北師版九年級數(shù)學下冊 期中綜合測試卷

北師版九年級數(shù)學下冊期中綜合測試卷

限時:90分鐘滿分：120分

一、選擇題（每題3分，共30分）

1.［教材P6習題T1］在A48c中，ZACB=9Q°,AC=1,BC=2,則sin5的值

為（）

A.近B."C.-D.也

5523

2.［2024寧波期中］某人沿著有一定坡度的坡面前進了10m,此時他與水平地面

的垂直距離為2/m,則這個坡面的坡度為（）

A.1：2B.1：3C.1：A/5D.^5：1

3.［2024西安雁塔區(qū)月考］下列關(guān)于拋物線y=—/+2的說法正確的是（）

A.拋物線開口向上

B.頂點坐標為（一1,2）

C.在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而增大

D.拋物線與x軸有兩個交點

4.在平面直角坐標系X0中，四條拋物線如圖所示，其表達式中的二次項系數(shù)

絕對值最小的是（）

A.CiB.C2C.C3D.。4

5.［2024宿遷模擬］已知二次函數(shù);；="2+旅-2a（a于0）的圖象經(jīng)過點/（I,〃）,

5（3,n）,且當x=l時，y>0.若M（—2,yi）,N（—1,y2）,尸（7,g）也在該二

次函數(shù)的圖象上，則下列結(jié)論正確的是（）

A.yi<y2<y3B.y2<yi<y3C.y3<yi<y2D.yi<y3<y2

6.已知NN為銳角，且tanN=也，則NN的取值范圍是（）

A.00<ZA<30°B.30°<Z^<45°

C.45°<ZJ<60°D.600<ZA<90°

1

7.按下列方法作圖可求出tan75。的值，如圖，在RtA48c中，AC=k,ZACB

=90°,ZABC=30°,延長C8,在C5的延長線上截取線段5。，使

連接ZD,依據(jù)此圖可求得tan75。的值為（）

A.2—A/3B.2+3C.1+3D.3一1

（第7題）（第8題）

8.南洞庭大橋是南益高速公路上的重要橋梁，小芳同學在校外實踐活動中對此

開展測量活動.如圖，在橋外一點Z處測得大橋主架與水面的交匯點C的俯

角為a,大橋主架的頂端。的仰角為例已知測量點與大橋主架的水平距離

AB=a,則此大橋主架頂端離水面的高CO為（）

A.asina+asin^B.acosa+acos

C.atana+atanD.-------------

tana+tan

9.[2024濟南模擬]在同一直角坐標系中，二次函數(shù);；=?2+區(qū)與一次函數(shù)y=

bx-a的圖象可能是（）

10.[2024天津]從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度〃（單位：m）與小球的運

動時間/（單位：s）之間的表達式是〃=301—5/2（04/6）.有下列結(jié)論：

①小球從拋出到落地需要6s；

②小球運動中的高度可以是30m；

③小球運動2s時的高度小于運動5s時的高度.

其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

2

二、填空題（每題3分，共15分）

2

11.若二次函數(shù)y=（相—1）/-3，"-2的圖象開口向下，則機的值為.

12.［2024資陽］在八45。中，ZA=60°,ZC=4.若ZUBC是銳角三角形，則邊

AB長的取值范圍是.

13.定義：兩個不相交的函數(shù)圖象在豎直方向上的最短距離，叫做這兩個函數(shù)的

“向心值”，則拋物線y=》2—2x+3與直線y=x—2的響心值”為.

14.在平行四邊形Z8C。中，N45C是銳角，將CD沿直線/翻折至48所在直

線，對應(yīng)點分別為C,D',^AC'.AB,.BC=\：3：7,則cosZABC=.

15.［2024武漢］拋物線y=af+bx+c（a,b,c是常數(shù)，a<0）經(jīng)過（一1,1）,（m,

1）兩點，且0<機<1.下列四個結(jié)論：

①6>0；②若0<x<l,則a（x—l）2+6（x—l）+c>l；③若口=-1,則關(guān)于

x的一元二次方程ax2+6x+c=2無實數(shù)解；④點N（xi,y\）,B（xi,竺）在拋物

線上，若xi+x2>—g,xi>X2,總有yiV”，貝1J0<加W；

其中正確的是（填序號）.

三、解答題（共75分）

16.（10分）計算：（l）tan450+4cos30°sin45°—；tan60°.

（2）［2024揚州］|兀一3|+2sin30。一“5—2）。.

17.（12分）如圖，△046的CM邊在x軸上，其中8點坐標為（3,4）且08=84

（1）求經(jīng)過4B,。三點的拋物線的表達式；

（2）將（1）中的拋物線沿x軸向右平移，設(shè)點Z,5的對應(yīng)點分別為點4,B',若四

3

邊形Z88W為菱形，求平移后的拋物線的表達式.

18.(12分)在日常生活中我們經(jīng)常使用訂書機.如圖，Z8是訂書機的托板，壓

柄8c繞著點8旋轉(zhuǎn)，連接桿的一端點。固定，點E從N向8處滑動，

在滑動過程中，的長保持不變.已知8。=5啦cm.

(1)如圖①，當N4BC=45。時，B,E之間的距離為15cm,求連接桿的長度;

(2)現(xiàn)將壓柄8C從圖①的位置旋轉(zhuǎn)到與底座Z8垂直的位置，如圖②所示.求在

此過程中點￡滑動的距離.

19.(12分)[2024煙臺]每年5月的第三個星期日為全國助殘日，今年的主題是“科

技助殘，共享美好生活”.某公司新研發(fā)了一批便攜式輪椅，計劃在該月銷

售.根據(jù)市場調(diào)查，每輛輪椅盈利200元時，每天可售出60輛；單價每降

低10元，每天可多售出4輛.公司決定在成本不變的情況下降價銷售，但

4

每輛輪椅的利潤不低于180元.設(shè)每輛輪椅降價x元，每天的銷售利潤為

y兀?

(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式；每輛輪椅降價多少元時，每天的銷售利潤最大？最大

利潤為多少元？

(2)全國助殘日當天，公司共獲得銷售利潤12160元，請問這天售出了多少輛

輪椅？

20.(14分)如圖，學校數(shù)學興趣小組開展“實地測量教學樓Z8的高度”的實踐活

動.教學樓周圍是開闊平整的地面，可供使用的測量工具有皮尺、測角儀(皮

尺的功能是直接測量任意可到達的兩點間的距離；測角儀的功能是測量角的

大小).

(1)請你設(shè)計測量教學樓幺3的高度的方案，方案包括畫出測量平面圖，把應(yīng)測數(shù)

據(jù)標記在所畫的圖形上(測出的距離用m,n等表示，測出的角用a,￡等表示),

并對設(shè)計進行說明；

(2)根據(jù)你測量的數(shù)據(jù)，計算教學樓Z5的高度(用字母表示).

m

m

m

□□B_______________________________

////7/////////////////////皮尺測角儀

21.(15分)[2024濟南萊蕪區(qū)模擬]如圖所示，在平面直角坐標系中，拋物線y=

?！?+旅-8與x軸交于幺(一4,0),B(2,0)兩點，與y軸交于點C.

(1)求拋物線的函數(shù)表達式及頂點坐標；

(2)點尸為第三象限內(nèi)拋物線上一點，作直線/C,連接E4,PC,求ZkB4c面積

5

的最大值及此時點P的坐標.

6

答案

、1.A2.A

3.D【點撥】?.〉=—爐+2,.?.拋物線開口向下，頂點坐標為(0,2),在對稱軸

的右側(cè)，了隨x的增大而減小，

:.A,B,C都不正確.

V02-4X(-1)X2=8>0,

???拋物線與x軸有兩個交點，D正確.

4.C

5.C【點撥】?函數(shù)圖象經(jīng)過點幺(1,〃),8(3,〃),

：.函數(shù)圖象的對稱軸是直線x=2,

一0-=2,即6=—4a,

2a

.".y=ax2—4ax—2a.

?當x=l時，y>Q,

—4a—2a>0,.*.a<0.

yi),N(—1,y2),尸(7,”)到對稱軸的距離從遠到近為尸，M,N,

6.C【點撥】Vtan45°=l,tan60°=\3,正切值隨角的增大而增大，且1<

也<加，：.45°<ZA<60°.

7.B【點撥】在RtA^BC中，AC=k,ZACB=9Q°,NZ5c=30。，

'.AB=2k,BC=\13k.

"：BD=AB,：./BAD=ZBDA=-ZABC=15°.

2

CID=75。.

在RtA^CQ中，CD=CB+BD=CB+AB=\!3k+2k,

則tan75o=tanNG4Q=%='%+2左=2+亞

ACk

8.C【點撥】在RtAA&D和RtA48C中，AB=a,tana=-,tan^=—,/.

ABAB

5C=6ztana,BD=atan6/.CD=BC+BD=atana+atan故選C.

7

9.C【點撥】由方程組P—"2+“'得"2=一。

y=bx-a,

存0,

/.x2=-L則該方程無實數(shù)根，

故二次函數(shù)與一次函數(shù)圖象無交點，故B錯誤；

選項A中二次函數(shù)圖象開口向上，說明。>0,對稱軸在y軸右側(cè)，則b<0,

但是一次函數(shù)中b為一次項系數(shù)，圖象顯示從左向右上升，則6>0,兩者矛

盾，故A錯誤；

由二次函數(shù)的圖象應(yīng)過原點，知D錯誤.故選C.

10.C【點撥】令〃=0,則3(k—5/2=0,解得九=0,亥=6,

??.小球從拋出到落地需要6s,故①正確；

h=30t-59二-5(祥一6t)=一5?—3)2+45>

V-5<0,

.?.當/=3時，丸有最大值，最大值為45,

???小球運動中的高度可以是30m,故②正確；

當t=2時，/z=30x2—5x4=40,

當t=5時，/z=30x5—5x25=25.

V40>25,

...小球運動2s時的高度大于運動5s時的高度，故③錯誤.

二、11.-1

12.2<AB<8【點撥】如圖，作徵以？的高CO,BE.

,：AABC是銳角三角形，

：.CD,8E在三角形的內(nèi)部，

：.AB>AD,AOAE.

在RtA4C￡>中，ZA=60°,AC=4,

8

.*.ZZ)=/CcosN=4xl=2,.'.AB>2,

2

AC4

又?.,48=^LL<?^=7=8,

cosAcosA1

2

：.2<AB<8.

13.v【點撥】設(shè)拋物線與直線在豎直方向上的距離為w,

4

則w=|x2—2x+3—（X—2）|=|x2—3x+5|=I2）+4I=[J+]，

w的最小值為」I

4

即拋物線了=/一2x+3與直線y=x—2的“向心值”為

14.2或4【點撥】設(shè)直線/交BC于點E當。在48之間時，如圖①，根據(jù)ZC：

77

AB：BC=1：3：7,不妨設(shè)ZC=1,48=3,BC=7,由翻折的性質(zhì)知NECO

=ZFC'D',C'F=CF.,：CD沿直線I翻折至AB所在直線，I.ZBCF+ZFCD'

7

=180°=ZFCD+ZFBA,：.ZBC'F=ZFBA,:.BF=C'F=CF=L過點F

2

作Z8的垂線，垂足為E,.?.8￡=15C=[(N5—ZC)=1,.?.COSNZ8C=8￡=

22BF

12

=-；當。在A4的延長線上時，如圖②，根據(jù)ZC：48：8C=1：3：7,

L77

2

不妨設(shè)ZC=1,4B=3,BC=1,同理知過點/作Z8

2

11RF2A

的垂線，垂足為E,.?.5￡=18C='L(ZB+ZC)=2,.?.cosNN5C=些=7==

22BF11

2

綜上，cosN48C的值為2或&

77

15.②③④【點撥】,拋物線_^=。/+樂+。經(jīng)過（一1,1）,（機，1）兩點，...對

9

b??，?產(chǎn)產(chǎn)。，即-卜

稱軸為直線X—<0.Xa<0,

2a2a

：.b<09結(jié)論①錯誤；TOv加vl,???加一(一1)>1,即點(一1,1)和(加，1)的距

離大于1「二。<0,?,?拋物線開口向下.當0<%<1時，貝!]4(%—

1)2+Z?(X—l)+c>l,結(jié)論②正確；當Q=-1時，拋物線為y=—d+bx+c,

CbZ72+4c|

頂點坐標為I?4J.由題易知一】紇0,???—拋物線經(jīng)過點

22

/)2—I—4r

(―1,1),—1—ZJ+C=1,即c=b+2.令頂點的縱坐標為p,則?=---=

^2+Z?+2=^+2)2+1.V-1<6<0,30,.*.|<7?<2,即拋物線y=一爐+

bx+c的頂點縱坐標大于?且小于2.又拋物線開口向下，.?.關(guān)于x的一元二次

方程"2+bx+c=2無實數(shù)解，結(jié)論③正確；由④中的已知條件易知一1

2

—<-p解得0<機士,結(jié)論④正確.故答案為②③④.

242

三、16.【解】(l)tan450+4cos30°sin45°-^tan60°

=l+4x電也一位

223

=1+A/6~1

=?.

(2)|7i-3|+2sin30?！猤—2)。

=7T-3+2x1一1

2

=71一3.

17.【解】⑴?.?B點坐標為(3,4)HOB=BA,

：.A(6,0).又0),

???設(shè)所求拋物線的表達式為y="(x—6),

將點8(3,4)的坐標代入y=ax(x—6),可得4=—9a,

4

??Cl

9

10

(2)由題意可得，52=732+42=5.

?.?四邊形Z55W為菱形，

:?BB，=BA=5.

???拋物線沿x軸向右平移，??.8(8,4),

???易知平移后拋物線的表達式為了=—；(》一8)2+4.

18.【解】(1)如圖，過點。作。河，48,垂足為M

在K/\BDM中，DM=5Dsin45°=5cm,BM=BD?cos450=5cm.

在RtADEN中，/DME=90。,DM=5cm,EM=BE~BM=10cm,

:.DE=\)D死+￡濟=5示cm,

連接桿DE的長度為5市cm.

(2)在RtADBE中，ZDBE=9Q°,BD=5亞cm,DE=5、15cm,

：.BE=\JDE2-BD2=5^cm,

???在此過程中點￡滑動的距離為(15—53)cm.

|60+4X^J

19.【解】(l?=(200—x)lWj

=-0.4x2+20x+12000

=-0,4(X-25)2+12250.

V200-x>180,：.x<20.

??.當x=20時，利潤最大，最大利潤為-0