天津市十二校2025屆高三二模數(shù)學(xué)試題含答案

/2025屆天津市十二校高三二模數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共9小題）1．已知集合，，，則（

）A． B． C． D．2．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件3．已知，，，則的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．4．下列說法正確的是（）A．一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為0，則這組數(shù)據(jù)中的數(shù)均相等B．兩組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差相等，則這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等C．若兩個變量的相關(guān)系數(shù)越接近于0，則這兩個變量的相關(guān)性越強D．已知變量，由它們的樣本數(shù)據(jù)計算得到的觀測值，的部分臨界值如下表：0.10.050.0250.012.7063.8415.0246.635則在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為變量沒有關(guān)系5．函數(shù)的部分圖象大致是（

）A． B．C． D．6．在數(shù)列中，，，記為數(shù)列的前項和，則（

）A．0 B．18 C．10 D．97．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，將的圖象向左平移個單位長度，再把所有點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得到函數(shù)的圖象，則（）A． B． C．1 D．08．已知雙曲線的左、右焦點分別為，兩條漸近線的夾角為，過點作軸的垂線，交雙曲線的左支于兩點，若的面積為，則該雙曲線的方程為（

）A． B．C． D．9．如圖，正四棱錐的每個頂點都在球的球面上，側(cè)面是等邊三角形.若半球的球心為四棱錐的底面中心，且半球與四個側(cè)面均相切，則半球的體積與球的體積的比值為（

）A． B． C． D．二、填空題（本大題共6小題）10．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則的虛部為.11．二項式的展開式中，x的系數(shù)為.12．已知拋物線的焦點為，直線的傾斜角為，且過點.若與相交于兩點，則以為直徑的圓被軸截得的弦長為.13．二十四節(jié)氣是中國古代用來指導(dǎo)農(nóng)事的補充歷法，是中華民族勞動人民長期經(jīng)驗積累的智慧結(jié)晶.春、夏、秋、冬每個季節(jié)各包含六個節(jié)氣.李華同學(xué)計劃從中隨機選取2個節(jié)氣開展知識講座，則兩個節(jié)氣恰好在同一季節(jié)的概率為；若已知選取的2個節(jié)氣均屬于春季，則其中包含“立春”的概率為.（“立春”是春季的六個節(jié)氣之一.）14．如圖，已知直角三角形△中，，，，點在以為圓心且與邊相切的圓上，若與圓的切點為，則，則的取值范圍為.15．已知函數(shù).若存在實數(shù)，使得方程有6個不相等實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是．三、解答題（本大題共5小題）16．在中，角、、的對邊分別為、、，已知.(1)求的值；(2)若，（?。┣蟮闹?；（ⅱ）求的值.17．如圖，四棱錐中，平面，是的中點．(1)求證：平面；(2)求平面與平面所成角的余弦值；(3)在線段上是否存在點，使得點到平面的距離為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．18．已知等差數(shù)列的前項和為，公差為1，且滿足．?dāng)?shù)列是首項為2的等比數(shù)列，公比不為1，且、、成等差數(shù)列，其前項和為．(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)若，求正整數(shù)的值；(3)記，求數(shù)列的前項和．19．已知橢圓的離心率為，且過點．(1)求橢圓的方程；(2)斜率為的直線與橢圓交于兩點，記以為直徑的圓的面積分別為，當(dāng)為何值時，為定值．(3)在（2）的條件下，設(shè)不過橢圓中心和頂點，且與軸交于點，點關(guān)于軸的對稱點為，直線與軸交于點，求周長的最小值．20．已知函數(shù)，，．(1)過原點作直線l與，的圖象均相切，求實數(shù)k的值；(2)令，（?。┯懻摰臉O值點個數(shù)；（ⅱ）若為的極小值點，為的零點，求證：．

參考答案1．【答案】A【詳解】因為，，所以，又，所以.故選A.2．【答案】B【詳解】因為，所以，又因為不一定大于0，即不一定成立，所以“”是“的不充分條件，因為在上單調(diào)遞增，所以，即，所以“”是“的必要條件，所以“”是“的必要不充分條件，故選B．3．【答案】B【詳解】由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得，由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)得，由正弦函數(shù)性質(zhì)得，則，故B正確.故選B.4．【答案】A【詳解】對于A，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差定義，一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差時，顯然有故A正確；對于B，兩組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差相等，這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)未必相等，如都為1和都為2的兩組數(shù)據(jù)，它們的標(biāo)準(zhǔn)差均為0，但它們的平均數(shù)分別為1和，故B錯誤；對于C，兩個變量的相關(guān)系數(shù)越接近于0，兩個變量的相關(guān)性越弱，故C錯誤；對于D，，根據(jù)獨立性檢驗原理，在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為變量有關(guān)系，故D錯誤.故選A.5．【答案】A【詳解】由函數(shù)，定義域為，有，所以函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，可排除B、D項；又由，可排除C項，所以函數(shù)的圖象為選項A.故選A.6．【答案】C【詳解】因為，所以，因為，所以，，，，，，，…，故數(shù)列為周期數(shù)列，周期為4，所以.故選C.7．【答案】C【詳解】觀察函數(shù)圖象，函數(shù)的最小正周期，解得，由，得，又，則，，將的圖象向左平移個單位長度，得的圖象，因此，所以.故選C.8．【答案】D【詳解】為雙曲線的通徑，，又，；兩條漸近線的夾角為，漸近線的傾斜角為或，又，，漸近線傾斜角為，即；由得：，雙曲線方程為：.故選D.9．【答案】A【詳解】如圖：連接PO，BD，取CD的中點E，連接PE，OE，過O作OH⊥PE于H，易知PO⊥底面ABCD，設(shè)，則，，，所以球M的球心是O，設(shè)半徑為R，則，半球O的半徑為，則，所以，故.故選A.10．【答案】【詳解】因為，所以的虛部為.11．【答案】20【詳解】的展開式的通項公式為:，由得，則展開式中的系數(shù)為.12．【答案】【詳解】由題意，聯(lián)立，則，顯然，所以，故，所以，以為直徑的圓的圓心橫坐標(biāo)為3，半徑為4，故以為直徑的圓被軸截得的弦長為.13．【答案】；【詳解】從24個節(jié)氣中任選2個節(jié)氣的所有情況有種，則兩個節(jié)氣恰好在同一季節(jié)的情況有,故兩個節(jié)氣恰好在同一季節(jié)的概率為，若已知選取的2個節(jié)氣均屬于春季有種情況，則其中包含“立春”的概率為.14．【答案】【詳解】以A為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則，且，由，所以，解得，即圓的半徑為，則，所以；設(shè)BC的中點為，則，又，，所以，所以的取值范圍為.15．【答案】【詳解】對于，，對其求導(dǎo)，，易得，故函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且．當(dāng)時，，如要滿足題意，作出其大致圖象需如圖：由題得，，．∵函數(shù)的圖象和直線有六個交點，∴，，三點的高度應(yīng)滿足或，即或．顯然，由三點高度知道，，∴解不等式可得或，綜合得．16．【答案】(1)(2)（?。?；（ⅱ）【詳解】（1）在中，由正弦定理可得：，整理得，由余弦定理，可得；（2）（i）由（1）可得，又由正弦定理，及已知，可得，由已知，可得，故有，為銳角，可得，，則；（ii）由（i）可得，,.17．【答案】(1)證明見解析(2)(3)存在，．【詳解】（1）取的中點，連接，因為是的中點，所以．又因為，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以．又因為平面平面，所以平面．（2）由題意：平面，且，則兩兩垂直，所以建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，又因為，是的中點，所以點的坐標(biāo)為，，，，所以平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，，由，可得，令，則，所以．所以，平面與平面所成二面角的余弦值為．（3）設(shè)，且，，則，設(shè)平面的法向量為，則，可得，令，所以．因為點到平面的距離為，所以，解得，所以存在點，使得點到平面的距離為，此時．18．【答案】(1)，；(2)4；(3).【詳解】（1）依題意，，解得，則，設(shè)數(shù)列的公比為q，因，，成等差數(shù)列，則，有，而，解得，，所以數(shù)列和的通項公式分別為：，.（2）由（1）知，，，，依題意，，整理得，而，解得，所以正整數(shù)n的值是4.（3）由（1）知，令數(shù)列的前n項和為，數(shù)列的前n項和為，則，于是得，兩式相減得：，因此，，，數(shù)列的前項和.19．【答案】(1)(2)時，為定值(3)【詳解】（1）由題意，得，解得，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)直線l的方程為，，，聯(lián)立，消去y整理得，則，且，，又，，則，則，即時，此時為定值.（3）由（2）知，，，直線l的方程為，且，，，，則，，則直線的方程為，令，得，即，則，，，則周長為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，則周長的最小值為.20．【答案】(1)；(2)（?。r，有一個極值點，當(dāng)時，無極值點，當(dāng)時，有兩個極值點；（ⅱ）證明見解析.【詳解】（1）設(shè)的切點為，又，則，由于過原點，所以，可得，所以切線的斜率為，設(shè)的切點為故；（2）（?。┯深}意有所以令當(dāng)時，單調(diào)遞增，此時無極值點，當(dāng)時，，則為單調(diào)遞增函數(shù)，且，故存在使得，所以在遞減，在單調(diào)遞增，故有一個極值點，當(dāng)時，令得，則為單調(diào)遞增函數(shù)，且，故存在使得，所以在遞減，在單調(diào)遞增，故，當(dāng)，，則為單調(diào)遞增函數(shù)，無極值點，時，，令（），則，令，則，當(dāng)，故單調(diào)遞增，故，故單調(diào)遞增，故，故（），所以當(dāng)，所以，故，使得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故有兩個極值點，綜上可得時，有一個極值點，當(dāng)時，無極值點，當(dāng)時，有兩個極值點；（ⅱ）由（i）知，時，有一個負的極小值點，設(shè)為，又在遞減，在單調(diào)遞增，即為的極小值點也是最小值點，所以又，即，所以，故無零點，不滿足題