浙江省溫州市2025屆高三年級下冊第二次適應性考試數(shù)學試題（含答案與解析）

機密★啟用前

溫州市普通高中2025屆高三第二次適應性考試

數(shù)學試題卷

本試卷共4頁，19小題，滿分150分.考試用時120分鐘.

注意事項：

1.答卷前，考生務必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名，準考證號填寫在答題卷上，將

條形碼橫貼在答題卷右上角“條形碼粘貼處”.

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卷上對應題目選項的答案信息點涂

黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試題卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)相應

位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液，不

按以上要求作答的答案無效.

4.考生必須保持答題卷的整潔，不要折疊，不要弄破.

選擇題部分（共58分）

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

與—-=1（?>0）（02）

1.雙曲線礦的一個焦點為<則。=（）

1

A.,3rB.—C.3D.-

33

2.扇形的半徑等于2,面積等于6,則它的圓心角等于（）

3

A.1B.-C.3D.6

2

3.已知隨機變量J?N（3,4）,則“a=3”是“尸（J<4）=；”的（）

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.若向量用B滿足W=3,a-b=-6,則1在彼上的投影向量是（）

1_1_2-2-

A.——bB.——bC.—bD.——b

2333

,1Ia-1,〃為奇數(shù)r1

5.已知數(shù)列｛%｝滿足a“=B+l在佃她，若的e2,3，則%的取值范圍是()

[2%+i，〃為偶數(shù)

A.[2,4]B.[1,3]C.[3,5]D.[5,9]

6.某班級有30名男生和20名女生，現(xiàn)調(diào)查學生周末在家學習時長(單位：小時)，得到男生樣本數(shù)據(jù)的平

均值為8,方差為2,女生樣本數(shù)據(jù)的平均值為10.5,方差為0.75,則該班級全體學生周末在家學習時長的

平均值%和方差52的值分別是()

A.元=9.5,$2=1.5B.亍=9,$2=1.5

C.元=9.5,$2=3D.x=9,52=3

7.已知函數(shù)/(x)=sinx,g(x)=COSX,則兩個函數(shù)的圖象僅通過平移就可以重合的是()

A.y=/(x)—g(x)與y=/(x)

B.y="(x)]2-[g(x)]2與y=/(x)g(x)

C.y=與y=/[g(x)]

D昨/[/(x)]與y=g[/(x)]

8.一個圓臺形的木塊，上、下底面的半徑分別為4和8,高為3,用它加工成一個與圓臺等高的四棱臺，棱

臺下底面為一邊長等于9的矩形，且使其體積最大.現(xiàn)再從余下的四塊木料中選擇一塊車削加工成一個球,

則所得球的半徑最大值是()(加工過程中不計損耗)

73L

A.—B.-C.1D.-J2

104?

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知一??項展開式(1—X)=4++a2/+,,,+。2025*2°25，貝I()

A.旬=1B,ax+a2-\Ftz2025=0

C.%+。2024=。D.a。+。2+。4"I。2024=22°24

AEBF

10.在四棱錐尸—4BCD中，E,尸分別是4P,上的點，——=——,則下列條件可以確定■//平

EPFC

面尸CO的是()

A.AD//BCB.AB//CD

C.BC//平面P40D.CD//平面「48

11.甲乙兩人用《哪吒2》動漫卡牌玩游戲.游戲開局時桌上有〃盒動漫卡牌，每個盒子上都標有盒內(nèi)卡牌

的數(shù)量，每盒卡牌的數(shù)量構(gòu)成數(shù)組（%,%，…，%），游戲規(guī)則如下：兩人輪流抽牌，每人每次只能選擇其中

一盒并抽走至少一張卡牌，若輪到某人時無卡可抽，則該人輸?shù)粲螒?現(xiàn)由甲先抽，則下列開局中，能確

保甲有必勝策略的是（）

A.（1,3）B,（1,2,3）C.（3,3,6）D.（3,4,5）

非選擇題部分（共92分）

三、填空題：本大題共3小題，每題5分，共15分.把答案填在題中的橫線上.

12.若復數(shù)/—2a+ai是純虛數(shù)，則實數(shù).

13.已知A是拋物線/=4x在第一象限上的點，咒是拋物線的焦點，，力/。=60。（。為坐標原點）則

拋物線在A處切線的斜率是.

14.函數(shù)/（x）滿足：①〃1）=|②Vx,yeR,2Xf（y）-f（x）>.則/（x）的最

大值等于.

四.解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明.證明過程或演算步驟.

15.如圖，在三棱錐尸—48C中，AP8C是邊長等于2的正三角形，N/Cfi=90°，M為25的中點.

（1）求證：BC1PM；

⑵若AC=2也,cos^CP=--（求點M到平面P8C的距離.

4

16.PageRank算法是Google搜索引擎用來衡量網(wǎng)頁重要性的一種經(jīng)典算法.其核心思想是通過分析網(wǎng)頁之

間的鏈接關(guān)系，評估每個網(wǎng)頁的相對重要性.假設(shè)一個小型的互聯(lián)網(wǎng)由4B,C,。四個網(wǎng)頁組成，它們

之間按圖中的箭頭方向等可能地單向鏈接，假設(shè)某用戶從網(wǎng)頁A開始瀏覽（記為第1次停留）.

(1)求該用戶第3次停留在網(wǎng)頁。上的概率；

(2)某廣告公司準備在網(wǎng)頁8,C中選擇一個投放廣告，以用戶前4次在該網(wǎng)頁上停留的平均次數(shù)作為

決策依據(jù).試問該公司應該選擇哪個網(wǎng)頁？請說明理由.

17.已知函數(shù)/(x)=ln(x+l)+^^-(aeR).

(1)討論/(X)的單調(diào)性；

(2)若/(x)在區(qū)間(-1,0)上恰有一個零點，求。的取值范圍；

(3)當a〉0時，解方程_/(》)=—in1把.

18.在平面直角坐標系X。中，已知點E(-1,0),尸是直線/:x=-8右側(cè)區(qū)域內(nèi)的動點，尸到直線/與夕

軸的距離之和等于它到點F距離的4倍，記點P的軌跡為E.

(1)求E的方程，并在圖中畫出該曲線；

(2)直線/'過點尸，與￡交于A,B兩點,

(i)若求直線r的方程：

(ii)若14sl=4,T是點尸關(guān)于了軸的對稱點，延長線段NT交E于點C,延長線段5T交E于點。，

直線。)交工軸于點”(機,0),求加的最小值.

19.給定正數(shù)/與無窮數(shù)列｛%｝,若存在NlN*,當加〉時，都有|a“+i+%+2+~+金|</，則稱數(shù)

列｛%｝具有性質(zhì)尸().

(1)求證：數(shù)列具有性質(zhì)尸

I4I\乙乙JJ

(2)若無窮數(shù)列｛%｝具有性質(zhì)P⑴，求證：存在正數(shù)使得同<〃(〃eN*)；

(3)若對任意正數(shù)/,數(shù)列｛%｝都具有性質(zhì)尸(。,則稱｛%｝為“S—數(shù)列”.若正項數(shù)列｛，｝是“S—數(shù)

列”，試判斷數(shù)列歸”—1｝是否也是“S—數(shù)列”，并證明你的結(jié)論.（注：e=2.718…）

參考答案

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

彳--=1（?>0）（02）

1.雙曲線。的一個焦點為<則（）

廠V31

A.J3B.—C.3D.-

33

【答案】A

【解析】

【分析】由雙曲線中的平方關(guān)系°?=/+人2即可得出答案.

【詳解】由題意得°2=/+1=4,所以。=百.

故選：A.

2.扇形的半徑等于2,面積等于6,則它的圓心角等于（）

3

A.1B.-C.3D.6

2

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)扇形面積公式計算求解.

1,

【詳解】設(shè)圓心角為所以S=—=2a=6,所以a=3

2

故選：C.

3.己知隨機變量J?N（3,4）,則“a=3”是“尸（J<a）=g”的（）

A,充分不必要條件B,必要不充分條件

C,充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】由正態(tài)曲線的對稱性結(jié)合必要不充分條件的定義即可得到答案.

【詳解】由J?N（3,4）知〃=3,0=2,可知尸偌<3）=；,故a=3,故尸（J<a）=；成立;

反之，若尸（J<a）=g,則。=3,故為充要條件，

故選：C.

4.若向量用B滿足網(wǎng)=3,a-b=-6,則1在彼上的投影向量是（）

1一1-2-2-

A.——bB.——bC.—bD.——b

2333

【答案】D

【解析】

【分析】先設(shè)投影向量是mb，利用萬./?=mb-b——6解出加即可得出答案.

【詳解】設(shè)投影向量是茄，則鼠3二凝/="|q=9加二一6,所以加=-g,

即G在B上的投影向量是-gB.

故選：D.

,1faM+l-1,〃為奇數(shù)r1

5.已知數(shù)列｛4｝滿足%=/佃跖，若的e2,3,則為的取值范圍是（）

[2%+i，〃為偶數(shù)

A.[2,4]B.[1,3]C.[3,5]D.[5,9]

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)&=機，將加把生，。2，%分別表示出來，結(jié)合不等式的性質(zhì)計算即可.

【詳解】設(shè)％=根，則機e[2,3],

得。3=機一1，=2（m-l）=2m-2,

所以％=2加—3e[l,3].

故選：B

6.某班級有30名男生和20名女生，現(xiàn)調(diào)查學生周末在家學習時長（單位小時），得到男生樣本數(shù)據(jù)的平

均值為8,方差為2,女生樣本數(shù)據(jù)的平均值為10.5,方差為0.75,則該班級全體學生周末在家學習時長的

平均值%和方差/的值分別是（）

A.元=9.5,1=1.5B.元=9,1=1.5

C.亍=9.5,d=3D.方=9,d=3

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)分層隨機抽樣的平均數(shù)和方差公式即可算出答案.

…小,3020212421

［詳解］x=8oH=1--=9n,

30+2030+20255

-

230r9

s二.2+(9-8)2+0.75+(9-10.5?=3.

30+2030+20L''」

故選：D

7.已知函數(shù)〃x)=sinx,g(x)=COSX,則兩個函數(shù)的圖象僅通過平移就可以重合的是()

A.y=/(x)-g(x)與y=/(x)

BV="(x)]2—[g(x)T與y=/(x)g(x)

c.y=與y=/[g(x)]

D.y=/[y(x)]與y=g[/(x)]

【答案】C

【解析】

【分析】分析可知，若兩個正、余弦型函數(shù)的圖象僅通過平移就可以重合，則這兩個函數(shù)的振幅相等，最

小正周期也相等，可判斷AB選項；利用三角函數(shù)圖象變換可判斷CD選項.

【詳解】若兩個正、余弦型函數(shù)的圖象僅通過平移就可以重合，則這兩個函數(shù)的振幅相等，最小正周期也

相等，

對于A選項，/(x)-g(x)=sinx-cosx=V2sin

所以，函數(shù)歹=/(x)-g(x)的振幅為0，函數(shù)V=/(x)的振幅為1,

所以，這兩個函數(shù)的振幅不相等，

故＞=/(》)—g(x)與V=/(x)的圖象不能通過平移重合，A錯；

對于B選項，[/(X),一[g(x),=sin2x-cos2x=-cos2x,

/(x)g(x)=sinxcosx=;sin2x,

函數(shù)y="(x)?—[g(x)了的振幅為1，函數(shù)y=/(x)g(x)的振幅為?

所以，y=—[g(x)f與>=/(x)g(x)的圖象不能通過平移重合，B錯;

sin[x+]

對于C選項，因為/[/(x)]=sin(sinx),/[g(x)]=sin(cosx)=sin

將函數(shù))=/[/("]的圖象向左平移g個單位長度可與函數(shù)y=/[g(x)]的圖象重合，C對;

對于D選項，g[/(x)]=cos(sinx)=sin|sinx+—71|,

2

函數(shù)y=/[/(x)]與j=g[/(x)]的圖象不能通過平移重合，D錯.

故選：C.

8.一個圓臺形的木塊，上、下底面的半徑分別為4和8,高為3,用它加工成一個與圓臺等高的四棱臺，棱

臺下底面為一邊長等于9的矩形，且使其體積最大.現(xiàn)再從余下的四塊木料中選擇一塊車削加工成一個球,

則所得球的半徑最大值是()(加工過程中不計損耗)

73

A.—B.-C.1

104

【答案】C

【解析】

【分析】本題可先求出圓臺的相關(guān)數(shù)據(jù)，再確定四棱臺的形狀，進而分析余下木料的情況，找出能車削出

最大半徑球的木料并計算其半徑.

【詳解】

為上底面圓心，。為下底面圓心，記棱臺為48c。一451。1。1，

棱臺最大時，上下邊之比為，=：,不妨設(shè)=9,則與G=5g>9,

o2

所以球在BCCB與圓臺圍成部分可更大,

記4G中點為N,BC中點、為M,(W交上底面圓于P，QN交下底面圓周于。,

設(shè)球半徑最大為「，球心為T,則如圖，球與P。，NQ,"N相切,

441

設(shè)NMNQ=2/3,NPQN=2a,則tan2a=1,tan2^=,貝!!cotcr=3,cot^=—,

7

所以NQ=5=r(cota+cot尸)，得井=1.

故選：C

每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知—■項展開式(1—X)=%++出方+,,,+。2025芯2°25，則()

A.%=1B./+^--+。2025=0

C.4]+。2024=。D.口。+(2。+。4+，,,+。2024=2~°"

【答案】ACD

【解析】

【分析】令x=0即可判斷A；令x=l即可判斷B；根據(jù)二項式展開式的通項公式計算即可判斷C；令

x=—1即可判斷D.

【詳解】A項：令x=0,則旬=1,故A正確；

B項：令X=l,則^。2025=0①，

所以％+%+…+凡025=一1，故B錯誤；

1

C項：a1x=C2025.(-x)=-2025%,所以q=-2025,

02024/24=0(-工廣4=2025鏟24,所以/24=2025，所以卬+%)24=°，故C正確;

D項：令X=—1?則2~°~5=旬—41+%—。3+°2024-'。2025②，

4

①+②可得：2~°~=a0+a2+a4-I1-tz2024,故D正確.

故選：ACD

AEBF

10.在四棱錐尸—48CD中，E,E分別是4P,BC上的點，一=—,則下列條件可以確定斯//平

EPFC

面PC。的是（）

A.AD//BCB.AB//CD

C.8C//平面「4DD.C。//平面「4g

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)線面、面面平行的判定定理與性質(zhì)，結(jié)合反證法，由選項依次證明即可.

【詳解】如圖，過E點、作EG//PD交AD于點、G,連接GF,即有EG//平面

由于所以任=4￡=王，

GDEPFC

若AB//CD,則GE//CD,又Gb①平面PCD,CQu平面尸CD,

所以GE//平面PCD,由EGcGP=G,EG、G尸u平面￡GE,

得平面EGE//平面尸CD,又EPu平面EGE,所以EF//平面PCO,故B正確;

\/B卜口

若C。//平面尸45,又因為平面ZBCOn平面尸48=Z8,所以CQ//48,由B可知D正確;

假設(shè)跖//平面PCD,設(shè)平面￡FFcCZ）=8,則EF//PH,

若5C//平面尸平面ZBCOn平面24。=/。，所以8C///。，

反之若BC///。，當且僅當8C//平面尸Z。，即A、C同時正確或錯誤；

若BC//AD,可能28//CD,也可能ZB與C。相交.

4GBF

若45與CD相交，由——=——知延長廠G必與48、CD交于同一點O,

GDFC

由幾何關(guān)系知所與不平行，故A、C錯誤.

故選：BD

11.甲乙兩人用《哪吒2》動漫卡牌玩游戲.游戲開局時桌上有〃盒動漫卡牌，每個盒子上都標有盒內(nèi)卡牌

的數(shù)量，每盒卡牌的數(shù)量構(gòu)成數(shù)組（巧,。2,…，％），游戲規(guī)則如下：兩人輪流抽牌，每人每次只能選擇其中

一盒并抽走至少一張卡牌，若輪到某人時無卡可抽，則該人輸?shù)粲螒?現(xiàn)由甲先抽，則下列開局中，能確

保甲有必勝策略的是（）

A.（1,3）B,（1,2,3）C.（3,3,6）D.（3,4,5）

【答案】ACD

【解析】

【分析】將每盒卡牌中的卡片數(shù)量轉(zhuǎn)為二進制數(shù)，再進行亦或求和（0+0=0,1+1=0,0+1=1,1+0=1）,

若初始條件是全零，則乙有必勝策略，反之則甲有必勝策略，保持操作之后是全零狀態(tài).

【詳解】將每盒卡牌中的卡片數(shù)量轉(zhuǎn)為二進制數(shù)，

再進行亦或求和（0+0=0,1+1=0,0+1=1,1+0=1）,

若初始條件是全零，則乙有必勝策略，

反之則甲有必勝策略，保持操作之后是全零狀態(tài).

1

A項:八八+11,非全零，甲勝：從第2盒中拿2個，故A符合題意；

l,3）n

v710

1

10,全零，乙勝，故B符合題意；

B項：

11

11,非全零，甲勝：拿走第三盒，故C符合題意；

C項：

（3,3,6）

''110

11

100,非全零，甲勝：從第1盒中拿2個，故D符合題意；

D項：

（3,4,5）0^^

1/010

故選:ACD

非選擇題部分（共92分）

三、填空題：本大題共3小題，每題5分，共15分.把答案填在題中的橫線上.

12.若復數(shù)/—2a+ai是純虛數(shù)，則實數(shù)。=.

【答案】2

【解析】

【分析】根據(jù)已知復數(shù)類型列方程計算求解.

ci~—2a=0

【詳解】由題意得=a=2.

aw0

故答案為：2

13.已知A是拋物線j?=4x在第一象限上的點，廠是拋物線的焦點，N4FO=60°（。為坐標原點）則

拋物線在A處切線的斜率是.

【答案】V3

【解析】

【分析】先設(shè)幺（機2,2機），再根據(jù)焦半徑公式計算求得機=g,最后結(jié)合求導即可得出切線斜率.

【詳解】設(shè)/（機2,2機），則4F=^2+L/，/=12,

所以機2+1=20-機2）,解得機=g,

設(shè)拋物線在A處切線的斜率是V，因為NZR9=60°，所以機〉0,

所以N（機2,2機）在函數(shù)了=26上，所以_/=2義［義+，所以J/=L=G.

故答案為：垂）.

14.函數(shù)/⑴滿足：①/⑴=|②Vx,yeR,2X/（J）-2V（X）＞（4X-4＞）/（x）/（j）.則/（x）的最

大值等于.

【答案】1##0.5

【解析】

【分析】設(shè)/(x)max=，且/(加)=7,代入得^.2加一2/2(4"'-4)?^心令2"'=P，則有關(guān)于。的不等

式如2—2+/<0有解，利用判別式求解即可.

【詳解】解：設(shè)/(%)?皿=，且/(m)=/，

令x=m,y=l,

則有⑴—2/(切)2(/—4”(吟”1),

即|.2加_2/2(4加

設(shè)2"'=夕，則(/J?,

即2tp2-2p+2t<0,

所以如2-2+f<0有解，△=1-4/20n—g</Vg,

所以/(x)的最大值等于1

故答案為：!

【點睛】方法點睛：解答與抽象函數(shù)有關(guān)的題目時，常用賦值法.

四.解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明.證明過程或演算步驟.

15.如圖，在三棱錐尸—45C中，AP8C是邊長等于2的正三角形，//Cfi=90°，M為28的中點.

(1)求證：BCA.PM；

⑵若AC=2Mcos//。尸=—求點M到平面尸的距離.

4

【答案】(1)證明見解析

⑵r

【解析】

【分析】(1)如圖可得M0L8C、PNLBC,結(jié)合線面垂直的判定定理與性質(zhì)即可證明;

(2)由題意，根據(jù)余弦定理分別求出",COSZPA4,PM,NRW,即可求解.

【小問1詳解】

作8c中點N,連接AN,PN,MN,則"N///C,

又NCLBC,所以

又因為△尸8c是正三角形，且N為8C中點，因此尸NL8C,

PN1BC

NM1BC

從而＜n8CJ_平面尸/W,

PNcNM=N

PN,NMu面PNM

又尸Mu平面RW,所以8CJ_W.

【小問2詳解】

由題，ZPCB=60°＞PN=yjPC2-CN2=V3-4B7cB?CA?=4,則AW=2.

h

在△/（7尸中，AC=2y/3,PC=2,cosZACP=-—,

4

由余弦定理得AP=y/PC2+AC2-2PC-ACcosZACP=722，

在APBA中，由余弦定理得cosNPBA=BP-4B2-AP2=一,，

IBPAB8

22

所以尸M=A/BP+BM-2BPBMcosZPBA=3，

設(shè)平面ACB與平面PBC夾角為。（0＜。＜180°）,

由PNLBC,NMLBC知e="NM.

在AHW中，由余弦定理得cosd=變±^^二=-』，解得。=120°，

2PN-MN2

3

設(shè)點M到平面PBC的距離為d,則d=smO-NM=~.

2

16.PageRank算法是Google搜索引擎用來衡量網(wǎng)頁重要性的一種經(jīng)典算法.其核心思想是通過分析網(wǎng)頁之

間的鏈接關(guān)系，評估每個網(wǎng)頁的相對重要性.假設(shè)一個小型的互聯(lián)網(wǎng)由4B,C,。四個網(wǎng)頁組成，它們

之間按圖中的箭頭方向等可能地單向鏈接，假設(shè)某用戶從網(wǎng)頁A開始瀏覽(記為第1次停留).

(1)求該用戶第3次停留在網(wǎng)頁。上的概率；

(2)某廣告公司準備在網(wǎng)頁8,C中選擇一個投放廣告，以用戶前4次在該網(wǎng)頁上停留的平均次數(shù)作為

決策依據(jù).試問該公司應該選擇哪個網(wǎng)頁？請說明理由.

【答案】(1)—

2

(2)該公司應該選擇C網(wǎng)頁，理由見解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)4-8—。、幺fC-。計算即可求解；

(2)根據(jù)fC；BTC、BTD；C-4C->。；。->4。->3、OfC求出前4次停留

網(wǎng)頁8,C對應的概率，求出對應的數(shù)學期望，比較大小即可下結(jié)論.

【小問1詳解】

AfB、A->C;BrC、BrD；C—4C-。；DrA、DrB、DT^C.

第3次停留在網(wǎng)頁。上的事件有4-8—。、A^C^D,

1111

其概率為尸=—X—+—X—

22222

【小問2詳解】

由題意知，4fB、A->C；BrC、BrD；C—4C―。；DTA、D4B、DTC,

則尸(4)=：義：=；，尸(與)=0,尸(。3)=：義；=；，尸(2)=：，

所以「(54)=，*，+！乂』=上，尸(C4)=』x』+Lx』=上，

V47422324V47422324

尸(4)=尸(G)=o,尸(弱)=尸(G)=；，

所以E(6)=；+服,E(C)=；+；+(〉E(6),

故該公司應該選擇。網(wǎng)頁.

17.已知函數(shù)/(X)=ln(x+l)+-^-(a￡R).

X+1

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若/(x)在區(qū)間(-1,0)上恰有一個零點，求。的取值范圍;

(3)當a〉0時，解方程r(x)_/(x)=』"ll—in、蟲.

【答案】(1)答案見解析

⑵(-1,0)

石-1

(3)x=.

2

【解析】

【分析】(1)求導，分a20,a<0討論導函數(shù)的符號，判斷函數(shù)的單調(diào)性.

(2)結(jié)合(1)的結(jié)論，根據(jù)函數(shù)零點所在區(qū)間求參數(shù)。的取值范圍.

(3)明確/'(力-/(x)的解析式，分析其單調(diào)性，得到方程/⑺_/(》)=與1—In'裂解得個數(shù),

再結(jié)合二次方程的根的情況進行驗證即可.

【小問1詳解】

因為/(x)=ln(x+l)+(x>-1),

x+1

1aX+1+Q

所以/(X)=R+?一而=；―”(x>—1),

x+1(x+1)(x+1)

當a?0時，因為X〉—1,所以x+l+a2x+l>0,即/'(x)〉0,/(x)在定義域內(nèi)(―1,+句單調(diào)遞增;

當a<0時，由/'(x)<0n-l<x<-l-a；由/'(x)〉0nx〉一l—a.

所以/(x)在(一1,—1—a)上單調(diào)遞減，在(一1一a,+oo)上單調(diào)遞增.

綜上，當a20時，/("在定義域內(nèi)單調(diào)遞增；

當a<0時，/(x)在(―1,—1—上單調(diào)遞減，在(―1—a,+e)上單調(diào)遞增.

【小問2詳解】

由(1)知，當a?0時，/(x)在(—1,+s)內(nèi)單調(diào)遞增，且注意到/(0)=0,因此/(x)在區(qū)間(一1,0)上

無零點；

當a<0時，考慮到/(0)=0,為使(一1,0)內(nèi)有零點，則極小值點小于零，即—1—a<0na>—1,

結(jié)合。<0,則。的取值范圍為(-1，0).

【小問3詳解】

，/、/、_ax?+(1―Q)X+1+Q/、

由題，/(x)-/(x)=；75ln(x+l),記上式為g(x),

(x+1)

/、(Q+1)X+1+3Qz、l~c_1仁上、

則gX=-1―—<0,gx)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，因此g(x)=W3-In史上，僅有一個

(x+1)SV'22

解，

注意到待求方程g(x)=誓1-E與1=今工+In與1，

對g(x)中含。的部分單獨考察，即。(-V—x+i),其中關(guān)于x的多項式的解為占,2=土6一1，

因此x=X,2時可消去。.

J?_if45-1yV5-1,V5-1

當工=時，有g(shù)-~I-In~—，滿足題思；

212J22

1-75,1-75

當彳二心］時,有g(shù)---=——+ln——,不符合題意；

2I2J22

綜上，原方程的解為x=避二L

2

18.在平面直角坐標系xQy中，已知點E(-l,0),P是直線/:x=-8右側(cè)區(qū)域內(nèi)的動點，P到直線/與了

軸的距離之和等于它到點F距離的4倍，記點P的軌跡為E.

(1)求E的方程，并在圖中畫出該曲線；

(2)直線/'過點/，與E交于A,B兩點，

(i)若［45|=。，求直線r的方程：

(ii)若|48|=4,T是點E關(guān)于7軸的對稱點，延長線段NT交E于點C,延長線段5T交E于點。，

直線CD交x軸于點〃(機,0),求優(yōu)的最小值.

【答案】(1)答案見解析

(2)(i)j=±-(x+l)(ii)￡±還

4V,7

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意列出方程，化簡即可得E的方程；

(2)(i)不妨設(shè)直線交圓于點A,可判斷點3一定在橢圓上,

設(shè)8(2cos&瓜in?)可求出點3坐標，進而求出直線/'方程；

(ii)易知7(1,0),則點T也在圓(x+l『+/=4上，所以

聯(lián)立CD和橢圓方程得到關(guān)于優(yōu)的一元二次不等式，即可解出機的最小值.

【詳解】(1)設(shè)尸(xj),則有x+8+W=4j(x+l『+y2,

當x20時，化簡得工+/=1；

43

當x<0時，化簡得（x+l『+y2=4,

（22

工+乙=1,x>0

所以氏43,曲線如圖所示:

（x+1）2+y2-4,x<0

(2)(i)如圖所示，不妨設(shè)點A在圓上，則|4F|=2,忸目=3〉2,所以點B在橢圓上.

設(shè)5(2cos，,Gsin，),|8F『=(2cos，+l)?+3sin2^=^-,

解得cos，=g,所以5「,士|],所以

3

所以直線方程為/'：y=±4(x+l).

(ii)由題意知7(1,0),故點T也在圓(x+l1+/=4上，又|45|=4為直徑，所以取.

22

設(shè)。(西,必),。(馬,%)，CD-.x^ty+m,聯(lián)立橢圓方程