廣東省深圳市南方科技大學(xué)附屬中學(xué)2024−2025學(xué)年高一下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題含答案

/廣東省深圳市南方科技大學(xué)附屬中學(xué)2024?2025學(xué)年高一下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．下列說(shuō)法不正確的是（）A．向量的模是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)B．任何一個(gè)非零向量都可以平行移動(dòng)C．兩個(gè)有共同起點(diǎn)且共線的向量終點(diǎn)也必相同D．長(zhǎng)度不相等而方向相反的兩個(gè)向量一定是共線向量2．已知向量，，若，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C．11 D．43．已知，，則的值為（

）A． B． C． D．4．如圖，點(diǎn)是的重心，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且，，則（

）A． B． C． D．5．已知定義在上的奇函數(shù)滿足①；②，，且，，則的解集為（

）A． B．C． D．6．等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，，，，P為腰AD所在直線上任意一點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B．1 C． D．7．在中，角所對(duì)的邊分別是，已知，則（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列選項(xiàng)不正確的是（）A．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱B．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為C．函數(shù)在上有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為D．函數(shù)的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到二、多選題（本大題共3小題）9．已知向量，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則向量與向量的夾角的余弦值為D．若，則向量在向量上的投影向量為10．已知角是的三個(gè)內(nèi)角，下列結(jié)論一定成立的有（）A．若，則一定是等腰三角形B．若，則C．若是銳角三角形，則D．若，則一定是鈍角三角形11．“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來(lái)，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：如圖所示，已知是內(nèi)一點(diǎn)，，，的面積分別為，且．以下命題正確的有（）

A．若，則為的重心B．若為的內(nèi)心，則C．若，為的外心，則D．若為的垂心，則三、填空題（本大題共3小題）12．設(shè)向量的夾角的余弦值為，，,則．13．已知正數(shù)a，b滿足，則的最小值為.14．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，，，則；．四、解答題（本大題共5小題）15．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，已知.(1)求角A的大??；(2)若，的面積為，求的周長(zhǎng).16．已知，的夾角為，且，，設(shè)，.(1)若，求實(shí)數(shù)t的取值；(2)時(shí)，求與的夾角的余弦值；(3)是否存在實(shí)數(shù)t，使得，若存在，求出實(shí)數(shù)t.17．已知中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且．(1)求A的大??；(2)設(shè)AD是BC邊上的高，且，求面積的最小值．18．在銳角中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，滿足．(1)求證：；(2)若，求a邊的范圍；(3)求的取值范圍．19．已知向量，，函數(shù)(1)求函數(shù)的解析式和單調(diào)遞增區(qū)間;(2)若，，分別為三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊，，，，試判斷這個(gè)三角形解的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由;(3)若時(shí)，關(guān)于的方程恰有三個(gè)不同的實(shí)根，，，求實(shí)數(shù)的取值范圍及的值.

參考答案1．【答案】C【詳解】對(duì)A：向量的模是指向量的長(zhǎng)度，因此向量的模是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，故該選項(xiàng)說(shuō)法正確；對(duì)B：任何一個(gè)非零向量都可以平行移動(dòng)，故該選項(xiàng)說(shuō)法正確；對(duì)C：只有兩向量相等時(shí)，有共同起點(diǎn)的向量終點(diǎn)才一定相同，故該選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤；對(duì)D：方向相反的兩個(gè)向量一定是共線向量，故該選項(xiàng)說(shuō)法正確.故選C.2．【答案】B【詳解】由題，因?yàn)?，所?故選B.3．【答案】A【詳解】解：，，，.，..故選A.4．【答案】C【分析】延長(zhǎng)交于，根據(jù)題意，得到且，再由，可得是的四等分點(diǎn)，根據(jù)向量的運(yùn)算法則，求得，求得的值，即可求解.【詳解】如圖所示，延長(zhǎng)交于，由已知為的重心，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，可得，且，又由，可得是的四等分點(diǎn)，則，因?yàn)?，所以，，所以．故選C.5．【答案】A【詳解】不妨設(shè)，，故在上單調(diào)遞增，因?yàn)闉槎x在上的奇函數(shù)，所以，故定義域?yàn)?，且，故為偶函?shù)，因?yàn)?，所以，，所以，解得?故選A.6．【答案】B【詳解】等腰梯形ABCD中，作垂直于于點(diǎn)，作垂直于于點(diǎn)，又，，，則，，，，則建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則，，，，又P為腰AD所在直線上任意一點(diǎn)，則設(shè)，，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為，所以，又關(guān)于的二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，所以當(dāng)，取得最小值．故的最小值是．故選B．7．【答案】C【詳解】，由正弦定理可化簡(jiǎn)成：，角是三角形內(nèi)角，則，代回上式得：，，化簡(jiǎn)得：，又，則，于是，由輔助角公式整理得：，又，故，.故選C.8．【答案】D【詳解】.根據(jù)圖象可得：.由，所以.所以.對(duì)A：因?yàn)椋允呛瘮?shù)的對(duì)稱中心，故A正確；對(duì)B：由，，.所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，.故B正確；對(duì)C：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，.因?yàn)楹瘮?shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，所以，故C正確；對(duì)D：因?yàn)?，所以函?shù)的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，故D錯(cuò)誤.故選D.9．【答案】AC【詳解】對(duì)于A，由，得，解得，A正確；對(duì)于B，由，得，解得，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則，又，則，C正確；對(duì)于D，若，則，又，于是，則向量在向量上的投影向量為，D錯(cuò)誤.故選AC10．【答案】BCD【詳解】對(duì)于A，由可知或，所以或，則是等腰三角形或直角三角形，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，假設(shè)時(shí)，，易知不滿足，若，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，若時(shí)，，不滿足題意，則，所以也不滿足題意，所以假設(shè)不成立，B正確；對(duì)于C，因?yàn)槭卿J角三角形，所以均為銳角，所以，則，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)減，則，C正確；對(duì)于D，由且都在，易知均為銳角，且，又因?yàn)?，所以，則為鈍角，D正確.故選BCD.11．【答案】ABD【詳解】解：對(duì)于A，取中點(diǎn)，連接，

因?yàn)?，則，所以，，所以三點(diǎn)共線，且，設(shè)分別是的中點(diǎn)，同理可得，，所以為的重心，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)闉榈膬?nèi)心，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，

則有，所以，即，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)闉榈耐庑?，設(shè)的外接圓半徑為，又因?yàn)椋?/p>

則有，，，所以，，，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，延長(zhǎng)交于，延長(zhǎng)交于，延長(zhǎng)交于，如圖所示：

因?yàn)闉榈拇剐?，，則，又因?yàn)椋瑒t，設(shè)，因?yàn)椋砜傻?，則，所以，所以，所以在中，，所以在中，；所以在中，，所以在中，；所以，所以，故D正確.故選ABD.12．【答案】23【詳解】由題意：，，所以.13．【答案】/0.75【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.14．【答案】/0.75【詳解】由正弦定理，根據(jù)可得，又，所以.因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，所以，所以.因?yàn)椋?由余弦定理：，，得：，所以或（舍去）.15．【答案】(1)(2)【分析】（1）先根據(jù)兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)題干條件可得，進(jìn)而得到，進(jìn)而求解；（2）根據(jù)三角形的面積公式及余弦定理求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，在中，，?（2）由（1）知，，所以，即，所以，又，即，所以的周長(zhǎng)為.16．【答案】(1)(2)(3)存在滿足題意；【詳解】（1）由，的夾角為，且，可得；由可得，解得；（2）當(dāng)時(shí)，；；且；所以，即與的夾角的余弦值為（3）由可得；即可得，解得，所以存在，使得.17．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）在中，由及二倍角公式，得，即，整理得，因此，即，而，所以.（2）由（1）及已知，得，即有，由余弦定理得，即，因此，即，于是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，而，所以面積的最小值為.18．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)；(3)．【詳解】（1）解：因?yàn)?，所以，由正弦定理可得，又因?yàn)?，代入可得，即，因?yàn)?，，則，故，所以或，即或（舍去），所以．法二：由正弦定理可得：，則，則，又，故，因?yàn)?，，則，故，所以或，即或（舍去）；（2）因?yàn)闉殇J角三角形，，所以，由，解得，又故；（3）由（2）知，由，令，則在上單調(diào)遞增，所以，所以的取值范圍為．19．【答案】(1)，；(2)答案見(jiàn)解析(3)的取值范圍為，的值為.【詳解】（1），令，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為（2）在中，，由，得，則，解得，假設(shè)三角形存在，由正弦定理，得，①當(dāng)時(shí)，，三角形無(wú)解；②當(dāng)時(shí)，，，三角形有唯一解；③當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，