河南省南陽市某校2024-2025學(xué)年高二年級下冊第一次月考 數(shù)學(xué)試卷（含解析）

河南省南陽市第一中學(xué)校2024母025學(xué)年高二下學(xué)期第一

次月考數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題）

1.設(shè)｛4｝是等差數(shù)列，且。2=3,。6=11，貝！J%+。2+。3+。4+。5+。6+。7等于

A.13B.35C.49D.63

2.已知在等比數(shù)列｛。"｝中，/=2,%=8,則稱=（）

A.2B.3C.4D.5

3.已知數(shù)列｛q｝的前〃項和S〃=4'貝IJ。3=（）

A.16B.32C.48D.64

4.已知等比數(shù)列｛〃〃｝滿足。i=1,=2a2,貝|色二（)

A.1B.2C.72D.272

5.己知數(shù)列｛見｝的前〃項和為S,,且s“=子，則下列說法正確的是（）

4

A.an<an+1B.Sn>Sn+lC.2an+=1D.0<an<-

6.數(shù)列｛%｝的通項公式為％,="+如，那么“左2-1”是“｛4｝為遞增數(shù)列”的

（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.生命在于運動，某健身房為吸引會員來健身，推出打卡送積分活動（積分可兌

換禮品），第一天打卡得1積分，以后只要連續(xù)打卡，每天所得積分都會比前一天

多2分.若某天未打卡，則當(dāng)天沒有積分，且第二天打卡須從1積分重新開始.某

會員參與打卡活動，從3月1日開始，到3月20日他共得193積分，中途有一天

未打卡，則他未打卡的那天是（）

A.3月5日或3月16日B.3月6日或3月15日

C.3月7日或3月14日D.3月8日或3月13日

8.在《九章算法》和《算法通變》中提出了一些新的垛積公式，討論的高階等差

數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，高階等差數(shù)列中，從第二項開始，后一項與前一項之差

并不相等，但是逐項差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列.現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前8

項分別為1、3、6、10、15、21、28、36,則該數(shù)列的第50項為（）

A.1275B.1596C.1597D.1598

二、多選題（本大題共3小題）

9.數(shù)列｛%｝的前〃項和為S,,,則下列說法正確的是（）

A.若g=-3"+19,則數(shù)列｛4｝的前6項和$6最大

B.若等比數(shù)列｛%｝是單調(diào)遞減數(shù)列，則公比4滿足。＜4＜1

C.己知等差數(shù)列｛叫的前〃項和為%若$2必＞0，則/3＞。

D.已知｛%｝為等差數(shù)列，則數(shù)列，乎｝也是等差數(shù)列

10.在數(shù)列｛%｝中，4=0,且a“+i=3a“+6”-3,貝I］（）

A.出=3B.｛%+3〃｝為等比數(shù)列

C.%=12D.｛%-3"｝為等差數(shù)列

「、,、2〃+1

11.已知等差數(shù)列也｝和等比數(shù)列也｝的前〃項和分別為S“.和且消=―^,

則下列正確的是（）

三、填空題（本大題共3小題）

12.設(shè)｛%｝是首項為1的數(shù)列，且的用=2",貝4%。=.

13.知數(shù)列｛為｝的通項公式為%=WF（〃eN*）,則數(shù)列｛為｝的最大項為第

項.

14.某單位為了調(diào)查性別與對工作的滿意程度是否具有相關(guān)性，隨機抽取了若干名

員工，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下表所示，其中xeN*,且x＜20,若有90%的把握可以認

為性別與對工作的滿意程度具有相關(guān)性，則x的值可以是.（橫線上給

出一個滿足條件的x的值即可）

對工作滿意對工作不滿意

男5x5x

女4x6x

血工“2n(ad-bc)2廿士,

附：K=(〃+翅c+d)(a+c)(b+d)'其中uKb7+c+(

2

P(K>k0)0.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.7063.8415.0246.6357.87910.828

四、解答題（本大題共5小題）

15.記S.為等差數(shù)列｛《,｝的前"項和，已知的=%￡=45.

（1）求｛4｝的通項公式；

⑵求數(shù)列｛⑷｝的前"項和卻

16.甲、乙兩大超市同時開業(yè)，第一年的全年銷售額為a萬元，由于經(jīng)營方式不

同，甲超市前〃年的總銷售額為■!（/-〃+2）萬元，乙超市第〃年的銷售額比前一年

銷售額多萬元.

（1）求甲、乙兩超市第〃年銷售額的表達式；

（2）若其中某一超市的年銷售額不足另一超市的年銷售額的50%,則該超市將被另

一超市收購，判斷哪一超市有可能被收購？如果有這種情況，至少會出現(xiàn)在第幾

年？

17.近年來，我國眾多新能源汽車制造企業(yè)迅速崛起.某企業(yè)著力推進技術(shù)革新，

利潤穩(wěn)步提高.統(tǒng)計該企業(yè)2019年至2023年的利潤（單位：億元），得到如圖所

示的散點圖.其中2019年至2023年對應(yīng)的年份代碼依次為1,2,3,4,5.

：利潤y（億元）

100

90?

80?

75..,

70

~~O；：341年盆■代碼x

⑴根據(jù)散點圖判斷，y=a+=c+哪一個適宜作為企業(yè)利潤y（單位：億

元）關(guān)于年份代碼x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）

（2）根據(jù)（1）中的判斷結(jié)果，建立y關(guān)于x的回歸方程；

（3）根據(jù)（2）的結(jié)果，估計2024年的企業(yè)利潤.

參考公式及數(shù)據(jù)；

〃__

b=------，a=y-bx,

1=1

1=11=11=1i=l

Z無；=55,Zx：=979,=390,Zx,y=1221,取2%=4607.9

55555

3S”為數(shù)列［工］的前〃項和.

18.已知數(shù)列｛%｝滿足q=y,（4q,+l）%+i=3a”，

（1）求證：數(shù)列］是等比數(shù)列；

（2）求數(shù)列｛%｝的通項公式；

⑶求數(shù)列］，卜勺前〃項和s“.

19.設(shè)滿足以下兩個條件的有窮數(shù)列q、的、L、?！盀?5=2,3,4,…)階“曼德拉數(shù)

列”：①4+42+a3+L+4"=。；②同+|。21+砥|---=1.

(1)若某4階“曼德拉數(shù)列”是等比數(shù)列，直接寫出一個滿足條件的數(shù)列的通項與

(不需要證明).

(2)若某2人+1僅eN*)階“曼德拉數(shù)列”是等差數(shù)列，求該數(shù)列的通項”.

(\<n<2k+\,用女、〃表示).

⑶記〃階“曼德拉數(shù)列”{%}的前左項和為耳化=1,2,3,…若存在

(1,2,3,...,/?},使S“=g,試問：數(shù)列{Sj(i=l,2,3,…能否為〃階“曼德拉數(shù)

列”？若能，求出所有這樣的數(shù)列；若不能，請說明理由.

參考答案

I.【答案】C

【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得q+%=%+&=4+%=2%=14,

所以g=7,所以%+%+〃3+。4+。5+〃6+%=7。4=49.

故選：C

2.【答案】B

【詳解】設(shè)等比數(shù)列E｝的公比為4,由〃2=2,3=8,得八宗=4,因此

/=2,

所以卜邑m+1=幺詈+1=/+1=3.

故選：B

3.【答案】C

32

【詳解】O3=S3-S2=4-4=48.

故選：C.

4.【答案】C

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到%=2,設(shè)出公比，從而得到/=應(yīng)，得到答案.

【詳解】因為。3。4==2%,所以為=2,

設(shè)｛〃“｝的公比為4,則/=￡=2,

則/=0,負值舍去，

故%==-x/2.

故選：C

5.【答案】D

【分析】根據(jù)條件先求解出｛%｝的通項公式，A：根據(jù)｛4｝的通項公式結(jié)合指數(shù)函

數(shù)的單調(diào)性進行判斷；B：根據(jù)S向-S”的結(jié)果進行判斷；C：根據(jù)｛%｝的通項公式

結(jié)合S"的表達式進行分類討論再判斷；D：判斷｛%｝的單調(diào)性，然后分析?！暗娜≈?/p>

范圍.

3-21

【詳解】當(dāng)〃=1時，q=S1=三=；,

3"—24

當(dāng)〃22時，an=Sn-Sn-l

3〃

所以〃=1不滿足〃22的情況,

一,〃二1

所以%=L，

44

對于A：當(dāng)〃22時，由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知：—>^r，所以4>4+1，故A錯誤；

對于B：因為S用-=W>0,所以Sx>S",故B錯誤；

對于C：當(dāng)〃=1時，2%+百=3%=1,滿足；

當(dāng)月22時，2%+5,=§+至二2=土小21,不滿足，

故2a“+5”=1不恒成立，故C錯誤；

1(41

對于D:當(dāng)77=1時，=—GI0,—,滿足；

44

當(dāng)"22時，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知%=以為遞減數(shù)列，此時4

且24>0恒成立，所以也4滿足；

4

所以0<a.V§,故D正確；

故選：D.

6.【答案】A

【詳解】當(dāng)《2-1時，％+]—%=(“+1)2+4(〃+1)-〃2-也=2〃+1+左z2">0,

二數(shù)列｛%｝為遞增數(shù)列，充分性成立；

2

當(dāng)數(shù)列｛%,｝為遞增數(shù)列時，a?+1-a?=(n+lf+k(n+l)-n-hz=2n+l+k>0,

.k>—(2/7+1)恒成立，又[-(2"+l)Lx=—(2x1+1)=—3,

k>-3,必要性不成立；

Uk>-Y'是"｛q,｝為遞增數(shù)列”的充分不必要條件.

故選：A.

7.【答案】D

【詳解】若他連續(xù)打卡，則從打卡第1天開始，逐日所得積分依次成等差數(shù)列，且

首項為1,公差為2,第〃天所得積分為2〃-1.

假設(shè)他連續(xù)打卡〃天，第”+1天中斷了，

則他所得積分之和為(1+3+…+2〃-1)+[1+3+…+2(19-“)-1]

二^^+…弋…I",化簡得?9〃+84=。，

22

解得〃=7或12,所以他未打卡的那天是3月8日或3月13日.

故選：D

8.【答案】A

【詳解】設(shè)該數(shù)列為｛%｝,則由題意可知：々-4=2,%-4=3,=8,

即從第二項開始后一項與前一項之差構(gòu)成等差數(shù)列，所以須-49=5。，

利用累加法可得(。50—。49)+(。49—隰)"1---一。1)=一—/49=1274,

所以。50=1275.

故選：A

9.【答案】ACD

19

【詳解】對于A選項，由4=-3〃+1920,可得幾交，

又因為〃eN*,故數(shù)列｛%｝前6項的和最大，A對；

對于B選項，當(dāng)％<。，4>1時，則對任意的〃eN*,a?<0,

則4=4>1,所以，明…”,此時等比數(shù)列｛%｝也是遞減數(shù)列，B錯；

an

對于C選項，”2必=2。25限>。,則限>。，c對；

對于D選項，若｛4｝為等差數(shù)列，貝”.=w+業(yè)二2=+

2n22

貝I］辿一2=g（d為常數(shù)），所以，數(shù)列（鳥4也是等差數(shù)列，D對，

n+1n2LnJ

故選：ACD.

10.【答案】ABD

【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式，可求生，％的值，判斷A,C是否正確；利用等比數(shù)

列的定義判斷數(shù)列｛%+3科是否為等比數(shù)列，再利用等差數(shù)列的通項公式判斷

｛4-3”｝是否為等差數(shù)列.

【詳解】因為%=0,且%=3冊+6"-3,

所以%=6xl-3=3,%=乎+12-3=18,故A正確，C錯誤.

因為4=3?！?6”-3,所以%+3（〃+1）=3（4+3〃），又4=0,

所以4+3=3,所以｛%+3〃｝為等比數(shù)列，且首項為3,公比為3,

所以4+3”=3",所以月-3-3”,

所以｛4-31為等差數(shù)列，且公差為3,故B,D均正確.

故選ABD.

11.【答案】AC

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為1，等比數(shù)列也,｝的公比為4,

因為等差數(shù)歹U｛〃“｝的前〃項和=

b、n,q=l

等比數(shù)列也｝的前〃項和北=;

———^，尹］

Ii-q

S2〃+l,、

又溢n=亍，所以等比數(shù)列也｝的公比4=1,即勿=4.

不妨設(shè)S“=（2〃+l）成，T?=2nk,%是不為0的常數(shù)，

所以當(dāng)〃=1時"1=3左，

當(dāng)2時=S〃=（2m+1）〃左一（2九一1）（〃一1）左=（4九一1）上,

則凡=(4"—1)左，bn=2k,

。4_15a5_19

所以兀=工

0

故選：AC.

12.【答案】32

n〃2向a

【詳解】」3旦=寸=2,得上旦=2,又見出=2,得出=2,所以a,=%"=32.

故答案為：32.

13.【答案】4

2n-32n-5—2〃+7

【詳解】解法一:“〃+1

2n+1

???當(dāng)〃2時，“〃+1>4

4〃〃+]<an-當(dāng)“43時，，

即q＜的＜。3＜。4＞。5＞。6…，故數(shù)歹」｛I〃〃｝的最大項為第4項.

%—%+1，1

解法二：設(shè)數(shù)列｛2｝中的最大項為4,則

ak—ak-V?

、

-2-k-—--5>-2--k-—-3

2k~2&+1，79

即解得廣心了

-2-k---5->-2--k-—-7

：%eN*,Ak=4.故數(shù)列｛%｝的最大項為第4項.

14.【答案】14（答案不唯一）

【詳解】由題意得片=20"（3°?-20.）=些＞2,706,故X＞13.3947,

10x-10x-9x-llx99

所以14W20”N*.

故答案為：14（答案不唯一）.

15.【答案】⑴%=-〃+ll(“cN*)；

"n<10(〃?N*)

⑵"21’

110+°，”lll(“eN*)

%+d=9

【詳解】(1)在等差數(shù)列中，???％=9,S6=45,，L6X5,在，

-6a1+-^-d=45

解得q=10,d=-l,貝Ua“=—〃+ll(〃eN*)

(2)因為4=f+ll(〃eN),則㈤=卜”+11卜｛、0.

\/[n-11,n>ll

當(dāng)1W〃W1O時，數(shù)列｛⑷｝的前〃項和Tn=a｝+…+%=]0“+"~l)><(-D=f2；21〃

當(dāng)〃上11時，數(shù)列｛*1｝的前〃項和

<=q+…+%o-(如+…+a")=55-=55-

—n+21〃/z*\

-----------,1<n<110n^nGN)

n(n-2\\/

110+-^^,n>ll(^eN:

n-\

a,n=l2

16.【答案】（1）為二,、,b?=a3-2-

>2

⑵乙超市在第7年將被收購

【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解；

（2）先根據(jù)前幾年的年銷售額，判斷可能被收購的超市，再根據(jù)（中的表達式

列出不等式求解即可.

【詳解】（1）設(shè)甲超市前〃年總銷售額為S",第〃年銷售額為七，

貝1JS"='|(〃2—〃+2),

因為〃=1時，ax=a,

22

則“22時，an=Sn-Sn_x=|(Z7-Z7+2)-|[(Z7-1)-(Z7-1)+2]=￡Z(W-1),

a,n=l

故%=

Q(〃—1),〃之2，

設(shè)乙超市第〃年銷售額為么，則4=〃，

“22時，2_%=嗚）,

"=他一%）+（%-如）+…+（--<）+4

1HSJ

顯然〃=1時也符合,

所以勿=〃3-21-JneN*.

b2=^a,有。2>；打；

(2)當(dāng)〃=2時，a2=a

191

a

當(dāng)〃=3時，a3=2afb3~~^?有。3>/&；

當(dāng)"24時，an>3a,bn<3a,故乙超市有可能被收購,

1?「'

當(dāng)“24,令5?！?gt;么，貝！I/O("—1)>。3-2-^jJ,

整理得”>7—4/21,

又當(dāng)〃27時，0<41|)<1,故當(dāng)“eN*且〃27時，必有

即第7年乙超市的年銷售額不足甲超市的一半，乙超市將被甲超市收購.

17.【答案】(1)y=c+公2適宜作為企業(yè)利潤y(單位：億元)關(guān)于年份代碼x的

回歸方程類型

⑵夕=68.65+0.85.一

(3)估計2024年的企業(yè)利潤為93.3億元

【分析】(1)利用散點圖的變化趨勢，即可得出答案；

(2)利用最小二乘法求出d,2即可得解；

(3)令尤=6即可得解.

【詳解】(1)由散點圖的變化趨勢，知y=c+df適宜作為企業(yè)利潤y(單位：億

元)關(guān)于年份代碼x的回歸方程類型；

151j=i

(2)由題意得：x2=-^(x,)2=11,y=-Xx=78,

5z=i55

i=\/、55390

八下片弘—5x（元2.4607.9—5x寺x]

317.9

=0.85

與卜；了_5x（元2了979—5x（史]374

c=y-dx（無2）=--——0.85x-=68.65,

所以9=68.65+0.85x2；

（3）令x=6,y=68.65+0.85x62=99.25,

估計2024年的企業(yè)利潤為99.25億元.

18.【答案】（1）證明見解析

3n

⑵a

n=2.3n-l

(3)S=2M-----1........-

11223

【詳解】(1)對Ka〃+D4+LBq整理有:4anan+1+an+l=3an,

13

等式兩邊同時除以〃用?！傻?+—=——，

anan+l

等式兩邊再同時減得工-即—--」

62=32--2

an“向3

3111

又由4==，可得---2=_/0,故----2x0,

5?i3an

則數(shù)列]21是首項為-：，公比為:的等比數(shù)歹!].

〔4J33

(2)由(1)得F-21的通項公式為2=-白，

[anJan3

1_13〃

得一=2—m，所以為=—^.

43〃23—1

1c1

(3)由(2)知一二2一港,

所以S"=m*+…+[2一曰=2"一〔"+…

1

3

19.【答案】⑴%=J(-l)i(14w44,〃eN*)

(2)答案見解析

(3)不能，理由見解析

【詳解】(1)根據(jù)題意，一個滿足條件條件的4階“曼德拉數(shù)列”{4}的通項公

式可以為%=g(T)a(l<n<4,?eN-).

(2)設(shè)等差數(shù)列可、“2、%、L、%+"左21)的公差為1,

因為Q]+%+〃3+----〃2左+1=0，

即(