2025版高中數(shù)學第一講坐標系1.1平面直角坐標系練習含解析新人教A版選修4-4

PAGEPAGE5一平面直角坐標系課時過關(guān)·實力提升基礎(chǔ)鞏固1點P(1,-2)關(guān)于點A(-1,1)的對稱點P'的坐標為()A.(3,4) B.(-3,4)C.(3,-4) D.(-3,-4)答案B2給出下列曲線:①直線;②圓;③橢圓;④雙曲線;⑤拋物線.在平面直角坐標系中,經(jīng)過伸縮變換,以上曲線類型可能發(fā)生改變的是()A.②③ B.①④⑤ C.①②③ D.②③④⑤解析只有圓和橢圓在伸縮變換中是可以相互轉(zhuǎn)變的,其他三種曲線在伸縮變換后仍屬于同類型的曲線.答案A3若△ABC三個頂點的坐標分別是A(1,2),B(2,3),C(3,1),則△ABC的形態(tài)為()A.等腰三角形 B.等邊三角形C.直角三角形 D.鈍角三角形解析|AB|=|BC|=|AC|=|BC|=|AC|≠|(zhì)AB|,故△ABC為等腰三角形.答案A4在平面直角坐標系中,經(jīng)過伸縮變換xA.49x2+16y2=1 B.49x2+C.解析將伸縮變換x'=17x得答案C5已知有相距1400m的甲、乙兩個觀測站,在甲站聽到爆炸聲的時間比在乙站聽到爆炸聲的時間早4s.若當時聲音的傳播速度為340m/s,建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?則爆炸點所在的曲線為()A.雙曲線的一支 B.直線C.橢圓 D.拋物線答案A6在平面直角坐標系中,將點P(-2,2)變換為P'(-6,1)的伸縮變換公式為()A.C.解析由伸縮變換公式得答案C7在平面直角坐標系中,方程3x-2y+1=0所對應的直線經(jīng)過伸縮變換x解析由伸縮變換x'=13x,y'=2y得答案9x'-y'+1=08已知函數(shù)f(x)=(解析f(x)可看作是平面直角坐標系中x軸上的一點(x,0)到兩定點(1,1)和(-1,1)的距離之和,結(jié)合圖形可得,f(x)的最小值為2答案29在平面直角坐標系中,求下列方程所對應的圖形經(jīng)過伸縮變換x(1)5x+2y=0;(2)x2+y2=2.解(1)由伸縮變換將其代入5x+2y=0,得到經(jīng)過伸縮變換后的圖形的方程是5x'+3y'=0.所以經(jīng)過伸縮變換x'=12x,y'=(2)將x=2x',y=3y所以經(jīng)過伸縮變換x'=12x,y10在△ABC中,底邊BC的長為12,其他兩邊AB和AC上的中線CE和BD的和為30,建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?求△ABC的重心G的軌跡方程.解以BC邊所在的直線為x軸,BC邊上的中點為原點建立如圖所示的平面直角坐標系,則B(6,0),C(-6,0).由|BD|+|CE|=30,得|GB|+|GC|=所以重心G的軌跡是橢圓.設(shè)G(x,y),則其軌跡方程為易知a=10,c=6,由此可得b=8.因為點G不行能位于x軸上,所以x≠±10.故重心G的軌跡方程為x2100實力提升1在平面直角坐標系中,經(jīng)過伸縮變換xA.50x2+72y2=1 B.9x2+100y2=1C.10x2+24y2=1 D.解析將x'=5x,y'=3y代入2x'2+8y'2=1,得2×(5x)2+8×(3y)2=1,即50x2+72y2=1.故所求曲線C答案A2若點P(-2017,2016)經(jīng)過伸縮變換xA.1 B.-1C.2016 D.-2017解析∵P(-2025,2024),∴x=-2025,y=2024,∴將其代入y'=kx'答案B★3已知點A(-1,3),點B(3,1),點C在坐標軸上,∠ACB=90°,則滿意條件的點C的個數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.4解析若點C在x軸上,可設(shè)點C的坐標為(x,0).由∠ACB=90°,得|AB|2=|AC|2+|BC|2,所以有(-1-3)2+(3-1)2=(x+1)2+32+(x-3)2+12,解得x1=0,x2=2.所以點C的坐標為(0,0)或(2,0).若點C在y軸上,可設(shè)點C的坐標為(0,y).由∠ACB=90°,得|AB|2=|AC|2+|BC|2,所以有(-1-3)2+(3-1)2=(0+1)2+(y-3)2+(0-3)2+(y-1)2,解之,得y1=0,y2=4.所以點C的坐標為(0,0)或(0,4).故滿意條件的點C的個數(shù)為3.答案C4將雙曲線C經(jīng)過伸縮變換x解析由條件知點2x,13y∴4x2-∵a2=∴c=答案5在平面直角坐標系中,經(jīng)過伸縮變換,將曲線x2-36y2-8x+12=0變成曲線x'2-y'2-4x'+3=0,求滿意條件的伸縮變換.解x2-36y2-8x+12=0可化為x'2-y'2-4x'+3=0可化為(x'-2)2-y'2=1.②比較①②,可得故滿意條件的伸縮變換為6在△ABC中,D是BC邊上的隨意一點(D與B,C不重合),且|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|,建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?求證:△ABC為等腰三角形.證明如圖,作AO⊥BC,垂足為O,以BC邊所在直線為x軸,以O(shè)A邊所在直線為y軸建立平面直角坐標系.設(shè)A(0,a),B(b,0),C(c,0),D(d,0).因為|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|,所以由兩點間的距離公式得b2+a2=d2+a2+(d-b)(c-d),即-(d-b)(b+d)=(d-b)(c-d).又d-b≠0,所以-b-d=c-d,即-b=c.故△ABC為等腰三角形.7某河上有拋物線形拱橋,當水面距拱頂5m時,水面寬為8m,一艘木船的寬為4m,高為2m,載貨后木船露在水面上的部分高為3解依據(jù)題意建立如圖所示的平面直角坐標系,設(shè)拋物線方程為x2=-2py(p>0).因為A(4,-5)在拋物線上,所以42=-2p(-5),p=1.6.所以x2=-3.2y.設(shè)當水面上漲到與拋物線拱頂相距hm時船起先不能通航,這時木船兩側(cè)與拋物線接觸,于是可設(shè)木船寬BB'的端點B的坐標為(2,y1).由22=-3.2y1,得y1=-54,h=|y★8有一種大型商品,A,B兩地都有出售,且價格相同,某地居民從兩地之一購得商品后運回的費用是:A地每千米的運費是B地每千米運費的3倍.已知A,B兩地間的距離為10km,顧客選擇從A地或B地購買這種商品的標準是:運費和價格的總費用較低,試建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?求從A,B兩地購買的區(qū)域的分界線的形態(tài),并指出線上、線內(nèi)、線外的居民應如何選擇購買地點?解以A,B所在的直線為x軸,線段AB的中點O為坐標原點建立如圖所示的平面直角坐標系.因為|AB|=10,所以A(-5,0),B(5,0).設(shè)某地P的坐標為(x,y),且P地居民選擇從A地購買商品,