2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)壓軸訓(xùn)練：一次函數(shù)綜合題 （學(xué)生版）

專題01一次函數(shù)綜合題

壓軸題密押

通用的解題思路:

(1)一次函數(shù)與幾何圖形的面積問(wèn)題

首先要根據(jù)題意畫(huà)出草圖，結(jié)合圖形分析其中的幾何圖形，再求出面積.

(2)一次函數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題

通常一次函數(shù)的最值問(wèn)題首先由不等式找到x的取值范圍，進(jìn)而利用一次函數(shù)的增減性在前面范圍內(nèi)的前

提下求出最值.

(3)用函數(shù)圖象解決實(shí)際問(wèn)題

從己知函數(shù)圖象中獲取信息，求出函數(shù)值、函數(shù)表達(dá)式，并解答相應(yīng)的問(wèn)題.

壓軸題預(yù)測(cè)

1.(2024?鼓樓區(qū)一模)如圖，直線丁=-&+6與。。相切，切點(diǎn)為尸，與x軸y軸分別交于A、3兩點(diǎn).。。

與尤軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C.

(1)求。。的半徑；

(2)求圖中陰影部分的面積.

2.（2023?宿豫區(qū)三模）如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，直線/1：y=x+l與直線4：x=-2相交于點(diǎn)。，點(diǎn)A

是直線4上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AB_L/［于點(diǎn)3,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,3）,連接AC,BC.設(shè)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為

AA5c的面積為s.

（1）當(dāng)t=2時(shí)，求點(diǎn)3的坐標(biāo)；

4?+/??-4（"一1或’〉5）,其圖象如圖②所示，結(jié)合圖①、②的信息,

（2）s關(guān)于f的函數(shù)解析式為，=

a(r+l)(/-5)(-1</<5)

求出。與6的值；

（3）在直線上是否存在點(diǎn)A,使得N4CB=90。，若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明

理由.

Ox

057

①②

3.(2023?漂陽(yáng)市一模)如圖1,將矩形AOBC放在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是原點(diǎn)，點(diǎn)A坐標(biāo)為(0,4),點(diǎn)

3坐標(biāo)為(5,0),點(diǎn)P是x軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，連接"，AAQ尸是由AAO尸沿AP翻折所得到的圖形.

(1)當(dāng)點(diǎn)。落在對(duì)角線OC上時(shí)，OP=；

(2)當(dāng)直線PQ經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，求所在的直線函數(shù)表達(dá)式；

(3)如圖2,點(diǎn)M是3c的中點(diǎn)，連接版＞、MQ.

①的最小值為_(kāi)___；

②當(dāng)NPMQ是以為腰的等腰三角形時(shí),請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).

y八斗

「

圖1M圖2

4.（2022?啟東市模擬）我們知道一次函數(shù)、=血+〃與y=-wzr+“（7〃*0）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以我們

定義：函數(shù)y=/nr+〃與＞=一7加+〃（相20）互為"M"函數(shù).

（1）請(qǐng)直接寫出函數(shù)y=2x+5的“M”函數(shù)；

（2）如果一對(duì)“M"函數(shù)y=+〃與y=Tnx+"（mwO）的圖象交于點(diǎn)A,且與x軸交于3,C兩點(diǎn)，如

圖所示，若44c=90。，且AABC的面積是8,求這對(duì)“M”函數(shù)的解析式；

（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)。是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)。的坐標(biāo).

5.（2024?新北區(qū)校級(jí)模擬）如圖①，動(dòng)點(diǎn)尸從矩形ABCD的頂點(diǎn)A出發(fā)，以匕的速度沿折線A-3-C向終

點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，一動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)。出發(fā)，以內(nèi)的速度沿DC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)

點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，連接PE,PQ,記AEP。的面積為S,點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（其函數(shù)圖

象為折線肱V-NR和曲線FG（圖②），已知，ON=4,=1,點(diǎn)G的坐標(biāo)為（8,0）.

（1）點(diǎn)尸與點(diǎn)。的速度之比:的值為—；器的值為一；

（2）如果0M=15.

①求線段NF所在直線的函數(shù)表達(dá)式;

②求FG所在曲線的函數(shù)表達(dá)式；

③是否存在某個(gè)時(shí)刻乙使得若存在，求出f的取值范圍：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

4

圖①圖②

6.（2024?梁溪區(qū)校級(jí)模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)>=-62+3^+44的圖象與x軸交于A、

3兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)3的左側(cè)），與y軸正半軸交于點(diǎn)C,直線y=交于第一象限內(nèi)的。點(diǎn)，且AABC的

面積為10.

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)E為x軸上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)石作y軸的平行線交線段C?于點(diǎn)尸，交拋物線于點(diǎn)G,當(dāng)GF=&O尸時(shí),

求點(diǎn)G的坐標(biāo)；

（3）已知點(diǎn)P（〃,0）是x軸上的點(diǎn)，若點(diǎn)尸關(guān)于直線QD的對(duì)稱點(diǎn)。恰好落在二次函數(shù)的圖象上，求〃的值.

（備用圖）

7.（2023?祁江區(qū)校級(jí)一模）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，直線/:>=-苧龍+46分別與x軸、y軸交于

點(diǎn)A點(diǎn)和3點(diǎn)，過(guò)。點(diǎn)作于。點(diǎn)，以O(shè)D為邊構(gòu)造等邊A￡E>F（/點(diǎn)在x軸的正半軸上）.

（1）求A、3點(diǎn)的坐標(biāo)，以及C?的長(zhǎng)；

（2）將等邊AEZ不，從圖1的位置沿x軸的正方向以每秒1個(gè)單位的長(zhǎng)度平移，移動(dòng)的時(shí)間為f（s）,同時(shí)

點(diǎn)尸從E出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿著折線運(yùn)動(dòng)（如圖2所示），當(dāng)尸點(diǎn)到廠點(diǎn)停止，ADEF

也隨之停止.

①"（s）時(shí)，直線/恰好經(jīng)過(guò)等邊AEDF其中一條邊的中點(diǎn)；

②當(dāng)點(diǎn)尸在線段DE上運(yùn)動(dòng)，若DM=2PM,求f的值；

③當(dāng)點(diǎn)尸在線段。尸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若APMN的面積為石，求出f的值.

8.(2023?武進(jìn)區(qū)校級(jí)模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于任意兩點(diǎn)片(再，,)與鳥(niǎo)(尤?，/)的“非常距

離”，給出如下定義：

若1%-%I…IM-%I，則點(diǎn)片與點(diǎn)舄的"非常距離"為l蒞-xj；

若1%-Xj|<|%I,則點(diǎn)R與點(diǎn)P2的"非常距離"為I必一必I-

例如：點(diǎn)6(1,2),點(diǎn)心(3,5),因?yàn)閨1-3|<|2-5],所以點(diǎn)6與點(diǎn)乙的“非常距離”為|2-5|=3,也就是圖

1中線段勺。與線段鳥(niǎo)。長(zhǎng)度的較大值(點(diǎn)。為垂直于y軸的直線與垂直于x軸的直線鳥(niǎo)Q交點(diǎn)).

(1)已知點(diǎn)A(-g,0),3為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

①若點(diǎn)A與點(diǎn)3的“非常距離”為2,寫出一個(gè)滿足條件的點(diǎn)3的坐標(biāo)；

②直接寫出點(diǎn)A與點(diǎn)3的“非常距離”的最小值；

(2)已知C是直線y=2尤+3上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

4

①如圖2,點(diǎn)。的坐標(biāo)是(0,1),求點(diǎn)C與點(diǎn)。的“非常距離”的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)C的坐標(biāo)；

②如圖3,E是以原點(diǎn)O為圓心，1為半徑的圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)C與點(diǎn)E的''非常距離”的最小值及相

9.(2023?海安市一模)對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形W和點(diǎn)P,給出如下定義：尸為圖形W上任意

一點(diǎn)，將尸，尸兩點(diǎn)間距離的最小值記為山，最大值記為稱M與加的差為點(diǎn)P到圖形W的“差距離”,

記作d(P,W),即d(P,W)=M—m,已知點(diǎn)A(2,l),8(-2,1)

(1)求d(O,AB)；

(2)點(diǎn)C為直線y=-l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)d(C,AB)=l時(shí)，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是；

(3)點(diǎn)D為函數(shù)、=尤+6(-2強(qiáng)腺2)圖象上的任意一點(diǎn)，當(dāng)d(D,AB),,2時(shí)，直接寫出6的取值范圍.

10.(2022?姑蘇區(qū)校級(jí)模擬)平面直角坐標(biāo)系x°y中，對(duì)于任意的三個(gè)點(diǎn)A、B、C,給出如下定義：若

矩形的任何一條邊均與某條坐標(biāo)軸平行，且A,3,C三點(diǎn)都在矩形的內(nèi)部或邊界上，則稱該矩形為點(diǎn)A,

B,C的“三點(diǎn)矩形”.在點(diǎn)A,B,C的所有“三點(diǎn)矩形”中，若存在面積最小的矩形，則稱該矩形為點(diǎn)

A,B,C的“最佳三點(diǎn)矩形”.

如圖1,矩形。EFG,矩形〃S都是點(diǎn)A,B,C的“三點(diǎn)矩形"，矩形〃是點(diǎn)A,B,C的“最佳

三點(diǎn)矩形”.

如圖2,已知M(4,l),N(-2,3),點(diǎn)、.

(1)①若加=2,〃=4,則點(diǎn)N,尸的“最佳三點(diǎn)矩形”的周長(zhǎng)為—，面積為一；

②若m=2,氤M,N,P的“最佳三點(diǎn)矩形”的面積為24,求”的值；

(2)若點(diǎn)尸在直線y=-2x+5上.

①求點(diǎn)M,N,尸的“最佳三點(diǎn)矩形”面積的最小值及此時(shí)機(jī)的取值范圍；

②當(dāng)點(diǎn)M,N,P的“最佳三點(diǎn)矩形”為正方形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)若點(diǎn)在拋物線y=o?+bx+c上,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)Af,N,尸的“最佳三點(diǎn)矩形”面積為12時(shí),

-2鼓帆-1或援加3,直接寫出拋物線的解析式.

4

N.3N*3

2

-4-3-2-，!02345”一4一3-2T]°2345

A

X

圖1圖2備用圖

11.（2022?太倉(cāng)市模擬）如圖①，動(dòng)點(diǎn)尸從矩形ABCD的頂點(diǎn)A出發(fā)，以匕的速度沿折線A-3-C向終點(diǎn)C

運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，一動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)。出發(fā)，以”的速度沿DC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也

停止運(yùn)動(dòng).點(diǎn)E為8的中點(diǎn)，連接PE,PQ,記AEPQ的面積為S,點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為f,其函數(shù)圖象為

折線MN-NF和曲線FG（圖②），已知，ON=3,=1,點(diǎn)G的坐標(biāo)為（6,0）.

（1）點(diǎn)尸與點(diǎn)。的速度之比上的值為；AB:AD的值為；

匕

（2）如果OA/=2.

①求線段NF所在直線的函數(shù)表達(dá)式；

②是否存在某個(gè)時(shí)刻乙使得S…2?若存在，求出/的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

3

Bi------------------.C

SA

12.(2022?祁江區(qū)校級(jí)一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于點(diǎn)P和線段ST,我們定義點(diǎn)尸關(guān)于線段ST的

PS

(PS<PT)

~ST

線段比人

PT

而(PS..PT)

(1)已知點(diǎn)4(0,1),8(1,0).

①點(diǎn)2(2,0)關(guān)于線段A3的線段比左=

②點(diǎn)C(0,c)關(guān)于線段的的線段比％=求c的值.

(2)已知點(diǎn)”(私0),點(diǎn)N(〃?+2,0),直線y=x+2與坐標(biāo)軸分別交于E,P兩點(diǎn)，若線段￡F上存在點(diǎn)使

得這一點(diǎn)關(guān)于線段跖V的線段比￡,(，直接寫出機(jī)的取值范圍.

13.(2022?泰州)定義：對(duì)于一次函數(shù)y,=ax+b、y2=cx+d,我們稱函數(shù)

y=帆(6+6)+"(cx+d)(〃K7+/c=0)為函數(shù)/、內(nèi)的"組合函數(shù)”.

(1)若〃z=3,〃=1,試判斷函數(shù)y=5x+2是否為函數(shù)芳=x+l、%=2》-1的“組合函數(shù)”，并說(shuō)明理由；

(2)設(shè)函數(shù)y=x-p-2與%=-尤+3。的圖像相交于點(diǎn)P.

①若〃2+">1,點(diǎn)P在函數(shù)為、內(nèi)的“組合函數(shù)”圖像的上方，求2的取值范圍；

②若pwl,函數(shù)X、的“組合函數(shù)”圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)是否存在大小確定的機(jī)值，對(duì)于不等于1的任意實(shí)

數(shù)0,都有“組合函數(shù)”圖像與x軸交點(diǎn)。的位置不變？若存在，請(qǐng)求出機(jī)的值及此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

14.（2024?鐘樓區(qū)校級(jí)模擬）在同一平面內(nèi)，具有一條公共邊且不完全重合的兩個(gè)全等三角形，我們稱這

兩個(gè)三角形叫做“共邊全等”.

（1）下列圖形中兩個(gè)三角形不是“共邊全等”是—；

（2）如圖1,在邊長(zhǎng)為6的等邊三角形ABC中，點(diǎn)。在池邊上，S.AD=-AB,點(diǎn)、E、F分別在AC、BC

3

邊上，滿足ABDF和AEZ）廣為“共邊全等”，求CF的長(zhǎng)；

（3）如圖2,在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-3x+12分別與直線y=x、x軸相交于A、3兩點(diǎn)，點(diǎn)C是03

的中點(diǎn)，尸、。在AAO3的邊上，當(dāng)以尸、B、。為頂點(diǎn)的三角形與APCB“共邊全等”時(shí)，請(qǐng)直接寫出

點(diǎn)。的坐標(biāo).

15.(2023?新北區(qū)校級(jí)二模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A、點(diǎn)3的坐標(biāo)分別為(-2,0)、(0,8).經(jīng)

過(guò)A、B、O三點(diǎn)的圓的圓心為過(guò)點(diǎn)M的直線與的公共點(diǎn)是。、E,與x軸交于點(diǎn)與y軸

交于點(diǎn)N,連接OD、BD.已知NOZ)尸=45。.

(1)G)Af的直徑為，點(diǎn)Af的坐標(biāo)為；

(2)求直線DF所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

(3)若尸是線段AF上的動(dòng)點(diǎn)，NPE4與ABDO的一個(gè)內(nèi)角相等，求。P的長(zhǎng)度.

16.(2023?梁溪區(qū)模擬)如圖，以A(-9,0)、2(-2,0)為頂點(diǎn)作等邊AABC,點(diǎn)C在第二象限.

(1)求直線3c所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式.

(2)過(guò)點(diǎn)。(1,0)作一條直線交3c于點(diǎn)P,交AC于點(diǎn)Q,且￡>P:PQ=3:2.

①求點(diǎn)P的坐標(biāo)與ZBPD的度數(shù)；

②在y軸上是否存在這樣的點(diǎn)使得點(diǎn)〃到NBPD的兩邊所在直線的距離相等？若存在，請(qǐng)直接寫出所

以符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

17.(2023?海州區(qū)校級(jí)二模)問(wèn)題提出：

(1)在學(xué)習(xí)幾何時(shí)，我們可以通過(guò)構(gòu)造基本圖形，將幾何“模型”化.例如在三角形全等與三角形的相似

的學(xué)習(xí)過(guò)程中，'‘左"字形是非常重要的基本圖形.如圖1,已知：ZADC="EC=ZACB=90。,D、C、

E三點(diǎn)共線，AC=BC,由ASA易證AADCMACEB；

如圖2,已知：ZADC=ZBEC=ZACB=90°,D、C、E三點(diǎn)共線，若AC=6、BC=3、BE=1,則AD

的長(zhǎng)為—；

圖2圖3

(2)①如圖3,已知：ZADC=ZBEC=ZACB=90°,AC^BC,D、C、E三點(diǎn)共線，求證：AD=BE+DE；

②如圖4,已知點(diǎn)A(-3,l),點(diǎn)3在直線y=-2尤+4上，若NAOB=90。，則此時(shí)點(diǎn)3的坐標(biāo)為；

問(wèn)題拓展：

(3)如圖5,正方形ABCD中，點(diǎn)G是3C邊上一點(diǎn)，BFVAG,DE_LAG,垂足分別為尸、E.若AE=1,

四邊形ABED的面積等于10,求正方形ABCD的面積.

(4)如圖6,正方形ABCD中，點(diǎn)E、尸分別在41、AS邊上，AE=BF,連接￡F、DF,則空的最

DF

小值是.

18.(2023?金壇區(qū)一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于點(diǎn)A,記線段。4的中點(diǎn)為M.若點(diǎn)A,M,P,

Q按逆時(shí)針?lè)较蚺帕袠?gòu)成菱形AMP。，其中/Q4M=(/。(0<(/<180),則把菱形4WPQ稱為點(diǎn)A的“&。菱

形"AMPQ,把菱形AMPQ邊上所有點(diǎn)都稱為點(diǎn)A的“0。菱點(diǎn)”.已知點(diǎn)A(0,4).

(圖1)(備用圖)

(1)在圖1中，用直尺和圓規(guī)作出點(diǎn)A的“60。菱形"AMPQ,并直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo)(不寫作法，保

留作圖痕跡)；

(2)若點(diǎn)8(1,1)是點(diǎn)A的“.。菱點(diǎn)”，求c的值；

(3)若一次函數(shù)y=+b的圖象上存在點(diǎn)A的“&。菱點(diǎn)”，直接寫出6的取值范圍.

19.（2022?吳中區(qū)模擬）探究與應(yīng)用：在學(xué)習(xí)幾何時(shí)，我們可以通過(guò)分離和構(gòu)造基本圖形，將幾何“模塊”

化.例如在相似三角形中，K字形是非常重要的基本圖形，可以建立如下的“模塊”（如圖①）：

（1）請(qǐng)就圖①證明上述“模塊”的合理性.已知：ZA=ND=NBCE=90。，求證：AABC^ADCE；

（2）請(qǐng)直接利用上述“模塊”的結(jié)論解決下面兩個(gè)問(wèn)題：

①如圖②，已知點(diǎn)4（-2』），點(diǎn)3在直線y=-2x+3上運(yùn)動(dòng)，若NAOB=90。，求此時(shí)點(diǎn)3的坐標(biāo)；

②如圖③，過(guò)點(diǎn)A（-2,1）作x軸與y軸的平行線，交直線、=-2元+3于點(diǎn)C、D,求點(diǎn)A關(guān)于直線8的對(duì)

稱點(diǎn)E的坐標(biāo).

圖①圖②圖③

20.(2022?雨花臺(tái)區(qū)校級(jí)模擬)閱讀并解答下列問(wèn)題；在學(xué)習(xí)完《中心對(duì)稱圖形》一章后，老師給出了以

下一個(gè)思考題：如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)4(0,3),3(5,1),C(a,0),D(a+2,0),連接AC,

CD,DB,求AC+CD+D3最小值.

圖4圖5圖6

【思考交流】小明：如圖2,先將點(diǎn)A向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度到點(diǎn)A，作點(diǎn)3關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)片，連接4月

交無(wú)軸于點(diǎn)。，將點(diǎn)。向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)C,連接AC.BD.此時(shí)AC+CD+DB的最小值等

于AlBl+CD.

小穎：如圖3,先將點(diǎn)A向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度到點(diǎn)4，作點(diǎn)片關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)兒,連接可以求解.

小亮：對(duì)稱和平移還可以有不同的組合.…

【嘗試解決】在圖2中，AC+CD+L?的最小值是.

【靈活應(yīng)用】如圖4,在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知點(diǎn)4(0,3),B(5,l),C(a,l),D(a+2,0),連接AC,

CD,DB,則AC+CD+DB的最小值是，此時(shí)a=,并請(qǐng)?jiān)趫D5中用直尺和圓規(guī)作出AC+CD+DB

最小時(shí)8的位置(不寫作法，保留作圖痕跡).

【拓展提升】如圖6,在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知點(diǎn)A(0,3),C是一次函數(shù)y=x圖象上一點(diǎn)，CD與y

軸垂直且CD=2(點(diǎn)。在點(diǎn)C右側(cè))，連接AC,CD,AD