北京市某中學2025屆高三年級下冊（零模）數(shù)學統(tǒng)練（一）含答案與解析

機密★啟用前

北師大實驗中學2024?2025學年第二學期高三統(tǒng)練（一）

局二數(shù)學

注意事項：

1.本試卷滿分為100分，考試時間為75分鐘.

2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級、準考證號填寫在答題卡上.

3.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫

在本試卷上無效.

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第一部分

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要

求的一項.

1.設(shè)集合“=｛劉》〉研，集合8=｛0』｝,若“口8=0,則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.a<\B.a>\C.a<0D.a>Q

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的坐標是（1,2）,貝（）.

A1+2zB.—2+zC.1—2zD.—2—z

3.從數(shù)字1,2,3,4,5,6中隨機抽取兩個數(shù)字（不允許重復(fù)），則這兩個數(shù)字的乘積是奇數(shù)的概率為

（）

1234

A.-B.-C.-D.一

5555

4.已知雙曲線的兩個焦點分別為（0,4）,（0,-4）,點（-6,4）在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（）

A.4B.3C.2D.72

5.函數(shù)/0）=（/—"［應(yīng)11》--在區(qū)間［_2.8,2.8］的大致圖像為（）

yt%

6.充電電池是電動汽車的核心部件之一，如何提高充電速度是電池制造商重點關(guān)注的研究方向已知電池充

入的電量E(單位：kW-h)與充電時間/(單位：min)滿足函數(shù)￡(。=河(l—e-"),其中M表示電

池的容量，人表示電池的充電效率，研究人員對8兩個型號的電池進行充電測試，電池/的容量為

80kW-h,充電30min充入了40kW-h的電量；電池8的容量為60kW-h,充電15nlin充入了

20kW?h的電量.設(shè)電池N的充電效率為尢，電池8的充電效率為左2,則()

A.左〉左2B,kx<k2C.k[=hD,左，左2大小關(guān)系無法確

定

7.在平面直角坐標系xpy中，角a以。x為始邊，終邊位于第一象限，且與單位圓。交于點尸，PMLx

軸，垂足為若AOMP的面積為9,貝Usin2a=()

25

6121824

A.—B.—C.—D.—

25252525

8.已知｛4｝是等差數(shù)列，S"是其前〃項和.則“為〉的”是“對于任意“eN*且〃*3,8“>83”的()

A.充分而不必要條件B,必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

UUUUUUUUU

9.在棱長為1的正方體ABCD-481G2中，點尸滿足。尸=ADDI+/JDA，Xe[0,1],

+〃=1,則。尸+尸8的最小值為()

A.V3B.1+72C.2D.也+行

10.設(shè)直線系M:xcos6,+(j-2)sin6)=1(0<6(<2^-),對于下列四個命題：

(1)M中所有直線均經(jīng)過一個定點;

(2)存在定點P不在河中的任一條直線上;

(3)對于任意整數(shù)”(〃之3),存在正〃邊形，其所有邊均在M中的直線上；

(4)M中的直線所能圍成的正三角形面積都相等.其中真命題的個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

第二部分

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.(2+x>展開式中各項的系數(shù)的和是.(用數(shù)字作答)

12.經(jīng)過拋物線爐=4y的焦點的直線與拋物線相交于48兩點，若|AB|=4,則AOAB(。為坐標原

點)的面積為.

13.羽毛球運動是一項全民喜愛的體育運動，標準的羽毛球由16根羽毛固定在球托上.測得每根羽毛在球托

之外的長為7cm,球托之外由羽毛圍成的部分可看成一個圓臺的側(cè)面.測得頂端所圍成圓的直徑是6cm,

底部所圍成圓的直徑是2cm,據(jù)此可估算得球托之外羽毛所在的曲面的展開圖的圓心角為.

14.已知。為圓心，點A是圓O上一點，點尸是圓。內(nèi)部一點；若|萬|=2,且0.衣=-2，貝I

|力+而|的最小值是.

15.對于數(shù)列｛%｝,若存在Af>0,使得對任意〃eN*，有l(wèi)+—^zl+L+|%+i—%|<.,則

稱｛%｝為“有界變差數(shù)列”.

給出以下四個結(jié)論：

①若數(shù)列｛??｝：??=(-存，則｛%｝為“有界變差數(shù)列”；

②若各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛%｝為“有界變差數(shù)列”，則其公比4的取值范圍是(0,1)；

③若數(shù)列｛4｝是“有界變差數(shù)列”，則存在,>0,使得對任意〃eN*，有T<4</;

④若數(shù)列｛??)是“有界變差數(shù)列”，則數(shù)列｛/:必是“有界變差數(shù)列”.

其中所有正確結(jié)論的序號是

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

16.在VA5C中，c=2△，sin5+V3cosB=2-

（1）求5;

（2）再從條件①，條件②，條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使V48C存在且唯一，求VABC

的周長.

_7T

條件①：V48C的面積為百；條件②：C=-;條件③：a=4ib.

6

注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個

解答計分.

17.如圖，四棱錐P—48co中，尸4,底面ABLBC,40//平面P8C,PA=AC=2.

（1）證明：AD1PB；

（2）已知點3到平面R4C的距離為1,求二面角N-CP-8的余弦值.

18.某學校組織全體高一學生開展了知識競賽活動.從參加該活動的學生中隨機抽取了12名學生的競賽成

績，數(shù)據(jù)如下表：

男生818486868891

女生728084889297

（1）從抽出的男生和女生中，各隨機選取一人，求男生成績高于女生成績的概率；

（2）從該校的高一學生中，隨機抽取3人，用樣本頻率估計概率，記成績?yōu)閮?yōu)秀（〉90分）的學生人數(shù)為

X,求X的分布列和數(shù)學期望；

（3）表中男生和女生成績的方差分別記為S；,只,現(xiàn)在再從參加活動的男生中抽取一名學生，成績?yōu)?6

分，組成新的男生樣本，方差計為試比較s：、s〉s；的大小.（只需寫出結(jié)論）

19.已知橢圓C：W+'=l（a〉b〉O）的離心率為半，4,a是C的上、下頂點，且14al=2.過

點尸(0,2)的直線/交C于8,。兩點(異于4，4)，直線45與4。交于點2

(1)求C的方程；

(2)證明，點。的縱坐標為定值.

20.已知函數(shù)/(0=02*-("2-》+].

(1)求曲線>=/(%)在點(0,/(0))處的切線的方程；

(2)若函數(shù)/(x)在x=0處取得極大值，求。的取值范圍；

(3)若函數(shù)/(x)存在最小值，直接寫出a的取值范圍.

21.已知無窮數(shù)列/：/，的，L滿足：①4eN*(i=l,2,L)；②為+%VWq+%+1

(Z.=1,2,L；J=1,2,L；i+J23).設(shè)a：為q(i=l,2,L)所能取到的最大值，并記數(shù)列

A'.ax,a2,\-.

(1)若q=1,寫出一個符合條件的數(shù)列/的通項公式；

(2)若%=的=1，求a；的值；

(3)若%=1,%=2,求數(shù)列/的前100項和.

參考答案

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要

求的一項.

1.設(shè)集合“=｛川》〉研，集合8=｛0」｝,若“口8=0,則實數(shù)。的取值范圍是()

A.a<1B.a>1C.a<0D.(7>0

【答案】B

【解析】

【分析】由兩集合交集為空集，可直接判斷；

【詳解】因為zn8=0,所以aNl.

故選：B

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的坐標是（1,2）,貝（）.

A.1+2zB,—2+zC.1—2zD.—2—z

【答案】B

【解析】

【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)幾何意義得z,再根據(jù)復(fù)數(shù)乘法法則得結(jié)果.

【詳解】由題意得z=l+2i,iz=i-2.

故選：B.

【點睛】本題考查復(fù)數(shù)幾何意義以及復(fù)數(shù)乘法法則，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

3.從數(shù)字1,2,3,4,5,6中隨機抽取兩個數(shù)字（不允許重復(fù)），則這兩個數(shù)字的乘積是奇數(shù)的概率為

（）

【答案】A

【解析】

【分析】由組合分別求出隨機選取兩個數(shù)字的情況數(shù)和乘積為奇數(shù)的情況數(shù)，再由古典概型求得結(jié)果.

6x5

【詳解】從數(shù)字1,2,3,4,5,6中隨機抽取兩個數(shù)字（不允許重復(fù)）一共有C：=—=15種，

2x1

要想乘積為奇數(shù)，則隨機選取的兩個數(shù)字均為奇數(shù)，一共有C；=3種，

31

所以概率為不=不

故選：A.

4.已知雙曲線的兩個焦點分別為（0,4）,（0,-4）,點（-6,4）在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（）

A.4B.3C.2D.72

【答案】C

【解析】

【分析】由焦點坐標可得焦距2c,結(jié)合雙曲線定義計算可得2a,即可得離心率.

【詳解】由題意，設(shè)片（0,-4）、與（0,4）、尸（一6,4）,

2

則閨用=2c=8,|尸周+（4+4『=io,|p77|=^62+0-4）=6,

則2a=|尸耳|TP聞=10—6=4,則《=『=|=2.

故選：C.

5.函數(shù)/0）=（/—"、）應(yīng)11》—/在區(qū)間［_2.8,2.8］的大致圖像為（）

【解析】

【分析】利用函數(shù)的奇偶性可排除A、C,代入x=l可得/。）＞0,可排除D.

［詳解］/（-x）=（e-x-eT^sin（-x）-（-x）2=（e*-efsinx-r2=/（x）,

又函數(shù)定義域為［-2.8,2.8］,故該函數(shù)為偶函數(shù)，可排除A、C,

.兀1cli11c

又/⑴=sinl-l>fe--sin—1——1----->-------->0,

622e42e

故可排除D.

故選：B.

6.充電電池是電動汽車的核心部件之一，如何提高充電速度是電池制造商重點關(guān)注的研究方向已知電池充

入的電量E（單位：kW-h）與充電時間/（單位：min）滿足函數(shù)E”）=河（1—仁卜），其中M表示電

池的容量，人表示電池的充電效率，研究人員對8兩個型號的電池進行充電測試，電池N的容量為

80kW-h,充電30min充入了40kW?h的電量；電池2的容量為60kW?h,充電15min充入了

20kW-h的電量.設(shè)電池/的充電效率為匕，電池2的充電效率為左2，則（）

A.左1>AB,左<左2C.k［左2D.左，左2大小關(guān)系無法確

定

【答案】B

【解析】

【分析】列出方程后比較配上2大小

【詳解】由題意得40=80（1—6一3°”，貝壯-3岫=。，

241

同理20=60（1—『5心）,則e-卜心=§,得仁3%

由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性得—30左2<-30左,即左（左2.

故選：B

7.在平面直角坐標系xQy中，角a以O(shè)x為始邊，終邊位于第一象限，且與單位圓。交于點P,PMLx

軸，垂足為若AOMP的面積為9,貝Usin2a=（）

25

6121824

A.—B.—C.—D.—

25252525

【答案】D

【解析】

【分析】由三角函數(shù)的定義結(jié)合三角形面積列出方程，再由倍角公式求出答案.

【詳解】由三角函數(shù)的定義可知：（W=cosa,PAf=sina,

故—OM-PM=—cosasintz=—,故工sin2a=應(yīng)，

2225425

24

解得：sin2a=—.

25

故選：D

8.已知｛a“｝是等差數(shù)列，S“是其前"項和.則“知〉的”是“對于任意"eN*且"3,Sn>S^（）

A,充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】利用等差數(shù)列前〃項和的函數(shù)性質(zhì)判斷“對于任意〃eN*且"3,Sn>S3”與“%>的”推出關(guān)

系，進而確定它們的關(guān)系.

【詳解】由等差數(shù)列前〃項和公式知：S“=：/+（%_'）〃，

，要使對于任意“eN*且"/3,>53,則d〉0,即｛%｝是遞增等差數(shù)列，

“對于任意〃eN*且*3,Sn>S3”必有"a4>,

而為〉內(nèi)，可得d〉0，但不能保證“對于任意〃eN*且3,S“>S3”成立，

；.“知〉名”是“對于任意"eN*且"3,S,>83”的必要而不充分條件.

故選：B

uuuuuumu

9.在棱長為1的正方體ABCD-451G2中，點P滿足DP=WD,+4DA，幾e[0,1],

〃e[0,l]/l+〃=l,則。尸+尸8的最小值為()

A.V3B.1+72C.2D.也+正

【答案】D

【解析】

【分析】當彳+〃=1時，點尸的軌跡為線段401,將等腰直角三角形。4"旋轉(zhuǎn)與平面A48G共面，由

余弦定理可求解；

【詳解】如圖所示，當彳+〃=1時，點P的軌跡為線段401,將等腰直角三角形三角形。4A旋轉(zhuǎn)至與平

面。/5G共面，

可知尸。+尸82Ao，當且僅當民P,。三點共線取最小值，

由余弦定理可得BD=JAD2+AB2-2AD-ABCOSZBAD=Vl+l-2xlxlxcosl35°=72+后，

故選：D

10.設(shè)直線系M:xcos6,+(j-2)sin6)=l(0<6,<2^),對于下列四個命題:

(1)"中所有直線均經(jīng)過一個定點；

(2)存在定點尸不在M中的任一條直線上；

(3)對于任意整數(shù)〃(〃23),存在正力邊形，其所有邊均在M中的直線上;

(4)M中的直線所能圍成的正三角形面積都相等.其中真命題的個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】由點(0,2)到直線系M:xcos9+(y-2)sin。=1(0<2乃)中每條直線的距離均為1,則直線

系川表示圓/+什-2『=1的切線的集合，然后結(jié)合題意考查所給的四個命題是否正確即可.

【詳解】因為點(0,2)到直線系M:xcose+(y-2)sine=l(OVe?2?)中每條直線的距離

d=1^1

7cos26,+sin20

直線系〃：趾05夕+(了-2)5吊。=1(0<。42乃)表示圓工2+(、一2)2=1的切線的集合，

(1)由于直線系表示圓/+5-2)2=1的所有切線，其中存在兩條切線平行〃中所有直線均經(jīng)過一個定點不

可能，故(1)不正確

(2)由圓/+口-2)2=1的切線的集合，則在M中的任一條直線不過圓心(0,2)

所以存在定點尸不在M中的任一條直線上，故(2)正確.

(3)由于圓的所有外切正多邊形的邊都是圓的切線,所以對于任意整數(shù)”(〃之3),存在正"邊形，其所有邊

均在M中的直線上，故(3)正確；

(4)如圖所示，”中的直線所能圍成的正三角形有兩類，

其一是如4/8夕型，是圓的外切三角形，此類面積都相等，另一類是在圓同一側(cè)，

如△8OC型，此一類面積相等，但兩類之間面積不等，所以面積大小不一定相等，故(4)不正確.

故選：B

第二部分

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.（2+x＞展開式中各項的系數(shù)的和是.（用數(shù)字作答）

【答案】81

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用賦值法計算即得.

【詳解】取x=l,得（2+x）4展開式中各項的系數(shù)的和為34=81.

故答案為：81

12.經(jīng)過拋物線爐=4歹的焦點的直線與拋物線相交于4,B兩點,若|AB|=4,則ACMB（。為坐標原

點）的面積為.

【答案】2

【解析】

【分析】求出焦點坐標，設(shè)直線48方程，聯(lián)立拋物線方程，韋達定理，利用弦長求出直線方程，可求得

。點到直線28距離，進一步求出三角形面積.

【詳解】由題意知，拋物線r=你的焦點廠（0,1）,設(shè)4（x"i）,B（x2,y2）,直線y=kx+l,

聯(lián)立方程〈2/，消去X可得＞2—（2+4左2）歹+1=0,△=（2+4左2）2—4=16左4+16-20,

[x=4y

韋達定理得必+%=2+4k2,yxy2—1，

因為M司=|4刊+|尸目=必+%+2=2+4左？+2=4,所以左2=o，即左=o,

所以直線45：y=l,所以點O到直線的距離為|。下|=1,

所以外|四=；xlx4=2.

故答案為：2

13.羽毛球運動是一項全民喜愛的體育運動，標準的羽毛球由16根羽毛固定在球托上.測得每根羽毛在球托

之外的長為7cm,球托之外由羽毛圍成的部分可看成一個圓臺的側(cè)面.測得頂端所圍成圓的直徑是6cm,

底部所圍成圓的直徑是2cm,據(jù)此可估算得球托之外羽毛所在的曲面的展開圖的圓心角為

,,4兀4

【答案】一##-71

77

【解析】

【分析】將圓臺補成圓錐，由相似求出小圓錐的母線長，結(jié)合圓心角公式求解即可.

將圓臺補成圓錐如圖所示，則羽毛所在曲面的面積為大、小圓錐的側(cè)面積之差，

設(shè)小圓錐母線長為=則大圓錐母線長為Q4=x+7,。］5=1,。2幺=3,

V17

△OOIB~AOO,A,可得：-^―=-,解得X=—,

x+732

小圓錐底面半徑為r=l,小圓錐展開的扇形的弧長為/=2兀廠=2兀，

I兀

(y———27-r--4---

設(shè)曲面的展開圖的圓心角為a,則ax=/，即x77.

2

4冗

故答案為：—

7

14.己知。為圓心，點A是圓。上一點，點尸是圓。內(nèi)部一點：若|厲|=2,且次.石=-2,貝U

防+西的最小值是.

【答案】3

【解析】

【分析】先證明|麗+而23,再說明當|力|=2,且尸為線段。4的中點時有|厲+。4=3,即可得到

|次+而|的最小值為3.

【詳解】①由于

^■^+OP)=^-(OA+OA+AP)=OA^2OA+AP)=2^a^+OA-AP=2x22-2=6,

故6=快@+而)＜網(wǎng)便+研=2陀+研，所以陀+研23.

②當［0彳=2,且P為線段QN的中點時，有力?/=厲厲］=—彳2=—；X22=—2.

止匕時陀+西=E+=|O4=|網(wǎng)=|義2=3.

綜合①②兩方面，可知|力+而|的最小值為3.

故答案為：3.

15.對于數(shù)列｛?！埃?若存在Af>0,使得對任意〃eN*，有同一%|+鬲—牝J+L+\an+l-an\<M,則

稱｛%｝為“有界變差數(shù)列”.

給出以下四個結(jié)論：

①若數(shù)列｛%｝：%=(-1)",則｛4｝為“有界變差數(shù)列”；

②若各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛%｝為“有界變差數(shù)列”，則其公比q的取值范圍是(0,1)；

③若數(shù)列｛4｝是“有界變差數(shù)列”，則存在,>0,使得對任意〃eN*，有T<4</；

④若數(shù)列｛4｝是“有界變差數(shù)列"，則數(shù)列必是“有界變差數(shù)列”.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

【答案】③④

【解析】

［分析］對于①，求出|。2+-^zl+L+|a”+i-《J=2+2H----F2=2〃即可判斷；

對于②，同―ail+E-^+L+>“+「4|=何(。'-1)|,然后根據(jù)4的取值范圍討論即可；

對于③，利用絕對值不等式即可證明；

a,,aa、［—2aa,—aaa—aaa—at

對于④，號—優(yōu)=>,+*,"=-勤<MM”+中，然后即可判

十1十+11喘十用1"十1弋十1加"+-十1^<A十I

斷.

【詳解】①：%=(-1)"句%-%l=|(-ir+i-(-iy|=|(-ir(-i-i)|=2,

a

所以卜2一%|+1%-出|+L+\n+\-aj=2+2H---F2=2〃，

任意的〃>0,總存在〃〉——，使2〃〉M,所以①錯誤;

2

②：若各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛%｝為“有界變差數(shù)列“，所以q〉0,

|?2%|+|/_1+L+寓+］=|%（1_1）|+麗（［_1）|+,。（1—1）|+...+刖"|（q一］）］

2

=|a1(^-l)|-|l+^+^+…+q"[=“"1)卜:,=%⑷-1)|,

1-q

若q>1,%(/-1)|會取到無窮大，不合題意，

若q=l,1)|=0,合題意，

若qe(0,l)/%('—1)卜|%|,合題意，故qe(O,l],所以②錯誤；

③：M>|a2-aj+l^-a2|+L+|a?+1-an\>\a2-ax+a3-a2+L+an+l-a,\=\an+i-,

所以/〉|%+i—%以a,,」一同,

所以舊+卜2+同二何人又+㈤，故則存在，〉"+同，使得對任意〃eN*，有所以

③正確；

@：由③知，存在「〉M+使得對任意〃eN*，有—/<%</,

%+i-2%a,

......-<+%<%+「4+

-2"+i2"+i-2"12向42"i

<|%I+I%I+…+I%-%I

4

故數(shù)列必是“有界變差數(shù)列”,④正確,

故答案為：③④.

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

16.在V/3C中，。=26，sin8+Gcos5=2.

（1）求5;

（2）再從條件①，條件②，條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使V48C存在且唯一，求VABC

的周長.

_7T

條件①：V48C的面積為百；條件②：C=-條件③：a=Cb.

6;

注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個

解答計分.

7T

【答案】（1）-

6

（2）答案見解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)已知條件，利用輔助角公式結(jié)合角的范圍即可求解；

（2）若選條件①，利用正弦定理面積公式求出。，再利用余弦定理求出6即可求解；若選條件②，先利

用等腰三角形性質(zhì)求出b,再利用三角形內(nèi)角和公式求出A,最后余弦定理確定。即可求解；若選條件

③，先利用已知條件結(jié)合余弦定理求出6,發(fā)現(xiàn)三角形不唯一不合要求.

【小問1詳解】

因為sin8+Geos8=2，

由輔助角公式有：2=sinB+EcosB=2sin[5+=1=2,

（223）

即sin15+m[=l,因為Be（0,兀），所以臺+

所以5+巴=巴，解得3=三.

326

【小問2詳解】

選條件①：V48C的面積為公，

由正弦定理有：S^ABC=-acsinB=y/3,

即工x,x,a=2、

22

+由七n/+02一/日口64+12—/

由余弦定理有：cosB=-----------，即——=----尸——，

2ac28V3

解得：6=2,所以V48C的周長為。=。+6+。=2+2+2百=4+2百.

7T

選條件②：C=1

6

TT7T

因為8=3，由C=：,所以V48C為等腰的三角形，所以b=c=2G，

66

兀2兀

因為A+B+C=71,所以4=兀-2x———,

63

由余弦定理有：a2=Z72+c2—2bccosA即。？=12+12—24,

解得〃=6,所以V45C的周長為。=。+6+°=6+2百+2百=6+4百.

選條件③：a=43b，

1+,rh4叱小工由后oa~+c"—"-\/33b~+12—b~

由由余弦定理有：cosB=-----------,即Bn一=------------,

2ac2126

整理得：3①+6=0，解得b=G或6=26，

此時V45C不唯一，所以條件③不合要求.

17.如圖，四棱錐P—4BCO中，尸四，底面Z5CD,ABLBC,N。//平面尸5C,PA=AC=2.

(1)證明：ADLPB-,

(2)已知點8到平面R4c的距離為1,求二面角4-CP-8的余弦值.

【答案】(1)證明見解析;

【解析】

【分析】(1)根據(jù)給定條件，利用線面平行的性質(zhì)證得ZD//BC,再利用線面垂直性質(zhì)、判定推理得證.

(2)作2O_L/C于。，利用線面垂直的判定證得801平面PNC,再作出二面角的平面角，利用定義法

求出余弦值.

【小問1詳解】

在四棱錐P—483中，尸2，平面48。）,40匚平面43。）,則P/L4D,

由40//平面P8C,平面PBCn平面48CD=8C,得4D//8C,而4g_L3C,

則N8_L4D,而PZc45=40448u平面尸BC,因此4DJ_平面P8C,又尸Bu平面P8C,

所以40，尸8.

【小問2詳解】

過點8在平面45CD內(nèi)作8。，工。于。，由尸/，平面4ffC￡）,得P4LB0,

而尸NcNC=4尸N,NCu平面P/C,則801平面P/C,80=1,

又尸Cu平面P4C,則80,尸C,

AB2+BC2=4

在Rt448C中，AC=2,貝叫解得AB=BC=血，

ABBC=B0AC=2

。為ZC中點，即。。=1,在平面P/C內(nèi)過。作OELPC于E,連接BE,

5OnOE=O,5O,OEu平面8?！?則PC1平面80￡,又5￡u平面8?！?

于是8E_LPC,N0E5是二面角Z—C尸一8的平面角,

由PN，NC,NP=/C=2,得NPG4=45。，0E=—，而50LOE,

一2

，

則BE=近3s/0EB=^=顯

2BE3

18.某學校組織全體高一學生開展了知識競賽活動.從參加該活動的學生中隨機抽取了12名學生的競賽成

績，數(shù)據(jù)如下表：

男生818486868891

女生728084889297

（1）從抽出的男生和女生中，各隨機選取一人，求男生成績高于女生成績的概率；

（2）從該校的高一學生中，隨機抽取3人，用樣本頻率估計概率，記成績?yōu)閮?yōu)秀（〉90分）的學生人數(shù)為

X,求X的分布列和數(shù)學期望；

（3）表中男生和女生成績的方差分別記為s；,《，現(xiàn)在再從參加活動的男生中抽取一名學生，成績?yōu)?6

分，組成新的男生樣本，方差計為試比較s；、s；的大小.（只需寫出結(jié)論）

17

【答案】（1）—

36

3

（2）分布列見解析，—；

4

（3）s；<sf<si

【解析】

【分析】（1）由古典概型的列舉法求男生成績高于女生成績的概率.

（2）由題設(shè)，成績優(yōu)秀人數(shù)X可取0」,2,3且服從X?5。,；］分布，應(yīng)用二項分布的概率求法求各可能

值的概率，即可寫出分布列，進而求期望即可.

（3）應(yīng)用方差公式求出s；、s［、s；,進而比較它們的大小關(guān)系.

【小問1詳解】

設(shè)“從抽出的男生和女生中，男生成績高于女生成績”為事件

由表格得：從抽出的12名學生中男女生各隨機選取一人，共有C；C=36種組合，

其中男生成績高于女生（81,72）,（81,80）,（84,72）,（84,80）,（86,72）,（86,80）,（86,84）,

（86,72）,（86,80）,（86,84）,

（88,72）,（88,80）,（88,84）,（91,72）,（91,80）,（91,84）,（91,88）.

17

所以事件/有17種組合，因此尸（Z）=正；

【小問2詳解】

由數(shù)據(jù)知，在抽取的12名學生中，成績?yōu)閮?yōu)秀（>90分）的有3人，即從該校參加活動的高一學生中隨

機抽取1人，該學生成績優(yōu)秀的概率為:.

因此從該校高一學生中隨機抽取3人，成績優(yōu)秀人數(shù)X可取0,1,2,3且X?813,；

尸(X=l)=C；

所以隨機變量X的分布列

X0123

272791

P

64646464

2791483

數(shù)學期望E(X)=0+lx—+2x—+3x—=—=—.

646464644

【小問3詳解】

81+84+86+86+88+91

男生的平均成績?yōu)閄1==86,則

6

16-52+22+02+02+22+52

s；=-2L(^-^)2=?9.667；

6z=i6

72+80+84+88+92+97

女生的平均成績?yōu)閄2==85.5則

6

16-

213.52+5.52+1.52+2.52+6.52+11.52

S；=-￡(X,.-X2)=?65.92；

6z=i6

由于從參加活動的男生中抽取成績?yōu)?6分的學生組成新的男生樣本,

…—81+84+86+86+88+86+91”

所以4=------------------------------------=86,則

7

52+22+02+02+02+22+52

x8.286；

7

所以s；<s；<sl，

19.已知橢圓0：=+，=1（?！?〉0）的離心率為半，4,4是c的上、下頂點，且［44|=2.過

點尸（0,2）的直線/交C于8,。兩點（異于4，4），直線45與4。交于點2

（1）求C的方程；

（2）證明，點。的縱坐標為定值.

丫2

2

【答案】（1）—+y=l

5

（2）證明見解析

【解析】

【分析】（1）由短軸長與離心率求得仇dc得橢圓方程；

（2）直線/方程為了=丘+2,設(shè)5（七,%）,。（%,%），直線方程代入橢圓方程，由A〉0得上的范圍,

由韋達定理得西+》2，西》2,寫出直線4民4。方程，兩式相除代入國工2后可得y值，得證定值.

【小問1詳解】

因為H/2I=26=2,所以6=1,

因為e=￡=2?,其中

a5

所以設(shè)0=撞4萬=/—02=工，解得力=5.

55

2

所以橢圓C的方程為二+『=1.

5

【小問2詳解】

顯然直線/的斜率存在，設(shè)直線/方程為J=Ax+2,

聯(lián)立直線/與橢圓C方程，消去?得，（1+5左2產(chǎn)+20Ax+15=0.

設(shè)5（西,必）,。（＞2，%）,

當A=400左2—600+5左2）=20（5左2—3）〉0,即《2〉_|時，

*20左15

有X]1+%2=-1-+--5-4-2r,，%12%=1-+--5-左-2-

1必一1

直線方程為：J-l=--X,

X1

y9+1

直線4。方程為：J+I=--%

工2

y_l__%2(句+1)_依也+/

兩式相除得,

y+1xx(y2+1)xx(kx2+3)kx1x2+3^

31

-

3-4-41

----

4-+9-33

%

4--4-

整理得y=即點。的縱坐標為定值g.

20.已知函數(shù)/(%)=€21]。/_》+3].

(1)求曲線y=/(x)在點(0,/(0))處的切線的方程；

(2)若函數(shù)/(x)在x=0處取得極大值，求°的取值范圍;

(3)若函數(shù)/(x)存在最小值，直接寫出a的取值范圍.

【答案】(1)=0

2e

(2)(-oo?l)

【解析】

【分析】(1)先求導(dǎo)后求出切線的斜率/'(0)=0,然后求出直線上該點的坐標即可寫出直線方程;

(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和最值分類討論；

(3)分情況討論，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和極限求解.

【小問1詳解】

—，所以：切點為|0,—j,

2eI2eJ

又一'(%)=e2x-1^2ax2+2(Q-1)X]=2x(tzx+4z-l)e2x-1,所以：/'(。)=0,

所以：切線方程為y-'=0.

2e

【小問2詳解】

定義域為R,(x)=2x(ax+a-1)e2x~l,

①當a=0時，/'(x)=—2xe2T令/'(x)〉0得x<0,所以：/(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(一”,0)；

令/'(x)<0得x>0,所以/(x)單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+。)；所以：/(x)在x=0取極大值，符合題意.

②當a<0時，由/'(%)=2x(ax+a—l)e""=0,得：項=0,x2=--<0

a

X,/'(X),/(x)變化情況如下表：

1-Q

X0(0,+e)

a1J

/'(x)—0+0—

/(x)減極小值增極大值減

所以：/(X)在x=0處取得極大值，所以：a<0符合題意.

③當a>0時，由/'(X)=2x(ax+a—l)e，T=0,得：占=0,x2=^—^~

一a

(i)當上巴<0即a>l時，/'(x),/(x)變化情況如下表：

a

1—CI

X0(0,+“)

H7)a

/'(X)+0—0+

/(X)增極大值減極小值增

所以：/(X)在x=0處取得極小值，不合題意.

(ii)當匕巴=