皖豫名校聯(lián)盟2024−2025學(xué)年高三下學(xué)期4月份檢測數(shù)學(xué)試題含答案

/皖豫名校聯(lián)盟2024?2025學(xué)年高三下學(xué)期4月份檢測數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．若，則（

）A． B．C． D．2．已知非零向量在向量上的投影向量為，且，則（

）A．2 B．1 C． D．3．函數(shù)的圖象在處的切線方程為（

）A． B．C． D．4．已知集合，則中元素的個數(shù)為（

）A．無數(shù)個 B．2 C．1 D．05．已知雙曲線的左、右焦點分別為的一條漸近線與直線交于點，若的面積為，則的離心率為（

）A． B． C．4 D．26．在中，內(nèi)角的對邊分別為，已知，邊上一點使得，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．87．如圖（1），由兩個半徑相等的圓柱體呈直角相交而得到的公共部分對應(yīng)的幾何體稱為“牟合方蓋”（如圖（2）），牟合方蓋的表面可以看成四個曲面拼接成的.將一個牟合方蓋的四個曲面編號為，然后每個曲面染一種顏色，相鄰（有公共圖邊）的兩面顏色不能相同，如果只有4種顏色可供使用，則不同的染色方法種數(shù)（

）A．24 B．48 C．60 D．848．若不等式對任意正數(shù)恒成立，則的最大值為（

）A． B． C． D．0二、多選題（本大題共3小題）9．2025年1月20日，DeepSeek發(fā)布并開源DeepSeek-R1模型，這是繼ChatGPT之后人工智能技術(shù)的又一次突破，對人工智能市場的發(fā)展產(chǎn)生了巨大的推動作用.以下是收集到的2015年至2024年人工智能的市場規(guī)模（單位：十億美元）的數(shù)據(jù)：年份2015201620172018201920202021202220232024年份代號12345678910市場規(guī)模6.49.513.820.12940.75880.4110150設(shè)與的關(guān)系可以用線性回歸模型進行擬合，4.8，則（

）A．人工智能的市場規(guī)模與年份正相關(guān)B．人工智能的市場規(guī)模的分位數(shù)為110C．關(guān)于的回歸方程為D．人工智能的市場規(guī)模的年增長率約為10．已知均為等差數(shù)列，設(shè)分別為的前項和，若，則（

）A．B．C．D．?dāng)?shù)列的前項和小于11．已知橢圓的離心率為，將繞其中心分別逆時針、順時針各旋轉(zhuǎn)，得到橢圓，設(shè)圍成的公共區(qū)域的邊界為曲線，則（

）A．有四條對稱軸B．上任意兩點間距離的最大值為C．的周長D．圍成圖形的面積三、填空題（本大題共3小題）12．已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有3個零點，則的取值范圍為.13．已知是定義在上的增函數(shù)，且圖象關(guān)于點對稱，若關(guān)于的不等式有解，則實數(shù)的取值范圍為.14．已知正四棱臺的上底面的邊長為2，現(xiàn)有一個半球，球心為正方形的中心，且正四棱臺的上底面、四條側(cè)棱和下底面的四條邊均與球相切，則該半球的表面積為.四、解答題（本大題共5小題）15．某科技公司研發(fā)了一種新產(chǎn)品，每件產(chǎn)品上市前需要分別進行兩項測試，第一項測試通過的概率為0.7，若第一項通過，則第二項通過的概率為0.9，若第一項未通過，則第二項通過的概率為0.4.(1)已知某件產(chǎn)品在兩項測試中僅通過一項，求其第一項測試通過的概率；(2)規(guī)定至少通過一項測試的產(chǎn)品為合格品，現(xiàn)對10件該產(chǎn)品獨立地進行測試，記其中的合格品件數(shù)為，則取何值時最大？16．如圖，直四棱柱的頂點都在球的球面上，是球的直徑，且.

(1)證明：平面平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值.17．已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若不等式對任意的恒成立，求的取值范圍.18．已知拋物線經(jīng)過點，過的焦點作斜率為的直線，與交于兩點（在第一象限），過點作直線分別與交于另外兩點，設(shè)直線的斜率為.(1)求的方程；(2)證明：為定值；(3)過點作兩條相互垂直的直線，分別與交于另一點（點均與，不重合），若直線與的斜率之積為，證明直線與相交于定點，并求出定點的坐標(biāo).19．?dāng)?shù)學(xué)歸納法是一種數(shù)學(xué)證明方法，通常被用于證明某個給定命題在整個（或者局部）自然數(shù)范圍內(nèi)成立.證明分為下面兩個步驟：①證明當(dāng)取第一個值時命題成立；②假設(shè)時命題成立，證明當(dāng)時命題也成立.根據(jù)①②就可以斷定命題對于從開始的所有正整數(shù)都成立.根據(jù)上述材料解決下面的問題：已知數(shù)列滿足，當(dāng)時，，其中.(1)寫出和，猜想的通項公式，并證明你的猜想；(2)若，求；（參考公式：）(3)對任意的且，設(shè)滿足的的最小值為，證明：當(dāng)時，

參考答案1．【答案】A【詳解】因為，所以，又，所以.故選A.2．【答案】B【詳解】由非零向量在向量上的投影向量為可得：，即，又，則，所以.故選B.3．【答案】C【詳解】，所以，即切線的斜率為1，又，所以切點坐標(biāo)為，所以所求的切線方程為，化簡得：故選C.4．【答案】B【詳解】集合表示以點為圓心，半徑的圓上的點，集合表示以點為圓心，半徑的圓上的點，兩圓的圓心距，而，所以兩圓相交，即中有2個元素.故選B.5．【答案】D【詳解】不妨取的漸近線，與聯(lián)立，得點的坐標(biāo)為，由，所以，故離心率為.故選D.6．【答案】C【詳解】因為，所以，因為，即，即，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.故選C.7．【答案】D【詳解】根據(jù)牟合方蓋的表面可以看成四個曲面拼接成的.將一個牟合方蓋的四個曲面編號為，故可轉(zhuǎn)化為有公共點的4個區(qū)域，如圖所示：1號小方格可以從4種顏色的染料中任取一種涂色，有4種不同的涂法.①當(dāng)2號，3號小方格涂不同顏色的染料時，有種不同的涂法，4號小方格有2種不同的涂法，故由分步乘法計數(shù)原理，可知有種不同的涂法.②當(dāng)2號，3號小方格涂相同顏色的染料時，有3種不同的涂法，4號小方格也有3種不同的涂法，故由分步乘法計數(shù)原理，可知有種不同的涂法.綜上，由分類加法計數(shù)原理，可得共有種不同的涂法.故選D.8．【答案】A【詳解】由題意易知，，當(dāng)時，，由恒成立，即恒成立，因為的值域為，故不可能恒成立，不符合題意；當(dāng)時，由得，由得，由得，由得，因此，若，則當(dāng)時，，，故，不合題意；若，則當(dāng)時，，，故，不合題意；因此要使得不等式對任意正數(shù)恒成立，有且只有，即，所以，令，則，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，故的最大值為，即的最大值為，故選A.9．【答案】AD【詳解】對于A，人工智能的市場規(guī)模隨年份增大而增大，故是正相關(guān)關(guān)系，故A正確；對于B，分位數(shù)是從小到大第9個和第10個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即，故B錯誤；對于C，因為，即，故C錯誤；對于D，設(shè)，則，故的年增長率約為，故D正確.故選AD.10．【答案】ACD【詳解】因為，當(dāng)時，，設(shè)的首項為，公差為的首項為，公差為，因為，所以，即，展開并整理多項式，比較系數(shù)可得.故，，.對于A，由上面的分析可知A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，因為，所以，故C正確；對于D，，所以的前項和為，故D正確.故選ACD.11．【答案】ACD【詳解】由題意知，解得.由解得或則與直線的交點為，所以直線被截得的弦長為4.結(jié)合對稱性，可作出以及如圖所示，其中.對于A，有四條對稱軸，分別為直線，故A正確；對于B，由圖可知，上任意兩點間距離的最大值為，故B錯誤；對于C，正方形的周長為，所以的周長，故C正確；對于D，的短半軸長為，可知以原點為圓心，半徑為的圓為曲線的內(nèi)切圓，其面積為，所以，故D正確.故選ACD.12．【答案】【詳解】當(dāng)時，，

由圖可知，.13．【答案】【詳解】由題意，所以，因為單調(diào)遞增，所以，即有解，而，所以，得.14．【答案】【詳解】如圖，記正四棱臺的上底面的中心為，過作平面于，則點在上，記半球與分別相切于點，由正四棱臺和球的結(jié)構(gòu)特征知，為的中點，由，得，記半球半徑為，則，于是，在中，，解得，所以半球的表面積為.15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)事件為“第一項測試通過”，事件為“第二項測試通過”，事件為“僅通過一項測試”.則，.所以.（2）由已知及（1）可得，每件產(chǎn)品檢測為合格品的概率為，所以.，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以時，最大.16．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）為球的直徑，是在平面內(nèi)的射影，則為四邊形外接圓的直徑，所以，因為，所以，所以.又平面平面，所以.又因為，所以平面，因為平面，故平面平面.（2）方法一：因為為球的直徑，又為球的球面上，所以，又平面平面，所以，又因為，所以平面，又平面所以所在直線兩兩相互垂直.如圖所示，以為坐標(biāo)原點，以所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

由已知可得，所以為等邊三角形.所以.所以.設(shè)平面的法向量為，則即令，得.設(shè)平面的法向量為，則即令，得.令平面與平面夾角為因為，故平面與平面夾角的余弦值為.方法二：設(shè)與的交點為，以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，軸，過點且垂直于平面的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.

由已知可得.所以.計算可得平面的一個法向量為，平面的一個法向量為.令平面與平面夾角為因為，故平面與平面夾角的余弦值為.方法三：（幾何法）作，垂足為，連接.利用三角形全等，或者證明平面，得，所以平面與平面夾角的平面角為（或其補角）.可證明，所以是直角三角形.由已知計算可得，又，所以，同理.由余弦定理得，所以平面與平面夾角的余弦值為.17．【答案】(1)答案見解析(2)【詳解】（1）的定義域是.若，則對任意的恒成立，所以在上單調(diào)遞減.若，令，得或，令，得或，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）即，則對任意的恒成立.設(shè)，則，令，則.當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，又，且，若，則，必存在，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，此時，不符合題意.若，則在上恒成立，在上單調(diào)遞增，此時，符合題意.即的取值范圍是.18．【答案】(1)；(2)證明見解析；(3)證明見解析，定點為.【詳解】（1）根據(jù)題意，將代入有，解得，所以的方程為.（2）由（1）可知，設(shè)，則，從而直線為，即，將代入，有.同理，直線為，直線為，將代入，有，又，所以，為定值.（3）由（2）知，所以，從而點的坐標(biāo)為.故，由，解得（負值舍去），所以，易知直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，整理得，所以，即.設(shè)直線的方程為，同理可得.直線的方程為，即，所以直線過定點.另一方面，因為，所以，即直線與垂直，同的垂直關(guān)系求直線所過的定點，易知直線也過點，即直線與相交于定點，定點坐標(biāo)為.19．【答案】(1)，，，證明見解析(2)或(3)