2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時作業(yè)68離散型隨機變量及其分布列理含解析新人教版

PAGEPAGE1課時作業(yè)68離散型隨機變量及其分布列一、選擇題1．袋中裝有10個紅球、5個黑球．每次隨機抽取1個球后，若取得黑球則另換1個紅球放回袋中，直到取到紅球為止．若抽取的次數(shù)為X，則表示“放回5個紅球”事務(wù)的是(C)A．X＝4 B．X＝5C．X＝6 D．X≤5解析：事務(wù)“放回5個紅球”表示前5次摸到黑球，且第6次摸到紅球，所以X＝6.2．設(shè)隨機變量Y的分布列為Y－123Peq\f(1,4)meq\f(1,4)則“eq\f(3,2)≤Y≤eq\f(7,2)”的概率為(C)A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4) D.eq\f(2,3)解析：依題意知，eq\f(1,4)＋m＋eq\f(1,4)＝1，則m＝eq\f(1,2).故Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)≤Y≤\f(7,2)))＝P(Y＝2)＋P(Y＝3)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).3．已知離散型隨機變量X的分布列為X012P0.51－2qeq\f(1,3)q則P(eq\r(X)∈Z)＝(A)A．0.9 B．0.8C．0.7 D．0.6解析：由分布列性質(zhì)得0.5＋1－2q＋eq\f(1,3)q＝1，解得q＝0.3，∴P(eq\r(X)∈Z)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝0.5＋1－2×0.3＝0.9.故選A.4．若P(X≤x2)＝1－β，P(X≥x1)＝1－α，其中x1<x2，則P(x1≤X≤x2)等于(B)A．(1－α)(1－β) B．1－(α＋β)C．1－α(1－β) D．1－β(1－α)解析：明顯P(X>x2)＝β，P(X<x1)＝α.由概率分布列的性質(zhì)可知P(x1≤X≤x2)＝1－P(X>x2)－P(X<x1)＝1－α－β.5．已知在10件產(chǎn)品中可能存在次品，從中抽取2件檢查，其次品數(shù)為ξ，已知P(ξ＝1)＝eq\f(16,45)，且該產(chǎn)品的次品率不超過40%，則這10件產(chǎn)品的次品率為(B)A．10% B．20%C．30% D．40%解析：設(shè)10件產(chǎn)品中有x件次品，則P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,x)·C\o\al(1,10－x),C\o\al(2,10))＝eq\f(x10－x,45)＝eq\f(16,45)，∴x＝2或8.∵次品率不超過40%，∴x＝2，∴次品率為eq\f(2,10)＝20%.6．一只袋內(nèi)裝有m個白球，n－m個黑球，連續(xù)不放回地從袋中取球，直到取出黑球為止，設(shè)此時取出了X個白球，下列概率等于eq\f(n－mA\o\al(2,m),A\o\al(3,n))的是(D)A．P(X＝3) B．P(X≥2)C．P(X≤3) D．P(X＝2)解析：由超幾何分布知P(X＝2)＝eq\f(n－mA\o\al(2,m),A\o\al(3,n)).二、填空題7．甲、乙兩隊在一次對抗賽的某一輪中有3個搶答題，競賽規(guī)定：對于每一個題，沒有搶到題的隊伍得0分，搶到題并回答正確的得1分，搶到題但回答錯誤的扣1分(即得－1分)．若X是甲隊在該輪競賽獲勝時的得分(分數(shù)高者勝)，則X的全部可能取值是－1,0,1,2,3.解析：X＝－1，甲搶到一題但答錯了．X＝0，甲沒搶到題，或甲搶到2題，回答時一對一錯．X＝1時，甲搶到1題且答對或甲搶到3題，且一錯兩對．X＝2時，甲搶到2題均答對．X＝3時，甲搶到3題均答對．8．從4名男生和2名女生中任選3人參與演講競賽，則所選3人中女生人數(shù)不超過1人的概率是eq\f(4,5).解析：設(shè)所選女生人數(shù)為X，則X聽從超幾何分布，其中N＝6，M＝2，n＝3，則P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(0,2)C\o\al(3,4),C\o\al(3,6))＋eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(4,5).9．(2024·石家莊調(diào)研)為檢測某產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)抽取5件產(chǎn)品，測量產(chǎn)品中微量元素x，y的含量(單位：毫克)，測量數(shù)據(jù)如下：編號12345x169178166175180y7580777081假如產(chǎn)品中的微量元素x，y滿意x≥175且y≥75時，該產(chǎn)品為優(yōu)等品．現(xiàn)從上述5件產(chǎn)品中，隨機抽取2件，則抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)X的分布列為X012P0.30.60.1解析：5件抽測品中有2件優(yōu)等品，則X的可能取值為0,1,2.P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))＝0.3，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)·C\o\al(1,2),C\o\al(2,5))＝0.6，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝0.1.故優(yōu)等品數(shù)X的分布列為X012P0.30.60.1三、解答題10．某小組共10人，利用假期參與義工活動，已知參與義工活動次數(shù)為1,2,3的人數(shù)分別為3,3,4.現(xiàn)從這10人中隨機選出2人作為該組代表參與座談會．(1)設(shè)A為事務(wù)“選出的2人參與義工活動次數(shù)之和為4”，求事務(wù)A發(fā)生的概率．(2)設(shè)X為選出的2人參與義工活動次數(shù)之差的肯定值，求隨機變量X的分布列．解：(1)由已知事務(wù)A：選出的2人參與義工活動次數(shù)之和為4，則P(A)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,4)＋C\o\al(2,3),C\o\al(2,10))＝eq\f(1,3).(2)隨機變量X可能的取值為0,1,2，P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,3)＋C\o\al(2,3)＋C\o\al(2,4),C\o\al(2,10))＝eq\f(4,15)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,3)＋C\o\al(1,3)C\o\al(1,4),C\o\al(2,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,4),C\o\al(2,10))＝eq\f(4,15)，則X的分布列為：X012Peq\f(4,15)eq\f(7,15)eq\f(4,15)11．為推動乒乓球運動的發(fā)展，某乒乓球競賽允許不同協(xié)會的運動員組隊參與．現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運動員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會的運動員5名，其中種子選手3名．從這8名運動員中隨機選擇4人參與競賽．(1)設(shè)A為事務(wù)“選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來自同一個協(xié)會”，求事務(wù)A發(fā)生的概率；(2)設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機變量X的分布列．解：(1)由已知，有P(A)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(2,3)＋C\o\al(2,3)C\o\al(2,3),C\o\al(4,8))＝eq\f(6,35).所以事務(wù)A發(fā)生的概率為eq\f(6,35).(2)隨機變量X的全部可能取值為1,2,3,4.P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,5)C\o\al(4－k,3),C\o\al(4,8))(k＝1,2,3,4)．故P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(3,3),C\o\al(4,8))＝eq\f(1,14)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3),C\o\al(4,8))＝eq\f(3,7)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,5)C\o\al(1,3),C\o\al(4,8))＝eq\f(3,7)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(4,5)C\o\al(0,3),C\o\al(4,8))＝eq\f(1,14)，所以隨機變量X的分布列為X1234Peq\f(1,14)eq\f(3,7)eq\f(3,7)eq\f(1,14)12．設(shè)ξ為隨機變量，從棱長為1的正方體的12條棱中任取兩條，當(dāng)兩條棱相交時，ξ＝0；當(dāng)兩條棱平行時，ξ的值為兩條棱之間的距離；當(dāng)兩條棱異面時，ξ＝1，則隨機變量ξ的分布列是ξ01eq\r(2)Peq\f(4,11)eq\f(6,11)eq\f(1,11).解析：若兩條棱相交，則交點必為正方體8個頂點中的1個，過隨意1個頂點恰有3條棱，所以共有8Ceq\o\al(2,3)對相交棱，因此P(ξ＝0)＝eq\f(8C\o\al(2,3),C\o\al(2,12))＝eq\f(8×3,66)＝eq\f(4,11).若兩條棱平行，則它們的距離為1或eq\r(2)，其中距離為eq\r(2)的共有6對，故P(ξ＝eq\r(2))＝eq\f(6,C\o\al(2,12))＝eq\f(1,11)，于是P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝eq\r(2))＝1－eq\f(4,11)－eq\f(1,11)＝eq\f(6,11)，所以隨機變量ξ的分布列是ξ01eq\r(2)Peq\f(4,11)eq\f(6,11)eq\f(1,11)13.(2024·河南豫南九校聯(lián)考)為創(chuàng)建國家級文明城市，某城市號召出租車司機在高考期間至少進行一次“愛心送考”，該城市某出租車公司共200名司機，他們進行“愛心送考”的次數(shù)統(tǒng)計如圖所示．(1)求該出租車公司的司機進行“愛心送考”的人均次數(shù)；(2)從這200名司機中任選兩人，設(shè)這兩人進行送考次數(shù)之差的肯定值為隨機變量X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．解：(1)由統(tǒng)計圖得200名司機中送考1次的有20人，送考2次的有100人，送考3次的有80人，∴該出租車公司的司機進行“愛心送考”的人均次數(shù)為eq\f(20×1＋100×2＋80×3,200)＝2.3.(2)從該公司任選兩名司機，記“這兩人中一人送考1次，另一人送考2次”為事務(wù)A，“這兩人中一人送考2次，另一人送考3次”為事務(wù)B，“這兩人中一人送考1次，另一人送考3次”為事務(wù)C，“這兩人送考次數(shù)相同”為事務(wù)D，由題意知X的全部可能取值為0,1,2，P(X＝1)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(C\o\al(1,20)C\o\al(1,100),C\o\al(2,200))＋eq\f(C\o\al(1,100)C\o\al(1,80),C\o\al(2,200))＝eq\f(100,199)，P(X＝2)＝P(C)＝eq\f(C\o\al(1,20)C\o\al(1,80),C\o\al(2,200))＝eq\f(16,199)，P(X＝0)＝P(D)＝eq\f(C\o\al(2,20)＋C\o\al(2,100)＋C\o\al(2,80),C\o\al(2,200))＝eq\f(83,199)，∴X的分布列為X012Peq\f(83,199)eq\f(100,199)eq\f(16,199)E(X)＝0×eq\f(83,199)＋1×eq\f(100,199)＋2×eq\f(16,199)＝eq\f(132,199).eq\a\vs4\al(尖子生小題庫——供重點班學(xué)生運用，一般班學(xué)生慎用)14．甲、乙兩人為了響應(yīng)政府“節(jié)能減排”的號召，確定各購置一輛純電動汽車．經(jīng)了解目前市場上銷售的主流純電動汽車，按行駛里程數(shù)R(單位：公里)可分為三類車型，A：80≤R<150，B：150≤R<250，C：R≥250.甲從A，B，C三類車型中選擇，乙從B，C兩類車型中選擇，甲、乙二人選擇各類車型的概率如下表：若甲、乙都選C類車型的概率為eq\f(3,10).(1)求p，q的值；(2)求甲、乙選擇不同車型的概率；(3)某市對購買純電動汽車進行補貼，補貼標準如下表：車型ABC補貼金額(萬元/輛)345記甲、乙兩人購車所獲得的財政補貼和為X，求X的分布列．解：(1)由題意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)q＝\f(3,10)，,p＋q＋\f(1,5)＝1，))解得p＝eq\f(2,5)，q＝eq\f(2,5).(2)設(shè)“甲、乙選擇不同車型”為事務(wù)A，則P(A)＝eq\f(1,5)＋eq\f(2,5)×eq\f(1,4)＋eq\f(2,5)×eq\f(3,4)＝eq\f(3,5)，所以甲、乙選擇不同車型的概率是eq\f(3,5).(3)X可能取值為7,8,9