2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三系列專題171 勾股定理及其逆定理【九大題型】（舉一反三）（人教版）含解析

2023.2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三系列專題17.1勾股定理及其

逆定理【九大題型】

【人教版】

【題型?勾股定理的運(yùn)用】......................................................................I

【題型2直角三角形中的分類討論思想】.........................................................2

【題型3勾股定理解勾股樹問題】...............................................................2

【題型4勾股定理解動點(diǎn)問題】.................................................................4

【題型5勾股定理的驗(yàn)證】......................................................................5

【題型6直角三角形的判定】....................................................................7

【題型7勾股數(shù)問題】..........................................................................8

【題型8格點(diǎn)圖中求角的度數(shù)】.................................................................9

【題型9勾股定理及其逆定理的運(yùn)用】...........................................................10

”片聲*三

【知識點(diǎn)1勾股定理】

在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方.如果直角三角形的兩條直角

邊長分別是a,b,斜邊長為c,那么壯+6252.

【題型1勾股定理的運(yùn)用】

【例1】（2022?和平區(qū)三模）如圖，在△A8C中，NC=90°,AD平分NCA8,8=1.5,BD=2.5,則

C.3D.2

【變式1-1］（2022春?上杭縣期中）如圖在心△ABC中，Z/?=90°,AB=8,AC=IO,4c的垂直平分線

DE分別交4B、AC于。、E兩點(diǎn),則〃。的長為（）

A

號

B1------------2C

375

A.-B.-C.2D.-

242

【變式1-2]（2U22春?漢陽區(qū)期中）如圖，在中AN=AC=IU,%C'=16,若NH4Q=3N/）AC,則

CD=_

【變式1-3］（2021秋?朝陽區(qū)校級期末）如圖，在△A8C中，ZC=90°,48=30,。是AC上一點(diǎn)，4。：

CD=25：7,且。B=D4,過八B上一點(diǎn)P,作P及LAC于E，PFLBD于F,貝IJPE+PF長是.

【題型2直角三角形中的分類討論思想】

【例2】（2022春?長沙月考）已知△48C中，A8=13,4c=15,8c邊上的高為12.則△A8C的面積為

（）

A.24或84B.84C.48或84D.48

【變式2-1］（2022春?寧津縣期中）AABC中，AB=\5,AC=\3,高4。=12,則△4BC的周長是（）

A.42B.32C.42或32D.42或37

【變式2-2］（2022春?香河縣期中）已知直角三角形兩邊的長為5和12,則此三角形的周長為（）

A.30B.\41f9+17C.VTT5+17或30D.36

【變式2?3】（2022春?海淀區(qū)校級期中）在中，ZACB=90°,AC=4,A8=5.點(diǎn)P在直線AC

上，且8P=6,則線段AP的長為.

【題型3勾股定理解勾股樹問題】

【例3】（2021秋?南關(guān)區(qū)期末）如圖，所有陰影部分四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若

正方形A、B、。的面積依次為6、10、24,則正方形。的面積為（)

A.4B.6C.8D.12

【變式3-1]（2021秋?高新區(qū)校級期末）如圖，在四邊形/WCD中，NDAB=NBCD=90°,分別以四邊

形的四條邊為邊向外作四個正方形，若SI+S4=135,S3=49,則S2=（）

A.184B.86C.119D.81

【變式3-2]（2022春?泗水縣期中）有一個邊長為1的正方形，經(jīng)過一次“生長”后，在它的左右肩上生

出兩個小正方形，其中，三個正方形圍成的三角形是直角三角形，再經(jīng)過一次“生長”后，變成了如圖，

如果繼續(xù)“生長”下去，他將變得“枝繁葉茂”，請你計(jì)算出“生長”了2022次后形成的圖形中所有正

【變式3-3]（2022春?張灣區(qū)期中）如圖①，在△ABC中，乙4cB=90°,AC：BC=4：3,這個直角三角

形三邊上分別有一個正方形.執(zhí)行下面的操作：由兩個小正方形向外分別作直角邊之比為4：3的直角三

角形，再分別以所得到的直角三角形的直角邊為邊長作正方形.圖②是1次操作后的圖形，圖③是2次

操作后的圖形.如果圖①中的直角三角形的周長為12,那么10次操作后的圖形中所有正方形的面積和

為（）

ccc

圖②圖③

A.225B.250C.275D.300

【題型4勾股定理解動點(diǎn)問題】

[例4]（2021秋?開福區(qū)校級期末）如圖,RtAACB中，N4c8=90°，AB=25cm,AC=7cm,動點(diǎn)P

從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以2cm/s的速度運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為ts、當(dāng)AAPB為等腰三角形時，/的值為（）

25

B.一或24或12

2

625625254

C.—或24或12D.---或一或24

96962

【變式4-1]（2021秋?宛城區(qū)期末）如圖，在RtZXA8c中，Z.4CB=90°,BC=40cni,AC=30a〃，動點(diǎn)

P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BA以20nls的速度運(yùn)動.則當(dāng)運(yùn)動時間/=s時，△8PC為直角三角形.

【變式4-2]（2022春?蚌山區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，/AC8=9（）°,AB=\0,AC=8,點(diǎn)、P從點(diǎn)、

A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿折線4-8-C運(yùn)動.設(shè)點(diǎn)。的運(yùn)動時間為/秒（/>0）.

（1）BC的長是

（2）當(dāng)點(diǎn)P剛好在/84C的角平分線上時，/的值為

c

【變式4-3](2022春?河?xùn)|區(qū)期中)如圖，已知AABC中，NB=90°,AB=\6cm,BC=\2cm,P、Q是

△ABC邊上的兩個動點(diǎn)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿A-8方向運(yùn)動，且速度為每秒1ca點(diǎn)。從點(diǎn)8開始

沿y-C-A方向運(yùn)動，且速度為每秒2c，〃，它們同時出發(fā)，同時停止.

(1)P、。出發(fā)4秒后，求P。的長；

(2)當(dāng)點(diǎn)。在邊CA上運(yùn)動時，出發(fā)幾秒鐘后，△CQB能形成直角三角形？

備用圖

【題型5勾股定理的驗(yàn)證】

【例5】勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，其中的“面積法”給了小聰以靈感，他驚

喜的發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩個全等的直角三角形如圖1或圖2擺放時，都可以用“面積法”來證明，下面是小聰利

用圖1證明勾股定理的過程：

將兩個全等的直角三角形按圖1所示擺放，其中ND4A=90°,求證：a2+b2=c2

證明：連接QB,過點(diǎn)。作8C邊上的高DF,WJDF=EC=b-a

5四邊杉AOC8=SA4CO+SA/48C=^ab.

_171

又'：S四邊形AOC8=S?OB+SaDC8=+之〃(b-a)

$2+4c2+(b-a)

：.a1+b2=c1

請參照上述證法，利用圖2完成下面的證明.

將兩個全等的直角三角形按圖2所示擺放，其中NQ4B=90°.求證：。2+層=。2.

D

【變式5-1]（2022春?巢湖市校級期中）學(xué)習(xí)勾股定理之后，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)證明勾股定理有很多方法.某同

學(xué)提出了一種證明勾股定理的方法：如圖1點(diǎn)、B是正方形ACDE邊CD上一點(diǎn),連接48,得到直角三角

形AC8,三邊分別為“，b,c,將△ACA裁剪拼接至立置，如圖2所示，該同學(xué)用圖1、圖2的

面積不變證明了勾股定理.請你寫出該方法證明勾股定理的過程.

【變式5-2]（2021秋?朝陽區(qū)期末）【閱讀理解】我國古人運(yùn)用各種方法證明勾股定理，如圖①，用四個

直角三角形拼成正方形，通過證明可得中間也是一個正方形.其中四個直角三角形直角邊長分別為

斜邊長為c.圖中大正方形的面積可表示為（a+b）2,也可表示為c2+4x%，即2=0+4x劫，

所以a2+b2=c2.

【嘗試探究】美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”如圖②所示，用兩個全等的直角三角形拼成一

個直角梯形BCDE,其中△BCA絲△4￡>￡ZC=ZD=90°,根據(jù)拼圖證明勾股定理.

【定理應(yīng)用】在RI/X4BC中，ZC=90°,NA、NB、NC所對的邊長分別為〃、b、c.

求證：a2c2+a2b2=c4-b4.

【變式5-3]（2。22春?壽光巾期中）如圖①，美麗的弦圖，蘊(yùn)含著四個全等的直角二角形.

（1）弦圖中包含了一大，一小兩個正方形，已知每個直角三角形較長的直角邊為小較短的直角邊為江

斜邊長為c,結(jié)合圖①，試驗(yàn)證勾股定理.

（2）如圖②，將這四個直角三角形緊密地拼接，形成飛鏢狀，已知外圍輪廓（粗線）的周長為24,。。

=3,求該飛鏢狀圖案的面積.

（3）如圖③，將八個全等的直角三角形緊密地拼接，記圖中正方形A8CQ,正方形E/G”，正方形MNKT

的面積分別為Si,S2,S3,若SI+S2+S3=40,則52=.

D

【知識點(diǎn)2勾股定理的逆定理】

如果三角形的三邊長a,b,c滿足彥+貶”2,那么這個三角形就是直角三角形.

【題型6直角三角形的判定】

【例6】（2022春?綏寧縣期中）若△ABC的三邊長分別為〃、h、c,下列條件中能判斷△4BC是直角三角

形的有（）

①NC,②N4NB：ZC=3：4：5,③NA=90°-NB,④/4=NA=。，⑤/=（隊(duì)。）

（/>-c）,?a：b：c=5：12：13.

A.3個B.4個C.5個D.6個

【變式6-1]（2022春?贛州月考）下列滿足條件的三角形中，不是直角三角形的是（）

A.在△ABC中，若b=則AABC為直角三角形

B.三邊長的平方之比為1：2：3

C.三內(nèi)角之比為3：4：5

D.三邊長分別為。，b,c,c=\+n2,a=n2-I,b=2n（.n>\）

【變式6-2]（2022春?漢濱區(qū)期中）若△ABC的三邊長小b,c滿足（a-c）2=lr-2ac,則（）

A.NA為直角B.NB為直角

C.NC為直角D.ZVIBC不是直角三角形

【變式6-3]（2022春?開州區(qū)期中）下列是直角三角形的有（）個

?△ABC中-序

②△A8C的三內(nèi)角之比為3：4：7

③△A8C的三邊平方之比為1：2：3

④三角形三邊之比為3：4：5

A.\B.2C.3D.4

【題型7勾股數(shù)問題】

【例7】（2022春?滑縣月考，）在學(xué)習(xí)“勾股數(shù)”的知識時，小明發(fā)現(xiàn)了一組有規(guī)律的勾股數(shù)，并將它們記

錄在如下的表格中.

a68101214

b815243548

c1()17263750

則當(dāng)a=24時，/c的值為（）

A.162B.200C.242D.288

【變式7-1]（2022?湖北）勾股定理最早出現(xiàn)在商高的《周髀算經(jīng)》：“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”.觀

察下列勾股數(shù)：3,4,5；5,12,13；7,24,25：這類勾股數(shù)的特點(diǎn)是：勾為奇數(shù)，弦與股相差為

1.柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差為2的一類勾股數(shù)，如：6,8,10：8,15,17：若此類勾

股數(shù)的勾為2〃?（加》3,加為正整數(shù)），則其弦是（結(jié)果用含機(jī)的式子表示）.

【變式7-2]（2022春?白云區(qū)期末）（1）34，4k,5k（k是正整數(shù)）是一組勾股數(shù)嗎？如果是，請證明：

如果不是，請說明理由；

（2）如果〃，b,c是一組勾股數(shù)，那么成，bk,ck（々是正整數(shù)）也是一組勾股數(shù)嗎？如果是，請證明；

如果不是，請說明理由.

【變式7-3]（2022?石家莊三模）已知：整式9=m+1,8=2〃：C=n2-1,整式C>0.

（I）當(dāng)〃=1999時，寫出整式4+8的值（用科學(xué)記數(shù)法表示結(jié)果）；

（2）求整式42-上

（3）嘉淇發(fā)現(xiàn)：當(dāng)〃取正整數(shù)時，整式A、氏。滿足一組勾股數(shù)，你認(rèn)為嘉淇的發(fā)現(xiàn)正確嗎？請說明

理由.

【題型8格點(diǎn)圖中求角的度數(shù)】

【例8】（2021秋?伊川縣期末）如圖，正方形A8CO是由9個邊長為1的小正方形組成的，點(diǎn)￡,戶均在

格點(diǎn)（每個小正方形的頂點(diǎn)都是格點(diǎn)）上，連接AE,AF,則NE4F的度數(shù)是.

【變式8-1］（2022?惠山區(qū)一模）如圖所示的網(wǎng)格是由相同的小正方形組成的網(wǎng)格，點(diǎn)A,B,P是網(wǎng)格線

的交點(diǎn)，則NB4B+NPBA=°.

?--------1----1—T—r—?

??????

?__?_IP_I__!__?

i—ii

【變式8-2］（2022春?武侯區(qū)校級期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,點(diǎn)4,B,

C,D,P都在格點(diǎn)上，連接AP,CP,CD,則NR18?NPCD=.

【變式8-3］（2022春?孝南區(qū)期中）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，△/WC和的頂點(diǎn)都是網(wǎng)格線交

點(diǎn),那么N8CA+NOCE=.

C

DE

【題型9勾股定理及其逆定理的運(yùn)用】

【例9】(2021秋?藍(lán)田縣校級期末)如圖，在△入8C中，AB=AC,。是CA的延長線上一點(diǎn)，連接80.

(1)若AC=8,4。=17,3。=15,判斷A8與4。的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)若NO=28°，ZDBC=\2\°,求NOA3的度數(shù).

【變式9-1](2022春?陵城區(qū)期中)如圖，在△4BC中，AD.BE分別為邊BC、AC的中線，分別交8C、

4c于點(diǎn)。、E.

(1)若CQ=4,CE=3,A8=10,求證：ZC=90°；

(2)若NC=90",AD=6,BE=8,求A3的長.

【變式9-2](2021春?當(dāng)涂縣期末)如圖，在△ABC中.。是邊的中點(diǎn)，于點(diǎn)交AC于點(diǎn)

E,S.AE2-CE2=BC2,

(1)試說明：ZC=90°；

(2)若DE=6,83=8,求CE的長.

【變式9-3](2022春?漢陽區(qū)校級月考)如圖，在四邊形/WCD中，乙48c=90°,/W=6,BC=8,CD

=10,AD=10V2.

(1)求四邊形A3CQ的面積.

(2)求對角線BD的長.

專題17.1勾股定理及其逆定理【九大題型】

【人教版】

"外媽宮巾

【題型1勾股定理的運(yùn)用】......................................................................1

【題型2直角三角形中的分類討論思想】.........................................................2

【題型3勾股定理解勾股樹問通】...............................................................2

【題型4勾股定理解動點(diǎn)問題】.................................................................4

【題型5勾股定理的驗(yàn)證】......................................................................5

【題型6直角三角形的判定】....................................................................7

【題型7勾股數(shù)問題1...........................................................................................................8

【題型8格點(diǎn)圖中求角的度數(shù)】.................................................................9

【題型9勾股定理及其逆定理的運(yùn)用】...........................................................10

手，?三

【知識點(diǎn)1勾股定理】

在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方.如果直角三角形的兩條直角

邊長分別是a,b,斜邊長為C,那么Q2+b252.

【題型1勾股定理的運(yùn)用】

【例I】（2022?和平區(qū)三模）如圖，在△/WC中，/C=90°,AD平分NC48,CD=1.5,80=2.5,則

4c的長為（）

【分析】過點(diǎn)。作。于E根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得CO=OE再利用勾股

定理列式求出BE,然后設(shè)AC=AE=x,根據(jù)勾股定理列式計(jì)算即可得解.

【解答】解：如圖，過。作。于E

c

p

AEB

,/ZC=90°,A。平分NCAB,CD=1.5,

：.DE=CD=\.5,

在RlAsOEB中，由勾股定理得：

BE=y/BD2-DE2=J2.52-l.52=2,

*：AD=AD,CD=DE,ZC=ZAED,

/.RtAACD^RtA/lED,

：.AC=AE,

設(shè)AC=AE=x,貝ij48=x+2,

由勾股定理得：AB2=AC2+CB2,

即（x+2）2=JT+42,

解得K=3,

，AC=3.

故選：c.

【變式11］（2022春?上杭縣期中）如圖在RtAuABC中,ZB=90°,18=8,AC=10,AC的垂直平分線

DE分別交AB、AC于。、E兩點(diǎn)，則8。的長為（）

【分析】先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出CO=4O,故A5=6O+4Q=4Q+CO,設(shè)CD=x,則8。=8

?x,在RtABCD中根據(jù)勾股定理求出x的值即可解答.

【解答】解：VZB=90°,A8=8,AC=10,

，BC=6,

???OE是AC的垂直平分線，

：,CD=AD,

：.AB=BD+AD=BLHCD=S,

設(shè)CZ)=x,則8Z)=8?x,

在RlZ\8C。中，CU^Be+Bb2,

即/=6?+(8-x)2,

解得x=6.25.

：.BD=S-6.25=1.75=彳

故選:13.

【變式1-2](2022春?漢陽區(qū)期中)如圖，在△A8C中A8=AC=10,8C=16,若NBAD=3NDAC,則

【分析】先作AEJ_8C于點(diǎn)￡作。尸_LAC于點(diǎn)F,然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理，可以得到

AE的值，AO平分NB4C,從而可以得到?！?。扛再根據(jù)等面積法即可求得CO的長.

【解答】解：作A及L4C于點(diǎn)入作。F_LAC于點(diǎn)R如圖所示，

VAB=AC=10,BC=16,

???CE=8,

.\AD=yjAC2-CE2=V102-82=6,

設(shè)NCAO=x,則NCAO=3x,

V4E1BC,AB=AC,

：.ZBAE=ZCAE=2x,

：.ZEAD=ZDAC,

:.DE=DF,

設(shè)CQ=a,則?！?8-〃，

CDAEACDF

???-9

22

.ax610x(8-a)

???

22

解得。=5,

即CD=5,

【變式1-3］（2021秋?朝陽區(qū)校級期末）如圖，在△46C中，NC=90°,AB=30,。是4c上一點(diǎn)，AD：

CD=25：7,且。8=D4,過A8上一點(diǎn)P,作PE_LAC于￡，PFLBD于F,則PE+P/7長是.

【分析】如圖作AHLBD交BD的延長線于H,設(shè)AD=BD=25k,CD=7k,在RtADCB中，BC=

y/BD2-CD2=24Jt,在R【ZMC4中，由人巴以外二斗的可得⑶我)2+心軟)2=302,推出g,,BC

=18,由推中AH=BC=\S,由S"BD=^?BD?AH=推出PE+PF

乙乙乙

=A”=18,

【解答】解：如圖作A〃_LB。交8。的延長線于“，設(shè)AD=8O=25A,CD=7k,

在RtZ^OCB中，BC=、BD?-CD?=24鼠

在RtZ\AC8中，,：AC2+BC2=AB2,

(32k)2+(2軟)2=3。2,

..3

??及一4，

ABC=18,

在△4￡)〃和△3OC中，

;440,=Z.BDC

4,=ZC=90%

[AD=BD

???4ADH/4BDC,

：.AH=BC=\S,

：Sw=^BD^AH=^?AD?PF+J?BD?PF,

乙乙乙

：.PE+PF=AH=\S,

故答案為18.

【題型2直角三角形中的分類討論思想】

[ft2](2022春?長沙月考)己知△A8C中，AB=\3,AC=\5,8。邊上的高為12.則△ABC的面積為

()

A.24或84B.84C.48或84D.48

【分析】在RIA48。和RtZ\4C。中分別進(jìn)行計(jì)算，求出8。和CD,再根據(jù)三角形的面積公式即可求解.

【解答】解：,??A8=13,AC=15,邊上的高4。=12,

在Rt^ABD中,

BD=>JAB2-AD2=5,

在RtAACD中，

DC=>JAC2-AD2=9,

：.BC=BD+DC=\4,BC=DC-BD=4,

???*ABC的面積=1xl4X12=84,或=/x4x12=24：

故選：A.

A

【變式2-1]（2022春?寧津縣期中）△人4c中，AB=\5,AC=13,高AO=12,則△ABC的周長是（）

A.42B.32C.42或32D.42或37

【分析】本題應(yīng)分兩種情況進(jìn)吁討論：

（1）當(dāng)aABC為銳角三角形時，在RtaABO和RtZ\AC。中，運(yùn)用勾股定理可將8。和CD的長求出，

兩者相加即為BC的長，從而可將△ABC的周長求出；

（2）當(dāng)△ABC為鈍角三角形時，在RtaABO和RtZ\4CD中，運(yùn)用勾股定理可將BQ和CZ）的長求出，

兩者相減即為BC的長，從而可將△48C的周長求出.

【解答】解：此題應(yīng)分兩種情況說明：

（1）當(dāng)△/IBC為銳角三角形時，在RtZvWO中，

BD=y/AB2-AD2=9,

在RtaACO中，

CD=>]AC2-AD2=5

???BC=5+9=14

的周長為：15+13+14=42；

（2）當(dāng)△ABC為鈍角三角形時，

在Rl△48。中，80=9,

在RtZ\ACQ中，CD=5,

ABC=9-5=4.

??.△A3C的周長為：15+13+4=32

???當(dāng)△48C為銳角三角形時，AABC的周長為42：當(dāng)AABC為鈍角三角形時，的周長為32.

綜上所述，△ABC的周長是42或32.

故選：C.

【變式2-2]（2022春?香河縣期中）己知直角三角形兩邊的長為5和12,則此三角形的周長為（）

A.30B.7119+17C.VIT^+17或30D.36

【分析】先設(shè)RtZ\ABC的第三邊長為1,由于12是直角邊還是斜邊不能確定，故應(yīng)分12是斜邊或x為

斜邊兩種情況討論.

【解答】解：設(shè)RtZXABC的第三邊長為x,

①當(dāng)12為直角三角形的直角邊時，x為斜邊，

由勾股定理得，x=V52+122=13,此時這個三角形的周長=5+12+13=30；

②當(dāng)12為直角三角形的斜邊時，x為直角邊，

由勾股定理得，x=V122-52=VH9,此時這個三角形的周長=5+12+415=，幣+17,

綜上所述，該三角形的周長為30或E+17.

故選：C.

【變式2-3］（2022春?海淀區(qū)校級期中）在n△A8C中，ZACB=90°,AC=4,A8=5.點(diǎn)P在直線AC

上，且80=6,則線段AP的長為.

【分析】當(dāng)點(diǎn)P在CA延長線上時，當(dāng)點(diǎn)尸在AC延長線上時，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：在RtZSAOC中，ZACZ?=90°,AC=4,AD=5,

：.BC=y/AB2-AC2=3,

當(dāng)點(diǎn)P在C4延長線上時，，：BP=6,BC=6,

???CP=y/BP2-BC2=V62-32=3后

：.AP=CP-AC=3V3-4；

當(dāng)點(diǎn)P在4c延長線上時，?:BP'=6,BC=3,

:,CP'=3V3,

：,AC+CPf=4+3V5,

綜上所述，線段”的長為3遮一4或3迎+4；

故答案為：30―4或3迎+4.

【題型3勾股定理解勾股樹問題】

【例3】（2021秋?南關(guān)區(qū)期末）如圖，所有陰影部分四邊形都是正方形,所有三角形都是直角三角形，若

正方形A、心。的面積依次為6、10、24,則正方形。的面積為（）

A.4B.6C.8D.12

[分析]根據(jù)勾股定理的幾何意義：S正方形A+S正方形B=S正方形&S正方形D-S正方形c=S正方形E解得即M.

【解答】解：由題意：S正方形A+S正方形3=S正方形E'S正方形。-S正方形C=S正方形E，

???正方形A、B、。的面積依次為6、10、24,

**?24-S正方形。=6+10,

；?S正方形c=8.

故選：C.

【變式3-1]（2021秋?高新區(qū)校級期末）如圖，在四邊形/WCD中，ZDAB=ZBCD=90°,分別以四邊

形的四條邊為邊向外作四個正方形，若SI+S4=135,S3=49,則S2=（）

A.184B.86C.119D.81

【分析】利用勾股定理的幾何意義解答.

【解答】解：由題意可知：S\=AB2,S2=B&S3=CD2,54=4方，

連接B。，在直角△ABO和△BC。中，

BD2=AD2+AB2=CDr+BC2，

即S|+S4=S3+S2，

因此52=135-49=86,

故選：B.

【變式3-2]（2022春?泗水縣期中）有一個邊長為1的正方形，經(jīng)過一次“生長”后，在它的左右肩上生

出兩個小正方形，其中，三個正方形圍成的三角形是直角三角形，再經(jīng)過一次“生長”后，變成了如圖，

如果繼續(xù)“生長”下去，他將變得“枝繁葉茂”，請你計(jì)算出“生長”了2022次后形成的圖形中所有正

方形的面積之和為（）

A.2020B.2021C.2022D.2023

【分析】根據(jù)勾股定理求出“生長”了I次后形成的圖形中所有的正方形的面積和，結(jié)合圖形總結(jié)規(guī)律,

根據(jù)規(guī)律解答即可.

【解答】解：由題意得，正方形A的面積為1,

由勾股定理得，正方形B的面枳+正方形C的面枳=1,

，“生長”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面枳和為2，

同理可得，“生長”了2次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為3,

???“生長”了3次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為4,

???“生長”了2022次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2023.

【變式3-3］（2022春?張灣區(qū)期中）如圖①，在△48C中，4c8=90°,AC：BC=4：3,這個直角三角

形三邊上分別有一個正方形.執(zhí)行下面的操作：由兩個小正方形向外分別作直角邊之比為4：3的直角三

角形，再分別以所得到的直角三角形的直角邊為邊長作正方形.圖②是I次操作后的圖形，圖③是2次

操作后的圖形.如果圖①中的直角三角形的周長為12,那么1（）次操作后的圖形中所有正方形的面積和

為（）

c

圖①圖②圖③

A.225B.250C.275D.300

【分析】根據(jù)勾股定理、三角形的周長公式分別求出AC=4,BC=3,AB=5,根據(jù)勾股定理計(jì)算得出規(guī)

律，根據(jù)規(guī)律解答即可.

【解答】解：設(shè)4c=4%，則BC=3x,

由勾股定理得：AB=>JAC2+BC2=5x,

???△ABC的周長為12,

3x+4x+5x=12,

解得：尸1，

?"C=4,8C=3,AB=5,

第1次操作后的圖形中所有正方形的面積和為：32+42+32+424-52=25+50,

第2次操作后的圖形中所有正方形的面積和為：32+42+32+42-P32+42+52=25X2+50,

第3次操作后的圖形中所有正方形的面積和為：32+42+32+424-32+42+32+42+52=25X3+50,

第10次操作后的圖形中所有正方形的面積和為：25X10+50=300,

故選：D.

【題型4勾股定理解動點(diǎn)問題】

[例4]（2021秋?開福區(qū)校級期末）如圖，RtAACB中，ZACB=9（）°,AB=25cm,AC=7cmf動點(diǎn)P

從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以2cMs的速度運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為is，當(dāng)△AP4為等腰三角形時，/的值為（）

B

625,、2525_一、

A.或一B.一或24或！2

9622

625625八25

C.—或24或12D.-----或——或24

96962

【分析】當(dāng)AABP為等腰三角形時，分三種情況：①當(dāng)AB=B0時；②當(dāng)AB=AP時；③當(dāng)3P=A尸時,

分別求出8P的長度，繼而可求得，值.

【解答】解：VZC=90°,AB=25cm,AC=7cm,

BC=24cm.

①當(dāng)HP=RA=25時,

25

/=’

②當(dāng)AB=AP時，BP=2BC=48cm,

A/=24.

③當(dāng)PB=以時，PB=PA=2tcrn,CP=(24?2，)cm,AC=lcm,

在RtZ\4CP中，AP2=AC2+CP2,

(2/)2=72+(24-2/)2,

解得t=等.

”625

綜上，當(dāng)△4BP為等腰三角形時，U竽或24或被，

故選：D.

【變式4-1](2021秋?宛城區(qū)期末)如圖，在中，NAC8=90",BC=4()cnbAC=30cm,動點(diǎn)

P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BA以2cnt/s的速度運(yùn)動.則當(dāng)運(yùn)動時間/=$時，ABPC為直角三角形.

【分析】首先根據(jù)勾股定理求出斜邊的長度，利用三角形的面積求出斜邊上的高CQ,再分兩種情況

進(jìn)行討論：①當(dāng)N8CP為直角時，②當(dāng)NBPC為直角時，分別求出此時的“宜即可.

【解答】解：在中，NAC4=90°,BC=4()cm,AC=30cm,

：.AB=y/BC2+AC2=V402+302=50(cm).

如圖，作A8邊上的高CD

?IS".^AB^CD=yC?8C,

ACBC30x40

:,CD=AB~50~=24(cm).

①當(dāng)/8CP為直角時，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，BP=BA=50cm,

AZ=504-2=25(秒).

②當(dāng)N3PC為直角時，。與。重合，BP=2tcm,CP=24cm,BC=40cm,

在RtABCP中，：B盧+CA=BC2,

：.⑵)2+242=402,

解得t=16.

綜上，當(dāng)1=25或16秒時，△BPC為直角三角形.

【變式4-2]（2022春?蚌山區(qū)校級期中）如圖，在△4BC中，/ACB=90°,AB=\0,4c=8,點(diǎn)P從點(diǎn)

A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿折線4-B-C運(yùn)動.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為f秒（/＞（））.

（1）BC的長是.

（2）當(dāng)點(diǎn)P剛好在NZMC的角平分線上時，，的值為.

C

【分析】（1）由勾股定理可直接求解；

（2）過點(diǎn)P作PQJ_AB,結(jié)合題意，由角平分線的性質(zhì)可推得BP,PD,8。的長，再根據(jù)勾股定理即

可求解.

22

【解答】解：（1）在8c中，ZACT=90°,A8=IO,AC=8,BC=\lAB-AC=6f

故答案為：6；

（2）當(dāng)點(diǎn)。在NB4C的角平分線上時，過點(diǎn)。作如圖.

???A尸平分NBAC,BC±AC,尸。_L4B,點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿折線A-8-C

運(yùn)動.

：.PD=PC=16-2hBP=2t-10,

：.AD=AC=S,

BD=2.

在RtABD尸中,由勾股定理得22+（16-2r）2=（2r-10）2,

解得t=冬

20

故答案為：y.

【變式4-3]（2022春?河?xùn)|區(qū)期中）如圖，已知△ABC中，N3=90°,AB=\6cm,BC=\2cm,尸、。是

△人邊上的兩個動點(diǎn)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿A-8方向運(yùn)動，且速度為每秒lc〃?，點(diǎn)。從點(diǎn)B開始

沿BfC—A方向運(yùn)動，且速度為每秒2c加，它們同時出發(fā)，同時停止.

（1）。、Q出發(fā)4秒后，求。。的長；

（2）當(dāng)點(diǎn)。在邊。上運(yùn)動時，出發(fā)幾秒鐘后，△CQA能形成直角三角形？

備用圖

【分析】（I）根據(jù)題意可以先求出BQ和BP的長，然后根據(jù)勾股定理即可求得PQ的長;

（2）根據(jù)題意可知存在兩種情況，然后分別計(jì)算出相應(yīng)的時間即可.

【解答】解：（1）由題意可得,

BQ=2X4=8(cm),BP=AB-AP=\6-1X4=12Can),

VZB=90°,

/.PQ-y/BP2+BQ2-V122+82-4<13(cm),

即PQ的長為4x/13c/7h

（2）當(dāng)3Q_LAC時，N3QC=90°,

VZfi=90°,AB=\6cm,BC=\2cm,

：.AC=y/AB2+BC2=V162+122=20Cem）,

ABBCACBQ

?t=9

22

16X122OBQ

/.--------=--------，

22

解得BQ=普c〃?，

:.CQ=yjBC2-BQ2=J122-（等7=若（cm）,

???當(dāng)△CQB是直角三角形時，經(jīng)過的時間為：（12+善）:2=9.6（秒）；

當(dāng)NCBQ=90°時，點(diǎn)。運(yùn)動到點(diǎn)A,此時運(yùn)動的時間為：（12+20）4-2=16（秒）；

由上可得，當(dāng)點(diǎn)。在邊CA上運(yùn)動時，出發(fā)9.6秒或16秒后，ACQB能形成直角三角形.

【題型5勾股定理的驗(yàn)證】

【例5】勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，其中的“面積法”給了小聰以靈感，他驚

喜的發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩個全等的直角三角形如圖1或圖2擺放時，都可以用“面積法”來證明，下面是小聰利

用圖1證明勾股定理的過程：

將兩個全等的直角三角形按圖1所示擺放，其中ND4B=90°,求證：a2^h2=c2

證明：連接。B,過點(diǎn)。作8c邊上的高。F,則。尸=￡。=小?。

**S四邊影/t/JC8=S△4CO+S△人BC=2'r+2（jb.

I??1?1

又,**5四邊形AOC8=S“O8+SaOCB=2a（b-a）

.1,）,1,12?1,、

??-/?~+2a^=2C+2a（0-〃）

.\a1+b2=c1

請參照上述證法，利用圖2完成下面的證明.

將兩個全等的直角三角形按圖2所示擺放，其中ND4B=90°.求證：。2+廬=。2.

D

【分析】首先連接BD,過點(diǎn)8作。E邊上的高BF,則8尸=方-m表示出S五邊形AC8。，兩者相等，整

理即可得證.

【解答】證明：連接5。，過點(diǎn)5作。E邊上的高8R則3尸=〃-〃，

*.*S五邊形AC8H)=S4AC7#+Sa48￡+S“o后^ab+1/?2+加),

[1)1

,又■：S五辿形ACBED=S/\ACB+S八人用)+S/\BDE=yClb-{-(〃-a)>

1

/.-ab+

2

/?a2+b2=c2.

【變式5-1]（2022春?巢湖市校級期中）學(xué)習(xí)勾股定理之后，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)證明勾股定理有很多方法.某同

學(xué)提出了一種證明勾股定理的方法：如圖1點(diǎn)8是正方形4COE邊CO上一點(diǎn)，連接A&得到直角三角

形AC8,三邊分別為小b,c,將△人C8裁剪拼接至△兒《尸位置，如圖2所示，該同學(xué)用圖I、圖2的

面積不變證明了勾股定理.請你寫出該方法證明勾股定理的過程.

【分析】連接8a由圖I可得正方形AC'。石的面枳為序,由圖2可得四邊形一的面積為二角形A8"

與三角形以》面積之和，再利用正方形4CO石的面積與四邊形相/站的面積相等即可證明.

【解答】證明：如圖，連接8K

?：AC=b,

???正方形ACDE的面積為從，

?:CD=DE=AC=b,BC=a,EF=BC=a,

：.BD=CD-BC=h-a,DF=DE+EF=a+b,

VZCAE=90°,

JNB4C+N8AE=90°,

'：ZBAC=ZEAF,

???NE4F+NB4E=90°,

???△BAE為等腰直角三角形，

四邊形AB/力7的面積為：-c2+1(b-a)(a+b)=lc2+^(b2-a2),

22LZ

???正方形ACDE的面積與四邊形ABDF的面積相等，

二'，孤2=#，

，a1+b2=c1.

【變式5-2](2021秋?朝陽區(qū)期末)【閱讀理解】我國古人運(yùn)用各種方法證明勾股定理，如圖①，用四個

直角三角形拼成正