中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)專項(xiàng)練習(xí)：解直角三角形及其應(yīng)用 （二）

中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)專項(xiàng)練習(xí)：專題十八考點(diǎn)42解直角三角形及其應(yīng)用

1.如圖，某小區(qū)的一塊草坪旁邊有一條直角小路，社區(qū)為了方便群眾進(jìn)行核酸采集，沿AC修

了一條近路，已知AB=80米，新修小路與A3的夾角NC鉆為40。，則走這條近路AC的長

可以表示為（）米.

onon

A.80sin40°B.80cos40°C.D.

sin40°cos40°

2.隨著光伏發(fā)電項(xiàng)目投資成本下降，越來越多的“光伏+”項(xiàng)目正在逐步走進(jìn)我們的生活.光伏發(fā)

電不僅能為城市提供清潔能源，還能減少城市污染和能源消耗.如圖，長5c=8m、寬

AB=1.5m的太陽能電池板與水平面成30。夾角，經(jīng)過太陽光的正投影，它在水平面所形成的

陰影的面積為（）

圖1圖2

A.12m2B.6m2C.6gm?D.-^m2

2

3.為爭創(chuàng)全國文明城市，我市開展市容市貌整治行動(dòng)，增加了許多市民露營地.某露營愛好者

在營地搭建一種“天幕”（如圖1）,其截面示意圖是軸對(duì)稱圖形（如圖2）,對(duì)稱軸是垂直于地面

的支桿所在的直線，撐開的遮陽部分用繩子拉直，分別記為AC,AD,且

AC^AD=2,NOLD的度數(shù)為140。，則此時(shí)“天幕”的寬度CD是（）（單位：米）

D.2cos20°

4.如圖，一個(gè)鐘擺的擺長08為1.5米，當(dāng)鐘擺向兩邊擺動(dòng)時(shí)，擺角N50D為2a,且兩邊的

擺動(dòng)角度相同，則它擺至最高位置與其擺至最低位置時(shí)的高度之差A(yù)C為（）

A.（1.5-1.5cosa）7^B.|1.5--米

Icosa

C.（1.5-1.5sina）7KD.I1.5--—

sintz7

5.如圖，在一筆直的海岸線上有A,3兩個(gè)觀測站，A觀測站在3觀測站的正東方向，有一艘

小船在點(diǎn)P處，從A處測得小船在北偏西60。方向，從3處測得小船在北偏東45。的方向，點(diǎn)

P到點(diǎn)3的距離是3a千米.則A,3兩觀測站之間的距離為千米（注：結(jié)果有根號(hào)的保留根

A.372+3B.3+3百C.6D.6小

6.桔棒俗稱“吊桿”、“稱桿”（如圖1）,是我國古代農(nóng)用工具，始見于《墨子?備城門》，是一

種利用杠桿原理的取水機(jī)械.桔棒示意圖如圖2所示，是垂直于水平地面的支撐桿，

OM=3米，是杠桿，AB=6米，Q4:Ofi=2:l.當(dāng)點(diǎn)A位于最高點(diǎn)時(shí)，ZAOM=130°<

時(shí)，點(diǎn)A到地面的距離為（）

圖1

B.5米C.（3+4sin40。）米D.13+,米

A.九米

7.移動(dòng)公司為了提升“停課不停學(xué)”期間某片區(qū)網(wǎng)絡(luò)信號(hào)，保證廣大師生網(wǎng)絡(luò)授課、聽課的質(zhì)

量，臨時(shí)在坡度為，=1:2.4的山坡上加裝了信號(hào)塔PQ（如圖所示），信號(hào)塔底端。到坡底A的

距離為3.9米.同時(shí)為了提醒市民，在距離斜坡底A點(diǎn)4.4米的水平地面上立了一塊警示牌

肱V.當(dāng)太陽光線與水平線成53。角時(shí)，測得信號(hào)塔PQ落在警示牌上的影子EN長為3米，則

信號(hào)塔PQ的高約為（）（結(jié)果精確到十分位,參考數(shù)據(jù)：sin53°?0.8,cos53°?0.6,

tan53°?1.3）

A.11.9米B.10.4米C.1L4米D.13.4米

8.如圖是一把圓規(guī)的平面示意圖，Q4是支撐臂，OB是旋轉(zhuǎn)臂,已知Q4=Ofi=a,使用時(shí)，

以點(diǎn)A為支撐點(diǎn)，筆芯端點(diǎn)8可繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)作出圓.若支撐臂與旋轉(zhuǎn)臂的夾角=26,則

圓規(guī)能畫出的圓的半徑長度為（）

A.2asin0B.asin26C.2atan0D.atan2^

9.2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)日益臨近，國家跳臺(tái)滑雪中心建設(shè)已初具規(guī)模，國家跳臺(tái)滑雪中心

的賽道S線剖面因與中國傳統(tǒng)吉祥飾物“如意”的S形曲線契合，被形象地稱為“雪如意”.“雪如

意”的剖面示意圖如圖：跳臺(tái)由頂部的頂峰平臺(tái)A3、中部的大跳臺(tái)騰空起點(diǎn)C、賽道CE、

底部的看臺(tái)區(qū)所組成.為有效進(jìn)行工程施工監(jiān)測，現(xiàn)在C處設(shè)置了監(jiān)測標(biāo)志旗（標(biāo)志旗高度

忽略不計(jì)），CE賽道可近似視作坡度為1:2.4的一段坡面，通過GPS高程測量儀測得A點(diǎn)、

E點(diǎn)的海拔高度差（即AH）是160米，從頂峰平臺(tái)A點(diǎn)俯視C處的標(biāo)志旗，俯角約為37。.

由C處釋放的遙控?zé)o人機(jī)豎直上升到與平臺(tái)水平位置。后，遙感測得A。之間距離為152

米，若圖中各點(diǎn)均在同一平面，則CE賽道長度約為（）米.（參考數(shù)據(jù)：sin37?！?.60,

cos37°?0.80,tan37°?0.75）

A.116.2B.118.4C.119.6D,121.2

10.如圖，為了綠化荒山，在坡角a的山坡上修建揚(yáng)水站（ZBAC=a）,揚(yáng)水站中出水口3

的高度為50nl.現(xiàn)在打算從山腳下的機(jī)井房A沿山坡鋪設(shè)水管，則鋪設(shè)水管的長度為

m.（用含a的三角函數(shù)表示）

11.如圖，無人機(jī)在空中A處測得某校旗桿頂部3的仰角為30。，底部C的俯角為60。，無人

機(jī)與旗桿的水平距離AD為6m,則該校的旗桿高約為m.（若合1.73,結(jié)果精確

到0.1）

12.如圖，在長80米、寬60米的矩形草地上修建兩條互相垂直的小路，即

EF//GH,EhMO,且血=LK=1米，￡F=63米，則小路的面積為n?.

13.如圖，有兩張矩形紙片A3CD和ERGH,AB=EF=2cm,=8cm.把紙片ABCD

交叉疊放在紙片ERGH上，使重疊部分為平行四邊形，且點(diǎn)。與點(diǎn)G重合.當(dāng)兩張紙片交叉

所成的角a最小時(shí)，tana等于.

14.桑梯是我國古代勞動(dòng)人民發(fā)明的一種采桑工具.圖①是明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中

用圖畫描繪的桑梯，其示意圖如圖②所示，已知AB=AC=1.6米，AO=1.2米.在安全使用的

前提下，當(dāng)?shù)摹?30。時(shí)，桑梯頂端。達(dá)到最大高度，求此時(shí)。到地面的距離.（參考數(shù)

據(jù)：sin75°?0.97,tan75°?3.73,精確到0.1米）

15.如圖，在一個(gè)坡角位40。的斜坡上有一棵樹BC,樹高4米.當(dāng)太陽光AC與水平線成70。角

時(shí)，該樹在斜坡上的樹影恰好為線段AB.

(1)ZCAB=°,ZACB=°；

(2)求樹影AB的長.(結(jié)果保留一位小數(shù))(參考數(shù)據(jù)：sin20°?0.34,tan20°?0.36,

tan30°?0.58,sin40°?0.64,tan40°?0.84,sin70°?0.94,tan70°?2.75)

答案以及解析

1.答案：D

解析：由題意，在RtzXABC中，AB=80米，NC鉆=40。，ZABC=90°,

AJ)

cos400=——，

AC

AC=80米,

cos40°

故選：D.

2.答案：C

解析：在Rt^BCD中，

4=30。，BC=8m,

BD=BCcos30°=8XB=46m,

2

AB=1.5m,

它在水平面所形成的陰影的面積=L5x4g=6611?,

故選：C.

3.答案：A

解析：AC=AD=2,對(duì)稱軸是垂直于地面的支桿AB所在的直線，NC4Z)的度數(shù)為140。,

：.CE=DE,ZCAE=-ZCAD=70°,

2

sinZCAE=----,

AC

:.CE=AC-sinZCAE=2-sin700,

CD=2CE=4sin700,

故選：A.

4.答案：A

解析：點(diǎn)A為弧3。的中點(diǎn)，。為圓心,

由垂徑定理知JLAC,BC=DC,AB=AD,

ABOD=2a,

...Z.BOA=a,

06=04=1.5,

在Rt2XOBC中，由三角函數(shù)可得OC=L5cosa,

AC=OA-OC=1.5-1.5cosa,

故選：A.

5.答案：B

解析：過點(diǎn)尸作？D,AB于點(diǎn)。，

由題意得，NBPD=45。,ZAPD=60°,PB=3也千米,

在中，

48。。=45°,

PB

BD=PD=正=3千米,

4DADr-

在Rt^PAO中，tan60°=—=—=73,

PD3

解得AD=3百，

AB=AD+5D=(3+3@千米.

故選：B.

6.答案：C

解析：如圖，過點(diǎn)。作EFLOM,過點(diǎn)A作AGLEF于點(diǎn)G,

A

.?.04=4米，

ZAOM=130°,ZEOM=90°,

」.NAOE=40。，

在RtaaoG中，

AG=AO-sin400=4sin40°（米），

此時(shí)，點(diǎn)A到地面的距離為（3+4sin40。）米，

故選：C.

7.答案：A

解析：如圖，延長PE,交.BN千F,延長P。，交.BN千H,設(shè)QH=x米,

坡度i=l:2.4,

:.AH=2.4x,

?"=3.9,

.\x2+（2.4x）2=3.92,

解得：x=1.5,（負(fù)值舍去）

:.AH=2.4x=3.6,

NE=3,^HFP=53°,

“NE3

/.NF=--------~——,

tan53°1.3

33

HF=AH+AN+NF=3.6+4A+—=8+—,

1.31.3

3

:.PH=HFtan^HFP~（8+一）xl.3=13.4,

1.3

PQ=PH-QH=11.9（米），

故選：A.

8.答案：A

解析：作OCLAB交AB于點(diǎn)C,

OA=OB,平分NAQ6,點(diǎn)。是A3的中點(diǎn),

,ZAOB=20,:.ZAOC=0,

OA=OB-a,AC=asin0,

：.AB=2AC-2asind.

故選：A.

9.答案:C

解析：如圖，由題意得：

AD=152,AF/=DM=160,DMLAD,DM工HE,AH工EH,NC4Z)=37°

HME

在RtaCLD中，tanZG4D=-~

AD

.-.CD=152xtan37°=152xO.75=114

GW=160-116=46

CM_1_5

在RtZ\CEM中,

ME-2.4—12

設(shè)。/=5x則ME=12x

:.CE=+(12x)2=13x

CM5x_5

~CE~13x~13

13x46

CE==119.6

5

經(jīng)檢驗(yàn)：CE=生竺=U9.6符合題意,

5

故選：C.

10.答案：上一

sina

解析：.,在△ABC中，ZBAC=a,5c=50m,

.BC

sina=----

AB

AB=_50(m),

sin。

則鋪設(shè)水管AB的長度為其m；

sina

故答案為：—.

sina

H.答案：13.8

解析：在RtzXADB中，—=tan300=—,r.=且AD在Rt△")(?中,

AD33

—=tan60°=73,:.CD=6AD,BCBD+CDAD

AD3

12.答案:146

解析：如圖，過點(diǎn)E作石SJ_DC,過點(diǎn)M作MQLNP,過點(diǎn)尸作出_16〃，垂足分別為

S、。、R,

由題意知：A￡)=ES=3C=60米，AB=DC=80米，JK=LK=MQ=FR=1米.

EF//GH,

：.ZEFS=/FHR,

sinZ.EFS=sinNFHR,

ESFR601

——=---,即m一=——

EFFH63FH

21

FH

20

同理可得=—.

20

小路的面積為：—x60+—x80-l=146.

2020

故答案為：146.

13.答案：-1

15

解析：如圖,

ZADC=ZHDF=90°,

：.ZCDM=ZNDH,且CD=r)H,ZH=ZC=90°,

.?.△COM四△HQN(ASA),

：*MD=ND,且四邊形DNKM是平行四邊形，

四邊形DNKM是菱形,

.-.KM=DM,

CD

tana=tanZDMC=-----,

MC

二當(dāng)點(diǎn)3與點(diǎn)E重合時(shí)，兩張紙片交叉所成的a角最小,

設(shè)MD=a=BM,貝l」CM=8—Q,