北京市某中學(xué)2024-2025學(xué)年高一年級(jí)下冊(cè)3月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

中關(guān)村中學(xué)高一年級(jí)三月數(shù)學(xué)階段檢測(cè)

2025.03

一、選擇題（本部分共10道小題，每題3分，共30分.在每題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出最

符合題目要求的一項(xiàng).）

1已知集合人={左右？/|%?6},5={xeR|x2-3x〉0},則4口3=

A,[3,4,5}B.[4,5,6}C.{x|3<x<6}D,{x|3<x<6}

【答案】B

【解析】

【詳解】由A={xeN|x<6},3={xe尺、2-3x）o[得：A={0,l,2,3,4,5,6},B=1x|x>3§Ju<0},

故Ac5={4,5,6},故選B.

2.如圖，在平行四邊形ABC。中，AC-AB=（）

A.CBB.ADC.而D.CD

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)向量運(yùn)算得前-順=而.

【詳解】由圖知無(wú)心―通=沅=礪，

故選：B.

3.與-224°角終邊相同的角是（）

A.24°B.113°C.124°D.136°

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)條件，利用終邊相同的角的集合，即可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)椤?24。=—360。+136°，所以與-224°角終邊相同的角是136。，

故選：D.

4.已知函數(shù)〃力=g—log2%，在下列區(qū)間中，包含了(%)零點(diǎn)的區(qū)間是

A.(0,1)B,(1,2)C.(2,4)D,(4,+w)

【答案】C

【解析】

3

【詳解】因?yàn)?(2)=3—1>。，/(4)=--2<0,所以由根的存在性定理可知：選C.

考點(diǎn)：本小題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)知識(shí)，正確理解零點(diǎn)定義及根的存在性定理是解答好本類題目的關(guān)鍵.

ab

5.設(shè)2、5都是非零向量，下列四個(gè)條件中，使閂=后成立的充分條件是(

A.。="且?！ㄊ疊.a--bC.a//bD.a-2b

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)充分條件定義以及平面向量的有關(guān)概念即可解出.

r|i|abab

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)。=網(wǎng)且￡〃3時(shí)，目［或］^=一回，A錯(cuò)誤;

11ab

對(duì)于B,當(dāng)時(shí)，曰=一鬲，B錯(cuò)誤;

abab

對(duì)于C,當(dāng)時(shí)，C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,當(dāng)Z=2后時(shí),

故選：D.

AB

6.已知平面上不共線的四點(diǎn)O,A氏C,若OA—3O6+2OC=6，則^=（）

AC

2i1

A.2B.—C.—D.一

3233

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用向量的線性運(yùn)算，結(jié)合共線向量的意義求得答案.

【詳解】由礪—3礪+2氏=6，得3況—3期=2函—2無(wú)，即3麗=2夙，

后"甌2

所以—.=一.

\AC\3

故選：B

7.設(shè)a=log（）.20.3,b=log,0.3,貝!!

A.a+b<ab<QB.ab<a+b<Q

C.a+b<Q<abD.ab<0<a+b

【答案】B

【解析】

【詳解】分析：求出工=logo302^=k）go32,得到工+工的范圍，進(jìn)而可得結(jié)果.

abab

詳解：.???〃=logo,20,3,A=log20?3

.」=logo30.2==10go32

ab

---1--7-—logD。U&Q0.4

ab

/.0<—+—<1,BPO<<i

abab

又.：a>0,b<0

.即ab<a+b<0

故選：B.

8.如圖所示，已知在矩形ABCD中，|亞卜4百，設(shè)通=[,BC=b，BD=c^則卜+5+4=(

A.2y/3B.4出C.873D.166

【答案】C

【解析】

【分析】由平面向量的線性運(yùn)算化簡(jiǎn)q+5+c，即可得解.

【詳解】a+b+c=AB+BC+BD=AB+AD+［AD-AB^=2AD,

因此，+b+

故選：C.

9.已知函數(shù)/(工人值］,給出下列四個(gè)結(jié)論：

①/(%)在定義域上單調(diào)遞增；②/(%)存在最大值；③不等式〃x)<g的解集是(—8,-In2)；④

/(%)的圖象關(guān)于點(diǎn)［o,g］對(duì)稱.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是()

A.①B.①③C.①④D.①③④

【答案】C

【解析】

【分析】利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可判斷①；利用不等式的基本性質(zhì)可判斷②；利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解原不

等式，可判斷③；利用函數(shù)的對(duì)稱性的定義可判斷④.

【詳解】對(duì)于①，因?yàn)閮?nèi)層函數(shù)"=1+｝工在R上為減函數(shù)，且u>0，

外層函數(shù)丁=工在(0,+8)上為減函數(shù)，故/(%)在定義域上單調(diào)遞增，①對(duì)；

仇

對(duì)于②，因?yàn)閑r>0,貝廿+0-”>1，可得/(x)=金與e(O,l),

所以，函數(shù)/(%)無(wú)最大值，也無(wú)最小值，②錯(cuò)；

對(duì)于③，由可得1+e—x23，可得0-—2，解得ln2,

故不等式/(x)<g的解集是—In2］,③錯(cuò)；

對(duì)于④，函數(shù)/(九)的定義域?yàn)镽,

小)+〃-)=占+士=；7^)+占=魯=1，

所以，/(%)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，④對(duì).

故選：C.

e，+^2—1x^0

10.已知函數(shù)/(x)={'-,其中機(jī)<—1,對(duì)于任意玉￡區(qū)且須。0,均存在唯一實(shí)數(shù)%,

ax+b.x<Q

使得/(%)=/(占)，且為片%，若|/(刈=/(相)有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則。的取值范圍是

A.(0,1)B.(-1,0)C.(-2-1)0(-1,0)D.(-2,-1)

【答案】D

【解析】

【詳解】由題意可知兀0在［0,+8)上單調(diào)遞增,值域?yàn)槲?+8),

,/對(duì)于任意XI且無(wú)1加，均存在唯一實(shí)數(shù)尤2,使得八尤2)=/1),

.,JU)在(-8,0)上是減函數(shù),值域?yàn)?%+◎,

〃<0,b=m.

???|/WI=/S0有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

,又m<-\,

b<am+b<-m,即0<(。+l)m<-m,

:?—2Vqv—1.

本題選擇D選項(xiàng).

點(diǎn)睛：(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，

當(dāng)出現(xiàn)力(①)的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.

(2)當(dāng)給出函數(shù)值求自變量的值時(shí)，先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的

值，切記要代入檢驗(yàn)，看所求的自變量的值是否滿足相應(yīng)段自變量的取值范圍.

二、填空題(本大題共6小題，每小題4分，共24分)

H.與向量。=(一1,1)方向相同的單位向量B=.

【答案】甘當(dāng)

【解析】

【分析】利用單位向量的定義，結(jié)合向量坐標(biāo)運(yùn)算求解.

I詳解】與向量:=（一川方向相同的單位向量%含=上明

故答案為：

22

12.半徑為2,圓心角為2弧度的扇形的面積為.

【答案】4

【解析】

【分析】根據(jù)條件求得弧長(zhǎng)，利用扇形面積計(jì)算公式計(jì)算即可.

【詳解】設(shè)弧長(zhǎng)為/,半徑為r,圓心角為由題意知/=r。=4,

則扇形面積S=^/r=4,

2

故答案為：4.

13.函數(shù)/'(%)=/—+：2—x的定義域?yàn)開(kāi)________

lgx

【答案】（0,1）U（L2]

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式有意義可得出關(guān)于X的不等式，即可解得原函數(shù)的定義域.

x>0

【詳解】對(duì)于函數(shù)=—+A/2-X,有＜1g%解得0vx?2且xwl,

1g%

2—九20

因此，函數(shù)/（X）的定義域?yàn)椋?,l）U（l，2].

故答案為：(0,l)U(L2].

14.己知點(diǎn)4(3,—4)與點(diǎn)3(—1,2),點(diǎn)p在直線AB上，且府|=2閥，則點(diǎn)p的坐標(biāo)為.

【答案】,,o]或(-5,8)

【解析】

【分析】由題設(shè)條件知A,P,B三點(diǎn)共線，且有Q=2而或/=-2而，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，分兩類利

用向量相等的條件建立方程求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可

【詳解】設(shè)P(x,_y)，則由卜吁=2網(wǎng)，得ZA=2而或無(wú)巨=一2萬(wàn).

若而=2而,則(x—3,y+4)=2(—1—羽2-0

1

x—3=—2—2羽x——,

所以《解得，3故P

y+4=4—2y.

)=0,

x=-5,

若麗=—2而，同理可解得《c故尸(-5,8).

[y=8,

綜上，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為或(—5,8).

故答案為或(―5,8).

【點(diǎn)睛】本題考查向量共線的坐標(biāo)表示，向量相等的條件，解題的關(guān)鍵是由題設(shè)條件得出兩向量的數(shù)乘關(guān)

系，屬于中檔題.

15.對(duì)于函數(shù)/(%)，若集合｛乂尤＞0"(尤)=/(-尤)｝中恰有左個(gè)元素，則稱函數(shù)/(x)是“左階準(zhǔn)偶函

已知函數(shù)/(》)=[]

x<a,

2x,x>a.

⑴若a=0,則函數(shù)/(x)是“_______階準(zhǔn)偶函數(shù)”;

(2)若函數(shù)/(%)是“1階準(zhǔn)偶函數(shù)”，則。的取值范圍是

【答案】①.2②.[-2,-1)UU,2)

【解析】

【分析】(1)根據(jù)“上階準(zhǔn)奇函數(shù)”的定義，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為2工=2%的根的問(wèn)題；

(2)根據(jù)“1階準(zhǔn)偶函數(shù)”定義，分a<0,a>0,a=0三種情況分析即可得答案.

【詳解】①當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)=，%-0,/(x)的取值為2無(wú)，/(—%)的取值為,即

2x,x>0

2”，根據(jù)題意得2'=2%,解得％=2或x=l,

則集合｛x|x>o,/(x)=/(-%)｝中恰有2個(gè)元素,

故/(x)=［a］是“2階準(zhǔn)偶函數(shù)”

2羽x>0

?丫…

②根據(jù)題意，函數(shù)/(x)=-5是“1階準(zhǔn)偶函數(shù)”，

2x,x>a.

則集合｛x|x>0,/(x)=/(-%))中恰有1個(gè)元素,

當(dāng)a=0時(shí)=是"2階準(zhǔn)偶函數(shù)”，不合題意;

2x,x>0

當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)/(x)=<(a］，x,a的圖像如圖①所示，

2x,x>a.

根據(jù)“1階準(zhǔn)偶函數(shù)”的定義得了(X)的可能取值為2x,/(-X)的可能取值為［g］=23

由題意知/(x)=/(-x),

所以2x=2,解得X=1或九=2

要使得集合｛乂％>0,/(%)=/(—力｝中恰有1個(gè)元素，則需要滿足1<—aW2,

即一2Wa<—1

“'的圖像如圖②所示,

圖②

一X

根據(jù)“1階準(zhǔn)偶函數(shù)”定義得了(%)的可能取值為2%或(f)為:I=2\

由題意知f(x)=f(-x),

當(dāng)=2工，解得尤=0不符合題意

當(dāng)2x=23解得尤=2或x=l,

要使得集合｛Hx>OJ(x)=/(一%)｝中恰有1個(gè)元素，則需要滿足

綜上，若函數(shù)/(%)是“1階準(zhǔn)偶函數(shù)”，則。的取值范圍是［-2,-1)UU,2).

故答案為:2；范圍是［―2,-1)UU,2).

【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是根據(jù)新定義的“左階準(zhǔn)偶函數(shù)”，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)/(力，/(-%)可能取何

值，求出方程/(x)=/(-x)的解，通過(guò)分類討論根據(jù)/(x)=/(-x)方程的解的個(gè)數(shù)確定。的取值范圍.

16.定義在匕+8)上的函數(shù)〃x),g(x)單調(diào)遞增，/”)=g?)=",若對(duì)任意上〉M存在藥<々，使

得/(%)=85)=左成立，則稱g(x)是八％)在在,”)上的“追逐函數(shù)”已知下列四個(gè)

函數(shù)：①g(x)=x；?g(x)=lnx+l；③g(x)=2*—l；④g(x)=2—L其中是/(x)在［1,+8)上

的“追逐函數(shù)”的個(gè)數(shù)是個(gè).

【答案】2

【解析】

【分析】根據(jù)新定義進(jìn)行判斷，可作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合可判斷②；利用“追逐函數(shù)”的定義可判斷

①③④.

【詳解】/(尤)=尤2在［1,”)上的值域?yàn)椋?,轉(zhuǎn)).

若對(duì)任意左>",存在玉<々，使得/(xj=g(%2)=左成立，

則/(X)與g(X)在［1，住)上的值域相同，

又在［1,+00)上單調(diào)遞增,則/(X1)=g(x2)</(x2),

則對(duì)任意xe(l,+8),有/(x)>g(x).

對(duì)于①：g(x)=x在［L”)上單調(diào)遞增且值域口,”)，

且/⑺=/(X)_g⑺=兀2_X=_1)>0恒成立、

即〃x)>g(x)在(1，+⑹上恒成立，符合題意；

對(duì)于②，當(dāng)X21時(shí)，g(x)=lnx+l>lnl+l=l,即函數(shù)g(x)在［1,+8)上的值域?yàn)椋?,+8),

作出函數(shù)g(x)=lnx+l、y=/(%)的圖象如下圖所示：

由圖可知，當(dāng)X?l,+8)時(shí)，/(X)的增長(zhǎng)速度顯然快于函數(shù)g(x)的增長(zhǎng)速度，

則對(duì)任意的龍?1,+8),/(x)>g(x),符合題意；

y=x^

片lnx+1

對(duì)于③，函數(shù)g(x)=2=1在口”)上遞增，且值域［L+8),

且/(5)=52<25—l=g(5),不符合題意;

對(duì)于④，對(duì)于函數(shù)g(x)=2——,該函數(shù)在［1,+?2)上為增函數(shù),

且當(dāng)x'l時(shí)，0<—<1,則g(x)=2——e[l,2),不符合題意.

所以，①②是“追逐函數(shù)”.

故答案為：2.

三、解答題(本大題共4道小題，共46分)

17.已知Z=(l,0),B=(2,l)

(1)當(dāng)上為何值時(shí)，左Z—B與￡+23共線？

(2)若方=22+3及豆心=￡+〃3，且A,B,C三點(diǎn)共線，求機(jī)的值.

【答案】(1)k=--

2

3

(2)m=—

2

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意，由向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算列出方程，即可得到結(jié)果.

(2)根據(jù)題意，由三點(diǎn)共線可得通與能共線，列出方程，即可得到結(jié)果.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)?=(1,0)花=(2,1)

所以左Z—B=左(1,0)—(2,1)=伏一2,—1),a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2),

因?yàn)閗Z—五與Z+2石共線，

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)椤?(1,0),石=(2,1)

所以通=2￡+3石=2(1,0)+3(2,1)=(8,3),

BC=a+mb=(1,0)+m(2,l)=(1+2m,m),

因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)共線，

所以通與能共線，即1+^9^m=不/n，解得加=;3.

18.某工廠為了解甲、乙兩條生產(chǎn)線所生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量，分別從甲、乙兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中各隨機(jī)抽

取了100件產(chǎn)品，并對(duì)所抽取產(chǎn)品的某一質(zhì)量指數(shù)進(jìn)行檢測(cè)，根據(jù)檢測(cè)結(jié)果按[2,4),[4,6),[6,8),[8,10]

分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

甲生產(chǎn)線產(chǎn)品質(zhì)量指數(shù)乙生產(chǎn)線產(chǎn)品質(zhì)量指數(shù)

頻率分布直方圖頻率分布直方圖

(1)求甲生產(chǎn)線所生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量指數(shù)的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表);

(2)若產(chǎn)品的質(zhì)量指數(shù)在［8,10］內(nèi)，則該產(chǎn)品為優(yōu)等品.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從樣品中的優(yōu)等品中抽

取6件產(chǎn)品，再?gòu)倪@6件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品進(jìn)一步進(jìn)行檢測(cè)，求抽取的這2件產(chǎn)品中恰有1件產(chǎn)品

是甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的概率.

【答案】(1)6.4

⑵*

15

【解析】

【分析】(1)由頻率分布直方圖計(jì)算平均數(shù)即可;

(2)先計(jì)算出甲、乙兩條生產(chǎn)線的優(yōu)等品數(shù)，由分層抽樣計(jì)算出每層的人數(shù)，由古典概型概率公式計(jì)算即

可.

【小問(wèn)1詳解】

甲生產(chǎn)線所生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量指數(shù)的平均數(shù)為:

x甲=3x0.05x2+5x0.15x2+7x0.20x2+9x0.10x2=6.4

【小問(wèn)2詳解】

由題意可知：甲生產(chǎn)線的樣品中優(yōu)等品有100x0.1x2=20件.

乙生產(chǎn)線的樣品中優(yōu)等品有100x0.05x2=10件.

20

則從甲生產(chǎn)線的樣品中抽取的優(yōu)等品有6義------=4件，記為a,b,c,d；

20+10

從乙生產(chǎn)線的樣品中抽取的優(yōu)等品有6義」一=2件，記為E,F.

20+10

從這6件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件的情況有：

共15種,

其中符合條件的情況有(a,E),(a,F),(b,E),(b,F),(c,E),(c,尸),(d,石),(d,尸)共8種.

Q

故所求概率p=

19.如圖1所示，在VABC中，點(diǎn)。在線段BC上，滿足3①=麗,G是線段AB上的點(diǎn)，且滿足

3AG=2GB-線段CG與線段交于點(diǎn)0.

（1）若而=+y正，求實(shí)數(shù)無(wú)，y的值；

（2）若而=/而，求實(shí)數(shù)，的值；

（3）如圖2,過(guò)點(diǎn)。的直線與邊A瓦AC分別交于點(diǎn)與F,^AE=AAB,AF=juAC,（2>0,/z>0）,

求％+〃的最小值.

13

【答案】（1）x=—,y=—

4-4

⑵t=—

11

⑶8+46

11

【解析】

【分析】（1）根據(jù)向量的線性運(yùn)算以入瓦衣為基底表示礪，進(jìn)而求解；

（2）根據(jù)向量的線性運(yùn)算以通,衣為基底表示玄，又因?yàn)閮上蛄抗簿€所以具有倍數(shù)關(guān)系，求出f的

值；

（3）根據(jù)向量的線性運(yùn)算以骸，費(fèi)為基底表示正，又因?yàn)镋,。,廠三點(diǎn)共線，所以系數(shù)之和為1,得出

《7+3=1，然后應(yīng)用基本不等式中1的代換求出彳+〃的最小值.

11211〃

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)?無(wú)=而所以國(guó)=!而，

4

所以礪=恁+函=恁+—而=就+—（而—恁）=—順+2又，

4444

,,13

所ce以x=：,y=：.

44

【小問(wèn)2詳解】

__.__,__,__,2__.9__?__.

由題意可知：GC=AC-AG=AC——AB=——AB+AC,

55

__.2__3__A2__?t2__?3/__.

GOk=AOk-AGk=tAb-AGk=tAD——ABk=t\-ABk+-AC——AB=(------)AB+—AC,

5U4J5454

又因?yàn)镚,O,C三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)左使得前=左文，

(^-1)AB+^AC^k(-^AB+AC)=-^-AB+kAC,

[t22kf8

_____——_______l-f___

所以c55,解得：\,

^=k左=9

〔4I11

Q

所以/=r

【小問(wèn)3詳解】

易知；AE=A?，—4尸=AC,

由(2)知

—.8—>81―.3--2―.6―.21—.61—??2—*6—?

AO=^-AD=—(-AB+-AC)=—AB+—AC=—x-AE+—X—AF=——AE+^-AF

111144111111211〃1U11〃

又因?yàn)镋,0,尸三點(diǎn)共線，所以71T+目=1,又4>0,〃>0,

11211〃

?26—.82?628.8+4百

所以:/+〃=(z——+-----)(2+ti)=——+^—+----->——+2

iu11iuii-n-

當(dāng)且僅當(dāng)黑二靠‘即"中，八中時(shí)取等號(hào)'

所以九+〃的最小值為任拽.

ii

20.若函數(shù)/(%)滿足：對(duì)任意正數(shù)s"都有/")+/?)</(￡+/),則稱函數(shù)/(%)為“N函數(shù)”.

(1)試判斷函數(shù)工(x)=f與&(x)=ln(x+l)是否為“N函數(shù)”,并說(shuō)明理由；

(2)若函數(shù)>=3工+%—3a是“N函數(shù)”，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(3)若函數(shù)/(%)為“N函數(shù)"，"1)=1,對(duì)任意正數(shù)s、t,都有/(s)>0,/Q)>0,是否對(duì)任意

》6(2:2*+1)/6?4)都有/。)—/(!)>二—2,若成立，請(qǐng)加以證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

x2x

【答案】(1)<(x)=%2是“N函數(shù)”，&(x)=ln(x+l)不是“N函數(shù)”，理由見(jiàn)解析