四邊形中的證明與計(jì)算問(wèn)題（4類(lèi)題型）-2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)題型專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練（解析版）

專(zhuān)題09四邊形中的證明與計(jì)算問(wèn)題

目錄

熱點(diǎn)題型歸納..............................................................................................1

題型01以平行四邊形為載體的證明、性質(zhì)應(yīng)用及邊角計(jì)算....................................................I

題型02以矩形為載體的證明、性質(zhì)應(yīng)用及邊角計(jì)算.........................................................13

題型03以菱形為載體的證明、性質(zhì)應(yīng)用及邊角計(jì)算.........................................................33

題型04以正方形為載體的證明、性質(zhì)應(yīng)用及邊角計(jì)算.......................................................51

中考練場(chǎng).................................................................................................73

題型01以平行四邊形為載體的證明、性質(zhì)應(yīng)用及邊角計(jì)算

01題型綜述________________________________________

以平行四邊形為載體的證明、性質(zhì)應(yīng)用及邊角計(jì)算是初中數(shù)學(xué)幾何板塊的核心內(nèi)容之一，它依托平行四邊形獨(dú)特的

性質(zhì)，綜合考查學(xué)生對(duì)幾何知識(shí)的理解與運(yùn)用，常與三角形等知識(shí)融合，在中考數(shù)學(xué)中分值占比約5%-8%o

I.考查重點(diǎn)：重點(diǎn)考查對(duì)平行四邊形性質(zhì)（對(duì)邊平行且相等、對(duì)角相等、對(duì)角線互相平分）的熟練運(yùn)用，以及基于這

些性質(zhì)進(jìn)行幾何證明和邊角計(jì)算，同時(shí)考查能否結(jié)合其他幾何圖形知識(shí)解決綜合問(wèn)題。

2.高頻題型：高頻題型有證明一個(gè)四邊形是平行四邊形；利用平行四邊形性質(zhì)證明線段相等、角相等或直線平行；已

知平行四邊形部分邊角條件，計(jì)算其他邊角的大小；在平行四邊形與三角形等組合圖形中，進(jìn)行邊角關(guān)系的推理與計(jì)

算。

3.高頻考點(diǎn)：考點(diǎn)集中在平行四邊形的判定定理（如兩組對(duì)邊分別平行、兩組對(duì)邊分別相等、一組對(duì)邊平行且相等、

兩組對(duì)角分別相等、對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形）的應(yīng)用，平行四邊形性質(zhì)在證明和計(jì)算中的運(yùn)用，以及

平行四邊形與三角形全等、相似等知識(shí)的綜合考查。

4.能力要求：要求學(xué)生具備較強(qiáng)的邏輯推理能力，能夠依據(jù)已知條件合理選擇平行四邊形的判定與性質(zhì)進(jìn)行證明和計(jì)

算；擁有良好的圖形分析能力，從復(fù)雜圖形中識(shí)別出平行四邊形及相關(guān)幾何關(guān)系；掌握扎實(shí)的幾何運(yùn)算能力，準(zhǔn)確求

解邊角數(shù)值。

5.易錯(cuò)點(diǎn)：易錯(cuò)點(diǎn)在于判定平行四邊形時(shí)條件使用不充分或錯(cuò)誤；在運(yùn)用平行四邊形性質(zhì)時(shí)，對(duì)邊、角、對(duì)角線關(guān)系

混淆；在綜合圖形中，不能有效整合平行四邊形與其他圖形的性質(zhì)，導(dǎo)致證明和計(jì)算出錯(cuò)；計(jì)算過(guò)程中粗心大意，出

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現(xiàn)數(shù)值計(jì)算錯(cuò)誤。

02解題攻略

【提分秘籍】

工一平行眄直形的性質(zhì);

①邊的性質(zhì)：兩組對(duì)邊分別平行且相等。

②角的性質(zhì)：對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)。

③對(duì)角線的性質(zhì)：對(duì)角線相互平分。即對(duì)角線交點(diǎn)是兩條對(duì)角線的中點(diǎn)。

④對(duì)稱(chēng)性：平行四邊形是一個(gè)中心對(duì)稱(chēng)圖形，繞對(duì)角線交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。與原圖形重合。

⑤面積計(jì)算：等于底乘底邊上的高。等底等高的兩個(gè)平行四邊形的面積相等。

2.平行四邊形的判定：

①一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

符號(hào)語(yǔ)言：：AB〃DC,AB=DC,...四邊行ABCD是平行四邊形

②兩組對(duì)邊分別相等（兩組對(duì)邊分別平行）的四邊形是平行四邊形。

符號(hào)語(yǔ)言：???AB=DC,AD=BC（AB〃DC,AD〃BC）,二四邊行ABCD是平行四邊形.

③兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形。

符號(hào)語(yǔ)言：,.?/ABC=NADC,ZDAB=ZDCB,二四邊行ABCD是平行四邊形

④對(duì)角線相互平行的四邊形是平行四邊形。

符號(hào)語(yǔ)言：?..OA=OC,OB=OD,...四邊行ABCD是平行四邊形

【典例分析】

例1.（2024?山東濟(jì)寧?中考真題）如圖，四邊形/BCD的對(duì)角線/C,5。相交于點(diǎn)O,CM=OC,請(qǐng)補(bǔ)充一個(gè)條件

使四邊形ABCD是平行四邊形.

【答案】AD//BC（答案不唯一）

【分析】本題考查平行四邊形的判定，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可求解.

【詳解】解：添加條件：AD//BC,

證明：AD//BC,

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，NDAO=ZBCO,

在AAOD和ACOB中，

ZDAO^ZBCO

-AO=CO,

ZAOD=ZCOB

：.^DAO^BCO(ASA)

：.AD=BC,

...四邊形ABCD是平行四邊形.

故答案為：AD//BC(答案不唯一)

例2.（2024?四川巴中?中考真題）如圖，n48CD的對(duì)角線/C、AD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E是8c的中點(diǎn)，AC=4.若口ABCD

的周長(zhǎng)為12,則ACOE的周長(zhǎng)為（）

A.4B.5C.6D.8

【答案】B

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和三角形的中位線的性質(zhì).由平行四邊形的性質(zhì)和三角形的中位線的性質(zhì)可求

得答案.

【詳解】解：???四邊形N3CO是平行四邊形，

，。是/C中點(diǎn)，

又是2C中點(diǎn)，

...OE是V48c的中位線，

/.OE=-AB,CE=-BC,

22

：biBCD的周長(zhǎng)為12,ZC=4,

/.AB+BC=-xl2=6,

2

/.ACOE的周長(zhǎng)為OE+CE+OC=；（/8+BC+/C）=；x（6+4）=5.

故選：B.

例3.（2024?浙江?中考真題）如圖，在口/BCD中，AC,5D相交于點(diǎn)O,AC=2,BD=2y[3-過(guò)點(diǎn)4作NEJ-BC的垂

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線交8c于點(diǎn)￡,記BE長(zhǎng)為x,8c長(zhǎng)為八當(dāng)x,y的值發(fā)生變化時(shí)，下列代數(shù)式的值不變的是()

A.x+yB.x-yC.孫D.x2+y2

【答案】C

【分析】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，過(guò)點(diǎn)。作。尸13c交8C的延

長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，證明段ADCF(AAS),^\AE=DF,BE=CF=X,由勾股定理可得，/6=4-(y-x『，

。尸=12-(y+x1貝IJ4-(y-x)2=12-(y+x)2,整理后即可得到答案.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)。作。尸13c交8C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，

ZAEB=ZDFC=90P,

?；四邊形/BCD是平行四邊形，

AB=DC,AB//CD,

ZABE=ZDCF,

:.AABE%DCF（AAS）

：.AE=DF,BE=CF=x,

由勾股定理可得，AE2=AC2-CE2=AC2-（BC-BE）2=4-（y-x）2,

DF~=BD2-BF2=BD2-（SC+CF）2=BD2-（SC+BE）2=12—（y+，

4_（y_x）2=12-（y+x）2,

（y+尤-（y-尤）’=8

x2+2,xy+y~—y~+2xy—x~=8

即4孫=8,解得硬=2,

當(dāng)x,y的值發(fā)生變化時(shí)，代數(shù)式的值不變的是硬，

故選：C

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例4.（2024?黑龍江大慶?中考真題）如圖，平行四邊形N3C。中，AE、CF分別是/A4O,/BCD的平分線，且￡、

下分別在邊8C,4D上.

（1）求證：四邊形NEC尸是平行四邊形；

⑵若N/Z）C=60°,DF=2AF=2,求AG。下的面積.

【答案】（1）見(jiàn)解析

Q）SAGDF=1坦.

【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得到/氏4。=4C。，AD//BC,結(jié)合角平分線的條件得到4U￡=/BCF,由

4D〃BC得到NDFC=/BCF,/DAE=/DFC,根據(jù)平行線的判定得到/￡〃廠C,根據(jù)平行四邊形的判定即可得到

廠是平行四邊形；

4

（2）求得△。尸。是等邊三角形，得到=。。=。5=2,CE=AF=l,證明△DFGS/\ECG,求得尸G=—,作

3

GH1DF于點(diǎn)、H,在Rt△尸G”中，求得據(jù)此求解即可.

【詳解】（1）證明：???四邊形/5C。是平行四邊形，

:./BAD=/BCD,AD〃BC,

???力￡,W分別是/A4。、/BCD的平分線，

/BAE=ZDAE=i/BAD,ZBCF=/DCF=-/BCD,

22

J/DAE=ZBCF,

??,AD//BC,

：.ZDFC=ZBCF,

/DAE=ZDFC,

JAE//FC,

???四邊形AECF是平行四邊形；

（2）解：由（1）得NDFC=NBCF,ZBCF=ZDCF=-ZBCD,

2

：.ZDFC=ZDCFf

?：ZADC=60°,

???△。回。是等邊三角形，

???ZDFC=60°,

5/101

DF=2AF=2,

:?DF=DC=CF=2,CE=AF=\,

AD//BCf

：.4DFGSAECG,

.FGDF_2_2

24

FG=-CF=~,

33

作G//，。產(chǎn)于點(diǎn)〃，

G/7=FG-sin60o=-V3,

3

SrnF=—DFxGH=—x2x—百=—百.

皿2233

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的

判定和性質(zhì).正確引出輔助線解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.

例5.（2024?山東青島?中考真題）如圖，在四邊形/BCD中，對(duì)角線/C與3。相交于點(diǎn)。，AABD=ZCDB,BELAC

于點(diǎn)E,￡＞尸工/C于點(diǎn)R且BE=DF.

一

⑴求證：四邊形/BCD是平行四邊形；

⑵若—。，當(dāng)“板等于多少度時(shí)，四邊形?是矩形？請(qǐng)說(shuō)明理由，并直接寫(xiě)出此時(shí)罰的值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵當(dāng)/加=3。。時(shí)’四邊形"。是矩形，理由見(jiàn)解析，此時(shí)*3

【分析】（1）先證明得到/=再由垂線的定義得到44防=/CEO=90。，據(jù)此證明

△AEB知CFD（AAS）,得到A8=CD,由此即可證明四邊形"CD是平行四邊形；

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(2)當(dāng)N/B￡=30。時(shí)，四邊形/BCD是矩形，利用三角形內(nèi)角和定理得到NA4。=60。，則可證明V408是等邊三角

形，得到進(jìn)而可證明NC=AD,則四邊形4BCD是矩形，在RtZ\/3C中，tanZBAC=—=^.

AB

【詳解】(1)證明：VZABD=ZCDB,

：.AB//CD,

：./EAB=ZFCD,

VBEVAC,DF1AC,

：.ZAEB=ZCFD=90°,

又?：BE=DF,

??.△/￡3%CFZ)(AAS),

JAB=CD,

又,.?AB//CD,

???四邊形ABCD是平行四邊形；

(2)解：當(dāng)乙43￡=30。時(shí)，四邊形45。是矩形，理由如下：

BEA.AC,

：.ZAEB=90°,

ZABE=3Q。,

J/氏40=60。，

又??,AB=BO,

???V4O5是等邊三角形，

JOA=OB,

???四邊形/5CQ是平行四邊形，

OB=OD,OA=OC,

：.OB=OD=OA=OC,

：.AC=BD,

J四邊形NBC。是矩形，

即當(dāng)NABE=30。時(shí)，四邊形/BCD是矩形，

???ZABC=90°f

在RtZXylBC中，tanNBAC=----=V3.

AB

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的判定，解直角三角形，全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三

角形的性質(zhì)與判定等等，熟知平行四邊形和矩形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

【變式演練】

7/101

1.（2025?浙江溫州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在o中，E是3c邊上一點(diǎn)，AB=AE,AD=DE,若NB=70。，貝l」NCQ￡

的度數(shù)為.

【答案】30。/30度

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，以及三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，根據(jù)題意等邊對(duì)等角得出

ZAEB=/B=7U。,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得/D4E=//EB=70。，根據(jù)等邊對(duì)等角以及三角形內(nèi)角和定理可得

NADE=40。,進(jìn)而根據(jù)/。?！?乙4。。-44。￡,即可求解；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是本題解題關(guān)鍵.

【詳解】解：???四邊形是平行四邊形，

.?.AB//CD.AD//BC

：./B+/BAD=180。,ZADC+/BAD=180c

ZADC=ZB=70°

AB=AE

：.NAEB=/B=70。,

?.?AD//BC

：.ZDAE=ZAEB=70°,

AD=DE

：.ZAED=ZDAE=70°

???NADE=180。-2*70。=40°,

???ZCDE=ZADC-ZADE=70°-40°=30°

故答案為：30°.

2.（2025,河南焦作?一模）如圖，在口/BCD中，44=80。，點(diǎn)E是CD邊上?點(diǎn)，且5。平分//的，若/CBE=20。,

BE=a,EC=b,則a/BCD的周長(zhǎng)為（）

A.5a-bB.4a+2bC.3a+3Z）D.6a-3b

【答案】B

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用；根據(jù)平行四邊形的

性質(zhì)，角平分線的定義得出/EZ出=/D3E,等角對(duì)等邊可得。￡=BE=a,進(jìn)而證明N3EC=NC得出

8/101

AD=BC=BE=a,即可求解.

【詳解】解：,??四邊形/5C。是平行四邊形，

AB//CD,AB=CD,AD〃BC,AD=BC

：./ABD=ZBDC

?.*BD平分NABE,

???ADBE=/DBA

：.ZEDB=ZDBE

DE=BE=a,

又,:EC=b

DC—AB=a+b；

?.?AB//CD,AD//BC

：.AA+ZADC=180°,ZADC+ZC=180°

JZC=ZA=80°,

???ZCBE=20°f

：.NBEC=180?！?0?！?0°=80°

???ZBEC=ZC

：.BE=BC

AD=BC=BE=a

,,nABCD的周長(zhǎng)為2（CDDC）=2（Q+6+Q）=4Q+2b,

故選：B.

3.（2024?貴州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形/BCD中，ZC與5。相交于點(diǎn)O,且40=。。，點(diǎn)E在5。上，滿(mǎn)足力￡〃S.

⑴判斷四邊形力EC。的形狀，并證明；

(2)若AB=BC,CD=5,4C=8,求四邊形力ECD的面積.

【答案】(1)平行四邊形，證明見(jiàn)解析

(2)24

【分析】本題主要考查平行四邊形、菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，掌握其判定方法及性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)平行的性質(zhì)可得NE4O=/DCO,運(yùn)用角邊角可證VZOE到C。。，可得=結(jié)合平行四邊形的判定

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方法“對(duì)角線相互平分的四邊形是平行四邊形”即可求解；

(2)根據(jù)題意可得四邊形NEC。是菱形，運(yùn)用勾股定理可得。0=3,由此菱形的面積計(jì)算方法即可求解.

【詳解】(1)解：四邊形ZECD為平行四邊形.

證明如下：???/￡”C。，

:./EAO=NDCO,

在和△COD中，

ZEAO=ZDCO

<AO=CO,

NAOE=NCOD

.,.△NOE絲ACOD(ASA),

OD=OE,

又?；AO=CO,

四邊形ZECD是平行四邊形.

(2)解：AB=BC,AO=CO,

OBLAC,

四邊形/ECD是菱形，

VAC=8,

:.CO=-AC=4,

2

在比ACOD中，由勾股定理得8=JCD2_CO2=152.42=3,

DE=2OD=6,

'''S四邊圖/co=5xDE=-x8x6=24.

4.(2024?廣東揭陽(yáng)?一模)如圖，在四邊形中，乙4=NC=90。，4D=CD,點(diǎn)、E,尸分別是48,3C上的點(diǎn),

連接。E,DF,EF,J.AADF=ZCDE.

(2)若DE=24E=4,DE||BC,求的長(zhǎng).

【答案】(1)見(jiàn)解析；

⑵6.

10/101

【分析】（1）根據(jù)ZADF=ZCDE可證ZADE=NCDF,利用ASA可證AAED知CFD；

（2）根據(jù)N4=90°,DE=2AE可知ZADE=30°,AAED=60°,根據(jù)DE||BC可知NB=ZAED=60°,根據(jù)AAED知CFD

可證/CED=60。、CF=AE=2,所以可證。尸||8E,所以四邊形8即尸是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知

BF=DE=4,所以8c=6.

【詳解】（1）證明：???/ADF=/CD￡,

ZADF-ZEDF=ZCDE-ZEDF,

ZADE=ZCDF,

ZADE=ZCDF

在A/EO和ACFD中，\AD=CD,

ZA=ZC

:AED知CFD（ASA）；

（2）解：vDE=2AE=4,4=90。，

sinNAEB=—,

2

ZADE=30°,AE=2,

AAED=90°-NADE=90。-30。=60°,

???DE\\BC,

NB=NAED=60°,

由（1）得：AAED知CFD,

AE=CF=2,ZAED=ZCFD=60°,

ZCFD=ZB,

:.DF\\BE,

又???DEIIBC,

四邊形BED尸是平行四邊形，

BF=DE=4,

BC=BF+CF=4+2=6,

即BC的長(zhǎng)為6.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、平行線的判定和

性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形的性質(zhì)找到邊和角之間的關(guān)系.

5.（2025?河北滄州?模擬預(yù)測(cè)）已知在V/8C中，=點(diǎn)。在BC上，以AD、NE為腰作等腰三角形NOE,且

ZADE=ZABC.連接CE,過(guò)￡作E"〃8C交C4延長(zhǎng)線于M,連接即

11/101

ME

(2)求四邊形〃BOE的形狀，并加以證明.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)四邊形"BOE的形狀是平行四邊形，證明見(jiàn)解析

【分析】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，以及平行四邊形的判定.掌握全等三角形的

判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

(1)由等邊對(duì)等角可知=即得出/A4c=180。-2448。.由題意可得AADE=ZAED,即

得出/。4￡=180。一2N/OE.由=可證明NB4C=,從而可證明N&1D=/C4E,即易證

ABADg△C4E(SAS)；

(2)先證明N4C5=44CE,再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等即可證明/ZCE=/EMC,即得出ME=EC,從而可得

DB=ME,最后根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可證明.

【詳解】(1)證明：VAB=AC,

ZABC=ZACB,

ZBAC=1800-2ZABC,

V以AD,AE為腰作等腰三角形NDE,

AD=AE,

/.ZADE=ZAED,

:.ZDAE=lS00-2ZADE,

???ZADE=ZABC,

ZBAC=ZDAE,

/.ABAC-ACAD=/DAE-ACAD,

/./BAD=/CAE,

在△胡。在中，

AB=AC

</BAD=/CAE,

AD=AE

，△胡7運(yùn)△C4E(SAS)；

(2)解：四邊形MADE的形狀是平行四邊形，

證明：vABAD^ACAE,

DB=CE,ZABD=/ACE,

12/101

???AB=AC,

/ABD=ZACB,

/.ZACB=ZACE,

T:EM\\BC9

:./EMC=N4CB,

/.ZACE=ZEMC,

ME=EC,

：.DB=ME,

又?：EM//BD,

???四邊形"5QE是平行四邊形.

題型02以矩形為載體的證明、性質(zhì)應(yīng)用及邊角計(jì)算

01題型綜述_________________________________________

以矩形為載體的證明、性質(zhì)應(yīng)用及邊角計(jì)算是初中數(shù)學(xué)幾何板塊中對(duì)特殊平行四邊形深入研究的重要內(nèi)容，依托矩

形特有的性質(zhì)，綜合考查學(xué)生對(duì)幾何知識(shí)的掌握與運(yùn)用能力，常與三角形等知識(shí)融合，在中考數(shù)學(xué)中分值占比約5%-8%o

1.考查重點(diǎn)：重點(diǎn)考查對(duì)矩形性質(zhì)（四個(gè)角是直角、對(duì)角線相等且互相平分）的透徹理解與靈活運(yùn)用，基于這些性質(zhì)

開(kāi)展幾何證明，以及結(jié)合勾股定理、相似三角形等知識(shí)進(jìn)行邊角的精確計(jì)算，并關(guān)注與其他幾何圖形性質(zhì)的關(guān)聯(lián)運(yùn)用。

2.高頻題型：高頻題型有證明一個(gè)四邊形是矩形；利用矩形性質(zhì)證明線段相等、角相等、直線垂直；已知矩形的邊長(zhǎng)、

對(duì)角線等部分條件，計(jì)算內(nèi)角大小、對(duì)角線夾角、面積等邊角及圖形相關(guān)數(shù)值；在矩形與三角形、其他四邊形構(gòu)成的

復(fù)雜圖形中，推導(dǎo)并計(jì)算復(fù)雜的邊角關(guān)系。

3.高頻考點(diǎn)：考點(diǎn)集中在矩形判定定理（有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形、對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形、三

個(gè)角是直角的四邊形是矩形）的準(zhǔn)確應(yīng)用，矩形性質(zhì)在證明和計(jì)算中的運(yùn)用，以及矩形與直角三角形（由矩形內(nèi)角為

直角產(chǎn)生）、等腰三角形（對(duì)角線相等產(chǎn)生）相關(guān)知識(shí)的綜合考查，例如運(yùn)用勾股定理求邊長(zhǎng)、借助相似三角形求線段

比例。

4.能力要求：要求學(xué)生具備較強(qiáng)的邏輯推理能力，能夠根據(jù)已知條件合理選用矩形的判定和性質(zhì)進(jìn)行嚴(yán)密證明；擁有

良好的圖形分析能力，從復(fù)雜圖形中識(shí)別出矩形及其蘊(yùn)含的特殊幾何關(guān)系；掌握扎實(shí)的運(yùn)算能力，尤其是勾股定理、

相似三角形等知識(shí)在矩形邊角計(jì)算中的應(yīng)用。

5.易錯(cuò)點(diǎn)：易錯(cuò)點(diǎn)在于判定矩形時(shí)條件使用錯(cuò)誤或不完整，比如僅依據(jù)對(duì)角線相等就判定四邊形是矩形；在運(yùn)用矩形

性質(zhì)時(shí)，混淆對(duì)角線與邊、角之間的關(guān)系，致使證明出錯(cuò)；在計(jì)算邊角時(shí)，因?qū)匦沃刑厥馊切危ㄖ苯侨切?、?/p>

腰三角形）的性質(zhì)理解不深，運(yùn)用勾股定理、相似三角形知識(shí)出現(xiàn)偏差；在綜合圖形中，不能有效整合矩形與其他圖

13/101

形性質(zhì)，導(dǎo)致思路中斷。

02解題攻略

【提分秘籍】

門(mén)「矩形的桂貳

①具有平行四邊形的一切性質(zhì)。

i

②矩形的四個(gè)角都是直角。

③矩形的對(duì)角線相等。

④矩形既是一個(gè)中心對(duì)稱(chēng)圖形，也是軸對(duì)稱(chēng)圖形。對(duì)角線交點(diǎn)是對(duì)稱(chēng)中心，過(guò)一組對(duì)邊中點(diǎn)的直線是矩形的

I對(duì)稱(chēng)。

⑤由矩形的對(duì)角線的性質(zhì)可知，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

I2.矩形的判定：

I

（1）直接判定：

I

有三個(gè)角（四個(gè)角）都是直角的四邊形是矩形。

I

（2）利用平行四邊形判定：

I

①定義：有一個(gè)角是直角（鄰邊相互垂直）的平行四邊形是矩形。

②對(duì)角線的特殊性：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。

【典例分析】

例1.（2024?四川巴中?中考真題）如圖，矩形的對(duì)角線/C與8D交于點(diǎn)。，DEJ.4C于點(diǎn)、E,延長(zhǎng)DE與8C交

于點(diǎn)尸.若AB=3,BC=4,則點(diǎn)尸到AD的距離為.

21

【答案

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形的相關(guān)知識(shí)，過(guò)點(diǎn)尸作萬(wàn)48,垂足為X,利用勾股定

理求出NC的長(zhǎng)，利用角的余弦值求出。廠的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出尸C,從而得出BF,利用三角形面積求出也即

可.

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)/作切_LDB,垂足為“,

14/101

四邊形/BCD為矩形,

:"BAD=/BCD=90。，AC=BD,

???48=3,BC=4,

：.AC=BD=>JAB2+BC2=732+42=5，

?.S=—AD-DC=—AC-DE,BP—x4x3=—x5xDE,

Ar)c2222

解得：DE/19，

12

DEDC

cos/EDC------即5_3_,

DCDF

3DF

解得：。尸==，

4

FC=y/DF2-DC2=Ji)*=|，

97

:.BF=BC—FC=4——=—,

44

「.S加"=LBDFH=LBFDC,BP-x5xFH=-x-x3,

皿22224

21

解得：FH‘,

21

故答案為：——.

例2.（2024?內(nèi)蒙古包頭?中考真題）如圖，在矩形/5CQ中，瓦廠是邊上兩點(diǎn)，且BE=EF=FC,連接。及

與4尸相交于點(diǎn)G,連接BG.若45=4,BC=6,貝I」sin/G5尸的值為（）

口3M2

A.叵D.-------D.-

1010cI3

15/101

【答案】A

【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，求角的正弦值：過(guò)點(diǎn)G作GHL8C,證明A/GOSA/GE,

得至1］空=d=,，再證明分別求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，勾股定理求出8G的長(zhǎng)，再

AGAD3

利用正弦的定義，求解即可.

【詳解】解：???矩形/BCD,BE=EF=FC,AB=4,BC=6,

：.AD=BC=6,AD//BC,BE=EF=FC=2,

AAGDS^FGE,BF=4,

.FGEF

9AG~AD~3

.FG_1

*17-4

.FH_GH_FG

--

*5F-1F4

FH=-BF=\,GH=-AB=\,

44

???BH=BF—FH=3,

,,BG-Vl2+32-Vw，

：.sinZGBF=—=」=—

BGVio10

故選A.

例3.(2024?甘肅蘭州?中考真題)如圖，在V/BC中，AB=AC,。是8C的中點(diǎn)，CE//AD,AE1,AD,EFLAC.

(1)求證：四邊形4DCE是矩形;

16/101

(2)若8c=4,CE=3,求斯的長(zhǎng).

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

“、6vli

13

【分析】本題主要考查了矩形的判定以及性質(zhì)，三腰三角形三線合一的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，掌握這些性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

(1)由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出乙4rle=90。，有平行線的性質(zhì)得出/ECO=90。，結(jié)合已知條件可得出

NEAD=90°,即可證明四邊形/QCE是矩形.

(2)由⑴可知四邊形4DCE是矩形.由矩形的性質(zhì)得出,CE=AD=3,ZAEC=90°,由已知條件可得

出0c=/5=工3。=2,由勾股定理求出/C,最后根據(jù)等面積法可得出工跖?/C=L/￡.CE,即可求出EF.

222

【詳解】(1)證明：=。是2c的中點(diǎn)，

AD1BC,

：.ZADC=90°,

:CE//AD,

ZECD=180°-ZADC=90°,

又：AE1AD,

：.ZEAD=90°,

，四邊形/OCE是矩形.

(2)由(1)可知四邊形4DCE是矩形.

AE=DC,CE=AD=3,ZAEC=90°,

:。是2C的中點(diǎn)，8c=4

DC=AE=-BC=2,

2

在△/￡>(?中，ZADC=90°,

AC=^AD2+DC2=V32+22=V13，

EFLAC,

：.-EF-AC=-AE-CE

22

BP-EF-VB=-x2x3,

22

?

??EmF=-6-用-----.

13

例4.(2024?湖北武漢?中考真題)問(wèn)題背景：如圖(1),在矩形中，點(diǎn)b分別是/B,的中點(diǎn)，連接3。,

17/101

EF,求證：ABCDs^FBE.

問(wèn)題探究：如圖（2）,在四邊形45C。中，AD//BC,N8CD=90。，點(diǎn)E是48的中點(diǎn)，點(diǎn)下在邊3c上，AD=2CF,

EF與BD交于點(diǎn)、G,求證：BG=FG.

FG

問(wèn)題拓展：如圖（3）,在“問(wèn)題探究''的條件下，連接ZG,AD=CD,AG=FG,直接寫(xiě)出器的值.

CJF

見(jiàn)解析；問(wèn)題探究：見(jiàn)解析；問(wèn)題拓展：好

【答案】問(wèn)題背景:

5

【分析】問(wèn)題背景:根據(jù)矩形的性質(zhì)可得48=CDNEBF=NC=90°,根據(jù)點(diǎn)￡,尸分別是48,2C的中點(diǎn)，可得

BEBF1,

7B=1C=2'即可得s證;

問(wèn)題探究：取8。的中點(diǎn)打，連接EH,HC,得皿是的中位線,根據(jù)已知條件可得由平行且等于尸C,進(jìn)而

可得MC8是平行四邊形，得EF〃HC,則NGFS=/8C3,根據(jù)直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半得出

HB=HC,進(jìn)而可得=等量代換可得NGAF=/GEB,等角對(duì)等邊，即可得證;

問(wèn)題拓展：過(guò)點(diǎn)尸作則四邊形MFC。是矩形，連接4尸，根據(jù)已知以及勾股定理得出W絲="；根據(jù)（2）

AF5

的結(jié)論結(jié)合已知可得G/=GF=G8,證明EF垂直平分A8,進(jìn)而得出E4="，證明A/FG2ABFG,進(jìn)而證明

△BEGSAFMA,進(jìn)而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】問(wèn)題背景：：四邊形/3CD是矩形,

AB=CD,ZEBF=ZC=90°,

,:E,尸分別是NB,3C的中點(diǎn)

.BEBF\

即四=竺」

CDBC2

ABCDs4FBE；

問(wèn)題探究：如圖所示，取8。的中點(diǎn)H,連接EH,HC,

18/101

???￡1是45的中點(diǎn)，8是的中點(diǎn)，

AEH=-AD,EH//AD

2

又,:AD=2CF,

：.EH=CF,

??,AD//BC,

：.EH//FC

???四邊形EHCE是平行四邊形，

???EF//CH

：.ZGFB=ZHCB

又,：/BCD=90°,〃是的中點(diǎn)，

：.HC=-BD=BH

2

ZHBC=ZHCB

：.ZGBF=ZGFB,

??.GB=GF；

問(wèn)題拓展：如圖所示，過(guò)點(diǎn)尸作則四邊形，是矩形，連接4尸，

??.AM=MD=FC=-AD,

2

設(shè)/。=2〃，則MF=CQ=2Q,AM=a

在Rt"MF中，AF=Jo。+（2O）2=，

'：AG=FG,由（2）BG=FG

：.AG=BG,

又???￡1是的中點(diǎn)，

???斯垂直平分45

AF=BF,NBEG=90。,

在AAFGQBFG中，

19/101

AG=BG

<GF=GF

FA=FB

A/bGgAB尸G(SSS)

設(shè)NGBF=NGFB=a,貝UZGAF=AGFA=a

：.NBGE=ZGBF+NGFB=2a,

又；AD〃BC

：.ZMAF=ZAFB=AGFA+ZGFB=2a

：.ZMAF=ZEGB

又NBEG=AAFM=90°

：.ABEGSAFMA

.EGEGAM_a_45

,?專(zhuān)一而一丁一無(wú)一丁

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，直角三角形中斜邊上的中線

等于斜邊的一半，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

例5.(2024?湖北武漢?中考真題)問(wèn)題背景：如圖(1),在矩形48CD中，點(diǎn)E,尸分別是8c的中點(diǎn)，連接8。,

EF,求證：ABCDs/\FBE.

問(wèn)題探究：如圖(2),在四邊形NBC。中，AD//BC,/BCD=90。，點(diǎn)E是48的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在邊上，AD=1CF,

EF與BD交于點(diǎn)、G,求證：BG=FG.

問(wèn)題拓展：如圖(3),在“問(wèn)題探究”的條件下，連接/G,AD=CD,AG=FG,直接寫(xiě)出票的值.

GF

見(jiàn)解析；問(wèn)題探究：見(jiàn)解析；問(wèn)題拓展：好

【答案】問(wèn)題背景:

5

【分析】問(wèn)題背景:根據(jù)矩形的性質(zhì)可得/8=CDNEBF=NC=90°,根據(jù)點(diǎn)E,尸分別是48,3c的中點(diǎn)，可得

BEBF1口口.,日什

—,即可得證;

ABBC2

問(wèn)題探究：取8。的中點(diǎn)石，連接EH,HC,得皿是△/皿的中位線,根據(jù)已知條件可得硒平行且等于尸C,進(jìn)而

可得EFS是平行四邊形，得EF〃HC,則NGFS=/8C8,根據(jù)直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半得出

20/101

HB=HC,進(jìn)而可得Z/7BC=NHCB,等量代換可得NGAF=/GE8,等角對(duì)等邊，即可得證；

問(wèn)題拓展：過(guò)點(diǎn)尸作尸加則四邊形是矩形，連接4尸，根據(jù)已知以及勾股定理得出W竺=1；根據(jù)（2）

AF5

的結(jié)論結(jié)合已知可得G/=GT7=G6,證明EF垂直平分Z8,進(jìn)而得出打二尸5,證明△47/G也△B/?G,進(jìn)而證明

△BEGs/MA,進(jìn)而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】問(wèn)題背景：???四邊形是矩形，

???AB=CD,/EBF=ZC=90°,

?:E,b分別是45,8c的中點(diǎn)

.BEBF

??瓦一左-5'

BEBF1

即nn==——二一,

CDBC2

/.ABCDsAFBE；

問(wèn)題探究：如圖所示，取8。的中點(diǎn)打，連接EH,HC,

：.EH=-AD,EH//AD

2

又,:AD=2CF,

：.EH=CF,

???AD//BC,

C.EH//FC

???四邊形EHCF是平行四邊形，

???EF//CH

：./GFB=ZHCB

又???/8(?=90。，”是的中點(diǎn)，

：.HC=-BD=BH

2

：.ZHBC=AHCB

：.ZGBF=ZGFB,

:?GB=GF；

問(wèn)題拓展：如圖所示，過(guò)點(diǎn)尸作白則四邊形MFCD是矩形，連接力尸，

21/101

/.AM=MD=FC=^AD,

2

設(shè)ND=2a,則板=CD=2a,AM=a

在RtA/MF中，4F=M+（2a）2=島,

?：AG=FG,由（2）BG=FG

：.AG=BG,

又；E是4B的中點(diǎn)，

所垂直平分

:.AF=BF,NBEG=90°,

在AAFGQBFG中，

AG=BG

<GF=GF

FA=FB

：.尸G也ABFG（SSS）

設(shè)ZGBF=ZGFB=a,貝ljZGAF=AGFA=a

：.NBGE=ZGBF+ZGFB=2a,

又,：AD〃BC

：.ZMAF=NAFB=AGFA+ZGFB=2a

：.NMAF=ZEGB

又,?ZBEG=ZAFM=90°

；.ABEGSAFMA

.EGEGAM_a_#>

"-Vs?"T'

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，直角三角形中斜邊上的中線

等于斜邊的一半，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

【變式演練】

1.（2025?內(nèi)蒙古包頭?一模）如圖，在矩形/2C。中，AD=6,對(duì)角線/C與3。交于點(diǎn)。，AE1BD,垂足為點(diǎn)E,

22/101

且/E平分/8/O,則48的長(zhǎng)為()

A.3B.4C.2A/3D.3百

【答案】C

【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定以及性質(zhì)，勾股定理，由矩形的性質(zhì)可得/O=CO=80=DO,

可證A/BE2A/OE,可得ZO=48=8。=。。，由勾股定理可求48的長(zhǎng).

【詳解】解：???四邊形/BCD是矩形

:.AO=CO=BO=DO,

?；4E平分/R40

ZBAE=ZEAO,@LAE=AE,ZAEB=ZAEO,

.?.△ABERAOE(ASA)

AO=AB,且AO—OB

■.AO=AB=BO=DO,

■■BD=2AB>

■■AD2+AB2=BD2，

■-36+AB2=4AB2,

???AB=273

故選：c.

2.(2024?湖南長(zhǎng)沙?模擬預(yù)測(cè))如圖，平行四邊形的對(duì)角線NC,相交于點(diǎn)。，且OC=OD.

(1)證明四邊形N8C。為矩形；

(2)若NO/D=30。，BC=6,求△OBC的面積；

(3)點(diǎn)￡,尸分別是線段08,CU上的點(diǎn)，若AE=BF,AB=5,AF=l,BE=3,求8尸的長(zhǎng).

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)Z\O8C的面積為3百；

(3)8尸的長(zhǎng)為@\

23/101

【分析】(1)先證明/C=8D,再根據(jù)“對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形”即可證明結(jié)論成立;

(2)利用正函數(shù)的定義求得CD=26，再求得矩形的面積,據(jù)此即可求解；

(3)過(guò)點(diǎn)48分別作AD,4C的垂線，垂足分別為N,M,等面積法證明W=進(jìn)而證明,

,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出ME=FN,BM=AN,根據(jù)已知條件求得EM=1,進(jìn)而勾股定理求

得4W,AE,進(jìn)而即可求解.

【詳解】(1)證明：...四邊形/3CD是平行四邊形，

OC=OA,OB=OD,

'：OC=OD,

：.OC=OA=OB=OD,即AC=BD,

四邊形/BCD為矩形；

(2)解：?.?四邊形/BCD為矩形，

AD=BC=6,NADC=90°,

:NOAD=30°,

，CD=/ZMan30°=6x2=26，

3

矩形ABCD的面積為6x2。=126,

：.△O8C的面積為工xl2百=3?；

4

(3)解：解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)43分別作AD,4c的垂線，垂足分別為N,M,

:四邊形N2CD是矩形,

BC=AD,

"寤?=—

S4BxBC,S.?D=—ABxAD,

,,SAABC-S"BD，

：.-ACxBN=-BDxAM,

22

：.AM=BN,

?/BF=AE,

：.Ri八AME咨K^BNF(HL),

：.ME=FN,

24/101

設(shè)ME=FN=x,

在RUAMB,RABNA中,

[AB=BA

[AM=BN

?,.^AMB^^BNA(HL),

:?BM=AN,

：.BE-ME=AF+FN

3—x=1+x

解得：x=l

BM=AN=2

在RtAASM中，AM=ylAB2-BM2=A/52-22=后，

22

在RtAAME中，AE=ylAM+ME=V21+1=A/22，

BF=AE=yf22.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，解直角三角形等,

熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

3.(2024?湖北?模擬預(yù)測(cè))問(wèn)題情境

在矩形/2C。中，對(duì)角線/C,BD交于點(diǎn)、O,AD=AO=5.以03為邊作正方形