）若凡是正整數(shù)，則a不可能的值為（）

11

A.士B.士C.2D.8

42

【答案】A

【分析】本題考查二次根式的性質(zhì)，根據(jù)被開方數(shù)能開平方的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行解題即可.

【詳解】解：A、不32*=加=2也故不是正整數(shù)，符合題意；

B、小2><：代=4,故是正整數(shù)，不符合題意；

C、V32V2-V64=8,故是正整數(shù)，不符合題意；

D、732x8=V256=16,故是正整數(shù)，不符合題意；

故選：A.

3.（2024?浙江?模擬預(yù)測(cè)）若式子L在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的值可以是.（寫出一個(gè)即可）

Vl-x

【答案】0（答案不唯一）

【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，分式有意義的條件，掌握二次根式有意義的條件和分式

有意義的條件是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)二次根式有意義的條件的條件是被開方數(shù)大于等于0,分式有意義的條件是分母不為0進(jìn)行求解即可.

3

【詳解】解：???式子W在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，

Vl-x

???1—%>0,

解得％<1.

?%的值可以是0,

故答案為：0（答案不唯一）.

4.（2024?山西大同.模擬預(yù)測(cè)）請(qǐng)寫出一個(gè)無(wú)理數(shù)，使它與何的積是有理數(shù)，這個(gè)無(wú)理數(shù)可以是.（寫

出一個(gè)即可）

【答案】V3（答案不唯一）

【分析】本題考查了無(wú)理數(shù)的定義，二次根式的性質(zhì)，二次根的乘法，熟練掌握二次根式的性質(zhì)和乘法法

則是解本題的關(guān)鍵.

先化簡(jiǎn)歷，再根據(jù)二次根式的乘法法則進(jìn)行計(jì)算后確定這個(gè)符合條件的無(wú)理數(shù).

【詳解】?■-VZ7=3痘,3A/3xV3=9,

這個(gè)無(wú)理數(shù)可以是,，（答案不唯一）

故答案為：V3（答案不唯一）.

口題型03二次根式的非負(fù)性

1.（2024儀征市一模）若|2023--2024=m,則小一2023?=.

【答案】2024

【分析】本題考查二次根式有意義，先根據(jù)Sn-2024得到znN2024,再化簡(jiǎn)絕對(duì)值計(jì)算即可.

【詳解】解：Vm-2024,

■■■m>2024,

1?■|2023—m|+Vm-2024=m,

■?■m—2023+y/m-2024=m,

Zm-2024=2023,

.?.ni-2024=20232,

：.m-20232=2024,

故答案為：2024.

2.（2024?四川廣元?三模）先化簡(jiǎn)，再求值1—當(dāng)汽笛一號(hào)，其中a、b滿足（a—&『+[b+l=0.

a2-aba-b\7-v2

4

【答案】f

a2

【分析】本題考查的是分式的化簡(jiǎn)求值，分母有理化，先計(jì)算分式的除法運(yùn)算，再計(jì)算分式的減法運(yùn)算,

再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解a=&,。=-|，再代入計(jì)算即可.

a2+4ab+4b2

【詳解】解:a+2b

a2-aba-b

(a+2b/a—b

-1----------------------------

a(a-b)a+2b

aa+2b

aa

2b

—,

a

??,(a-V2)2+Jb+3=3

??.a—V2=0,b+-=0,

2

解得：a=A/2,b=—I，

???原式=一噌=*=孝

□題型04二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)

1.（2024.貴州畢節(jié).模擬預(yù)測(cè)）若7<t<9,則化簡(jiǎn)|5-—10）2的結(jié)果是（）

A.5B.-5C.2t-15D.15-2t

【答案】A

【分析】本題主要考查可化解絕對(duì)值，求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，根據(jù)7<t<9化簡(jiǎn)絕對(duì)值，求出一10）2

的算術(shù)平方根，然后計(jì)算求解即可.

【詳解】解:"〈tva

+V（t-10）2

=t—5+10-t

=5,

故選：A.

2.（2024?甘肅武威?二模）已知一次函數(shù):y=-mx+九的圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限,則化簡(jiǎn)7（m_n）2+6笆

的結(jié)果是（）

A.nB.—mC.2m—nD.m—2n

5

【答案】D

【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)以及一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)題意可得-m<0,n<0,

再進(jìn)行化簡(jiǎn)即可.熟練掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】??,一*次函數(shù)y=-6％+葭的圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，

m<0,n<0,即m>0,n<0,

-'-y/(m—n)2+VT?

=|m—n|+\n\

=m—n—n

=m—2n,

故選：D.

3.(2024?四川樂山?模擬預(yù)測(cè))已知△ABC的三邊分別為2,居5,化簡(jiǎn)V久2一6%+9+|%—7|=.

【答案】4

【分析】本題考查了三角形的三邊關(guān)系以及二次根式的化簡(jiǎn)，正確理解二次根式的性質(zhì)是關(guān)鍵.

首先根據(jù)三角形的三邊的關(guān)系求得工的范圍，然后根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn).

【詳解】解：???2、X、5是三角形的三邊，

3<%<7,

%—3>0,%—7<0,

?,?原式=J(%—3)2+J(%—7)2=|x-3|+\x-7|=x—3+(7—%)=4.

故答案為：4.

4.(2024?湖南?模擬預(yù)測(cè))設(shè)4=J1+,+蠢+J1+專+蠢+J1+專+城+…+J1+則不

超過(guò)力的最大整數(shù)為()

A.2027B.2026C.2025D.2024

【答案】D

【分析】本題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)，根據(jù)1+++—=(等-擊丫把原式的對(duì)應(yīng)項(xiàng)化簡(jiǎn)，然后計(jì)

算求解即可.

【詳解】解：對(duì)于正整數(shù)71,有

11

14----1--------

n2(n+1)2

/1\221

=(1H—I----F7---

\nJn(n+1)2

6

=（。二+（八

\n）n\n+1/

\nn+17

[?1?1-_n+11_..11

,‘『+莪+記/=丁_彘1=1+「訴

M=Jl+[+++][+（+++Jl+1+*+…+小+募+?

=（1+;（）+（1+*）+（1+5）+-+（1+募-募），

=2。24-感,

??.不超過(guò)2的最大整數(shù)為2024.

故選：D.

□題型05二次根式與數(shù)軸

1.（2024.寧夏銀川?模擬預(yù)測(cè)）實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)位置如圖所示，則代不+1+H-1]的化簡(jiǎn)結(jié)果是

A.2B.2a-1C.0D.1-2a

【答案】A

【分析】本題考查二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)、實(shí)數(shù)與數(shù)軸.先根據(jù)數(shù)軸分析出a的取值范圍，再根據(jù)二次根式

的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可.

【詳解】解：由數(shù)軸知0<a<l,

?，.u-1V0,

*，?d（-1）2+l+|a—11=a+l+l—CL=2..

故選：A.

2.（2024?江蘇鹽城?三模）a,6在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么化簡(jiǎn)|a-b|-后的結(jié)果是（）

Ia

b0

A.2a-bB.bC.-bD.-2a+b

【答案】C

7

【分析】本題主要考查了化簡(jiǎn)絕對(duì)值，求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，實(shí)數(shù)與數(shù)軸，先根據(jù)數(shù)軸得到b<0<a,

則a-b>0,據(jù)此化簡(jiǎn)絕對(duì)值，求算術(shù)平方根即可得到答案.

【詳解】解：由題意得，b<0<a,

■■-a—b>0,

■?■\a—b\—yc?=a—b—a=-b,

故選：C.

3.（2023?山東濱州?二模）若實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則化簡(jiǎn)后—府+J（a+6尸的

結(jié)果是.

ab

]_________1■I_________I1.1_________[>

-3-2-10123

【答案】-2a-2b

【分析】首先由實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置，可得a<0<6,\a\>\b\,再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，即可

求解.

【詳解】解：由實(shí)數(shù)。、6在數(shù)軸上的位置，可得a<0<b,

a+b<0,

~4^-+J（a+by

—|a|—\b\+|a+

=-a—b—（a+b）

=—a—b—a—b

=—2a—2b

故答案為：-2a-2b.

【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)實(shí)數(shù)在數(shù)軸數(shù)軸上的位置，化簡(jiǎn)二次根式，去絕對(duì)值符號(hào)，整式的加減運(yùn)算，熟

練掌握和運(yùn)用各運(yùn)算法則是解決本題的關(guān)鍵.

4.（2024.河北.二模）計(jì)算/X聲的結(jié)果為,這個(gè)數(shù)落在了數(shù)軸上的段.

【答案】2V3（4）

【分析】本題考查了二次根式的運(yùn)算與估值，掌握運(yùn)算方法與估值技巧是解題關(guān)鍵.利用二次根式乘法計(jì)

8

算即可，注意結(jié)果為最簡(jiǎn)二次根式，再利用找相鄰兩數(shù)的平方的方法估值即可.

【詳解】解：V2xV6=V12=2V3,

?.?9<12<16,

.??3<273<4,

.二舊落在第④段，

故答案為：2V3；④.

口題型06應(yīng)用乘法公式求二次根式的值

1.(2024.河北?模擬預(yù)測(cè))老師在復(fù)習(xí)二次根式的運(yùn)算時(shí)，給出了一道題：計(jì)算舊x(V5—/)+&x

(V3-V2).甲、乙分別給出了不同的解法：

甲：V3x(V3-V2)+V2x(V3-V2)

=3—V6+V6—2

=1.

乙：V3X(V3-V2)+V2X(V3-V2)

=(V3+V2)X(V3-V2)

=(百『-(或十

=1.

對(duì)于甲、乙的計(jì)算過(guò)程及結(jié)果，下列判斷正確的是()

A.甲和乙都對(duì)B.甲對(duì)乙錯(cuò)

C.甲錯(cuò)乙對(duì)D.甲和乙都錯(cuò)

【答案】A

【分析】本題主要考查了乘法分配律的逆用和二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握乘法分配律的

逆用和二次根式的混合運(yùn)算法則，根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算法則和乘法分配律的逆用即可進(jìn)行解答.

【詳解】解：根據(jù)題意可得：甲和乙都對(duì)，

故選：A.

2.(2024.天津?yàn)I海新?模擬預(yù)測(cè))計(jì)算(有-次)2的結(jié)果等于.

【答案】8-2V15/-2V15+8

【分析】本題考查了二次根式的乘法.根據(jù)完全平方公式計(jì)算即可求解.

【詳解】解：(近一百)2

9

=5-2V15+3

=8-2V15.

故答案為：8-2V15.

3.（2024.山西長(zhǎng)治.模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算（⑶-，后）（VH+VI男的結(jié)果為.

【答案】2

【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，平方差公式，利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【詳解】（&T一g）（舊+VH）

=21-19

=2,

故答案為：2.

4.（2024?江蘇蘇州?三模）計(jì)算：（/一1）（魚+1）的結(jié)果是.

【答案】V2-1/-1+V2

【分析】本題考查了積的乘方逆用，二次根式的乘法運(yùn)算以及平方差公式，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題

的關(guān)鍵.把原式變形為（魚-1）2°23（皿+1）2°23（迎—1）,逆用積的乘方計(jì)算即可.

［詳解］解：（企一1『°24x（或+1『023

-（V2-1）x（V2+1）x（V2-1）

=［（V2-1）X（V2+1）］2°23X（V2-1）

=［（V2）-l2］x（V2-1）

=I2023x（V2-1）

=1x（V2-1）

=V2—1,

故答案為：V2—1.

口題型07最簡(jiǎn)二次公式的判斷

1.（2024.廣東江門?模擬預(yù)測(cè)）下列二次根式是最簡(jiǎn)二次根式的是（）

A.V32B.V^4C.D.715

【答案】D

10

【分析】本題考查最簡(jiǎn)二次根式，根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義進(jìn)行解題即可.

【詳解】解：A.V32-4V2,不是最簡(jiǎn)二次根式；

B.短=?，不是最簡(jiǎn)二次根式；

C.事=16,不是最簡(jiǎn)二次根式；

D.同是最簡(jiǎn)二次根式；

故選D.

2.（2024?河北.模擬預(yù)測(cè)）若“的倒數(shù)是；，則論的值為一.

【答案】2V2

【分析】本題考查的是倒數(shù)的含義，二次根式的化簡(jiǎn)，先求解a=8,再化簡(jiǎn)聲即可.

【詳解】解：:a的倒數(shù)是:，

???a=8,

??.Vtt=V8=2V2；

故答案為：2a.

3.（2024.吉林長(zhǎng)春.二模）V7與最簡(jiǎn)二次根式2,2nl+1是同類二次根式,則根的值為.

【答案】3

【分析】本題主要考查了同類二次根式，最簡(jiǎn)二次根式，根據(jù)同類二次根式定義可知2巾+1=7,求出解

即可.

【詳解】????與最簡(jiǎn)二次根式27^不I是同類二次根式，

?t-2m4-1=7,

解得m=3.

故答案為：3.

4.（2024.江西九江.三模）在等式“（）+傷=企”中，括號(hào)內(nèi)應(yīng)填入的最簡(jiǎn)根式為.

【答案】2V3

【分析】本題主要考查了二次根式的乘法和除法，根據(jù)題意，列出二次根式的乘法算式即可求解.

【詳解】解：括號(hào)內(nèi)應(yīng)填入的數(shù)為：V2xV6-V12-2V3.

故答案為：2?

□題型分母有理化1.（2024?江蘇南京?二模）計(jì)算縹漁的結(jié)果是—.

08V8

11

【答案】I

【分析】此題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)后，再根據(jù)二次根式的加減法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：原式=筆薩

故答案為:

2.(2024.廣東.模擬預(yù)測(cè))先化簡(jiǎn)，再求值：定三+戶+吃，其中第=近一1

xz-4x+42-xx-2

【答案】--

XV2+1

【分析】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，根據(jù)分式的乘法可以化簡(jiǎn)題目中的式子，然后將X的值代入化簡(jiǎn)后的

式子即可解答本題.

【詳解】解：原式

(x-2)zxx-2

2X

=-----------------------1-------------------

%(%—2)%(%—2)

x—2

%(%—2)

_1

——X,

當(dāng)久=V2—1時(shí)，原式=-p1=/L~T=V2+1.

V2-1(V2-1)(V2+1)

3.(2024.湖南岳陽(yáng).模擬預(yù)測(cè))化簡(jiǎn)求值：過(guò)了+1-受竺)+1,請(qǐng)你自選第，y的值，其中％為負(fù)整數(shù)，

y為無(wú)理數(shù).

【答案】當(dāng)久=—1,y—時(shí)，原式=2.y[2—2.

【分析】此題考查了分式的混合運(yùn)算一化簡(jiǎn)求值及分母有理化，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則計(jì)算，然后選取適當(dāng)?shù)闹荡耄枚胃降倪\(yùn)算法則計(jì)算求解即可;

【詳解】解：3+(%—出士)+1

x2—y2x2—2xy+y2

xx

(%+y)(x-y)(%-y)2

=------------：--------r1

XX

_0+y)O-y)x

x(x—y)2

12

=?^±22+1

(尤一y)

x+yx-y

x—yx—y

%+y+x—y

x-y

2x

x-y

當(dāng)％=—1,y=魚時(shí),

(

原式=-2_2_2V2-1)-242

-1-V2-V2+1-(V2-1)(V2+1)

4.（2024.黑龍江哈爾濱.二模）先化簡(jiǎn)，再求代數(shù)式E+（a+l—六）的值，其中a=2sin60。一2tan45。.

【答案】吃，咚

a+23

【分析】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值、特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵.

先通分括號(hào)內(nèi)的式子，再算括號(hào)外的除法，然后將。的值的代入化簡(jiǎn)后的式子計(jì)算即可.

【詳解】解：+（a+1-^7）

a—202—4

a—1a—1

CL—2CL—1

a—1(a—2)(a+2)

1

a+2

a=2sin60-2tan45°=2x^-2xl=V3-2,

當(dāng)Q=V^—2時(shí)，原式=1_J__V3

V3-2+2-V3-3

□題型09二次根式的混合運(yùn)算

1.（2024.甘肅隴南.模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算：V2xV3-J|xV12+V2

【答案】V2

【分析】本題考查的是二次根式的混合運(yùn)算，先計(jì)算二次根式的乘法運(yùn)算，再合并即可;

【詳解】解：V2xV3-J|xV12+V2

=V6—V6+V2

=V2

13

2.（2024?湖南?模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算：（豆一百）°+2cos30。-V12-|V3-2|-2-1

【答案】-1

【分析】本題考查實(shí)數(shù)計(jì)算，特殊角三角函數(shù)值，二次根式化簡(jiǎn)，絕對(duì)值化簡(jiǎn)，負(fù)指數(shù)幕等.根據(jù)題意先

將每項(xiàng)整理計(jì)算，再?gòu)淖蟮接乙来斡?jì)算即可.

【詳解】解：（TC一次）°+2cos30。-V12-|V3-2|-2-1,

=1+2x——2"\/3-2+V3—,

22

=1+V3-2V3-2+V3一鼻,

3

2'

3.（2024.廣東中山?模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算：-------（2020+sin30°）°-V12+

tan60°-l\3/

【答案】9-V3

【分析】首先計(jì)算負(fù)整數(shù)指數(shù)幕，特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)幕，二次根式分母有理化，然后計(jì)算加減.

此題考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)嘉，特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)幕，二次根式分母有理化，解題的關(guān)鍵是掌握以

上運(yùn)算法則.

【詳解】解：tan京—1-（2。20+sin30。）。-g+（一曠

2廠

=-TZ--------1-2A/3+9

V3-1

=73+1-1-273+9

=9-V3.

4.（2024?浙江杭州?一模）以下是小濱計(jì)算g+電-4的解答過(guò)程：

解:原式=2V3^y-2V3

=V6—2y/3.

小濱的解答過(guò)程是否有錯(cuò)誤？如果有錯(cuò)誤，寫出正確的解答過(guò)程.

【答案】有錯(cuò)誤；2病—手

【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算.先把g和JI化簡(jiǎn),再/化為專，接著把除法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法

運(yùn)算，然后根據(jù)二次根式的乘法法則運(yùn)算.

【詳解】解：小濱的解答過(guò)程有錯(cuò)誤；

14

正確的解答過(guò)程:

=2前-1

□題型10二次根式估值

1.（2024.云南昆明.二模）估算g—遍xJ|的結(jié)果在（）

A.0和1之間B.1和2之間C.2和3之間D.3和4之間

【答案】B

【分析】本題考查了二次根式的乘法和減法及無(wú)理數(shù)的估算，先根據(jù)運(yùn)算法則計(jì)算出結(jié)果，再估計(jì)即可.

【詳解】解：V12-V6X=V12-16x|=V12-2=2A/3-2,

???V9<V12<V16,即3<V12<4,

3<2V3<4

1<—2<2,

28一2在1和2之間，

故選：B.

2.（2024.重慶.模擬預(yù)測(cè)）估計(jì)（2魚+4）+專的值為（）

A.3和4之間B.4和5之間C.5和6之間D.6和7之間

【答案】B

【分析】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算、估算無(wú)理數(shù)的大小，熟練掌握二次根式的混合運(yùn)算法則、

算術(shù)平方根的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算法則，計(jì)算出（2/+4）+專，再根據(jù)無(wú)理數(shù)的估算方法，即可解決此題.

【詳解】解:（2a+4）+專

/L.V2

=（2V2+4）x—

15

=2+2V2,

???4<8<9,

2<2V2=V8<3,

4<2+2V2<5,

（2V2+4）+5的值在4和5之間，

故選：B.

3.（2024?江蘇南京.一模）如圖，實(shí)數(shù)m在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離為5.下列各數(shù)中，與小最接近的

是（）

M

m0

A.-4V2B.-3V2C.-2V2D.-V2

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，得到巾=-5=-V25,-V32<-V25<-V18<-V8<一企，繼而得到卜通+5|-

|-5+V18|<0,解答即可.

本題考查了絕對(duì)值，實(shí)數(shù)大小比較，熟練掌握兩點(diǎn)間距離越小，兩個(gè)數(shù)越靠近是解題的關(guān)鍵.

【詳解】根據(jù)題意，得到m=-5=-V25,

因?yàn)橐?夜=一忌，-3V2=-V18,-2V2=-V8

所以一底<-V25<-V18<-V8<-V2

所以一5在一4魚，一3夜之間，

所以A/32+5|—|—5+V18|

=V32-5-5+V18

=7V2-10

=V98-V100<0

所以數(shù)軸上表示數(shù)m與-4立的距離小于表示數(shù)m與-3&的距離，

即數(shù)，"與-4位最接近，

故選A.

4.（2024.云南昆明.模擬預(yù)測(cè)）如圖，估計(jì)遮x（專-1）的值所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)可能落在（）

ABCD

___???I.I.I.I.I11

-5-4-3-2-1012345

16

A.點(diǎn)4處B.點(diǎn)B處C.點(diǎn)C處D.點(diǎn)D處

【答案】B

【分析】本題主要考查了二次根式的乘法運(yùn)算、無(wú)理數(shù)的估算，熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)

鍵.

先利用乘法分配律化簡(jiǎn)，然后再估算無(wú)理數(shù)的大小即可.

【詳解】解:V3x（-^-l）

=V3x--V3

=1-V3

???Vl<V3<V4,

??-1<V3<2,

一1<1—^3<0,

??,由圖象點(diǎn)的位置可得：2點(diǎn)符合.

故選：B.

□題型11與二次根式有關(guān)的新定義問題

1.（2023?山東荷澤?三模）對(duì)于實(shí)數(shù)P,我們規(guī)定:用｛a｝表示不小于的的最小整數(shù).例如:｛〃｝=2,｛百｝=2,

第一次第二次第三次

現(xiàn)在對(duì)72進(jìn)行如下操作：72-｛V72｝=9;｛眄｝=3-｛舊｝=2,即對(duì)72只需進(jìn)行3次操作后

變?yōu)?.類比上述操作：對(duì)36只需進(jìn)行次操作后變?yōu)?

【答案】3

【分析】理解題中新定義運(yùn)算的規(guī)則，對(duì)36進(jìn)行運(yùn)算即可.

第一次___第二次第三次

【詳解】解：由題意可得：36一｛臨｝=6'｛逐｝=3二｛V3]=2

故答案為：3

【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解新定義運(yùn)算以及掌握二次根式的性質(zhì).

2.（2024?內(nèi)蒙古烏海.一模）對(duì)于任意兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)a,b定義新運(yùn)算“※，，規(guī)定：a※匕=華跡，求

b-a

2米（>-1）中％的取值范圍是.

【答案】xN1且無(wú)力3

【分析】本題考查了定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算，二次根式的意義,分式的意義,根據(jù)新定義，由2※（"-1）=歿|三,

得到x-120且久-3H0即可求解，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

17

【詳解】解：?.乜初=華跡，

b-a

9yzz1、_V2xVx-l_V2xVx-l

?"雙％一0==%_3'

?，?X—120且％—3W0,

,%>1且久W3,

故答案為：％21且％±3.

3.(2024烏海二中一模)對(duì)于任意的正數(shù)a、b,定義運(yùn)算“*”為計(jì)算a*b=M+紗1^)計(jì)算6*2)義

IVa-Vb(a<fa)

(8*20)的結(jié)果為.

【答案】-6

【分析】本題考查二次根式的混合運(yùn)算和實(shí)數(shù)的運(yùn)算，結(jié)合已知條件列得正確的算式是解題的關(guān)鍵.根據(jù)

新定義把數(shù)值代入得(%+V2)x(V8-V20),再化簡(jiǎn)計(jì)算即可.

【詳解】解：原式=(遙+&)x(聲―同)

-(V5+V2)x(2&-2V5)

=2(V5+V2)x(V2-V5)

=2x(2—5)

=—6,

故答案為：-6.

4.(2022?重慶?模擬預(yù)測(cè))材料一：若“是正整數(shù)，a除以3的余數(shù)為1,則稱。是“三拖一數(shù)”.例如：13

是正整數(shù)，且13+3=4…1,則13是“三拖一數(shù)”.

材料二：對(duì)于任意四位正整數(shù)小p的千位數(shù)字為0、百位數(shù)字為從十位數(shù)字為c、個(gè)位數(shù)材字為d,規(guī)定：

F(p)=絲

請(qǐng)根據(jù)以上材料，解決下列問題：

(1)判斷：124,1838是不是“三拖一數(shù)”？并說(shuō)明理由；

(2)若四位正整數(shù)p是“三拖一數(shù)”，p的千位數(shù)字的2倍與個(gè)位數(shù)字的和等于9,百位數(shù)字與十位數(shù)字的和等

于8,"而是有理數(shù)，求所有滿足條件的P.

【答案】(1)124是“三拖一數(shù)”，1838不是“三拖一數(shù)”，理由見解析.

⑵所有滿足條件的。的值為1717、4081、4531.

【分析】(1)根據(jù)“三拖一數(shù)”的定義即可一一判定；

(2)任意四位正整數(shù)p,設(shè)0的千位數(shù)字為八百位數(shù)字為從十位數(shù)字為c、個(gè)位數(shù)字為d,則

18

p=1000?+100Z?+1Oc+d,根據(jù)題意可知：2〃+d=9,Z?+c=8,化簡(jiǎn)整理可得〃=4500+99Z?+9c-498d+/?+c-d,若p

為“三拖一數(shù)”，則b+c—d必須為“三拖一數(shù)”，可設(shè)b+c-d=3k+l（fc>01.k為整數(shù)）,則左="產(chǎn)=Zzl,

分類討論可確定4=7、。=1或d=l、<2=4,再根據(jù)是jF（p）有理數(shù),則F（p）是有理數(shù)的完全平方數(shù)，列出情況

分類討論即可確定滿足條件的p.

【詳解】（1）解：124是“三拖一數(shù)”，1838不是“三拖一數(shù)”

理由如下：

???124+3=41…1

124是“三拖一數(shù)”

18384-3=612■■■2

.?.1838不是“三拖一數(shù)”

（2）解：任意四位正整數(shù)p,設(shè)°的千位數(shù)字為八百位數(shù)字為從十位數(shù)字為c、個(gè)位數(shù)字為d,則

p=1000〃+100/?+1Oc+d，

根據(jù)題意可知：2〃+d=9,0+c=8

CL=----

2

???p=1000a+100b+10c+d

Q—ri

=1000(—)+100b+10c+d

2

=4500+100/?+10c-499d

=4500+99b+9c—498d+b+c—d

???p是“三拖一數(shù)”且4500+99b+9c-498d能被3整除,

???b+c-d是"三拖一數(shù)”，

設(shè)b+c—d=3k+1（々20且左為整數(shù)）,

b+c—d—1.8—d—17—d

k7=----------=--------=—

333

9-dy

當(dāng)9=0時(shí)d=7,a=—=1,

2

當(dāng)k=—=1時(shí)d=4,。=等="舍）,

9-d，

當(dāng)k=9=2時(shí)d=l,a=—=4,

2

因?yàn)?;而有理數(shù)，則尸（P）是有理數(shù)的完全平方數(shù)，

F(PT

當(dāng)d=7,a=1,

19

b=0,c=8時(shí)，F(xiàn)(p)三(舍)；

b=l,c=7時(shí)，*p)/(舍)；

b=2,c=6時(shí)，尸位)=((舍)；

b=3,c=5時(shí)，F(xiàn)(p)q(舍)；

b=4,c=4時(shí)，尸(p)=,(舍)；

b=5,c=3時(shí)，F(xiàn)(p)=^(舍)；

b=6,c=2時(shí)，F(xiàn)(p)=：(舍)；

9

o

b=7,c=l時(shí)，F(xiàn)(p)=-=1；

8

b=8,c=0時(shí)，F(xiàn)(p)=](舍)；

當(dāng)d=l,a=4,

b=0,c=8時(shí)，F(xiàn)(p)=g；

b=l,c=7時(shí)，F(xiàn)(p)=-(舍)；

b=2,c=6時(shí)，F(xiàn)(p)q(舍)；

b=3,c=5時(shí)，F(xiàn)(p)=Z(舍)；

匕=4,c=4時(shí)，F(xiàn)(p)q(舍)；

b=5,c=3時(shí)，F(xiàn)(p)=-；

b=6,c=2時(shí)，F(xiàn)(p)=/(舍)；

b=7,c=1時(shí)，F(xiàn)(p)=y(舍)；

b=8,c=。時(shí)，F(xiàn)(p)=12(舍)；

綜上，所有滿足條件的p的值為1717、4081、4531.

【點(diǎn)睛】本題考查了新定義運(yùn)算，列代數(shù)式，二次根式的求值問題，應(yīng)用了分類討論的思想，理解題意,

逐條件分析是解決本題的關(guān)鍵.

口題型12與二次根式有關(guān)的規(guī)律探究

20

1.(2023?貴州六盤水?二模)人們把亨=0.618這個(gè)數(shù)叫做黃金比，優(yōu)選法中的“0.618法”與黃金分割緊密

相關(guān),這種方法經(jīng)著名數(shù)學(xué)家華羅庚的倡導(dǎo)在我國(guó)得到大規(guī)模推廣,取得了很大的成果.設(shè)a=亨,6=等,

a2+2b

記S2=^\…依此規(guī)律，則56的值為()

a&a2b2°a3b3°

A.5V5B.25C.6V5D.125

【答案】D

【分析】利用分式的加減法則以及二次根式的混合運(yùn)算法則求得ab、a+b,以及56=嚕，代入求解即

°a6b6

可.

V5—l1V5+1

【詳解】解:va=--------,b=------

22

7Vs-lV5+1(.,V5-1.V5+1r=

??ab=------x--=----1---,a+b=-------1-------=<5

2222

??S=-+-==a+力=V5,

abab

52可誓=(a+b)2=5,

53喈=同=5。

a3b3、J

56=等？=(可=125,

a6b6、7

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減法，二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是找出相應(yīng)的規(guī)律.

2.(2024?山東泰安.三模)細(xì)心觀察下面圖形，其中，Sn表示圖中第九個(gè)三角形的面積，認(rèn)真分析各式：。&=

222222

(VT)+I=2,S1=。掰=I+(V2)=3,S2=乎，0幽=I+(V3)=4,S3=/；.......若一個(gè)

三角形的面積是V7,則說(shuō)明這是第一個(gè)三角形.

21

【答案】28

【分析】本題主要考查了勾股定理，圖形類的規(guī)律探索，化簡(jiǎn)二次根式,.利用勾股定理求出推出。An=樂,

即可得到%=[044/+1=y.把近代入%=當(dāng)中進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：、,每一個(gè)三角形都是直角三角形，

???由勾股定理可求得：04i=l,0A2=V2,0A3=V3,0An=Vn,

2

?'-0An=n.

—萬(wàn)。/九，^n^n+l=

???當(dāng)一個(gè)三角形的面積是位時(shí)，則有q=書,

???九=28,

故答案為：28.

3.（2024.山東臨沂?模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形4BCD邊長(zhǎng)為1,以4C為邊作第2個(gè)正方形4CEF,再以CF為邊

作第3個(gè)正方形FCGH,…，按照這樣的規(guī)律作下去，第2024個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為（）

【答案】C

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，圖形的規(guī)律探究

等知識(shí).由題意知，第1個(gè)正方形4BCD的邊長(zhǎng)為1；第2個(gè)正方形4CEF的邊長(zhǎng)4C為魚；第3個(gè)正方形FCGH

的邊長(zhǎng)CF為（魚）；第4個(gè)正方形FGMN的邊長(zhǎng)FG為（魚）；……，可推導(dǎo)一般性規(guī)律為第n個(gè)正方形的邊

長(zhǎng)為（a）"-1,然后求解作答即可.

【詳解】解：由題知，第1個(gè)正方形ABC。的邊長(zhǎng)為1；

第2個(gè)正方形4CEF的邊長(zhǎng)4c為"2+#=V2；

2

第3個(gè)正方形FCGH的邊長(zhǎng)CF為24D=2=（V2）；

第4個(gè)正方形FGMN的邊長(zhǎng)FG為/CF=（V2）,

22

?M—1

二第71個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為（或），

二當(dāng)n=2024時(shí)，第2024個(gè)正方形的邊長(zhǎng)（近

故選：C.

4.（2023?湖北黃岡?模擬預(yù)測(cè)）觀察下列等式：

第1個(gè)等式：ai=/^=a—1；

第2個(gè)等式：a2-=V3-A/2；

第3個(gè)等式：a3=/工=2-V3；

根據(jù)以上等式給出的規(guī)律，計(jì)算：的+g+。3+…+。19=一.

【答案】2V5-1/-1+2V5

【分析】直接仿照前面三個(gè)等式，即可寫出第〃個(gè)等式，根據(jù)前面已知的,七，%的值和所求出的即的值，

進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【詳解】解：第九個(gè)等式：an==y/n+1—Vn,

???Qi+g++…+“19

—V2—1+V3—V2+V4-+…+，20—V19

=-1+V20

=2V5-1

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的分母有理化，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，根據(jù)已知等式，找出數(shù)字變換規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

5.（22-23九年級(jí)下?黑龍江齊齊哈爾?階段練習(xí)）如圖，直線k與直線％所成的角&=30。，過(guò)點(diǎn)必作

4/11乙交直線已于點(diǎn)4,OBi=2,以A/1為邊在△。4/1外側(cè)作等邊三角形&B1G，再過(guò)點(diǎn)G作乙殳1

分別交直線人和1于4,為兩點(diǎn)，以必當(dāng)為邊在△04%外側(cè)作等邊三角形2c2，…按此規(guī)律進(jìn)行下去，

則第2023個(gè)等邊三角形42023B2023c2023的周長(zhǎng)為.

23

【分析】根據(jù)含30。的直角三角形可得=OA.=V3,由等邊三角形的性質(zhì)可得出4&的長(zhǎng)度，進(jìn)

而得出。42M2B2的長(zhǎng)度，同理可求出/Bn的長(zhǎng)度，再根據(jù)等邊三角形的周長(zhǎng)公式即可求出第w個(gè)等邊三角

形4n斗。的周長(zhǎng)，代入化簡(jiǎn)即可求解.

【詳解】解：?.?zB1OX1=30°,OB[=2,4/114，

RtZkOA/i

;在中，0Ar=V3,A1B1=~0B1=1,

力/iG是等邊三角形，

■,■X1J42=^-A1B1=

.?.在RtAO&B2中，0X2=V3+y=^,&B2=黃=手x^=|,

2c2是等邊三角形，

V3V333V3

A.AA「

■■-2A3=-A2B2=-X-=—

>C43V3,3V39V3AC9\/319

???在Rt△OA^B^中，。人3=——I—~=~~^~94383=x君=—,

同理可得：AnBn=

2023—1o2023

?=22022,

02023

故答案為：不位

【點(diǎn)睛】本題考查了含30。的直角三角形、等邊三角形的性質(zhì)、規(guī)律探究，解題的關(guān)鍵是通過(guò)含30。的直角

三角形和等邊三角形的性質(zhì)找出規(guī)律An%=(I)"-1.

6.(2024?安徽池州?模擬預(yù)測(cè))觀察下列等式：

①3-2a=(a-1)2；

②5—2V6=(V3—V2)2；

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(3)7-2V12=(V4-V3)2；

請(qǐng)你根據(jù)以上規(guī)律，解答下列問題：

⑴寫出第6個(gè)等式：_；第〃個(gè)等式：_；

(2)計(jì)算：《5-2返+17-2711+-4而+-2同.

2

【答案】(1)13-2V42=(V7-峋2,(2n+1)-2Jn(n+1)=(VnTl-Vn)

(2)V6-V2

【分析】本題考查規(guī)律探索，根據(jù)已知的式子總結(jié)出等式與序數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.由已知的等式，總

結(jié)規(guī)律求解即可.

(1)由已知的等式，即可歸納出規(guī)律；