微專題25　空間中的平行與垂直關(guān)系(幾何法、向量法) 高三數(shù)學(xué)

板塊四立體幾何與空間向量微專題25空間中的平行與垂直關(guān)系

(幾何法、向量法)高考定位1.以選擇題、填空題的形式考查線線、線面、面面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)定理，對(duì)命題的真假進(jìn)行判斷，屬基礎(chǔ)題；2.空間中的平行、垂直關(guān)系的證明也是高考必考內(nèi)容，多出現(xiàn)在立體幾何解答題中的第(1)問.【

真題體驗(yàn)

】1.(2024·全國甲卷)設(shè)α，β為兩個(gè)平面，m，n為兩條直線，且α∩β＝m，下述四個(gè)命題： ①若m∥n，則n∥α或n∥β ②若m⊥n，則n⊥α或n⊥β

③若n∥α且n∥β，則m∥n ④若n與α，β所成的角相等，則m⊥n

其中所有真命題的編號(hào)是 A.①③ B.②④ C.①②③

D.①③④√α∩β＝m，則m?α，m?β，對(duì)于①，若m∥n，則n∥α或n∥β，①正確；對(duì)于②，若m⊥n，則可能n∥α或n與α相交，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，若n∥α且n∥β，則n∥m，③正確；2.(2022·全國乙卷)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，則 A.平面B1EF⊥平面BDD1 B.平面B1EF⊥平面A1BD C.平面B1EF∥平面A1AC D.平面B1EF∥平面A1C1D√在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AC⊥BD且DD1⊥平面ABCD，又EF?平面ABCD，所以EF⊥DD1.因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，所以EF∥AC，所以EF⊥BD.又BD∩DD1＝D，BD，DD1?平面BDD1，所以EF⊥平面BDD1.又EF?平面B1EF，所以平面B1EF⊥平面BDD1，故A正確；如圖，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB＝2，則D(0，0，0)，B1(2，2，2)，E(2，1，0)，F(xiàn)(1，2，0)，B(2，2，0)，A1(2，0，2)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，設(shè)平面B1EF的一個(gè)法向量為m＝(x1，y1，z1)，可取m＝(2，2，－1)，同理可得平面A1BD的一個(gè)法向量為n1＝(1，－1，－1)，平面A1AC的一個(gè)法向量為n2＝(1，1，0)，平面A1C1D的一個(gè)法向量為n3＝(1，1，－1)，則m·n1＝2－2＋1＝1≠0，所以平面B1EF與平面A1BD不垂直，故B錯(cuò)誤；因?yàn)閙與n2不平行，所以平面B1EF與平面A1AC不平行，故C錯(cuò)誤；因?yàn)閙與n3不平行，所以平面B1EF與平面A1C1D不平行，故D錯(cuò)誤.3.(多選)(2021·新高考Ⅱ卷)如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點(diǎn)，M，N為正方體的頂點(diǎn)，則滿足MN⊥OP的是√設(shè)正方體的棱長為2.√對(duì)于A，如圖(1)所示，連接AC，則MN∥AC，故∠POC(或其補(bǔ)角)為異面直線OP，MN所成的角.故MN⊥OP不成立，故A錯(cuò)誤；圖(1)圖(2)對(duì)于B，如圖(2)所示，取MT的中點(diǎn)為Q，連接PQ，OQ，則OQ⊥MT，PQ⊥MN.由正方體SBCN－MADT可得SM⊥平面MADT，而OQ?平面MADT，故SM⊥OQ，又SM∩MT＝M，SM，MT?平面SNTM，故OQ⊥平面SNTM，又MN?平面SNTM，所以O(shè)Q⊥MN，又OQ∩PQ＝Q，OQ，PQ?平面OPQ，所以MN⊥平面OPQ，又OP?平面OPQ，故MN⊥OP，故B正確；對(duì)于C，如圖(3)，連接BD，則BD∥MN，由B的判斷可得OP⊥BD，故OP⊥MN，故C正確；圖(3)

圖(4)對(duì)于D，如圖(4)，取AD的中點(diǎn)Q，AB的中點(diǎn)K，連接AC，PQ，OQ，PK，OK，則AC∥MN.因?yàn)镈P＝PC，故PQ∥AC，故PQ∥MN，所以∠QPO(或其補(bǔ)角)為異面直線PO，MN所成的角，QO2<PQ2＋OP2，故∠QPO不是直角，故PO，MN不垂直，故D錯(cuò)誤.故選BC.√√圖1對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)λ＝1時(shí)，點(diǎn)P在棱CC1上運(yùn)動(dòng)，如圖1所示，此時(shí)△AB1P的周長為不是定值，A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)μ＝1時(shí)，點(diǎn)P在棱B1C1上運(yùn)動(dòng)，如圖2所示，圖2為定值，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，取BC的中點(diǎn)D，B1C1的中點(diǎn)D1，連接DD1，A1B，圖3如圖3所示.假設(shè)A1P⊥BP，則A1P2＋BP2＝A1B2，所以點(diǎn)P與點(diǎn)D或D1重合時(shí)，A1P⊥BP，故C錯(cuò)誤；法一由多選題特征，排除A，C，故選BD.法二對(duì)于選項(xiàng)D，易知四邊形ABB1A1為正方形，所以A1B⊥AB1.設(shè)AB1與A1B交于點(diǎn)K，連接PK，要使A1B⊥平面AB1P，需A1B⊥KP，所以點(diǎn)P只能是棱CC1的中點(diǎn)，故選項(xiàng)D正確.綜上，選BD.法三對(duì)于選項(xiàng)D，分別取BB1，CC1的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF，以點(diǎn)C為原點(diǎn)建立如圖4所示的空間直角坐標(biāo)系C－xyz，圖4所以只存在一個(gè)點(diǎn)P，使得A1B⊥平面AB1P，此時(shí)點(diǎn)P與F重合，故D正確.綜上，選BD.精準(zhǔn)強(qiáng)化練熱點(diǎn)一空間線面位置關(guān)系的判定熱點(diǎn)二幾何法證明平行、垂直熱點(diǎn)三向量法證明平行、垂直熱點(diǎn)突破熱點(diǎn)一空間線面位置關(guān)系的判定判斷空間線、面位置關(guān)系的常用方法(1)根據(jù)空間線面平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理逐項(xiàng)判斷；(2)利用直線的方向向量、平面的法向量判斷；(3)必要時(shí)可以借助空間幾何模型，如從長方體、四面體等模型中觀察線、面的位置關(guān)系，并結(jié)合有關(guān)定理進(jìn)行判斷.(1)(多選)(2024·深圳二模)已知m，n是異面直線，m?α，n?β，那么A.當(dāng)m⊥β，或n⊥α?xí)r，α⊥βB.當(dāng)m∥β，且n∥α?xí)r，α∥βC.當(dāng)α⊥β時(shí)，m⊥β，或n⊥αD.當(dāng)α，β不平行時(shí)，m與β不平行，且n與α不平行例1√當(dāng)m⊥β，m?α?xí)r，α⊥β；√當(dāng)n⊥α，n?β時(shí)，α⊥β，故A正確；當(dāng)m∥β，n∥α?xí)r，又m，n為異面直線，所以α∥β，故B正確；當(dāng)α⊥β時(shí)，由m?α，得m∥β或m與β相交；當(dāng)α⊥β時(shí)，由n?β，得n∥α或n與α相交，故C錯(cuò)誤；當(dāng)α，β不平行時(shí)，可能m∥β或m與β相交，

n∥α或n與α相交，故D錯(cuò)誤.(2)(多選)(2024·黃山模擬)如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為棱BC，CC1，CD的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的有√如圖所示，對(duì)于A，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為棱BC，CC1，CD的中點(diǎn)，連接BC1，所以EF∥BC1，而BC1∥AD1，所以EF∥AD1，所以AE與D1F共面，A正確；A.AE與D1F共面

B.平面AB1D1∥平面GFEC.AE⊥EF

D.BF∥平面AB1D1√對(duì)于B，因?yàn)锽B1∥DD1且BB1＝DD1，所以，四邊形BB1D1D為平行四邊形，則BD∥B1D1，又因?yàn)镋，G分別為BC，CD的中點(diǎn)，則EG∥BD，所以EG∥B1D1，又由A選項(xiàng)分析知EF∥AD1，因?yàn)镋F∩EG＝E，EF，EG?平面EFG，B1D1∩AD1＝D1，B1D1，AD1?平面AB1D1，所以平面EFG∥平面AB1D1，B正確；對(duì)于C，因?yàn)镋F∥AD1且EF≠AD1，即四邊形AD1FE為等腰梯形，故AE，EF不垂直，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由B選項(xiàng)的分析，平面EFG∥平面AB1D1，而BF∩平面EFG＝F，所以BF與平面AB1D1不平行，D錯(cuò)誤.1.易遺漏定理中的條件.2.易直接將平面幾何中的結(jié)論應(yīng)用到立體幾何中.易錯(cuò)提醒(1)(2024·天津卷)若m，n為兩條直線，α為一個(gè)平面，則下列結(jié)論中正確的是A.若m∥α，n∥α，則m⊥n B.若m∥α，n∥α，則m∥nC.若m∥α，n⊥α，則m⊥n D.若m∥α，n⊥α，則m與n相交訓(xùn)練1√對(duì)于A，B，若m∥α，n∥α，則m與n可能平行、相交或異面，故A，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，D，若m∥α，n⊥α，則m⊥n，且m與n可能相交，也可能異面，故C正確，D錯(cuò)誤.√(2)(2024·武漢質(zhì)檢)已知四棱錐P－ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，E為PC中點(diǎn)，則A.BE∥平面PAD

B.PD⊥平面ABCDC.平面PAB⊥平面PAD

D.DE＝EB易知BC∥平面PAD，因?yàn)锽E∩BC＝B，且兩條直線都在平面PBC內(nèi)，所以BE不可能平行平面PAD，故A錯(cuò)誤；舉反例，如圖，PH垂直平面ABCD時(shí)，由于PD∩PH＝P，所以PD不垂直于平面ABCD，故B錯(cuò)誤；因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD且平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD，因?yàn)锳B?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD，故C正確；沒有任何條件可以證明DE＝EB，故D錯(cuò)誤；故選C.熱點(diǎn)二幾何法證明平行、垂直1.直線、平面平行的判定及其性質(zhì)(1)線面平行的判定定理：a?α，b?α，a∥b?a∥α.(2)線面平行的性質(zhì)定理：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b.(3)面面平行的判定定理：a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?α∥β.(4)面面平行的性質(zhì)定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b.2.直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)(1)線面垂直的判定定理：m?α，n?α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n?l⊥α.(2)線面垂直的性質(zhì)定理：a⊥α，b⊥α?a∥b.(3)面面垂直的判定定理：a?β，a⊥α?α⊥β.(4)面面垂直的性質(zhì)定理：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β.如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F(xiàn)分別為AD，PB的中點(diǎn).求證：例2(1)PE⊥BC；因?yàn)镻A＝PD，E為AD的中點(diǎn)，所以PE⊥AD.因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，所以BC∥AD，所以PE⊥BC.(2)平面PAB⊥平面PCD；因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，所以AB⊥AD.又因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB?平面ABCD，所以AB⊥平面PAD.又PD?平面PAD，所以AB⊥PD.又因?yàn)镻A⊥PD，PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，所以PD⊥平面PAB.又PD?平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.(3)EF∥平面PCD.如圖，取PC的中點(diǎn)G，連接FG，DG.因?yàn)镕，G分別為PB，PC的中點(diǎn)，所以DE∥FG，DE＝FG，所以四邊形DEFG為平行四邊形.所以EF∥DG.又因?yàn)镋F?平面PCD，DG?平面PCD，所以EF∥平面PCD.平行關(guān)系及垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化規(guī)律方法訓(xùn)練2(1)證明：BD∥平面AEC1；在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BC?平面ABC，則AA1⊥BC，又BC⊥AB，且AB∩AA1＝A，AB，AA1?平面ABE，于是BC⊥平面ABE，而AE?平面ABE，則BC⊥AE，又AE⊥A1C，A1C∩BC＝C，A1C，BC?平面A1BC，因此AE⊥平面A1BC，而A1B?平面A1BC，則AE⊥A1B，即E為棱BB1的中點(diǎn)，設(shè)A1B∩AE＝F，連接A1D交AC1于G，連接FG，在△A1BD中，BD∥FG，而FG?平面AEC1，BD?平面AEC1，所以BD∥平面AEC1.(2)若四棱錐C1－AEB1A1的體積等于1，判斷平面AEC1與平面ACC1A1是否垂直，并說明理由.平面AEC1與平面ACC1A1垂直，理由如下：設(shè)B1C1＝x，由(1)知，B1C1⊥平面ABB1A1，因此EA＝EC1＝EA1＝EC，設(shè)A1C∩AC1＝O，連接EO，顯然O是A1C，AC1的中點(diǎn)，于是EO⊥AC1，EO⊥A1C，且A1C，AC1?平面ACC1A1，則EO⊥平面ACC1A1，又EO?平面AEC1，所以平面AEC1⊥平面ACC1A1.熱點(diǎn)三向量法證明平行、垂直1.用向量證明空間中的平行關(guān)系(1)設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1∥l2(或l1與l2重合)?v1∥v2.(2)設(shè)直線l的方向向量為v，在平面α內(nèi)的兩個(gè)不共線向量v1和v2，則l∥α或l?α?存在兩個(gè)實(shí)數(shù)x，y，使v＝xv1＋yv2.(3)設(shè)直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u，則l∥α或l?α?v⊥u.(4)設(shè)平面α和β的法向量分別為u1，u2，則α∥β?u1∥u2.2.用向量證明空間中的垂直關(guān)系(1)設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1⊥l2?v1⊥v2?v1·v2＝0.(2)設(shè)直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u，則l⊥α?v∥u.(3)設(shè)平面α和β的法向量分別為u1和u2，則α⊥β?u1⊥u2?u1·u2＝0.例3(1)用向量法證明：EF∥平面A1B1BA；由AB＝AC，E為BC的中點(diǎn)，則AE⊥BC，而AA1⊥平面ABC，AA1∥BB1，過E作平行于BB1的垂線為z軸，EC，EA所在直線分別為x軸，y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)平面A1B1BA的法向量為n＝(x，y，z)，(2)用向量法證明：平面AEA1⊥平面BCB1.用向量法證明空間中的位置關(guān)系時(shí)注意以下兩點(diǎn)：(1)根據(jù)題設(shè)條件建立合適的空間直角坐標(biāo)系；(2)正確寫出相關(guān)點(diǎn)及向量的坐標(biāo).易錯(cuò)提醒如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為AB，B1C的中點(diǎn).訓(xùn)練3(1)用向量法證明：平面A1BD∥平面B1CD1；如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，則A1(2，0，2)，B(2，2，0)，B1(2，2，2)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，D1(0，0，2)，設(shè)平面A1BD的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，令x1＝1，則可得平面A1BD的一個(gè)法向量為n1＝(1，－1，－1).設(shè)平面B1CD1的法向量為n2＝(x2，y2，z2)，令x2＝1，則可得平面B1CD1的一個(gè)法向量為n2＝(1，－1，－1)，所以n1＝n2，即n1∥n2，故平面A1BD∥平面B1CD1.(2)用向量法證明：MN⊥平面A1BD.【精準(zhǔn)強(qiáng)化練】√1.(2024·煙臺(tái)模擬)設(shè)a，b為兩條不同的直線，α，β為兩個(gè)不同的平面，下列說法正確的是 A.若a∥α，b∥α，則a∥b B.若a，b與α所成的角相等，則a∥b C.若α⊥β，a∥α，b∥β，則a⊥b D.若α⊥β，a⊥α，b⊥β，則a⊥b對(duì)于A，平行于同一平面的兩條直線可能平行，也可能異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，a，b與α所成的角相等，則a，b可能異面，可能相交，也可能平行，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，α⊥β，a∥α，b∥β，則a，b可能垂直，但也可能平行或者相交或者異面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，α⊥β，a⊥α，b⊥β，則a⊥b，D正確，故選D.√2.下面四個(gè)命題中的真命題是 p1：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行； p2：兩個(gè)平面垂直，如果有一條直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與其中一個(gè)平面垂直； p3：一條直線與一個(gè)平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行； p4：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，則這條直線就與這個(gè)平面平行. A.p1與p2 B.p2與p3 C.p3與p4

D.p1與p3對(duì)于p1，利用面面平行的性質(zhì)定理可知p1為真命題；對(duì)于p2，當(dāng)這條直線不在這兩個(gè)平面內(nèi)時(shí)可知p2為假命題；對(duì)于p3，利用線面平行的性質(zhì)定理可知p3為真命題；對(duì)于p4，這條直線可能在這個(gè)平面內(nèi)，故p4為假命題.故選D.√3.如圖，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則C1在底面ABC上的射影H必在由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，得AC⊥平面ABC1.A.直線AB上 B.直線BC上C.直線AC上 D.△ABC內(nèi)部因?yàn)锳C?平面ABC，所以平面ABC1⊥平面ABC，所以C1在平面ABC上的射影H必在兩平面的交線AB上.√4.(2024·合肥調(diào)研)已知l，m是兩條不同的直線，α為平面，m?α，下列說法中正確的是A.若l與α不平行，則l與m一定是異面直線B.若l∥α，則l與m可能垂直C.若l∩α＝A，且A?m，則l與m可能平行D.若l∩α＝A，且l與α不垂直，則l與m一定不垂直對(duì)于A，若l與α不平行，則l與α的位置關(guān)系有：相交或直線在平面內(nèi)，且m?α，則l與m的位置關(guān)系有：平行、相交或異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若l∥α，則l與m可能垂直，如圖所示：l∥l′，l′?α，l′⊥m，可知l⊥m，故B正確；對(duì)于C，若l∩α＝A，且A?m，m?α，則l與m異面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若l∩α＝A，且l與α不垂直，則l與m可能垂直，如圖，取α為平面ABCD，l＝AD1，m＝AB，符合題意，但l⊥m，故D錯(cuò)誤.故選B.√5.如圖，點(diǎn)A，B，C，M，N為正方體的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則下列各圖中，不滿足直線MN∥平面ABC的是對(duì)于A，由正方體的性質(zhì)可得MN∥AC，因?yàn)镸N?平面ABC，AC?平面ABC，所以直線MN∥平面ABC，故A正確；對(duì)于B，如圖，作出完整的截面ADBCEF，由正方體的性質(zhì)可得MN∥AD，因?yàn)镸N?平面ABC，AD?平面ABC，所以直線MN∥平面ABC，故B正確；對(duì)于C，由正方體的性質(zhì)可得平面ABC與正方體的右側(cè)面平行，故MN∥平面ABC，故C正確；對(duì)于D，如圖，作出完整的截面ABNMHC，可得MN在平面ABC內(nèi)，不能得出平行，故D錯(cuò)誤.6.如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面A1B1C1，底面△A1B1C1是正三角形，E是BC的中點(diǎn)，則下列敘述正確的是對(duì)于A，∵CC1?平面BCC1B1，B1E?平面BCC1B1，√A.CC1與B1E是異面直線

B.AC⊥平面ABB1A1C.AE與B1C1為異面垂直

D.A1C1∥平面AB1E∴CC1與B1E共面，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若AC⊥平面ABB1A1，AB?平面ABB1A1，則AC⊥AB，即△ABC為直角三角形，∴△A1B1C1為直角三角形，與已知△A1B1C1是正三角形相矛盾，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，∵AE∩平面BCC1B1＝E，E?B1C1，∴AE，B1C1為異面直線，∵△ABC為正三角形，E為BC的中點(diǎn)，∴AE⊥BC，∵BC∥B1C1，∴AE⊥B1C1，C正確；對(duì)于D，直線AC交平面AB1E于點(diǎn)A，又AC∥A1C1，∴直線A1C1與平面AB1E相交，故D錯(cuò)誤.由題意知△PAB為正三角形，√因?yàn)镻C2＋PD2＝CD2，所以PC⊥PD.如圖，分別取AB，CD的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接PE，EF，PF，于是PE2＋PF2＝EF2，所以PE⊥PF.過點(diǎn)P作PG⊥EF，垂足為G.易知CD⊥PF，CD⊥EF，EF，PF?平面PEF，且EF∩PF＝F，所以CD⊥平面PEF.又PG?平面PEF，所以CD⊥PG.又PG⊥EF，CD，EF?平面ABCD，CD∩EF＝F，所以PG⊥平面ABCD，所以PG為四棱錐P－ABCD的高.8.(2024·昆明診斷)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱CC1，BC，CD，B1C1的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是√√如圖，取A1D的中點(diǎn)M，連接AM，EF，ME，A.AF∥平面A1DE B.AG∥平面A1DEC.A1，D，E，H四點(diǎn)共面

D.A1，D，E，C1四點(diǎn)共面所以EF∥AM且EF＝AM，則四邊形AFEM為平行四邊形，所以AF∥ME，因?yàn)锳F?平面A1DE，ME?平面A1DE，所以AF∥平面A1DE，A正確；取D1C1的中點(diǎn)N，連接NG，A1N，延長DE與D1C1的延長線交于點(diǎn)P，連接A1P，因?yàn)锳1A∥NG且A1A＝NG，所以四邊形A1AGN是平行四邊形，可得A1N∥AG，因?yàn)锳1∈平面A1DP，N?平面A1DP，所以直線A1N與平面A1DP相交，所以AG與平面A1DE相交，故B錯(cuò)誤；連接EH，B1C，則EH∥B1C，因?yàn)锳1D∥B1C，所以EH∥A1D，則A1，D，E，H四點(diǎn)共面，故C正確；若A1，D，E，C1四點(diǎn)共面，則A1D∥C1E，顯然不成立，所以D錯(cuò)誤.故選AC.9.(2024·福州調(diào)研)在三棱柱ABC－A1B1C1中，D為BB1的中點(diǎn)，AA1＝AB＝BC，AA1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是 A.平面ABC1⊥平面ACC1A1

B.平面A1BC⊥平面C1AB C.A1D∥平面ABC1

D.A1D⊥AC1√√√由題意得AB，BC，B1B兩兩垂直.以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA，BC，BB1所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B(0，0，0).設(shè)平面A1BC的法向量為u＝(x1，y1，z1).設(shè)平面ACC1A1的法向量為m＝(x2，y2，z2).取x2＝1，可得平面ACC1A1的一個(gè)法向量為m＝(1，1，0)，設(shè)平面ABC1的法向量為n＝(x3，y3，z3).所以平面ABC1與平面ACC1A1不垂直，A錯(cuò)誤.對(duì)于B，u·n＝1≠0，所以平面A1BC與平面ABC1不垂直，B錯(cuò)誤.所以AC1⊥A1D，D正確.15α∥β∥γ，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可知AD∥BE∥CF，又AB＝6，∴BC＝9，∴AC＝AB＋BC＝15.11.如圖為四棱錐A－DEFG的側(cè)面展開圖(點(diǎn)G1，G2重合為G)，其中AD＝AF，G1D＝G2F，E是線段DF的中點(diǎn)，請(qǐng)寫出四棱錐A－DEFG中一對(duì)一定相互垂直的異面直線：________.(填上你認(rèn)為正確的一個(gè)結(jié)論即可，不必考慮所有可能的情形)AE和DF如圖所示，連接DF和GE，相交于點(diǎn)O，連接AO.因?yàn)镈G＝FG，DE＝EF，GE＝GE，所以