2025年中考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)講義：瓜豆原理題型

瓜豆原理題型模型特點“瓜豆原理”是近來中考最值中的熱點話題之一，“瓜豆”是寓意，由一個動點軌跡探究另一個動點軌跡，正所謂：種瓜得瓜，種豆得豆。用數(shù)學(xué)語言解釋即旋轉(zhuǎn)、放縮，本節(jié)介紹模型及解題思路。解題思路結(jié)論一：軌跡是圓由P點軌跡推Q點軌跡。通常稱點P為“主動點”，點Q為“從動點”。瓜豆原理的必要條件：兩個定量(1)主動點、從動點與定點連線的夾角是定量(∠PAQ是定值);(2)主動點、從動點到定點的距離之比是定量(AP:AQ是定值)模型結(jié)論：(1)主動點、從動點與定點連線的夾角等于兩圓心與定點連線的夾角:∠PAQ=∠OAM;(2)主動點，從動點與定點的距離之比等于兩圓心到定點的距離之比：AP探究動點的旋轉(zhuǎn)與放縮，即動點軌跡的旋轉(zhuǎn)與放縮。結(jié)論二：軌跡是直線瓜豆原理的必要條件：兩個定量(1)主動點、從動點與定點連線的夾角是定量(∠PAQ是定值);(2)主動點、從動點到定點的距離之比是定量(AP:AQ是定值)模型結(jié)論：(1)P、Q兩點軌跡所在直線的夾角等于∠PAQ。(當(dāng)∠PAQ≤90°時,∠PAQ等于MN與BC夾角)(2)P、Q兩點軌跡長度之比等于AP:AQ。(由△ABC≌△AMN,可得AP所謂“種圓得圓”、“種線得線”，謂之“瓜豆原理”。典型例題例一：如圖，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=22A.2C.22解:取AB的中點O、AC的中點E、BC的中點F,連接OC、OP、OM、OE、OF、EF,如圖,∵在等腰Rt△ABC中,AC=BC=2∴AB=∴OC=∵M為PC的中點,∴OM⊥PC,∴∠CMO=90°,∴點M在以O(shè)C為直徑的圓上，點P點在A點時,M點在E點;點P點在B點時，M點在F點，易得四邊形CEOF為正方形,EF=OC=2,∴M點的路徑為以EF為直徑的半圓，∴點M運動的路徑長=故選:B.例二：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，半徑為2的⊙O與x軸的正半軸交于點A，點B是⊙O上一動點，點C為弦AB的中點，直線y=34x?3解：如圖，連接OB，取OA的中點M，連接CM,過點M作MN⊥DE于N.∵AC=CB,AM=OM,∴MC=∴點C的運動軌跡是以M為圓心，1為半徑的⊙M,設(shè)⊙M交MN于C'.∵直線y=3∴D(4,0),E(0,-3),∴OD=4,OE=3,∴DE=∵∠MDN=∠ODE,∠MND=∠DOE,∴△DNM∽△DOE,∴∴∴MN=當(dāng)點C與C'重合時，△C'DE的面積最小，△C'DE的面積最小值=1故答案為2.舉一反三1.(2024·連云港)如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AC=2.點P在邊AC上,過點P作PD⊥AB,垂足為D,過點D作DF⊥BC,垂足為F.連接PF,取PF的中點E.在點P從點A到點C的運動過程中，點E所經(jīng)過的路徑長為.2.(2024·樂山)如圖,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=1,點P是BC邊上一個動點，在BC延長線上找一點Q，使得點P和點Q關(guān)于點C對稱,連結(jié)DP、AQ交于點M.當(dāng)點P從B點運動到C點時，點M的運動路徑長為()A.36C.32D.3.(2024·通遼)數(shù)學(xué)活動課上，某小組將一個含45°的三角尺AEF和一個正方形紙板ABCD如圖1擺放,若AE=1,AB=2.將三角尺AEF繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)α(0°≤α≤90°)角,觀察圖形的變化,完成探究活動.【初步探究】如圖2，連接BE，DF并延長，延長線相交于點G,BG交AD于點M.問題1BE和DF的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是.【深入探究】應(yīng)用問題1的結(jié)論解決下面的問題.問題2如圖3，連接BD，點O是BD的中點,連接OA,OG.求證OA=OD=OG.【嘗試應(yīng)用】問題3如圖4，請直接寫出當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α從0°變化到60°時，點G經(jīng)過路線的長度.4.(2022·樂山)如圖,等腰△ABC的面積為32,AB=AC,BC=2.作AE∥BC且AE=1A.3B.3C.235.(2022·廣元)如圖,直尺AB垂直豎立在水平面上，將一個含45°角的直角三角板CDE的斜邊DE靠在直尺的一邊AB上，使點E與點A重合,DE=12cm.當(dāng)點D沿DA方向滑動時，點E同時從點A出發(fā)沿射線AF方向滑動.當(dāng)點D滑動到點A時，點C運動的路徑長為cm.6.如圖,有一張矩形紙條AB-CD,AB=5cm,BC=2cm,點M,N分別在邊AB,CD上,CN=1cm.現(xiàn)將四邊形BCNM沿MN折疊,使點B,C分別落在點B',C'上.當(dāng)點B'恰好落在邊CD上時,線段BM的長為cm;在點M從點A運動到點B的過程中，若邊MB'與邊CD交于點E，則點E相應(yīng)運動的路徑長為cm.7.如圖,AB為⊙O的直徑,AB=4,C為半圓AB的中點,P為AC上一動點,延長BP至點Q,使BP·BQ=AB2.若點P由A運動到C,則點Q運動的路徑長為.8.如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=5,點D是BC邊上一點且CD=1,點P是線段DB上一動點,連接AP，以AP為斜邊在AP的下方作等腰Rt△AOP.當(dāng)P從點D出發(fā)運動至點B停止時，點O的運動路徑長為.9.(2022·廣東)如圖,點D是線段BC上的一個動點，分別以BD、CD為邊在BC上方作等邊△ABD和等邊△EDC,連接AC、BE相交于點F.若BC=3，當(dāng)點D從點B運動到點C時，點F運動的路徑長為.10.(2023·廣東)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,點A的坐標(biāo)為(0,6),點B的坐標(biāo)為(-6，0)，點C是線段AO上的一個動點,連接BC,OD⊥BC于點D,以O(shè)D為一邊，作正方形ODEF，其中點E與點B在直線OD兩側(cè)，當(dāng)點C從點A運動到點O過程中，點E經(jīng)過的路徑長為.11.如圖,在菱形ABCD中,∠DAB=60