C#實(shí)現(xiàn)優(yōu)先隊(duì)列和堆排序

第C#實(shí)現(xiàn)優(yōu)先隊(duì)列和堆排序目錄優(yōu)先隊(duì)列1.API2.初級(jí)實(shí)現(xiàn)3.堆的定義二叉堆表示法4.堆的算法上?。ㄓ上轮辽系亩训挠行蚧┫鲁粒ㄓ缮现料碌亩训挠行蚧└倪M(jìn)堆排序1.堆的構(gòu)造2.下沉排序先下沉后上浮

優(yōu)先隊(duì)列

許多應(yīng)用程序都需要處理有序的元素，但不一定要求它們?nèi)坑行?，或是不一定要一次就將它們排序。很多情況下是收集一些元素，處理當(dāng)前鍵值最大的元素，然后再收集更多的元素，再處理當(dāng)前鍵值最大的元素。這種情況下，需要的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)支持兩種操作：刪除最大的元素和插入元素。這種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)類型叫優(yōu)先隊(duì)列。

這里，優(yōu)先隊(duì)列基于二叉堆數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)，用數(shù)組保存元素并按照一定條件排序，以實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)級(jí)別的刪除和插入操作。

1.API

優(yōu)先隊(duì)列是一種抽象數(shù)據(jù)類型，它表示了一組值和對(duì)這些值的操作，抽象層使應(yīng)用和實(shí)現(xiàn)隔離開來。

2.初級(jí)實(shí)現(xiàn)

1.無序數(shù)組實(shí)現(xiàn)

優(yōu)先隊(duì)列的insert方法和下壓棧的push方法一樣。刪除最大元素時(shí)，遍歷數(shù)組找出最大元素，和邊界元素交換。2.有序數(shù)組實(shí)現(xiàn)

插入元素時(shí)，將較大的元素向右移一格（和插入排序一樣）。這樣刪除時(shí)，就可以直接pop。

使用鏈接也是一樣的邏輯。

這些實(shí)現(xiàn)總有一種操作需要線性級(jí)別的時(shí)間復(fù)雜度。使用二叉堆可以保證操作在對(duì)數(shù)級(jí)別的時(shí)間完成。

3.堆的定義

數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)二叉堆可以很好地實(shí)現(xiàn)優(yōu)先隊(duì)列地基本操作。在二叉堆數(shù)組中，每個(gè)元素都要保證大于等于另兩個(gè)特定位置地元素。同樣，這兩個(gè)位置地元素又至少要大于等于數(shù)組中另外兩個(gè)元素，以此類推。用二叉樹表示：

當(dāng)一棵二叉樹的每個(gè)結(jié)點(diǎn)都大于等于它的兩個(gè)子節(jié)點(diǎn)時(shí)，它被成為堆有序。從任意結(jié)點(diǎn)向上，都能得到一列非遞減的元素；從任意結(jié)點(diǎn)向下，都能得到一列非遞增的元素。根結(jié)點(diǎn)是堆有序的二叉樹中最大的結(jié)點(diǎn)。

二叉堆表示法

這里使用完全二叉樹表示：將二叉樹的結(jié)點(diǎn)按照層級(jí)順序（從上到下，從左往右）放入數(shù)組中，不使用數(shù)組的第一個(gè)位置（為了方便計(jì)算），根結(jié)點(diǎn)在位置1，它的子結(jié)點(diǎn)在位置2和3，子結(jié)點(diǎn)的子結(jié)點(diǎn)分別在位置4，5，6，7，一次類推。

在一個(gè)二叉堆中，位置k的結(jié)點(diǎn)的父節(jié)點(diǎn)位置在k/2，而它的兩個(gè)子結(jié)點(diǎn)在2k和2k+1?？梢酝ㄟ^計(jì)算數(shù)組的索引而不是指針就可以在樹中上下移動(dòng)。

一棵大小為N的完全二叉樹的高度為lgN。

4.堆的算法

用長度為N+1的私有數(shù)組pq[]表示一個(gè)大小為N的堆。

堆在進(jìn)行插入或刪除操作時(shí)，會(huì)打破堆的狀態(tài)，需要遍歷堆并按照要求將堆的狀態(tài)恢復(fù)。這個(gè)過程稱為堆的有序化。

堆的有序化分為兩種情況：當(dāng)某個(gè)結(jié)點(diǎn)的優(yōu)先級(jí)上升（或在堆底加入一個(gè)新的元素）時(shí)，需要由下至上恢復(fù)堆的順序；當(dāng)某個(gè)結(jié)點(diǎn)的優(yōu)先級(jí)下降（例如將根節(jié)點(diǎn)替換為一個(gè)較小的元素），需要由上至下恢復(fù)堆的順序。

上浮（由下至上的堆的有序化）

當(dāng)某個(gè)結(jié)點(diǎn)比它的父結(jié)點(diǎn)更大時(shí)，交換它和它的父節(jié)點(diǎn)，這個(gè)結(jié)點(diǎn)交換到它父節(jié)點(diǎn)的位置。但有可能比它現(xiàn)在的父節(jié)點(diǎn)大，需要繼續(xù)上浮，直到遇到比它大的父節(jié)點(diǎn)。（這里不需要比較這個(gè)子結(jié)點(diǎn)和同級(jí)的另一個(gè)子結(jié)點(diǎn)，因?yàn)榱硪粋€(gè)子結(jié)點(diǎn)比它們的父結(jié)點(diǎn)?。?/p>

//上浮

privatevoidSwim(intn)

while(n1Less(n/2,n))

Exch(n/2,n);

n=n/2;

}

下沉（由上至下的堆的有序化）

當(dāng)某個(gè)結(jié)點(diǎn)k變得比它的兩個(gè)子結(jié)點(diǎn)（2k和2k+1）更小時(shí)，可以通過將它和它的兩個(gè)子結(jié)點(diǎn)較大者交換來恢復(fù)堆有序。交換后在子結(jié)點(diǎn)處可能繼續(xù)打破堆有序，需要繼續(xù)重復(fù)下沉，直到它的子結(jié)點(diǎn)都比它小或到達(dá)底部。

//下沉

privatevoidSink(intk)

while(2*k=N)

intj=2*k;

//取最大的子節(jié)點(diǎn)

if(jNLess(j,j+1))

j++;

//如果父節(jié)點(diǎn)不小子節(jié)點(diǎn)，退出循環(huán)

if(!Less(k,j))

break;

//否則交換，繼續(xù)下沉

Exch(j,k);

k=j;

}

知道了上浮和下沉的邏輯，就可以很好理解在二叉堆中插入和刪除元素的邏輯。

插入元素：將新元素加到數(shù)組末尾，增加堆的大小并讓這個(gè)新元素上浮到合適的位置。

刪除最大元素：從數(shù)組頂端（即pq[1]）刪除最大元素，并將數(shù)組最后一個(gè)元素放到頂端，減少數(shù)組大小并讓這個(gè)元素下沉到合適位置。

publicclassMaxPriorityQueue

privateIComparable[]pq;

publicintN;

publicMaxPriorityQueue(intmaxN)

pq=newIComparable[maxN+1];

publicboolIsEmpty()

returnN==0;

publicvoidInsert(IComparablevalue)

pq[++N]=value;

Swim(N);

publicIComparableDeleteMax()

IComparablemax=pq[1];

Exch(1,N--);

pq[N+1]=null;

Sink(1);

returnmax;

//下沉

privatevoidSink(intk)

while(2*k=N)

intj=2*k;

//取最大的子節(jié)點(diǎn)

if(jNLess(j,j+1))

j++;

//如果父節(jié)點(diǎn)不小子節(jié)點(diǎn)，退出循環(huán)

if(!Less(k,j))

break;

//否則交換，繼續(xù)下沉

Exch(j,k);

k=j;

//上浮

privatevoidSwim(intn)

while(n1Less(n/2,n))

Exch(n/2,n);

n=n/2;

privatevoidExch(inti,intj)

IComparabletemp=pq[i];

pq[i]=pq[j];

pq[j]=temp;

privateboolLess(inti,intj)

returnpq[i].CompareTo(pq[j])

}

上述算法對(duì)優(yōu)先隊(duì)列的實(shí)現(xiàn)能夠保證插入和刪除最大元素這兩個(gè)操作的用時(shí)和隊(duì)列的大小成對(duì)數(shù)關(guān)系。這里省略了動(dòng)態(tài)調(diào)整數(shù)組大小的代碼，可以參考下壓棧。

對(duì)于一個(gè)含有N個(gè)元素的基于堆的優(yōu)先隊(duì)列，插入元素操作只需要不超過（lgN+1）次比較，因?yàn)镹可能不是2的冪。刪除最大元素的操作需要不超過2lgN次比較（兩個(gè)子結(jié)點(diǎn)的比較和父結(jié)點(diǎn)與較大子節(jié)點(diǎn)的比較）。

對(duì)于需要大量混雜插入和刪除最大元素的操作，優(yōu)先隊(duì)列很適合。

改進(jìn)

1.多叉堆

基于數(shù)組表示的完全三叉樹：對(duì)于數(shù)組1至N的N個(gè)元素，位置k的結(jié)點(diǎn)大于等于位于3k-1,3k,3k+1的結(jié)點(diǎn)，小于等于位于（k+1）/3的結(jié)點(diǎn)。2.調(diào)整數(shù)組大小

使用動(dòng)態(tài)數(shù)組，可以構(gòu)造一個(gè)無需關(guān)注隊(duì)列大小的優(yōu)先隊(duì)列?？梢詤⒖枷聣簵！?.索引優(yōu)先隊(duì)列

在許多應(yīng)用程序中，允許客戶端引用優(yōu)先級(jí)隊(duì)列中已經(jīng)存在的項(xiàng)目是有意義的。一種簡單的方法是將唯一的整數(shù)索引與每個(gè)項(xiàng)目相關(guān)聯(lián)。

堆排序

我們可以把任意優(yōu)先隊(duì)列變成一種排序方法：先將所有元素插入一個(gè)查找最小元素的優(yōu)先隊(duì)列，再重復(fù)調(diào)用刪除操作刪除最小元素來將它們按順序刪除。這種排序成為堆排序。

堆排序的第一步是堆的構(gòu)造，第二步是下沉排序階段。

1.堆的構(gòu)造

簡單的方法是利用前面優(yōu)先隊(duì)列插入元素的方法，從左到右遍歷數(shù)組調(diào)用Swim方法（由上算法所需時(shí)間和NlogN成正比）。一個(gè)更聰明高效的方法是，從右（中間位置）到左調(diào)用Sink方法，只需遍歷一半數(shù)組，因?yàn)榱硪话胧谴笮?的堆。這種方法只需少于2N次比較和少于N次交換。（堆的構(gòu)造過程中處理的堆都比較小。例如，要構(gòu)造一個(gè)127個(gè)元素的數(shù)組，需要處理32個(gè)大小為3的堆，16個(gè)大小為7的堆，8個(gè)大小為15的堆，4個(gè)大小為31的堆，2個(gè)大小為63的堆和1個(gè)大小為127的堆，因此在最壞情況下，需要32*1+16*2+8*3+4*4+2*5+1*6=120次交換，以及兩倍的比較）。

2.下沉排序

堆排序的主要工作在第二階段。將堆中最大元素和堆底元素交換，并下沉至N--。相當(dāng)于刪除最大元素并將堆底元素放至堆頂（優(yōu)先隊(duì)列刪除操作），將刪除的最大元素放入空出的數(shù)組位置。

publicclassMaxPriorityQueueSort

publicstaticvoidSort(IComparable[]pq)

intn=pq.Length;

for(vark=n/2;kk--)

Sink(pq,k,n);

//上浮需要遍歷全部

//for(vark=n;kk--)

//Swim(pq,k);

while(n1)

Exch(pq,1,n--);

Sink(pq,1,n);

privatestaticvoidSwim(IComparable[]pq,intn)

while(n1Less(pq,n/2,n))

Exch(pq,n/2,n);

n=n/2;

//下沉

privatestaticvoidSink(IComparable[]pq,intk,intN)

while(2*k=N)

intj=2*k;

//取最大的子節(jié)點(diǎn)

if(jNLess(pq,j,j+1))

j++;

//如果父節(jié)點(diǎn)不小子節(jié)點(diǎn)，退出循環(huán)

if(!Less(pq,k,j))

break;

//否則交換，繼續(xù)下沉

Exch(pq,j,k);

k=j;

privatestaticvoidExch(IComparable[]pq,inti,intj)

IComparabletemp=pq[i-1];

pq[i-1]=pq[j-1];

pq[j-1]=temp;

privatestaticboolLess(IComparable[]pq,inti,intj)

returnpq[i-1].CompareTo(pq[j-1])

publicstaticvoidShow(IComparable[]a)

for(vari=0;ia.Length;i++)

Console.WriteLine(a[i]);

}

堆排序的軌跡

將N個(gè)元素排序，堆排序只需少于（2NlgN+2N）次比較以及一半次數(shù)的交換。2N來自堆的構(gòu)造，2NlgN是每次下沉操作最多需要2lgN次比較。

先下沉后上浮

在排序過程中，大多數(shù)重新插入堆中的項(xiàng)目都會(huì)一直到達(dá)底部。因此，通過避免檢查元素是否已到達(dá)其位置，可以簡單地提升兩個(gè)子結(jié)點(diǎn)中的較大者直到到達(dá)底部，然后上浮到適當(dāng)位置，從