中考數(shù)學(xué)高頻考點專項練習(xí)：矩形 （三）及答案

中考數(shù)學(xué)高頻考點專項練習(xí)：專題十四考點30矩形

1.如圖，在矩形A3CD中，。是3C的中點，ZAOD=90°,若矩形A3CD的周長為30cm,則

A3的長為（）

A.5cmB.lOcmC.15cmD.7.5cm

2.如圖所示，在矩形ABC。中，AB>AD,AC與5。相交于點。，下列說法正確的是（）

A.點。為矩形ABCD的對稱中心B.點。為線段A5的對稱中心

C.直線5。為矩形ABCD的對稱軸D.直線AC為線段5。的對稱軸

3.如圖，矩形A3CD中，AB=2,BC=3,P是CD邊的中點，E是3C邊上的一動點，M、

N分別是AE、PE的中點，隨著點E的運動，線段加長（）

A.不斷增大B.先增大，后減小

C.保持不變，長度為典D.保持不變，長度為加

2

4.矩形ABCD的邊上有一動點E,連接AE、DE,以AE、0E為邊作平行四邊形A￡D尸.

在點E從點3移動到點C的過程中，平行四邊形AEDF的面積（）

A.先變大后變小

B.先變小后變大

C.一直變大

D.保持不變

5.如圖，四邊形ABCD為矩形，AB=3,6C=4.點尸是線段上一動點，點/為線段AP

上一點.NADM=Nfi4P,則3M的最小值為()

A.-B.—C.V13--D.V13-2

252

6.如圖，有一張矩形紙片ABCD.先對折矩形ABCD,使A。與重合，得到折痕防，把紙

片展平.再一次折疊紙片，使點A落在口上，并使折痕經(jīng)過點'得到折痕,同時得到

線段BN,MN.觀察所得的線段，若AE=1,則MN=()

A3

2

7.如圖，將矩形ABCD繞點A旋轉(zhuǎn)至矩形AB'C'D'位置，此時AC的中點恰好與。點重合,

交于點E.若AB=3,則△AEC的面積為()

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知線段AC在y軸上，點4(0,2),原點。是線段AC的中

點，將線段繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段3。，連接AB、BC、CD.形成四邊形

ABCD,分別交x軸于E、R兩點，則四邊形ABEF的面積為（）

A.4B.2GC.473D.—

2

9.如圖，直角三角形5EF頂點P在矩形ABCD的對角線AC上運動，連接

AE.ZEBF=ZACD,AB=6,BC=8,則的最小值為（）.

10.如圖，將一張矩形紙片A3CD沿對角線3。折疊，使得3c的對應(yīng)邊與AD相交于點

E,若BC=5cm,DC=3cm,則AE=

11.如圖，長方形紙片A3CD中，點E是CD的中點,連接AE.按以下步驟作圖:

第14照圖

①分別以點A和點E為圓心，以大于的長為半徑作弧‘兩弧相交于點”和點N；

②作直線MN,且直線MN剛好經(jīng)過點3.若DE=2,則3c的長度是.

12.如圖，矩形A3CD,AB=1,6C=2,點A在x軸正半軸上，點。在y軸正半軸上.當(dāng)點A

在x軸上運動時，點。也隨之在y軸上運動，在這個運動過程中，點C到原點。的最大距離

為.

BC=8,點E在上且CE=AE,則

CE=;若點R為平面內(nèi)一點，且NAFC=90。，連接EE,當(dāng)tan/CEF=2

14.如圖，四邊形ABCD是矩形，過點3作5E//AC交DC的延長線于點E,過點。作

于點點G為AC的中點，連接GH.

(1)求證：BE=AC.

(2)判斷GH與BE的數(shù)量關(guān)系，并證明.

15.如圖，矩形A3CD是一張A4紙，其中4￡>=后48，小天用該A4紙玩折紙游戲.

F

圖①

游戲1折出對角線3D,將點3翻折到3。上的點E處，折痕AR交BD于點G.展開后得

到圖①，發(fā)現(xiàn)點R恰為3C的中點.

游戲2在游戲1的基礎(chǔ)上，將點C翻折到3。上，折痕為BP；展開后將點3沿過點R的直

線翻折到3尸上的點H處；再展開并連接GH后得到圖②，發(fā)現(xiàn)NAGH是一個特定的角.

(1)請你證明游戲1中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；

(2)請你猜想游戲2中NAGH的度數(shù)，并說明理由.

答案以及解析

1.答案：A

解析：矩形ABCD中，。是的中點，ZA(9D=90°,

根據(jù)矩形的性質(zhì)得到△ABO也△DCO,則。4=OD,ZZMO=45°,

所以4Q4=NB4O=45。，即BC=2AB,由矩形A3CD的周長為30cm得到，

30=2AB+2x2AB,

解得AB=5cm.

故選A.

2.答案：A

解析：矩形ABCD是中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點，故A符合題意;

線段AB的對稱中心是線段A3的中點，故B不符合題意；

矩形ABCD是軸對稱圖形，對稱軸是過一組對邊中點的直線，

故C,D不符合題意；

故選A.

3.答案：C

解析：連接AP,

?.?矩形A3CD中，AB=DC=2,尸是CD邊上的中點,

:.DP=1,

.-.AP=V32+I2=Vio,

連接AP,

■：M,N分別是AE、PE的中點，

.?.MN是△的0的中位線，

-,MN=-AP=^-.

22

故選：C.

4.答案：D

解析：過點E作EGLAD于G,如圖所示：

則NAGE=90°,

四邊形ABCD是矩形，

ZABC^ZBAD=90°,

：.四邊形ABEG是矩形，

EG=AB,

■：四邊形AEDF是平行四邊形，

=

SDAEDF=2SAAD￡2X—ADxEG=ADxAB=S矩形的。，

即廠的面積保持不變，故D正確.

故選：D.

解析：設(shè)AD的中點為。，以。點為圓心，A。為半徑畫圓

四邊形ABCD為矩形，

:.ZBAP+ZMAD^90°,

ZADM=ZBAP,

ZMAD+ZADM=90°,

:.ZAMD^90°,

二點"在。點為圓心，以A。為半徑的圓上，

連接交圓。與點N,

?.?點5為圓。外一點，

二當(dāng)直線3M過圓心。時，3M最短，

BO2=AB7+AO2,AO=-AD=2,

2

BO2=9+4=13,

BO=A/13,

?;BN=BO-AO=4^-2,

故選：D.

6.答案：C

解析：根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：ZABM二ZNBM,AB=BN,AE=BE=1,AD//EF,

AN=BN=2

四邊形ABC。是矩形，

ZABC=90°,ADHEFHBC,

ZAEN=ZABC=NBEN=90。,

EE1

在RtAB￡2V中，sinNBNE=----=—,

BN2

ZBNE=30°,

ZBNE=ZNBC=3QP

ZABM=ZNBM=30°,

.,MN

在RtaBMV中，tanZNBM=——，

BN

.MN73

??-9

23

273

3

故選：C.

7.答案：B

解析：根據(jù)題意可得AC=AC,

?.?。為AC的中點，

AD=-AC'=-AC,

22

ABCD是矩形，

ADLCD,

在Rt^ACD中，AD=-AC,

2

AD1

即sinZACD=——=—,

AC2

ZACD=30%

AB//CD,

NC4B=30°,

ZCAB'=ZCAB=30°,

NE4c=30。，

AE—EC,

DE=-AE=-EC,

22

221r-

CE=-CD=-AB=2,DE=-AB=1,AD=<3，

333

???SAA￡C=|EC-AD=1x2x73=V3

故選：B.

8.答案：B

解析：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，OA=OB=OC=OD,NAOfi=60。,

二四邊形ABCD是矩形，△495是等邊三角形，

:.ZBAC=60°,

作BGLAC于點G,

:.ZABG=30°,

???點4(0,2),

:.OA^AB=2=OC,

.-.AG=OG=1,BG=VAB2-AG2=y/3,

S矩形A5C?=25AABC=2x—xACxBG=4G,

?.?歷經(jīng)過點O,

四邊形ABEF的面積為|S矩形"co=2G，

故選：B.

9答案:D

解析：過點3作57/LAC于點H,連接EH,如圖所示:

：.ZBEF=ZBHF=90°,

:.E、B、F、H四點共圓,

.-.ZEHB=ZEFB,

ZAHE+ZEHB=90°,ZEBF+ZEFB=90°,

:.ZAHE=ZEBF,

-,-ZEBF=ZACD,

：.ZAHE=ZACD,

.?.點E在射線HE上運動，

當(dāng)時，AE的值最小，

?.?四邊形ABCD是矩形，

.-.AB=CD=6,BC=AD=8,ZD=90°,

AC=y/CDr+AD2=762+82=10,

sinZAHE=sinZACD=,

AC5

SZAAA,CrRD=-2ABCB=2-ACBH,

BP-X6X8=-X10XBH,

22

24

BH=——，

5

在RtzXAHB中，由勾股定理得：AH=《AB?

1QA72

AE的最小值=AH?sinZA"E=匕義一=—.

5525

故選：D.

10.答案：-cm

5

解析：由折疊的性質(zhì)可知，NEBD=NCBD,

■：四邊形ABCD為矩形，

AD//BC,

/EDB=NCBD,

ZEDB=ZEBD,

EB=ED=5-AE,

在RtAABE中，AB2+AE2=BE2,

即32+AE2=(5-AE)2,

解得：AE=|,

故答案為：|cm.

11.答案：26

解析：連接AE,如圖：

、DEc

???點￡是CD的中點，DE=2,

:.CE=DE=2,CD=2DE=4,

四邊形ABCD是長方形，

.?.CD=AB=4,

由作圖可知，MN為AE的垂直平分線，

:.BE=AB=4,

在RtABCE中，BC=y/BE2-CE2=收=273,

故答案為26.

12.答案：V2+1

解析：如圖，取AD的中點連接CH,0H,

?.?矩形A3CD,AB=1,BC=2,

.-.CD=AB=1,AD=BC=2,

?.?點”是AD的中點，

.-.AH=DH=1,

：.CH=yjDH2+CD2=V1+T=V2,

?.?ZA8=90°,點H是AD的中點,

:.OH=-AD=l,

2

在△OS中，CO〈OH+CH,

當(dāng)點H在。C上時，CO=OH+CH,

.?.。。的最大值為?！?。//=行+1.

故答案為：A/2+1.

-3布+2715?

13.答案：5；3^/5或

5

解析：設(shè)BE=x,則CE=AE=8-x,

222222

在RtzXABE中，WAE=AB+JBE,即：(8-x)=4+x,

解得x=3,

CE=8—3=5,

過點/作于點H,如圖:

?.?tan/CEF=2,設(shè)FH=2m,則EH=〃z,

當(dāng)點尸在左側(cè)時，過點R作PQ//3C交C。、5A的延長線于點P、。（“K形圖”），

pc

FH

E

Q>"AB

■：四邊形ABCD為矩形,

:.PQ^CP,PQLBA,PF=CH,PQ=BC,

ZCPF=ZFQA=90°,

\'ZAFC=90°,

.ZPFC+ZPCF=ZPFC+ZQFA=90°,

ZPCF=ZQFA,

,/\PCF^/\QFA,

PCPF

~FQ=~QA，

2m5-m

.?—,

3+m2m—4

解得：加=-1(舍去)或加=3,

EF==3A/5,

當(dāng)點尸在右側(cè)時,

過點R構(gòu)造“K形圖”,

同理可得APCF^Z\QFA,

2m5—m

3+m2m+4

一（舍去3T，

解得:

s￡-3行+2而？

/.EF=751n=-----------------,

5

故答案為：5；3加或一3亞+；辰

14.答案：（1）證明見解析

（2）GH=-BE,證明見解析

2

解析：（1）證明：?.?四邊形A3CD是矩形,

:.AB//CD,BPAB//CE,

AC//BE,

四邊形ABEC是平行四邊形，；.BE=AC.

(2)GH=-BE.

2

證明：連接3D,如圖,

AD

?.?四邊形ABCD是矩形，G為AC的中點，

:.AC=BD,G為3。的中點.

\DH±BE,即NDHB=90°,

:.GH=-BD,

2

vAC=BD=BE,:.GH=-BE.

2

15.答案：（1）見解析

（2）NAGH=120。，理由見解析

解析：（1）證明：由折疊的性質(zhì)可得

:.ZAGB=90°>

四邊形ABCD是矩形，

:.ZBAD=ZABC=9