江蘇省鹽城市東臺(tái)市某中學(xué)2024-2025學(xué)年高三年級(jí)上冊(cè)階段聯(lián)測(cè)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024?2025學(xué)年度第一學(xué)期階段聯(lián)測(cè)

高二數(shù)學(xué)

(考試時(shí)間120分鐘，總分150分)

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

[已知集合A+-63口]乂<2}則加八(),

A.[-1,1]B.[-2,-l]u[l,2]C,{-2,-1,1,2}D.

{-2,-1,0,1,2)

【答案】C

【解析】

【分析】解一元二次不等式化簡(jiǎn)集合A,再解絕對(duì)值不等式化簡(jiǎn)集合B,最后根據(jù)交集的

運(yùn)算求解即可.

【詳解】因?yàn)?=k1y=G_1}=-1>Oj={x|^<-l§Ju>l},

又因?yàn)?={xeZ|國(guó)<2}={xeZ|—2<x<2}={—2,—l,0』,2},

所以4r^8={-2,-1,1,2}.

故選：C.

2.已知/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)xe(O,+8)時(shí)，/W=logi則/(—9)=

3

()

A.2B.3C.-2D.-3

【答案】A

【解析】

【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)得了(—9)=—/(9),再代入求值即得.

【詳解】因/(%)是定義在R上的奇函數(shù)，則〃_9)=-/(9)=_恒9=晦9=2

3

故選：A.

3.設(shè)〃，Z?GR,則使〃>匕成立的一個(gè)充分不必要條件是()

A.a3>b3B.ln(tz-Z?)>0C.^>b2D.\a\>b

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)充分條件及必要條件定義結(jié)合不等式的性質(zhì)判定各個(gè)選項(xiàng)即可.

【詳解】對(duì)于A(yíng),a3>b3^a>b，故/>匕3是“，的充要條件；

對(duì)于B,由ln(a-8)>0得。>>+1,能推出。>匕，則充分性成立，反之不成立，則必要性

不成立，所以ln(a-加>0是的充分不必要條件；

對(duì)于C,由/>〃無(wú)法得到。，b之間的大小關(guān)系，則充分性不成立，反之也是，則必要性

不成立，所以6>尸是的既不充分也不必要條件；

對(duì)于D,由|。|>6不能推出。>匕，則充分性不成立，反之不成立，則必要性不成立，所以

|4|>b是。>6的既不充分也不必要條件.

故選：B.

4.曲線(xiàn)y=x2(x—l)在x=l處的切線(xiàn)方程為()

A.x=lB.y=lC.y=xD.

y=x-1

【答案】D

【解析】

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線(xiàn)的斜率，由點(diǎn)斜式方程可得切線(xiàn)的方程.

【詳解】因?yàn)閥=/(x—1),所以y'=3￡—2x,

所以曲線(xiàn)丁=/(工-1)在工=1處的切線(xiàn)的斜率為1,

當(dāng)x=l時(shí)，y=Q,所以切點(diǎn)為(1,0),

所以切線(xiàn)方程為y—0=%—1,即y=x-L

故選：D.

5.已知AABC的外接圓圓心為。，且2而=通+/，1E1=1而I，則向量函在向量

元上的投影向量為()

A.-BCB.BCC.—BCD.

444

-^BC

4

【答案】C

【解析】

【分析】由向量線(xiàn)性運(yùn)算和外接圓的特點(diǎn)可知AC,結(jié)合模長(zhǎng)相等關(guān)系可求得

2兀

NAOC=y,由投影向量公式可直接求得結(jié)果.

【詳解】AABC中，2X萬(wàn)=通+祝，則。是BC的中點(diǎn)，所以3C為圓。的直徑，

則有即卜國(guó)=|西，又時(shí)卜網(wǎng)，則等邊三角形，

有NB4C=g,ZABO=^,ZAOC=?,向量麗在向量配夾角為4,

故選：C.

6.已知對(duì)任意平面向量通=（九,y）,把通繞其起點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)。角得到向量

AP=（xcos。—ysin。,尤sind+ycosd），叫做把點(diǎn)B繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)。角得到

點(diǎn)P.已知平面內(nèi)點(diǎn)A（l,2）,B（1+72,2-272）,把點(diǎn)8繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)!■后

得到點(diǎn)尸，則P的坐標(biāo)為（）

A.（0,-1）B.（2,5）C.（4,1）D.（3,-1）

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)尸?！?“），根據(jù)定義求出衣的坐標(biāo)可得答案.

【詳解】AB=（V2,-2V2）,把點(diǎn)8繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)3后得到

x字0**2日?

AP=V2x—+2V2=(3,-1),

2

設(shè)尸(人〃),則Z?=(〃z—L”_2)=(3,—1),

解得力=4,"=1,即尸(4,1).

故選：C.

己矢口35兀7兀n,sinx+cosx

7.cos!x+1=一<x<一，則-------：-)

5124cosx-smx

44、4

A.B.一彳或一

333

333

C.D.一二或二

444

【答案】A

【解析】

3717T

【分析】先由已知和余弦函數(shù)值確定一〈九+—＜2兀,再由同角的三角函數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn)計(jì)算

24

即可;

5jr2兀71

【詳解】因?yàn)椤?lt;X<—，所以——<x+—<2?？?/p>

112434

因?yàn)閏os1：3所以空＜九+巴＜2兀，

524

兀、

71..2

cos2x+—+sinX4—1,

44J

4兀4

所以sin1%+；卜~,tanIxH-"

43

~,sinx+cosx1+tan%4

所以嬴』=匚初

3

故選：A.

8.用min{a,Z?,c}表示a,b,c中的最小數(shù)，若函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，且當(dāng)x'O時(shí),

2

f(x)=min|x+l,x-x+l,-x+6},則/(x)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【解析】

【分析】畫(huà)出xNO時(shí)圖象，結(jié)合偶函數(shù)圖象對(duì)稱(chēng)性及極值點(diǎn)概念即可判斷.

【詳解】由/(x)=min{x+l,x2-x+l,-x+6},x>0,

可得函數(shù)的大致圖象，

12345cx

由圖象可知當(dāng)x>0時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)，由對(duì)稱(chēng)性可知當(dāng)x<0時(shí)，也有兩個(gè)極值點(diǎn)，

同時(shí)由圖象可知：x=0也是極值點(diǎn)，

所以共有5個(gè)極值點(diǎn).

故選：D

二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)

中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的

得0分.

+9丫2+]

9.已知正實(shí)數(shù)羽〉滿(mǎn)足x+y=2,則------+2—的可能取值為()

1y

A.8B.9C.10D.11

【答案】CD

【解析】

【分析】利用基本不等式求最小值，即可得到答案.

【詳解】由x+y=2得，|+1=1,

=x+y+2+^=2+(9

vy)

=7+￡+守7+2后最=7+3=1。,

當(dāng)且僅9y當(dāng)建x，即A73二1取等號(hào).

故王土2+工±1的最小值為io.

xy

故選：CD.

10.數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足：％=1,S0T=3a“(〃22),則下列結(jié)論中正確的是()

A.a2=1B.｛%｝是等比數(shù)列

4(4V-1

Can+l=-an,n>2D,

【答案】ACD

【解析】

【分析】由已知可得％=；，可判斷A；由S.—￡1=34+1—3%,,可判斷B,C；

由求和公式可判斷D.

【詳解】對(duì)于A(yíng),因4=1,S?_j.=3tzn(n>2),

所以當(dāng)〃=2時(shí)，S]=q=3〃2，所以。2=；，故A正確；

對(duì)于BC,當(dāng)〃22時(shí)，Sn=3an+l,

所以4,=S“-Sn_}=3an+l-3an,

4

即。用=§%("N2),

又。2=§6，an+l>2),所以數(shù)列｛4｝不是等比數(shù)列，故B錯(cuò)誤，C正確;

對(duì)于D,由BC可得§

=Q]+出+/+〃4+???

正確.

故選：ACD.

11.如圖，在山腳A測(cè)得山頂P的仰角為a,沿傾斜角為/?的斜坡向上走am到達(dá)8處，在

8處測(cè)得山頂P的仰角為7,則山高丸=()

asinisin(7-a)

B.

sin(/-/?)

asinysin(a-3)asin/sin(o一尸)

2.——/<r+asin/7D.+sinP

sin^-a)sin(/-/?)

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)所給條件表示出NPAB、/APB、sinZABP,在A(yíng)ABP中利用正弦定理表

示出AP、BP,再由銳角三角函數(shù)計(jì)算可得.

【詳解】由題意可知，ZPAQ=a,NPBC=y,ZPAB=a-/3,N3AQ=，,

分別在RU/IPQ,RU5PC中，ZAPQ=^-a,ZBPQ=^-y,

所以NAP3=ZAP?！狽3P。=y-a,

又sinZABP=sin[兀-(ZAPS+ZBAP)],

=sin(ZAPB+ZBAP)=sin(y—a+a—/?)=sin(7-fi),

454尸

在△y15P中，由正弦定理可得,

sinZAPBsinNABP

a_A尸…asin(y-J3)

所以=

sin(7-a)sin。一夕)

在RL/PQ中，PQ=APsinp=-震叱;P),故A正確，B錯(cuò)誤;

sin^/—CC)

ABPB

在中，由正弦定理可得,

AABPsinZAPB-sinZBAP

即a=PB所以cn嚕Rasinf(a_￡)

sin。-a)sin(cr-p)

在RtAPBC中,PC=PBsin=-

Zbin丁—(JL)

又CQ=ABsinJ3=asin[3,

asinysin(?-/?)

所以PQ=PC+CQ=——+asin/7,故C正確、D錯(cuò)誤.

sin(7-(z)

故選：AC

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知復(fù)數(shù)z=(療-5〃z+6)+"-3〃z)i是純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)z的虛部是.

【答案】2

【解析】

【分析】根據(jù)純虛數(shù)的定義即可求出.

【詳解】若z是純虛數(shù)，則加2—5根+6=0且I"？一3%#0，解得加=2.

故答案為：2.

13.寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足條件“函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸沒(méi)有交點(diǎn)，且關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)”的幕函數(shù)：

小)=-

【答案】%-2(答案不唯一)

【解析】

【分析】根據(jù)幕函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及函數(shù)奇偶性即可得到答案.

【詳解】舉例/'(X)=H,令〃x)=X-2=0,無(wú)實(shí)數(shù)解，且定義域?yàn)閧尤|尤H0},則函數(shù)

的圖象與坐標(biāo)軸沒(méi)有交點(diǎn)，

/(—x)=(—引一2=一，且定義域?yàn)?-8,0)U(。,+8),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

則/(x)為偶函數(shù)，則其圖象關(guān)于》軸對(duì)稱(chēng).

故答案為：了2.

14.函數(shù)/(x)=sin乃x-ln|2x—3|的所有零點(diǎn)之和為.

【答案】9

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)丁=5m狽，y=ln|2x-3|,作出這兩個(gè)函數(shù)的部分圖

象，確定兩個(gè)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，再結(jié)合性質(zhì)計(jì)算作答.

【詳解】由/'(》)=005111"工=111|2工一3|,4^=sin7ix,y=ln|2x-3|,

3

顯然y=sinm：與y=ln|2x—3]的圖象都關(guān)于直線(xiàn)x=5對(duì)稱(chēng)，

在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=sin;ix,y=ln|2x-3|的圖象，如圖,

觀(guān)察圖象知，函數(shù)y=sin?ix,y=ln|2x-3|的圖象有6個(gè)公共點(diǎn)，其橫坐標(biāo)依次為

X],X?，，X4，/，，

3

這6個(gè)點(diǎn)兩兩關(guān)于直線(xiàn)X=萬(wàn)對(duì)稱(chēng)，有％+4=々+%5=演+%4=3，則

玉+%2+W+%4+%5+%6=9，

所以函數(shù)/(%)=5布必-111|2%-3|的所有零點(diǎn)之和為9.

故答案為：9

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演

算步驟.

15.某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)用支出X(萬(wàn)元)與銷(xiāo)售額y(萬(wàn)元)之間有如下的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：

X24568

y3040605070

(1)求回歸直線(xiàn)方程；

(2)據(jù)此估計(jì)廣告費(fèi)用為12萬(wàn)元時(shí)的銷(xiāo)售額約為多少？

—八》fx，^j-nxy._

參考公式：b=Jr7―奇，a=y-bx

Xg]Xj—nx

【答案】⑴y=6.5x+17.5；⑵95.5.

【解析】

【分析】

【詳解】試題分析：(1)根據(jù)所給的數(shù)據(jù)先求出橫標(biāo)和縱標(biāo)的平均數(shù)，利用最小二乘法寫(xiě)

出線(xiàn)性回歸方程系數(shù)的表達(dá)式，把樣本中心點(diǎn)代入求出a的值，得到線(xiàn)性回歸方程；（2）

根據(jù)所給的變量x的值，把值代入線(xiàn)性回歸方程，得到對(duì)應(yīng)的y的值，這里的y的值是一

個(gè)預(yù)報(bào)值.

2+4+5+6+8

試題解析：（1）求回歸直線(xiàn)方程元=------------=5，

5

30+40+60+50+701380-5x5x50

=50,b==6.5,0=50-6.5x5=17.5,

5145-5x25

因此回歸直線(xiàn)方程為y=6.5%+17.5；

（2）當(dāng)x=12時(shí)，預(yù)報(bào)》的值為y=12x6.5+17.5=95.5萬(wàn)元，

即廣告費(fèi)用為12萬(wàn)元時(shí)，銷(xiāo)售收入y的值大約是95.5萬(wàn)元.

16.如圖，已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，PAL平面ABCD,

ZABC=60°，E,尸分別是5C,PC的中點(diǎn).

（1）證明：平面PAD；

（2）若PA=2,求二面角/—AE—C的余弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵旦

5

【解析】

【分析】（1）先證AEL8C,可得AELAZ）,利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)可得R4，AE,再利

用線(xiàn)面垂直的判定定理即可證明AE±平面PAD；

（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法求面面角即可.

小問(wèn)1詳解】

由四邊形A3CD為菱形，=60%可得△A3C為正三角形,

?.?石為3。的中點(diǎn)，，砥，：6（2,

又BC//AD,..AELAD,

尸4,平面ABCD,4石匚平面488,..以，4后，

又PAcAD=A,PAADu平面PAD,

AEL平面PAO.

【小問(wèn)2詳解】

由（1）可知，AELAD,PALAE,

又PAL平面ABCD,4。匚平面458,..24,4。,

則AE,AD,AP兩兩垂直，

故以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，入后,4。,4。分別為了,以2軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則A（0,0,0）,尸（0,0,2）,E（V3,0,0）

.?.荏=（百,0,0）,AF,衣=（0,0,2）,

設(shè)平面AEF的法向量為m=（x,y,z）,

y/3x=0

AE-沅=0%=0/、

則《一，即V31，令z=-1，則＜沅=（0,2,—1）,

AFm=Q——x+—y+z=05=2

[22

又平面AEC的一個(gè)法向量為AP=（0,0,2）,

./--TD\m-AP-2A/5

\/\m\\AP\V5x25，

由圖知，二面角尸—AE—C為銳角，

故二面角F-AE-C的余弦值為好.

5

17.已知向量加二(百sinox,sinox),n-(cosa)x,sina)x),0〉0,函數(shù)/(%)二根?幾，

且了(%)的最小正周期為兀.

(1)若xe0,—,求〃x)的值域；

(2)將/(x)的圖象先向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左平移加(m>0)個(gè)單位長(zhǎng)度，最

后將橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的兩倍，所得函數(shù)圖象與函數(shù)y=cosx的圖象重合，求實(shí)數(shù)機(jī)的最

小值.

-3-

【答案】(1)0,-

L2J

⑵-

3

【解析】

【分析】(1)利用向量數(shù)量積公式和三角恒等變換得到/(x)=sin(20x-+g,根據(jù)最

小正周期得到。=1,得到函數(shù)解析式，利用整體法求出值域；

(2)利用伸縮和平移變換得到y(tǒng)=sin1x+2機(jī)—結(jié)合y=?05工=5也[工+]],得到

7T兀

方程，求出機(jī)=—+E,keZ,當(dāng)左=0時(shí)，實(shí)數(shù)m取得最小值一.

33

小問(wèn)1詳解】

f(x}=m-n=>/3smcoxcoscox+sin~a>x=^-sin2cox--cosIcox+—

V'222

/兀11

—sinLCDXH—,

I6)2

2兀

因?yàn)椤╔)最小正周期為兀，所以2。=不=2,解得。=1,

所以/"(xhsinbx-gX，

3兀兀兀2兀

因?yàn)榫拧?,—,所以2%—

1266?T

貝i]sin[2x—￡]e一;,1,

所以/'（x）=sin[2x—+0,|,

「5兀]「3一

所以當(dāng)xe0,—時(shí)，“X）的值域?yàn)?,-.

【小問(wèn)2詳解】

向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得V=sin12x-弓），

向左平移加（m>0）個(gè)單位長(zhǎng)度得y=sin12（x+m）—e]=sin（2x+2m—e

橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍得y=sinj^x+2m-^.

因?yàn)閥=cosx=sin[x+]],

所以要使得y=sin1x+2機(jī)—6]與丁=<：05*的圖象重合，

兀兀7t

則2〃1—=—I-2kn,keZ,解得m=—I-ku,keZ

623

當(dāng)左=0時(shí)，實(shí)數(shù)機(jī)取得最小值一.

3

18.已知函數(shù)/（%）=〃/—%.

（1）討論了（九）的單調(diào)性；

x

e-1

（2）若a>0,X/%w（0,+8）,/（%）>------,求。的取值范圍.

ax

【答案】（1）答案見(jiàn)解析

⑵〔”[

【解析】

【分析】（1）求導(dǎo)，即可分類(lèi)討論求解導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求解單調(diào)性，

—X11

(2)將不等式變形為即加工―￡—〉x—上構(gòu)造函數(shù)g(x)=x——,則g(ae)>g(x),

axx

YY

根據(jù)單調(diào)性可得即。>不，構(gòu)造函數(shù)丸(x)=—r(%〉0),求導(dǎo)即可根據(jù)單調(diào)性求解最值得

ee

解.

【小問(wèn)1詳解】

/,(x)=tzeA-1.

當(dāng)aWO時(shí)，r(x)<0"(x)在R上是減函數(shù).

當(dāng)a>0時(shí)，y=/0)是增函數(shù).令r(x)=0,解得x=—lna.

當(dāng)xe(-oo,-lna)時(shí)，f'(%)<0；當(dāng)尤e(-lna,+e),y'(x)>0.

所以/(x)在(一叫-Ina)上單調(diào)遞減，在(—Ina,+“)上單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)aWO時(shí)，/(X)在R上是減函數(shù)；當(dāng)a>0時(shí)，〃x)在(一”,Tna)上單調(diào)遞

減，在(-Ina,+。)上單調(diào)遞增.

【小問(wèn)2詳解】

,(、01*e-x1

>-------,即Bnae----->x——.

axax

令函數(shù)g(%)=%——

1Y

因?yàn)間'(x)=l+F〉0，g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以ae*>九，即。>—7.

xe

令函數(shù)//(x)=W(x〉0)，則〃(x)=L^.

ee

當(dāng)久e(0,1)時(shí)，h'(x)>0；當(dāng)xe(l,+oo),〃'(x)<0.

所以h(x)(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，

所以丸(X)極大值=/<1