福建省莆田市第十五中學(xué)2024−2025學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題含答案

/福建省莆田市第十五中學(xué)2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知函數(shù)在處可導(dǎo)，且，則（

）A． B． C． D．22．如圖，在平行六面體（底面為平行四邊形的四棱柱）中，E為延長線上一點，，則=（

）A． B．C． D．3．已知曲線上一點，記為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，則（

）A． B． C． D．4．函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．5．在棱長為1的正方體中，則點到平面的距離為（

）A． B． C． D．6．正方體的棱長為1，為棱的中點，點在面對角線上運動(點異于點)，以下說法錯誤的是（

）A．平面B．C．直線與平面所成角的余弦值為D．三棱錐的體積為7．已知P為空間中任意一點，A、B、C、D四點滿足任意三點均不共線，但四點共面，且，則實數(shù)x的值為（）A． B． C． D．8．我們把平面內(nèi)與直線垂直的非零向量稱為直線法向量，在平面直角坐標(biāo)系中，過的直線的一個法向量為，則直線的點法式方程為：，化簡得.類比以上做法，在空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點的平面的一個法向量為，則該平面的方程為（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，下列說法正確的有（

）A．與點關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為B．若是空間向量的一組基底，且，則也是空間向量的一組基底C．已知，，則在上的投影向量的坐標(biāo)為D．已知，平面的法向量為，則10．已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，則（）A．有兩個極值點B．有三個互不相同的零點C．方程有三個不同解，則實數(shù)的取值范圍為D．A．若，則B．若G為的重心，則C．若，，則D．若三棱錐的棱長都為2，P，Q分別為MA，BC中點，則三、填空題（本大題共3小題）12．已知（）是直線l的方向向量，是平面的法向量，若，則.13．已知，，則向量在向量上的投影向量是．14．如圖所示，在長方體中，，，與平面交于點，則點到直線的距離為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知函數(shù)在處的切線方程．(1)求，的值；(2)求的單調(diào)區(qū)間與極值．16．如圖，在四棱錐中，底面為長方形，底面，是中點，已知．(1)證明：；(2)求二面角的大?。?7．如圖，在四棱錐中，平面，，且，，，，，N為的中點．(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值；(3)點M在線段上，直線與平面所成角的正弦值為，求點M到平面的距離．18．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.19．如圖，在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為棱BC，CD的中點.

(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求二面角的余弦值.

參考答案1．【答案】D【詳解】由導(dǎo)數(shù)的定義知.故選D.2．【答案】A【詳解】=,故選A.3．【答案】D【詳解】，，所以，所以.故選D.4．【答案】A【詳解】或時；時，排除B、D；，則，得；得或，故在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，排除C.故選A.5．【答案】C【詳解】如圖，連接，正方體的棱長為1，是邊長為的等邊三角形，，設(shè)點到平面的距離為，由，得，可得，則點到平面的距離為．故選C．6．【答案】C【詳解】對于A，連接、，相交于點，連接，如圖所示，因為四邊形為正方形，所以是中點，又為棱的中點，所以，又平面，平面，所以平面，故A正確；對于B，以為原點，以、、為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)，則，,,，所以,，，所以，故B正確；對于C，由B選項知，，，所以，因為平面，所以平面的法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，所以，所以，故C錯誤；對于D，因為，，，，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，解得，因為，所以，點到平面的距離為，所以三棱錐的體積為，故D正確.故選C.7．【答案】A【詳解】，又∵P是空間任意一點，A、B、C、D四點滿足任三點均不共線，但四點共面，∴，解得x=，故選A．點睛：設(shè)是平面上任一點，是平面上的三點，（不共線），則三點共線，把此結(jié)論類比到空間上就是：不共面，若，則四點共面．8．【答案】A【詳解】與平面向量類比，得到空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點的平面的一個法向量為，則該平面的方程為：，化簡得.故選A.9．【答案】AC【詳解】A.與點關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為，故A正確；B.，若，則與共線，所以不是空間向量的一組基底，故B錯誤；C.在上的投影向量為，故C正確；D.因為，所以，所以或，故D錯誤.故選AC.10．【答案】ACD【詳解】對于A選項，函數(shù)的定義域為，，由可得或，列表如下：單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以，函數(shù)的遞增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以，函數(shù)有兩個極值點，A對；對于B選項，由得或，所以，只有兩個不同的零點，B錯；對于C選項，由A選項可知，函數(shù)的極大值為，極小值為，如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有三個交點，所以，若方程有三個不同解，則實數(shù)的取值范圍為，C對；對于D選項，由A選項可知，，則，D對.故選ACD.11．【答案】BC【詳解】

對于A，由已知，即，則，故A錯誤；對于B，由G為的重心，得，又，，，，即，故B正確；對于C，若，，則，即，即，故C正確；對于D，，又，，故D錯誤.故選BC.12．【答案】【詳解】由，可知，即，解得.13．【答案】【詳解】向量在向量上的投影向量為.14．【答案】【詳解】以點為原點，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，由平面，設(shè)，所以，設(shè)，所以，即，解得，所以，則，設(shè)直線的夾角為，則，所以，所以點到直線的距離為.15．【答案】(1)(2)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，極小值為，無極大值【詳解】（1），又在處切線方程，所以，可得，解得．（2）由（1）可得，∴，令，解得；令，解得，∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，∴當(dāng)時，的極小值為，無極大值．16．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因為底面，底面，所以，又底面為長方形，所以，平面，所以平面，平面，所以.（2）以為原點，射線分別為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，易知底面的一個法向量為，設(shè)為，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，設(shè)二面角的大小為，則，所以二面角的大小為.17．【答案】(1)證明見詳解；(2)；(3).【詳解】（1）設(shè)的中點為，連接，因為N為的中點，所以，且，又因為，且，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，則，因為平面，平面，所以平面；（2）記的中點為，連結(jié)，因為，，，所以四邊形是矩形，則，，以為原點，以，，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，，，設(shè)平面的一個法向量為，所以令，則，設(shè)平面的一個法向量為，所以令，則，所以，由圖可知，二面角為銳角，所以二面角的余弦值為；（3）依題意，設(shè)，則，又由（2）得平面的一個法向量為，記直線與平面所成角為，所以，解得（負(fù)值舍去），所以，則，由（2）得平面的一個法向量為，所以點到平面的距離為.18．【答案】(1)(2)【詳解】（1）當(dāng)時，，，故，.所以曲線在點處的切線方程為，即.（2），因為，所以由，得，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；所以，因為恒成立，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.19．【答案】(1)證明見解析(2)(