2025深圳中考數(shù)學(xué)考前沖刺復(fù)習(xí)（學(xué)生版）

2025中考倒計(jì)時(shí)系列?考前沖刺?深圳專版

模塊一熱點(diǎn)題型專練模塊三壓軸大題專練

一、函數(shù)圖像與動(dòng)點(diǎn)問題十二、二次函數(shù)-項(xiàng)目式學(xué)習(xí)

二、三角函數(shù)中檔題十三、項(xiàng)目式學(xué)習(xí)-其它知識點(diǎn)

三、中檔題一二次函數(shù)十四、幾何綜合遞進(jìn)式探究

四、選填壓軸最值問題十五、解答題-幾何綜合

五、中檔題-圓十六、函數(shù)綜合

六、中檔題-尺規(guī)作圖模塊四打卡訓(xùn)練

七、反比例函數(shù)

每日一練（1）

模塊二選填壓軸專練

每日一練（2）

八、填空壓軸-翻折問題每日一練（3）

九、填空壓軸-解三角形每日一練（4）

十、倍半角每日一練（5）

十一、填空壓軸-線段比每日一練（6）

模塊一熱點(diǎn)題型專練

一、函數(shù)圖像與動(dòng)點(diǎn)問題

1.（2025廣東深圳一模）如圖1,在Rt^ABC中，ZC=90°,一動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速

度沿著Af8fC的路徑運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)尸作尸。，AC,垂足為。.設(shè)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的路程為x,PB與PQ的差為》,

V與X的函數(shù)圖象如圖2所示，點(diǎn)M,N是線段DE,EP與X軸的交點(diǎn)，則圖2中點(diǎn)M對應(yīng)的點(diǎn)P位置到

點(diǎn)N對應(yīng)的點(diǎn)尸位置所經(jīng)歷的時(shí)長為（）

C.蔡秒八38,

A.2秒B.4秒D.3秒

2.（2024?江蘇蘇州?一模）如圖1,在VASC中，ZC=90°,AC=3,BC=4.點(diǎn)。從A出發(fā)，沿A—C—B運(yùn)

動(dòng)到8點(diǎn)停止，過點(diǎn)。作DE上AB,垂足為E連接8￡>.設(shè)點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)路徑長為x,VBDE的面積為》若

48

D.

25

第2頁，共63頁

3.（23-24九年級上?湖北武漢?階段練習(xí)）如圖1,在正方形ABC。中，動(dòng)點(diǎn)尸以lcm/s的速度自。點(diǎn)出發(fā)沿

DA方向運(yùn)動(dòng)至A點(diǎn)停止，動(dòng)點(diǎn)。以2cm/s的速度自A點(diǎn)出發(fā)沿折線A3C運(yùn)動(dòng)至。點(diǎn)停止，若點(diǎn)尸、。同

時(shí)出發(fā)運(yùn)動(dòng)了/秒，記△尸42的面積為sen?,且$與，之間的函數(shù)關(guān)系的圖像如圖2所示，則圖像中加的值

為（）.

A.1B.1.2C.1.6D.2

二、三角函數(shù)中檔題

4.（2025?廣東深圳?一模）某倉儲中心有一個(gè)斜坡AB,N5=18。，B、。在同一水平地面上，其橫截面如圖，

現(xiàn)有一個(gè)側(cè)面圖為正方形OEFG的正方體貨柜，其中?！?1.6米，該貨柜沿斜坡向下時(shí)，若點(diǎn)。的最大高

度限制（即點(diǎn)。離5。所在水平面的高度?！钡淖畲笾担?.2米，則5G的長度應(yīng)不超過（）米（參考

數(shù)據(jù)：sinl8°?0.31,cosl8°?0.95,tanl8°?0.32）

A.13B.15C.20D.25

5.（2024?山東臨沂?模擬預(yù)測）菱形是日常生活中常見的圖形，如伸縮衣架（如圖1）等，為兼顧美觀性和

實(shí)用性，活動(dòng)角。的取值范圍宜為60。<（/<120。（如圖2）,亮亮選購了折疊后如圖3所示的伸縮衣架，則

其拉伸長度A5的適宜范圍最接近（）

30cm

I

圖1圖21圖3

A.30<AB<45B.45<AB<45s/3

C.45<AB<30>/3D.30<AB<45^

6.（2024.廣東深圳.二模）小明在科普讀物中了解到：每種介質(zhì)都有自己的折射率，當(dāng)光從空氣射入該介質(zhì)

時(shí)，折射率為入射角正弦值與折射角正弦值之比，即折射率〃（i為入射角，「為折射角）.如圖，一

sinr

束光從空氣射向橫截面為直角三角形的玻璃透鏡斜面，經(jīng)折射后沿垂直AC邊的方向射出，已知，=30。，

AB=15cm,SC=5cm,則該玻璃透鏡的折射率W為（）

法線

A.1.8B.1.6C.1.5D.1.4

7.（2025廣東深圳一模）圖1是某款自動(dòng)旋轉(zhuǎn)遮陽傘，傘面完全張開時(shí)張角呈180。，圖2是其側(cè)面示意圖.為

實(shí)現(xiàn)遮陽效果最佳，傘面裝有接收器可以根據(jù)太陽光線的角度變化，自動(dòng)調(diào)整手柄。沿著A5移動(dòng)，以保證

太陽光線與。尸始終垂直，已知支架AB長為2.5米，且垂直于地面BC,某一時(shí)刻測得BD=1.7米，懸托架

3

3DE，點(diǎn)E固定在傘面上，當(dāng)傘面完全張開時(shí)，太陽光線與地面的夾角設(shè)為當(dāng)tan”*,此時(shí)

懸托架的長度為（）米.

圖1圖2

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A.0.5B.0.6C.0.8D.0.9

8.（23-24九年級上.廣西來賓.階段練習(xí)）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù).

探究車牌識別系統(tǒng)的識別角度

某小區(qū)為解決“停車難”這

個(gè)問題，改造一個(gè)地下停

素車庫.圖1是該地下停車

‘''''A

材庫坡道出入口的側(cè)面示意車庫地面

圖1

1圖.地下停車庫高

3c=4.5m,BCLAC,

出入口斜坡AB長20.5m.

E2是地下停車庫門口安裝的車牌識別設(shè)備，攝像頭D點(diǎn)位于B點(diǎn)正上方

1開=1.5m,D,B,C三點(diǎn)共線.攝像頭在斜坡上的有效識別區(qū)域?yàn)樽?，車輛進(jìn)入

火別區(qū)域無需停留，閘門3秒即會(huì)自動(dòng)打開，車輛通過后，閘門才會(huì)自動(dòng)關(guān)閉.

4

（參考數(shù)據(jù)：sin53°?0.8,cos53°?0.6,tan53°?—）

素3

n/一樓地面

材].............................

2D車庫布*°

圖2圖3

素

材汽車從地下車庫駛出，在斜坡上保持勻速行駛，車庫限速5km/h

3

問任務(wù)一確定斜坡坡比：如圖1,求智的值.

題

解判斷車輛是否順利通過：如圖3,當(dāng)/瓦）3=53。時(shí)，請

任務(wù)二

決判斷此時(shí)車輛以最高限速行駛到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，閘門是否已

經(jīng)打開，請通過計(jì)算說明.

三、中檔題——二次函數(shù)

9.（2024廣東深圳一模）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=爐+7加+療一機(jī)（加為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（。/2）,

其對稱軸在〉軸右側(cè)，則該二次函數(shù)有（）

A.最大值3?939B.最小值?C.最大值8D.最小值8

44

10.（24-25九年級下?廣西南寧?開學(xué)考試）四邊形A3C0是矩形，已知拋物線、=-丁+2^+3經(jīng)過點(diǎn)A,B,

與x軸交于點(diǎn)D,E,如圖，拋物線對稱軸與x軸交與點(diǎn)廠.點(diǎn)P,。分別為A3、BC邊上一點(diǎn)，當(dāng)四邊形

。尸。尸周長最短時(shí)，則尸。與。尸的數(shù)量關(guān)系為.

11.（23-24九年級下。廣東深圳?階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系WV中，點(diǎn)。,根），（3,〃）在拋物線

y=ajc+bx+c（a>0）上，設(shè)拋物線的對稱軸為直線.若7"<”<c,貝的取值范圍是（）

31

A.—<t<2B.1<t<3C.0<^<1D.—<^<1

22

12.（2025?廣東深圳?一模）已知二次函數(shù)^=/+2℃-3a.

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⑴若函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)（2,5）,解決下列問題：

①求該二次函數(shù)的表達(dá)式；

②若將平面內(nèi)一點(diǎn)A（L〃）向左平移3根⑺>0）個(gè)單位，到達(dá)圖象上的B點(diǎn)；若將點(diǎn)A向右平移機(jī)（加>0）個(gè)單位,

則到達(dá)圖象上的C點(diǎn)，求C點(diǎn)坐標(biāo).

9

%+>

（2）設(shè)點(diǎn)/（外,%）,N（9,%）是該函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，若占+%=3,求證:2-2-

四、選填壓軸。最值問題

13.（2024?廣東深圳?三模）如圖，VA2C中，ZASC=45°,ZBAC=75。,BC=R,點(diǎn)P是上一

動(dòng)點(diǎn)，PD_LAC于。，PE1AB于E,在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，線段OE的最小值為（）

…&3B.子c.空

五、中檔題-圓

14.（23-24九年級上.云南昆明?期末）如圖所示，扇形A03的圓心角是直角，半徑為36，C為。4邊上一

點(diǎn)，將AFOC沿BC邊折疊，圓心。恰好落在弧A8上的點(diǎn)。處，則陰影部分的面積為.

15.（2025?廣東深圳?一模）如圖，將半徑為1的圓形紙片，按如下方式折疊，若AB和BC都經(jīng)過圓心。，

16.（2025?廣東深圳?一模）在邊長為3的正六邊形A3CDE/中，將四邊形ADEF繞頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到四

邊形AD'E'9處，如圖，此時(shí)邊AD'與對角線AC重疊，則圖中陰影部分的面積是（）

C.2兀+2D.2石+2兀

2

17.（2022?遼寧撫順?中考真題）如圖，在中，ZACB=90°,DODER的頂點(diǎn)。，。在斜邊A8上,

頂點(diǎn)E,尸分別在邊8cAe上，以點(diǎn)。為圓心，長為半徑的。。恰好經(jīng)過點(diǎn)。和點(diǎn)E.

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⑴求證：BC與0。相切；

3

(2)^sinZBAC=-,CE=6,求。尸的長.

六、中檔題-尺規(guī)作圖

18.(19-20九年級上?吉林長春?期末)以下各圖均是由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格，A、B、C,。均

在格點(diǎn)上.

5

圖③

(2)利用網(wǎng)格和無刻度的直尺作圖，保留痕跡，不寫作法.

①如圖②，在A3上找一點(diǎn)P,使AP=3；

②如圖③，在BD上找一點(diǎn)P,使AARBsACPD.

19.（2024?廣東深圳?二模）如圖，用尺規(guī)過圓外一點(diǎn)尸作已知圓。的切線，下列作法無法得到以為切

線的是（）

）作PO中垂線交PO于點(diǎn)“再以。為國心,。戶為半徑,作國。交國。于

點(diǎn)A,連接R4

0以。為IB心，0P為半任作IB孤交P。延長線于0,再以。為圓心，BC為

半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)A,連接隊(duì)

c./StA

先用尺規(guī)過點(diǎn)。作P0垂線，再以。為畫心，0P為半役畫弧交第線ow于8,

再以P為圓心，8。為半徑畫弧交圓。于點(diǎn)A,連接AP

D.A/\A、以尸為圓心，P。為半徑畫弧,再以。為圓心，尸。為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)

D,連接0。交圓。于點(diǎn)A,連接E4

Z7h

20.（2025?廣東深圳?一模）如果三個(gè)數(shù)〃、b、c滿足7=—,即那么稱》是。和c的比例中項(xiàng).比

bc

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例中項(xiàng)在數(shù)學(xué)、物理和工程學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用.數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法，我們

知道任何實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示.如圖，點(diǎn)4C在數(shù)軸上分別表示實(shí)數(shù)。、J現(xiàn)嘗試用尺規(guī)作圖

的方法，在正半軸上畫出點(diǎn)8,使得點(diǎn)8表示的正數(shù)6,恰好是數(shù)。和c的一個(gè)比例中項(xiàng).方法如下：

第1步：作以AC為直徑的圓M；

第2步：的其中一點(diǎn)記為點(diǎn)N；

A.以A為圓心，AM為半徑畫圓，交圓M

B.以原點(diǎn)。為圓心，為半徑畫圓，交圓M

C.以為直徑作圓尸，交圓M

。.作AM的垂直平分線，交圓M

E.以O(shè)C為直徑作圓尸，再過點(diǎn)A作AC的垂線/,交圓尸

第3步：以原點(diǎn)。為圓心，ON長為半徑畫弧交數(shù)軸正半軸于點(diǎn)8,則點(diǎn)8即為所求.

(1)請選出你認(rèn)為第2步中正確作法對應(yīng)的字母：(只填一個(gè)選項(xiàng)即可)，并說明理由，用尺規(guī)按照所

選的作法在圖中作出點(diǎn)B,要求保留作圖痕跡，不需要寫出作法.

(2)若3C=a=2,寫出此時(shí)圓M的直徑AC=.

七、反比例函數(shù)

4

21.（24-25九年級下?廣東深圳?階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形A0C3為菱形，sinZAOC=-,

3k

且點(diǎn)A落在反比例函數(shù)y=二（x>0）上，點(diǎn)B落在反比例函數(shù)y=—（x>0）上，貝!|k=

22.（2024。廣東深圳?二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的頂點(diǎn)A,8分別在無軸、y軸上，

E為正方形對角線的交點(diǎn)，反比例函數(shù)y=g（x>0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)C,E.若正方形的面積為10,則上的值

是

23.（2024?廣東深圳?三模）如圖，在RtZXABC中，^CBA=90°,ZBCO=ZDCO,AC交x軸于點(diǎn)

1”

AD=-CD,C點(diǎn)坐標(biāo)為（0,-3）,點(diǎn)A在雙曲線y=—（左>0,x>0）上，貝隈=

.3X

24.（2025。廣東深圳?一模）如圖，把一塊含45。角的直角三角板擺放在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)頂點(diǎn)與

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4

點(diǎn)。重合，點(diǎn)8在x軸上，點(diǎn)A在函數(shù)y=—（x>0）的圖象上.把三角板繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△OAH的位

X

4k

置，使得點(diǎn)2r恰好也在函數(shù)y=2（無>0）的圖象上，此時(shí)點(diǎn)A落在函數(shù)y=勺上的圖象上，則k的值為.

25.（2025?廣東深圳。■模）如圖，已知矩形ABCD的一邊AO落在>軸的正半軸，它的頂點(diǎn)8與對角線8。

4

的中點(diǎn)E均在反比例函數(shù)y=、（x>。）的圖象上，則矩形A3。的面積為一.

26.（2023。山東煙臺?中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，?A與x軸相切于點(diǎn)氏。為QA的直徑，點(diǎn)C

在函數(shù)y=&（K>0,x>0）的圖象上，。為》軸上一點(diǎn)，AACD的面積為6,則％的值為.

X

27.（2025?廣東深圳?一模）如圖，矩形Q4BC的兩邊OC在坐標(biāo)軸上，且OC=2Q4,M,N分別為

OC的中點(diǎn)，BM與AN交于點(diǎn)、E,且四邊形EMON的面積為2,則經(jīng)過點(diǎn)3的雙曲線的解析式

28.（24-25九年級下?廣東深圳?開學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線>=履+6與y軸交于點(diǎn)C,與

反比例函數(shù)y=-在第一象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)連接,若SOflC=9,tanABOC=：,則m的值是

模塊二選填壓軸專練

八、填空壓軸-翻折問題

29.（2025廣東深圳一模）如圖，在VABC中，AC=BC=4,NC=90。，。是BC邊上一點(diǎn)，且CD=3&）,

連接AD,把AACD沿AD翻折,得到^ADC',DC'與A8交于點(diǎn)E,連接BC,則ABDC的面積為.

30.（2023。廣東深圳?二模）如圖，矩形A3CL）的對角線AC和8￡>交于點(diǎn)O,AB=3,BC=4,將△ADC

沿著AC折疊，使點(diǎn)。落在點(diǎn)E處，連接OE交于點(diǎn)凡AE交于點(diǎn)G,則EF=.

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31.（2022。江蘇南通?一模）如圖，在四邊形ABC。中（AB>CD）,ZABC=ZBCD=90,AB=3,

BC=6把RfAABC沿著AC翻折得到Rt^AEC,若則線段DE的長度為.

2

32.（2025。廣東深圳?一模）在菱形ABCD中，ZABC=60\將ABCE沿8E翻折至ABFE,BF,CF的

延長線分別交加于G兩點(diǎn)，若"則黑的值為一

九、填空壓軸-解三角形

33.（2025廣東深圳一模）如圖，在VABC中，BC=6,NABC=120。，點(diǎn)D、E分別在邊BC和邊42的延

長線上，連接DE,且CD=4,DE=3,延長ED交AC于點(diǎn)F,如果點(diǎn)/恰好是AC的中點(diǎn)，那么AB=.

c

34.（2024.廣東深圳?二模）在VABC中，tan3=1,ZACB+2NB=90。，線段CD平分ZACB.已知C。=40,

則線段8c的長為.

35.（2024?廣東深圳?二模）如圖，在等腰直角VABC中，AB=BC=4,D為BC上一點(diǎn),￡為8c延長線上

一點(diǎn)，且/DAE=45°,AE=2AD,貝1|班＞=.

36.（2025?廣東深圳?一模）如圖，在VABC中，ZC=90°,AC=BC,點(diǎn)、E,尸分別在邊BC,AC上，AE

與BF交于點(diǎn)Q,若BQ=屈,NC4E=30。，NCBF=15°,則AC的值為.

37.（24-25九年級下?廣東深圳?開學(xué)考試）如圖，VABC為等腰三角形，AB=AC=5,BC=8,以AB為斜

邊作RtAADB,ZADB=90°,tanZABD=-,連接CD,交AB于點(diǎn)E,則

2

D

8

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十、倍半角

38.（23-24九年級下廣東深圳階段練習(xí)）如圖，在四邊形ACBO中，對角線A3、O相交于點(diǎn)0,ZACB=9Q°,

3AD

5￡>=CD且sinND3C=—,若ND4B=2NABC,則一的值為_____.

5AB

十一、填空壓軸-線段比

39.（2024?廣東深圳?二模）如圖，在矩形ABC。中，E是A3的中點(diǎn)，過點(diǎn)￡作ED的垂線交BC于點(diǎn)P,

對角線AC分別交布，桃于點(diǎn)G,H,當(dāng)DSAC時(shí)’則正的值為

40.（2024?廣東深圳?二模）如圖，在菱形ABCD中，ZABC=60°,E是對角線AC上一點(diǎn)，連接BE,作

/BEF=120。交CD邊于點(diǎn)F,若學(xué)=；，則會(huì)的值為（）

EC2FC

AD

E

fF

BC

A,也

BCD

3.半-?-I

41.（2021?江蘇?二模）如圖，在DABCD中，/8=135。,48=同。，將VABC沿對角線AC翻折至

與CO相交于點(diǎn)P,連接DE,則笠DF的值為.

AC-

模塊三壓軸大題專練

十二、二次函數(shù)-項(xiàng)目式學(xué)習(xí)

42.（2025?廣東深圳?一模）綜合與實(shí)踐

【問題提出】

如圖（1）在VABC中，/4=90。，。為邊上一點(diǎn)，點(diǎn)P沿折線D-A-C運(yùn)動(dòng)（運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止），以。P

為邊在￡＞尸上方作正方形DPEF.設(shè)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的路程為x,正方形O藥的面積為y.

（1）當(dāng)點(diǎn)P在4￡＞上運(yùn)動(dòng)時(shí),

①若X=貝！!）=；

②y關(guān)于龍的函數(shù)關(guān)系式為；

（2）當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)y是關(guān)于x的二次函數(shù)，并繪制成如圖（2）所示的函數(shù)圖

象，直線x=2是其圖象所在拋物線的對稱軸，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（寫出自變量的取值范圍）.

【延伸探究】

第18頁，共63頁

（3）連接正方形DPEF的對角線。E,PF,兩對角線的交點(diǎn)為在（2）的情況下，求點(diǎn)4在”）向0內(nèi)

部時(shí)尤和y的取值范圍.

43.（2024?廣東深圳?模擬預(yù)測）數(shù)學(xué)活動(dòng)：如何提高籃球運(yùn)動(dòng)罰球命中率一以小華同學(xué)為例活動(dòng)背景：某

學(xué)校體育節(jié)進(jìn)行班級籃球比賽，在訓(xùn)練過程中發(fā)現(xiàn)小華同學(xué)罰球命中率較低，為幫助小華同學(xué)提高罰球命

中率，該班數(shù)學(xué)小組拍攝了如下圖片并測量了相應(yīng)的數(shù)據(jù)（圖片標(biāo)注的是近似值）.

（1）模型建立：如圖所示，直線AE是地平線，A為小華罰球時(shí)腳的位置，籃球在運(yùn)動(dòng)過程中夙D、尸為籃

球的三個(gè)不同位置，B點(diǎn)為球出手時(shí)候的位置.已知

AB=1.75m,CD=3.202m,EF=3.042m,AC=2.2m,AE=3.8m,籃球運(yùn)動(dòng)軌跡是拋物線的一部分，數(shù)學(xué)小組

以A、B、C、。、E、尸中的某一點(diǎn)為原點(diǎn)，水平方向?yàn)闊o軸，豎直方向?yàn)閥軸建立平面直角坐標(biāo)系，計(jì)算

出籃球的運(yùn)動(dòng)軌跡對應(yīng)的拋物線解析式為丁=-2/+巳刈根據(jù)解析式，請你判斷該數(shù)學(xué)小組是以點(diǎn)

（填A(yù)、B、C、D、E、尸中的一個(gè)）作為坐標(biāo)原點(diǎn).

?@

?\\

\!

III

III

III

A~CE

⑵問題解決：已知籃球框與罰球線水平距離為4米，距離地面為3米，請問在（1）的情況下，小華的這次

罰球能否罰進(jìn)？并說明理由.

⑶模型應(yīng)用：如下圖所示為拋物線y=-gf+x+2的一部分函數(shù)圖象，拋物線外一點(diǎn)尸（4,3）,試通過計(jì)算

說明在不改變拋物線形狀的情況下，把原拋物線向上平移多少個(gè)單位，能使平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)P.

44.（2024.廣東深圳.模擬預(yù)測）請閱讀信息，并解決問題:

問題芙蓉大橋檢修后需要更換吊桿及相關(guān)裝飾品

深圳有許多橋，有一座坐落于羅湖區(qū)的橋一芙蓉大橋，如圖，是芙蓉大橋的

查詢信

一個(gè)拱，其外形酷似豎琴.橋拱固定在橋面上，拱的兩側(cè)安裝了17對吊桿（俗

息

稱“琴弦”）此段橋長120米,拱高25米.

第20頁，共63頁

CEHDB

如圖是芙蓉大橋其中一拱的主視圖，A,B分別表示是橋的起點(diǎn)和終點(diǎn)，橋

拱可看成拋物線，拱的兩端C,D位于線段AB上，且AC=3D.一根琴弦

處理信

固定在拱的對稱軸OH處，其余16根琴弦對稱固定在OH兩側(cè),每側(cè)各8根.記

息

離拱端C最近的一根為第1根，從左往右，依次記為第2根，第3根，…

為第9根，…

測量數(shù)測得上橋起點(diǎn)A與拱端C水平距離為20米，最靠近拱端C的“琴弦”跖高9

據(jù)米，族與之間設(shè)置7根“琴弦”，各琴弦的水平距離相等，記為加米.

解決問任務(wù)1：建立平面直角坐標(biāo)系，求拋物線的解析式；

題

任務(wù)2：求琴弦砂與拱端C的水平距離CE及加的值.

&

任務(wù)3：若需要在琴弦EF與OH之間垂直安裝一個(gè)如圖所示高為17m的高音

譜號藝術(shù)品，藝術(shù)品底部在橋面A3上，頂部恰好扣在拱橋上邊緣，問該藝術(shù)

品頂部應(yīng)該安裝在哪兩根琴弦之間？

45.（2025?廣東深圳?一模）某乒乓球館使用發(fā)球機(jī)進(jìn)行輔助訓(xùn)練，出球口A位于桌面左上方，桌面BC的

長為2.74m,過點(diǎn)A作。4L3C,垂足為0,03=0.03m,以點(diǎn)。為原點(diǎn)，以直線3c為x軸，0A所在直

線為》軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，從出球口A發(fā)出的乒乓球運(yùn)動(dòng)路線為拋物線的一部分L,設(shè)乒

乓球與出球口A的水平距離為x(m),到桌面的高度為y(m),在桌面上的落點(diǎn)為。，經(jīng)測試，拋物線乙的

解析式為y=a(x-l)2+045，且當(dāng)x=2時(shí)，y=0.25.

⑴求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)桌面正中間位置安裝的球網(wǎng)GH的高度為0.15m，問乒乓球位于球網(wǎng)正上方時(shí)，乒乓球到球網(wǎng)頂端//的

距離約為多少？

(3)乒乓球落在點(diǎn)。后隨即彈起，沿拋物線△?=-：百(》-0(工-3.5)的路線運(yùn)動(dòng)，小明拿球拍所與桌面

夾角為60。接球，球拍擊球面的中心線EF長為0.16m,下沿E在式軸上，假設(shè)拋物線L,L'與EF在同一平

面內(nèi)，且乒乓球落在口上(含端點(diǎn)，點(diǎn)E在點(diǎn)C右側(cè))，直接寫出：

①點(diǎn)為D的坐標(biāo)為

②球拍到桌邊的距離CE的最大值是，CE的最小值是

46.(23-24九年級下.廣東深圳.開學(xué)考試)綜合與應(yīng)用

如果將運(yùn)動(dòng)員的身體看作一點(diǎn)，則他在跳水過程中運(yùn)動(dòng)的軌跡可以看作為拋物線的一部分.建立如圖2所

示的平面直角坐標(biāo)系xOx,運(yùn)動(dòng)員從點(diǎn)4(0,1。)起跳，從起跳到入水的過程中，運(yùn)動(dòng)員的豎直高度y(m)與

水平距離x(m)滿足二次函數(shù)的關(guān)系.

第22頁，共63頁

圖1

(1)在平時(shí)的訓(xùn)練完成一次跳水動(dòng)作時(shí)，運(yùn)動(dòng)員甲的水平距離尤與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下表:

水平距離尤

011.5

(m)

豎直高度y

10106.25

(m)

根據(jù)上述數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于尤的關(guān)系式；

⑵在(1)的這次訓(xùn)練中，求運(yùn)動(dòng)員甲從起點(diǎn)A到入水點(diǎn)的水平距離0D的長；

(3)信息1：記運(yùn)動(dòng)員甲起跳后達(dá)到最高點(diǎn)8到水面的高度為％(m),從到達(dá)到最高點(diǎn)B開始計(jì)時(shí)，則他到水

面的距離/?(m)與時(shí)間r(s)之間滿足h=-5產(chǎn)+k.

信息2：已知運(yùn)動(dòng)員甲在達(dá)到最高點(diǎn)后需要1.6s的時(shí)間才能完成極具難度的270c動(dòng)作.

問題解決：

①請通過計(jì)算說明，在(1)的這次訓(xùn)練中，運(yùn)動(dòng)員甲能否成功完成此動(dòng)作？

②運(yùn)動(dòng)員甲進(jìn)行第二次跳水訓(xùn)練，此時(shí)他的豎直高度y(m)與水平距離x(m)的關(guān)系為

y=ax2-ax+10(o<0),若選手在達(dá)到最高點(diǎn)后要順利完成270c動(dòng)作，則。的取值范圍是.

47.（23-24九年級上?浙江寧波?期末）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù).

如何設(shè)計(jì)噴泉安全通道？在拋物線形的噴泉水柱下設(shè)置一條安全的通道，可以讓兒童在任意時(shí)間穿過安全

通道時(shí)不被水柱噴到（穿梭過程中人的高度變化忽略不計(jì)）.

圖1為音樂噴泉，噴頭的高度在垂直地面的方向上隨著音樂變化

1

素1M囑鞭i|

而上下移動(dòng).不同高度的噴頭噴出來的水呈拋物線型或拋物線的

材

一部分，但形狀相同，最高高度也相同，水落地點(diǎn)都在噴水管的G1

1圖1

右側(cè).

A

/

圖2是當(dāng)噴水頭在地面上時(shí)（噴水頭最低），其拋物線形水柱的示

0M

素意圖，水落地點(diǎn)離噴水口的距離為OM=4m,水柱最高點(diǎn)離地面圖2

材3m.

!\

2圖3是某一時(shí)刻時(shí)，水柱形狀的示意圖.Q4為噴水管，B為水的

A\

落地點(diǎn)，記02長度為噴泉跨度.

0B

圖3

O

素安全通道CD在線段02上，若無論噴頭高度如何變化，水柱都不\

1

A1

材會(huì)進(jìn)入C。上方的矩形區(qū)域，則稱這個(gè)矩形區(qū)域CD所為安全區(qū)/

3域.0CDBM

圖4

問題解決

任在圖2中，以。為原點(diǎn)，所

務(wù)確定噴泉形狀.在直線為x軸，建立平面直角坐

1標(biāo)系，求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

任若噴水管Q4最高可伸長到

確定噴泉跨度的最小值.

務(wù)2.25m,求出噴泉跨度08的最小

第24頁，共63頁

2值.

現(xiàn)在需要一條寬為2m的安全通

道CD,為了確保進(jìn)入安全通道

任

CD上的任何人都能在安全區(qū)域

務(wù)設(shè)計(jì)通道位置及兒童的身高上限.

內(nèi)，則能夠進(jìn)入該安全通道的人

3

的最大身高為多少？（精確到

0.1m）

十三、項(xiàng)目式學(xué)習(xí)-其它知識點(diǎn)

48.（2025?廣東深圳?一模）【問題背景】：如圖1,在矩形ABCD中,AB=2A/3,ZABD=30°,點(diǎn)E是邊AB

的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作石尸_LAB交2。于點(diǎn)￡

圖3

【實(shí)驗(yàn)探究工（1）在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中，小明在圖1中發(fā)現(xiàn)三三=_;將圖1中的△3EF繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方

向旋轉(zhuǎn)90。，連接AE,DF,如圖2所示，發(fā)現(xiàn)==_；

DF

（2）小亮同學(xué)繼續(xù)將△3EF繞點(diǎn)8按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，連接AE,DF,旋轉(zhuǎn)至如圖3所示位置，請問探究

（1）中的結(jié)論是否仍然成立？并說明理由；

【拓展延伸】：（3）在以上探究中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至。、E、尸三點(diǎn)共線時(shí)，AE的長為

49.（2024。廣東深圳?二模）如圖（1）是某餐館外的伸縮遮陽棚，其輪廓全部展開后可近似看成一個(gè);圓,

即弧AOC，已知。4和遮陽棚桿子OD在同一條直線上,且與地面垂直，當(dāng)上午某一時(shí)刻太陽光從東邊照射,

光線與地面呈45。角時(shí)，光線恰好能照到桿子底部。點(diǎn),已知長為2m.

圖3

（1）求遮陽棚半徑的長度.

⑵如圖（2）當(dāng)下午某一時(shí)刻太陽光從西邊照射，光線與地面呈60。角，在遮陽棚外，距離遮陽棚外檐C點(diǎn)

正下方E點(diǎn)（有-1卜的廠點(diǎn)處有一株高為L2m的植物，請問植物頂端能否會(huì)被陽光照射？請說明理

由.（g"73）

（3）如圖（3）為擴(kuò)大遮陽面積，餐館更換了遮陽棚，新遮陽棚輪廓可近似看成拋物線的一部分，已知新遮陽

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棚上最高點(diǎn)仍為A點(diǎn)，且外檐點(diǎn)C'到AD的距離為三m、到?！钡木嚯x為dm.現(xiàn)需過遮陽棚上一點(diǎn)P為

其搭設(shè)架子，架子由線段GP、線段兩部分組成，其中與地面垂直，若要保證從遮陽棚上

的任意一點(diǎn)P（不含A點(diǎn)）都能按照上述要求搭設(shè)架子，則至少需要準(zhǔn)備m的鋼材搭設(shè)架子.

50.（2025?廣東深圳?一模）為響應(yīng)國家節(jié)能減排的號召，廣東新農(nóng)村建設(shè)把主要村道道路上安裝了太陽能

路燈.如圖Q）所示是行人在某村村道路燈下的影子，圖（b）是該村村道上安裝的兩盞高度不同的太陽

能路燈的示意圖，其中電線桿A3的高度為4.8m,電線桿CD的高度為6.4m,AC的長為30m.身高1.6m的

聰聰同學(xué)QEF）在兩盞路燈之間走動(dòng)，他在B,D兩盞路燈下形成的影長分別記作和EN.（A,E,

C,M,N在同一直線上，電線桿和人均垂直于地面）

（備用圖）

⑴請?jiān)趫D（6）中畫出聰聰同學(xué)在路燈。照射下形成的影長EN；

（2）當(dāng)聰聰同學(xué)站在兩盞路燈的中間（即E為AC的中點(diǎn)）時(shí)，請求出影長MV；

（3）若影長端點(diǎn)N處有一個(gè)竹竿NP,它在路燈2的照射下其影長端點(diǎn)恰好與點(diǎn)M重合，同時(shí)影長端點(diǎn)M處

也有一個(gè)竹竿它在路燈。的照射下其影長端點(diǎn)恰好與點(diǎn)N重合.（竹竿NP,均垂直于地面）請

回答下列問題：

①設(shè)ME的長為則的長為m(請用含有X的代數(shù)式來表示)；

②請判斷=6+與的值是否為定值？若是，請求出此定值；若不是，請說明理由.

NPMQ

51.(2024?廣東深圳。一模)【項(xiàng)目式學(xué)習(xí)】

項(xiàng)目主題：車輪的形狀

項(xiàng)目背景：在學(xué)習(xí)完圓的相關(guān)知識后，九年級某班同學(xué)通過小組合作方式開展項(xiàng)目式學(xué)習(xí)，深入探究車輪

制作成圓形的相關(guān)原理.

【合作探究】

(1)探究A組：車輪做成圓形的優(yōu)點(diǎn)是：車輪滾動(dòng)過程中軸心到地面的距離始終保持不變.另外圓形車輪

在滾動(dòng)過程中，最高點(diǎn)到地面的距離也是不變的.如圖1,圓形車輪半徑為4cm,其車輪最高點(diǎn)到地面的距

離始終為cm；

(2)探究8組：正方形車輪在滾動(dòng)過程中軸心到地面的距離不斷變化.如圖2,正方形車輪的軸心為0,

若正方形的邊長為6cm,車輪軸心。距離地面的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的高度差為cm；

(3)探究C組：如圖3,有一個(gè)正三角形車輪，邊長為6cm,車輪軸心為0(三邊垂直平分線的交點(diǎn))，車

輪在地面上無滑動(dòng)地滾動(dòng)一周，求點(diǎn)。經(jīng)過的路徑長.

探究發(fā)現(xiàn)：車輛的平穩(wěn)關(guān)鍵看車輪軸心是否穩(wěn)定，即車輪的軸心是否在一條水平線上運(yùn)動(dòng).

【拓展延伸】

第28頁，共63頁

如圖4,分別以正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C為圓心，以正三角形的邊長為半徑作60。圓弧，這樣形成的

曲線圖形叫做“萊洛三角形”.“萊洛三角形”在滾動(dòng)時(shí)始終位于一組平行線之間，因此放在其上的物體也能夠

保持平衡，但其車軸中心。并不穩(wěn)定.

（4）探究。組：使“萊洛三角形”以圖4為初始位置沿水平方向向右滾動(dòng).在滾動(dòng)過程中，其“最高點(diǎn)”和“車

輪軸心0”均在不斷移動(dòng)位置，那么在“萊洛三角形”滾動(dòng)一周的過程中，其“最高點(diǎn)”和“車輪軸心?！彼纬?/p>

的圖形按上、下放置，應(yīng)大致為.

ABCD

52.（23-24九年級下。廣東深圳?階段練習(xí)）如圖是從正面看到的一個(gè)“老碗”，其橫截面可以近似的看成是

如圖（1）所示的以A8為直徑的半圓。，跖V為臺面截線，半圓。與相切于點(diǎn)P,連接OP與C。相交

于點(diǎn)E.水面截線CD=6指cm,MN//CD,AB=12cm.