2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題速遞之尺規(guī)作圖（2025年4月）

第36頁（共36頁）2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題速遞之尺規(guī)作圖（2025年4月）一．選擇題（共10小題）1．（2025?福田區(qū)模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，以A為圓心，AB長為半徑畫弧交AD于點(diǎn)F，分別以點(diǎn)B，F(xiàn)為圓心，大于12BF的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)G，連接AG并延長交BC于點(diǎn)E，連接BF交AE于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H．若BF＝6，AB＝4，則A．15 B．152 C．372 2．（2025?石家莊一模）如圖，在△ABC中，按下列步驟利用尺規(guī)作圖：①以C為圓心，適當(dāng)長度為半徑畫弧，分別與AC，BC交于H，G；③分別以H，G為圓心，大于12HG的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)K，作射線CE③分別以B，C為圓心，大于12BC的長為半徑作弧，兩弧分別交于M，N④作直線MN，分別交BC、CK于點(diǎn)D，E；⑤連接BE，AE，AD．則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．BE＝CE B．∠BED＝∠CED C．AE＝BE D．∠EBC＝∠ACE3．（2025春?硚口區(qū)月考）如圖，在△ABC中，分別以點(diǎn)A和B為圓心，大于12AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，直線EF交AC于點(diǎn)D，連接BD，若∠CDB＝40°，則∠A．26° B．24° C．22° D．20°4．（2025?碧江區(qū)一模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，以點(diǎn)A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交AB、AC于點(diǎn)M和點(diǎn)N，再分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于12MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，連接AP并延長交BC于點(diǎn)D，若CD＝3，AC＝4，則點(diǎn)D到直線A．5 B．4 C．3 D．25．（2025?朝陽區(qū)校級一模）如圖，在△ABC中，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，下列說法一定正確的是（）A．BE⊥AC B．DF=12C．∠BAF=12∠ABC D．6．（2025?萊蕪區(qū)開學(xué)）如圖，在?ABCD中，AB＝2，AD＝3，∠ABC＝60°，在AB和AD上分別截取AE（AE＜AB），AF，使AE＝AF，分別以E，F(xiàn)為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在∠DAB內(nèi)交于點(diǎn)G，作射線AG交BC于點(diǎn)H，連接DH，分別以D，H為圓心，以大于12DH的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M和N，作直線MN交CD于點(diǎn)K，則A．34 B．23 C．35 7．（2025?湖南模擬）利用下列尺規(guī)作圖中，不一定能判定直線a平行于直線b的是（）A． B． C． D．8．（2025春?東西湖區(qū)月考）如圖，以△ABC的頂點(diǎn)B為圓心，BC長為半徑畫弧，交AC于點(diǎn)D，再分別以C，D為圓心，大于12CD的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)E，作射線BE交AC于點(diǎn)F．若AB＝AC，∠ABF＝3∠FBC，則∠A．30° B．36° C．40° D．45°9．（2025?安徽模擬）如圖，在矩形ABCD中，某同學(xué)利用直尺和圓規(guī)完成了如下操作：①分別以點(diǎn)B和D為圓心，BD的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)E和F；②連接EF分別交AD于點(diǎn)G，交BD于點(diǎn)H；③連接AE．若B，A，E三點(diǎn)在一條直線上，則下列說法不正確的是（）A．直線EF垂直平分線段BD B．∠AEG＝30° C．DG＝2AG D．AB＝2HG10．（2025?東方一模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，分別以A，B為圓心，以大于12AB的長度為半徑畫弧，兩弧分別交于E、F兩點(diǎn)，直線EF交BC于點(diǎn)D，連接AD．則∠A．70° B．35° C．30° D．20°二．填空題（共5小題）11．（2025?花溪區(qū)模擬）如圖，以線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A，B為圓心，大于12AB的長為半徑作弧，兩弧分別相交于點(diǎn)M，N，作直線MN．在直線MN上取點(diǎn)C，連接AC，BC．若BC＝2，則AC的長為12．（2025春?新鄭市月考）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，分別以點(diǎn)A，點(diǎn)B為圓心，大于12AB長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)E，F(xiàn)，過點(diǎn)E，F(xiàn)作直線交AC于點(diǎn)D，連接BD，若△BCD的周長為10，則AB的長為，△ABC的面積為13．（2025?市南區(qū)校級模擬）作圖題：請用圓規(guī)和直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．已知：△ABC及BC邊上一點(diǎn)D．求作：⊙O，使⊙O與邊BC相切，點(diǎn)D為切點(diǎn)，且圓心O到∠BAC兩邊的距離相等．14．（2025?鐵東區(qū)模擬）如圖，在△ABC中，BC＝5，AC＝12，∠C＝90°，以點(diǎn)B為圓心，BC長為半徑畫弧，與AB交于點(diǎn)D，再分別以A、D為圓心，大于12AD的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)M、N，作直線MN，分別交AC，AB于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接DE，則△AED的周長為15．（2025?濱海新區(qū)校級模擬）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B在格點(diǎn)上，點(diǎn)C是小正方形的中心，⊙C與直線l相切于點(diǎn)T．以點(diǎn)G為圓心的圓經(jīng)過點(diǎn)A，B，并且與直線l相切．（Ⅰ）直線CG與AB的位置關(guān)系為（填“平行”“相交但不垂直”“垂直”）；（Ⅱ）請用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點(diǎn)G，并簡要說明點(diǎn)G的位置是如何找到的（不要求證明）．三．解答題（共5小題）16．（2025?南關(guān)區(qū)模擬）圖①、圖②、圖③均是4×4的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，小正方形的邊長均為1，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．只用無刻度的直尺按下列要求在給定的網(wǎng)格中畫圖，所畫的圖形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，不要求寫出畫法，保留作圖痕跡．（1）在圖①中在邊AB上找到格點(diǎn)D，連結(jié)CD，使CD＝CA．（2）在圖②中的△ABC的內(nèi)部找到一個(gè)格點(diǎn)E，連結(jié)BE、CE，使∠BEC與圖①是的∠BDC相等．（3）在圖③中的△ABC的外部找到一個(gè)格點(diǎn)F，連結(jié)BF、CF，使∠BFC與圖①是的∠BDC相等．17．（2025?浙江模擬）如圖，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，線段BC的長為4+43（1）作出△ABC的高線AD．（要求：尺規(guī)作圖，不寫作圖步驟，保留作圖痕跡）（2）求ABAC18．（2025?金華模擬）尺規(guī)作圖問題：如圖1，已知∠ABC，用尺規(guī)作圖方法作以BA，BC為鄰邊的平行四邊形ABCD．（1）如圖2，根據(jù)作圖痕跡，判定四邊形ABCD為平行四邊形的依據(jù)是什么？（2）在圖1中，請你再作一個(gè)平行四邊形ABCD（方法與上題不一樣，保留作圖痕跡，不需要證明）．19．（2025春?迎澤區(qū)校級月考）操作題：（1）如圖，要把水渠中的水引到C點(diǎn)，在渠岸AB的什么地方開溝，才能使溝最短？畫出圖形，并說明理由．（2）只用直尺畫出方格紙上已知直線的垂線．20．（2025春?鼓樓區(qū)校級月考）如圖，CD是⊙O的直徑，AB是⊙O的弦，CD和AB相交于點(diǎn)G，點(diǎn)G是弦AB的中點(diǎn)．（1）若點(diǎn)F在⊙O上，連接FA，F(xiàn)D，F(xiàn)B．求證：∠AFD＝∠BFD．（2）在弦AB上方的優(yōu)弧作一點(diǎn)P，使PA＝3PB．（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題速遞之尺規(guī)作圖（2025年4月）參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案CCDCCCCBDD一．選擇題（共10小題）1．（2025?福田區(qū)模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，以A為圓心，AB長為半徑畫弧交AD于點(diǎn)F，分別以點(diǎn)B，F(xiàn)為圓心，大于12BF的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)G，連接AG并延長交BC于點(diǎn)E，連接BF交AE于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H．若BF＝6，AB＝4，則A．15 B．152 C．372 【考點(diǎn)】作圖—基本作圖；線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理；平行四邊形的性質(zhì)．【專題】多邊形與平行四邊形；矩形菱形正方形；運(yùn)算能力．【答案】C【分析】證明四邊形ABEF是菱形，利用面積法求解即可．【解答】解：由尺規(guī)作圖的過程可知，直線AE是線段BF的垂直平分線，∠FAE＝∠BAE，∴AF＝AB，EF＝EB，∵AD∥BC，∴∠FAE＝∠AEB，∴∠AEB＝∠BAE，∴BA＝BE，∴BA＝BE＝AF＝FE，∴四邊形ABEF是菱形，∴BO⊥AO，OB＝OF=12BF＝3，AB＝4，BE＝AB＝∴AO=A∴AE＝2AO＝27∵S△ABE=12BE?AH=12∴AH=AE故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了作圖﹣基本作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用以上知識．2．（2025?石家莊一模）如圖，在△ABC中，按下列步驟利用尺規(guī)作圖：①以C為圓心，適當(dāng)長度為半徑畫弧，分別與AC，BC交于H，G；③分別以H，G為圓心，大于12HG的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)K，作射線CE③分別以B，C為圓心，大于12BC的長為半徑作弧，兩弧分別交于M，N④作直線MN，分別交BC、CK于點(diǎn)D，E；⑤連接BE，AE，AD．則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．BE＝CE B．∠BED＝∠CED C．AE＝BE D．∠EBC＝∠ACE【考點(diǎn)】作圖—基本作圖；角平分線的定義；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)．【專題】作圖題；等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】C【分析】由作圖可知，MN是BC的垂直平分線，據(jù)此可判斷A，B正確；由作圖可知，CE是∠ACB的平分線，得出∠BCE＝∠ACE，結(jié)合BE＝CE，可判斷D；無法判斷C的正誤．【解答】解：由作圖可知，MN是BC的垂直平分線，CE是∠ACB的平分線，∴BE＝CE，MN⊥BC，故A正確；∴∠BED＝∠CED，故B正確；由作圖可知，CE是∠ACB的平分線，∴∠BCE＝∠ACE，由條件可知∠EBC＝∠BCE，∴∠EBC＝∠ACE，故D正確；無法證明AE＝BE，故C錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了尺規(guī)作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識，掌握尺規(guī)作圖是解答本題的關(guān)鍵．3．（2025春?硚口區(qū)月考）如圖，在△ABC中，分別以點(diǎn)A和B為圓心，大于12AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，直線EF交AC于點(diǎn)D，連接BD，若∠CDB＝40°，則∠A．26° B．24° C．22° D．20°【考點(diǎn)】作圖—基本作圖；三角形的外角性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)．【專題】作圖題；運(yùn)算能力．【答案】D【分析】利用線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)求解即可．【解答】解：由作圖可知EF垂直平分線段AB，∴DA＝DB，∴∠A＝∠DBA，∵∠CDB＝∠A+∠DBA＝40°，∴∠A＝∠ABD＝20°．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查作圖﹣基本作圖，三角形的外角的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識解決問題．4．（2025?碧江區(qū)一模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，以點(diǎn)A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交AB、AC于點(diǎn)M和點(diǎn)N，再分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于12MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，連接AP并延長交BC于點(diǎn)D，若CD＝3，AC＝4，則點(diǎn)D到直線A．5 B．4 C．3 D．2【考點(diǎn)】作圖—基本作圖；角平分線的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)．【答案】C【分析】根據(jù)作圖方法可得AD平分∠BAC，則由角平分線的性質(zhì)可得點(diǎn)D到直線AB的距離即為CD的長，據(jù)此可得答案．【解答】解：如圖所示，過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，由條件可知AD平分∠BAC，∴DE＝CD＝3，∴點(diǎn)D到直線AB的距離是3，故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)及其尺規(guī)作圖，熟練掌握原式知識點(diǎn)是關(guān)鍵．5．（2025?朝陽區(qū)校級一模）如圖，在△ABC中，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，下列說法一定正確的是（）A．BE⊥AC B．DF=12C．∠BAF=12∠ABC D．【考點(diǎn)】作圖—基本作圖．【專題】作圖題；幾何直觀；推理能力．【答案】C【分析】由作圖可知BE平分∠ABC，DF垂直平分線段AB，再根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)判斷即可．【解答】解：由作圖可知BE平分∠ABC，DF垂直平分線段AB，∴∠ABE＝∠EBC，F(xiàn)B＝FA，∴∠BAF＝∠ABE，∴∠BAF=12∠故選項(xiàng)C正確，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查作圖﹣基本作圖，線段的垂直平分線，角平分線等知識，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．6．（2025?萊蕪區(qū)開學(xué)）如圖，在?ABCD中，AB＝2，AD＝3，∠ABC＝60°，在AB和AD上分別截取AE（AE＜AB），AF，使AE＝AF，分別以E，F(xiàn)為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在∠DAB內(nèi)交于點(diǎn)G，作射線AG交BC于點(diǎn)H，連接DH，分別以D，H為圓心，以大于12DH的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M和N，作直線MN交CD于點(diǎn)K，則A．34 B．23 C．35 【考點(diǎn)】作圖—基本作圖；解直角三角形；線段垂直平分線的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；平行四邊形的性質(zhì)．【專題】作圖題；幾何直觀；運(yùn)算能力．【答案】C【分析】如圖，連接HK，過點(diǎn)K作KJ⊥BC交BC的延長線于點(diǎn)J，設(shè)CK＝x．在Rt△KJH中，利用勾股定理構(gòu)建方程求解．【解答】解：如圖，連接HK，過點(diǎn)K作KJ⊥BC交BC的延長線于點(diǎn)J，設(shè)CK＝x．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，AD∥BC，CD∥AB，∴∠BAD＝180°﹣∠B＝120°，由作圖可知AH平分∠BAD，∴∠BAH＝∠DAH＝60°，∴△ABH是等邊三角形，∴AB＝BH＝2，CH＝BC﹣BH＝1，∵M(jìn)N垂直平分線段DH，∴DK＝KH＝2﹣x，∵CD∥AB，∴∠KCH＝∠B＝60°，∴CJ＝CK?cos60°=12x，KJ=∵KH2＝KJ2+HJ2，∴（2﹣x）2＝（1+12x）2+（32x解得x=3∴CK=3故選：C．【點(diǎn)評】本題考查作圖﹣基本作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題7．（2025?湖南模擬）利用下列尺規(guī)作圖中，不一定能判定直線a平行于直線b的是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】作圖—基本作圖；平行線的判定．【專題】線段、角、相交線與平行線；尺規(guī)作圖；幾何直觀．【答案】C【分析】根據(jù)作圖痕跡，結(jié)合平行線的判定方法逐項(xiàng)分析即可．【解答】解：A．根據(jù)同位角相等，兩直線平行，可判定直線a平行于直線b，故該選項(xiàng)正確，不符合題意；B．根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，可判定直線a平行于直線b，故該選項(xiàng)正確，不符合題意；C．根據(jù)同旁內(nèi)角相等，不能判定直線a平行于直線b，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；D．根據(jù)對頂角相等和同位角相等，兩直線平行，可判定直線a平行于直線b，故該選項(xiàng)正確，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了作圖﹣基本作圖，平行線的判定，熟練掌握平行線的判定方法是解答本題的關(guān)鍵．8．（2025春?東西湖區(qū)月考）如圖，以△ABC的頂點(diǎn)B為圓心，BC長為半徑畫弧，交AC于點(diǎn)D，再分別以C，D為圓心，大于12CD的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)E，作射線BE交AC于點(diǎn)F．若AB＝AC，∠ABF＝3∠FBC，則∠A．30° B．36° C．40° D．45°【考點(diǎn)】作圖—復(fù)雜作圖；三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的性質(zhì)．【專題】作圖題；幾何直觀；運(yùn)算能力．【答案】B【分析】設(shè)∠FBC＝x，則∠ABF＝3x，∠ABC＝∠C＝4x，利用三角形內(nèi)角和定理構(gòu)建方程求解．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，設(shè)∠FBC＝x，則∠ABF＝3x，∠ABC＝∠C＝4x，由作圖可知BF⊥AC，∴∠A＝90°﹣3x，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴90°﹣3x+4x+4x＝180°，∴x＝18°，∴∠A＝90°﹣54°＝36°．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．9．（2025?安徽模擬）如圖，在矩形ABCD中，某同學(xué)利用直尺和圓規(guī)完成了如下操作：①分別以點(diǎn)B和D為圓心，BD的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)E和F；②連接EF分別交AD于點(diǎn)G，交BD于點(diǎn)H；③連接AE．若B，A，E三點(diǎn)在一條直線上，則下列說法不正確的是（）A．直線EF垂直平分線段BD B．∠AEG＝30° C．DG＝2AG D．AB＝2HG【考點(diǎn)】作圖—復(fù)雜作圖；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形．【專題】作圖題；等腰三角形與直角三角形；應(yīng)用意識．【答案】D【分析】A、根據(jù)題干①作圖過程即可得出直線EF是線段BD的垂直平分線；B、根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)即可判定；C、證明△EAG≌△DHG即可判定；D、根據(jù)斜邊大于直角邊即可判定．【解答】解：由尺規(guī)作圖知，選項(xiàng)A正確，不符合題意；如圖，連接DE．由尺規(guī)作圖知：BE＝BD＝DE，∴△BDE為等邊三角形，∵EH⊥BD，∴∠AEG＝30°，選項(xiàng)B正確，不符合題意；同理可得∠ADB＝30°，∵EH⊥BD，∴DG＝2GH，∵BD＝BE，AD⊥BE，EH⊥BD，∴DH＝EA＝AB=12又∵∠AEG＝∠HDG＝30°，∠AGE＝∠HGD，∴△EAG≌△DHG（AAS），∴AG＝HG，即DG＝2AG，選項(xiàng)C正確，不符合題意；∵AB＝AE＝DH≠DG，∴AB≠2HG，選項(xiàng)D錯(cuò)誤，符合題意．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查了理解尺規(guī)作圖，矩形性質(zhì)，線段垂直平分線，等邊三角形的性質(zhì)和判定等，熟練掌握線段垂直平分線的尺規(guī)作圖方法與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2025?東方一模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，分別以A，B為圓心，以大于12AB的長度為半徑畫弧，兩弧分別交于E、F兩點(diǎn)，直線EF交BC于點(diǎn)D，連接AD．則∠A．70° B．35° C．30° D．20°【考點(diǎn)】作圖—基本作圖；線段垂直平分線的性質(zhì)．【專題】作圖題；幾何直觀；運(yùn)算能力．【答案】D【分析】分別求出∠DAB，∠CAB可得結(jié)論．【解答】解：由作圖可知DE垂直平分線段AB，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠B＝35°，∵∠C＝90°，∴∠CAB＝90°﹣35°＝55°，∴∠CAD＝∠CAB﹣∠DAB＝55°﹣35°＝20°．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查作圖﹣基本作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．二．填空題（共5小題）11．（2025?花溪區(qū)模擬）如圖，以線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A，B為圓心，大于12AB的長為半徑作弧，兩弧分別相交于點(diǎn)M，N，作直線MN．在直線MN上取點(diǎn)C，連接AC，BC．若BC＝2，則AC的長為2【考點(diǎn)】作圖—基本作圖；線段垂直平分線的性質(zhì)．【專題】作圖題；幾何直觀．【答案】2．【分析】利用線段垂直平分線的性質(zhì)求解．【解答】解：由作圖可知MN垂直平分線段AB，∴AC＝CB＝2．故答案為：2．【點(diǎn)評】本題考查作圖﹣基本作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線的性質(zhì)．12．（2025春?新鄭市月考）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，分別以點(diǎn)A，點(diǎn)B為圓心，大于12AB長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)E，F(xiàn)，過點(diǎn)E，F(xiàn)作直線交AC于點(diǎn)D，連接BD，若△BCD的周長為10，則AB的長為6，△ABC的面積為82【考點(diǎn)】作圖—基本作圖；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理．【專題】作圖題；幾何直觀．【答案】6，82．【分析】過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H．利用線段的垂直平分線的性質(zhì)證明△BDC的周長＝AC+BC，求出AC＝AB＝6，再利用勾股定理求出AH即可．【解答】解：過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H．由作圖可知DE垂直平分線段AB，∴DA＝DB，∴△BDC的周長＝DB+DC+BC＝DA+DC+BC＝AC+BC＝10，∵BC＝4，∴AB＝AC＝10﹣4＝6，∵AH⊥BC，∴BH＝CH＝2，∴AH=AB2∴△ABC的面積=12?BC?AH=1故答案為：6，82．【點(diǎn)評】本題考查作圖﹣基本作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識解決問題．13．（2025?市南區(qū)校級模擬）作圖題：請用圓規(guī)和直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．已知：△ABC及BC邊上一點(diǎn)D．求作：⊙O，使⊙O與邊BC相切，點(diǎn)D為切點(diǎn)，且圓心O到∠BAC兩邊的距離相等．【考點(diǎn)】作圖—復(fù)雜作圖；角平分線的性質(zhì)；切線的判定與性質(zhì)．【專題】作圖題；幾何直觀．【答案】見解析．【分析】作∠BAC的角平分線AP，作DT⊥BC，DT交AP于點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，OD為半徑作⊙O即可．【解答】解：如圖，⊙O即為所求．【點(diǎn)評】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，角平分線的性質(zhì)，切線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確作出圖形．14．（2025?鐵東區(qū)模擬）如圖，在△ABC中，BC＝5，AC＝12，∠C＝90°，以點(diǎn)B為圓心，BC長為半徑畫弧，與AB交于點(diǎn)D，再分別以A、D為圓心，大于12AD的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)M、N，作直線MN，分別交AC，AB于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接DE，則△AED的周長為283【考點(diǎn)】作圖—基本作圖；相似三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理．【專題】作圖題；幾何直觀；運(yùn)算能力．【答案】283【分析】利用勾股定理求出AB，再利用相似三角形的性質(zhì)求出AE可得結(jié)論．【解答】解：在△ABC中，BC＝5，AC＝12，∠C＝90°，∴AB=AC∵BC＝BD＝5，∴AD＝AB﹣BD＝13﹣5＝8，∵EF垂直平分線段AD，∴AF＝DF＝4，AE＝ED，∵∠A＝∠A，∠AFE∠ACB＝90°，∴△AFE∽△ACB，∴AEAB∴AE13∴AE＝DE=13∴△AED的周長＝2×133+故答案為：283【點(diǎn)評】本題考查作圖﹣基本作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．15．（2025?濱海新區(qū)校級模擬）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B在格點(diǎn)上，點(diǎn)C是小正方形的中心，⊙C與直線l相切于點(diǎn)T．以點(diǎn)G為圓心的圓經(jīng)過點(diǎn)A，B，并且與直線l相切．（Ⅰ）直線CG與AB的位置關(guān)系為垂直（填“平行”“相交但不垂直”“垂直”）；（Ⅱ）請用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點(diǎn)G，并簡要說明點(diǎn)G的位置是如何找到的（不要求證明）．【考點(diǎn)】作圖—復(fù)雜作圖；切線的性質(zhì)．【專題】尺規(guī)作圖；推理能力．【答案】（1）垂直．（2）作圖見解答．【分析】（1）先根據(jù)圖形計(jì)算求出AC＝BC，得到點(diǎn)C在線段AB的垂直平分線上，而根據(jù)三角形外心的性質(zhì)可知過A、B兩點(diǎn)的圓其圓心也在線段AB的垂直平分線上，從而得出直線CG就是線段AB的垂直平分線．（2）假設(shè)⊙G與直線l相切于點(diǎn)H，易得GH∥CT，連接DC交直線l于點(diǎn)E，然后連接AE交⊙C于點(diǎn)F，過點(diǎn)A作AG∥CF交CD于點(diǎn)G．通過平行線分線段成比例可得CECG=CTGH=CFAG，結(jié)合CT＝CF進(jìn)而得出AG＝【解答】解：（1）∵AC＝BC=1∴點(diǎn)C在線段AB的垂直平分線上．又∵過A、B兩點(diǎn)的⊙G其圓心G也在線段AB的垂直平分線上，∴C、G兩點(diǎn)都在線段AB的垂直平分線上，∴CG⊥AB．故答案為：垂直．（2）如圖，取AB與網(wǎng)格線的交點(diǎn)D，連接DC并延長，與直線l相交于點(diǎn)E；連接AE與⊙C交于點(diǎn)F；連接CF并延長，與網(wǎng)格線交點(diǎn)為P，Q；連接AQ與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)R；連接PR并延長，與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)S；連接AS并延長，與CD相交于點(diǎn)G，則點(diǎn)G即為所求．【點(diǎn)評】本題考查了尺規(guī)作圖，切線的性質(zhì)，三角形外接圓的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，平行線分線段成比例等知識點(diǎn)，熟練應(yīng)用切線的性質(zhì)構(gòu)造平行線是解答本題的關(guān)鍵．三．解答題（共5小題）16．（2025?南關(guān)區(qū)模擬）圖①、圖②、圖③均是4×4的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，小正方形的邊長均為1，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．只用無刻度的直尺按下列要求在給定的網(wǎng)格中畫圖，所畫的圖形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，不要求寫出畫法，保留作圖痕跡．（1）在圖①中在邊AB上找到格點(diǎn)D，連結(jié)CD，使CD＝CA．（2）在圖②中的△ABC的內(nèi)部找到一個(gè)格點(diǎn)E，連結(jié)BE、CE，使∠BEC與圖①是的∠BDC相等．（3）在圖③中的△ABC的外部找到一個(gè)格點(diǎn)F，連結(jié)BF、CF，使∠BFC與圖①是的∠BDC相等．【考點(diǎn)】作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖．【專題】作圖題；幾何直觀．【答案】（1）見解答；（2）見解答；（3）見解答．【分析】（1）根據(jù)勾股定理和網(wǎng)格線的特征作圖；（2）根據(jù)全等三角形的判定定理和網(wǎng)格線的特征作圖；（3）根據(jù)全等三角形的判定定理和網(wǎng)格線的特征作圖．【解答】解：（1）如圖①：點(diǎn)D即為所求；（2）如圖②：點(diǎn)E即為所求；（3）如圖③：點(diǎn)F，F(xiàn)′即為所求．【點(diǎn)評】本題考查了作圖的應(yīng)用和設(shè)計(jì)，掌握網(wǎng)格線的特征和全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．17．（2025?浙江模擬）如圖，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，線段BC的長為4+43（1）作出△ABC的高線AD．（要求：尺規(guī)作圖，不寫作圖步驟，保留作圖痕跡）（2）求ABAC【考點(diǎn)】作圖—基本作圖．【專題】作圖題；幾何直觀；運(yùn)算能力．【答案】（1）見解析；（2）2．【分析】（1）根據(jù)三角形高的定義作出圖形；（2）設(shè)AD＝CD＝x，構(gòu)建方程求解即可．【解答】解：（1）如圖，線段AD即為所求；（2）∵∠B＝30°，∠C＝45°，AD⊥BC，∴AD＝CD，設(shè)AD＝CD＝x，則BD=3x，AB＝2x，AC=2∵BC＝4+43，∴x+3x＝4+43∴x＝4，∴AB＝8，AC＝42，∴ABAC【點(diǎn)評】本題考查作圖﹣基本作圖，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．18．（2025?金華模擬）尺規(guī)作圖問題：如圖1，已知∠ABC，用尺規(guī)作圖方法作以BA，BC為鄰邊的平行四邊形ABCD．（1）如圖2，根據(jù)作圖痕跡，判定四邊形ABCD為平行四邊形的依據(jù)是什么？（2）在圖1中，請你再作一個(gè)平行四邊形ABCD（方法與上題不一樣，保留作圖痕跡，不需要證明）．【考點(diǎn)】作圖—復(fù)雜作圖；平行四邊形的判定．【專題】作圖題；幾何直觀．【答案】（1）兩組對邊分別的四邊形是平行四邊形；（2）見解析．【分析】（1）根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形判斷即可；（2）根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形作出圖形．【解答】解：（1）如圖2中，四邊形ABCD是平行四邊形的依據(jù)是兩組對邊分別的四邊形是平行四邊形；（2）如圖1中，四邊形ABCD即為所求．【點(diǎn)評】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，平行四邊形的判定，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．19．（2025春?迎澤區(qū)校級月考）操作題：（1）如圖，要把水渠中的水引到C點(diǎn)，在渠岸AB的什么地方開溝，才能使溝最短？畫出圖形，并說明理由．（2）只用直尺畫出方格紙上已知直線的垂線．【考點(diǎn)】作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖；垂線；垂線段最短．【專題】作圖題；線段、角、相交線與平行線；推理能力．【答案】（1）見詳解，垂線段最短；（2）見詳解．【分析】（1）依題意，過點(diǎn)C作CD⊥AB，交AB于一定D，結(jié)合垂線段最短進(jìn)行作答即可；（2）結(jié)合網(wǎng)格的特征，作已知直線的垂線l，即可作答．【解答】解：（1）根據(jù)題意，作渠岸AB的垂線段CD，如圖所示：∴理由是：線段中，垂線段最短；（2）根據(jù)題意，直線l如圖所示：【點(diǎn)評】本題考查了垂線段最短，網(wǎng)格作圖，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．20．（2025春?鼓樓區(qū)校級月考）如圖，CD是⊙O的直徑，AB是⊙O的弦，CD和AB相交于點(diǎn)G，點(diǎn)G是弦AB的中點(diǎn)．（1）若點(diǎn)F在⊙O上，連接FA，F(xiàn)D，F(xiàn)B．求證：∠AFD＝∠BFD．（2）在弦AB上方的優(yōu)弧作一點(diǎn)P，使PA＝3PB．（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）【考點(diǎn)】作圖—復(fù)雜作圖；圓周角定理．【專題】幾何直觀．【答案】（1）見解析；（2）見解析．【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)G是弦AB的中點(diǎn)可得AD=BD，即可得到∠AFD＝∠（2）找GB的中點(diǎn)E，連接DE交⊙O于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求．【解答】解：（1）∵CD是⊙O的直徑，點(diǎn)G是弦AB的中點(diǎn)，∴AD=∴∠AFD＝∠BFD；（2）如圖，找GB的中點(diǎn)E，連接DE交⊙O于點(diǎn)P，∵∠AFD＝∠BFD，∴PE是∠APB的平分線，∴點(diǎn)E到AP，BP的距離相等，∵BE=∴AE＝3BE，∴S△AEP＝3S△BEP，由于點(diǎn)E到AP，BP的距離相等，∴AP＝3BP，故點(diǎn)P即為所求．【點(diǎn)評】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，角平分線的性質(zhì)，利用角平分線正確作出圖形是解題的關(guān)鍵．

考點(diǎn)卡片1．角平分線的定義（1）角平分線的定義從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線叫做這個(gè)角的平分線．（2）性質(zhì)：若OC是∠AOB的平分線則∠AOC＝∠BOC=12∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠（3）平分角的方法有很多，如度量法、折疊法、尺規(guī)作圖法等，要注意積累，多動手實(shí)踐．2．垂線（1）垂線的定義當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足．（2）垂線的性質(zhì)在平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直．注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”“過一點(diǎn)”的點(diǎn)在直線上或直線外都可以．3．垂線段最短（1）垂線段：從直線外一點(diǎn)引一條直線的垂線，這點(diǎn)和垂足之間的線段叫做垂線段．（2）垂線段的性質(zhì)：垂線段最短．正確理解此性質(zhì)，垂線段最短，指的是從直線外一點(diǎn)到這條直線所作的垂線段最短．它是相對于這點(diǎn)與直線上其他各點(diǎn)的連線而言．（3）實(shí)際問題中涉及線路最短問題時(shí)，其理論依據(jù)應(yīng)從“兩點(diǎn)之間，線段最短”和“垂線段最短”這兩個(gè)中去選擇．4．平行線的判定（1）定理1：兩條直線被第三條所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行．簡單說成：同位角相等，兩直線平行．（2）定理2：兩條直線被第三條所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行．簡單說成：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．（3）定理3：兩條直線被第三條所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行．簡單說成：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．（4）定理4：兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行．（5）定理5：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線同時(shí)垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行．5．三角形內(nèi)角和定理（1）三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角．每個(gè)三角形都有三個(gè)內(nèi)角，且每個(gè)內(nèi)角均大于0°且小于180°．（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．（3）三角形內(nèi)角和定理的證明證明方法，不唯一，但其思路都是設(shè)法將三角形的三個(gè)內(nèi)角移到一起，組合成一個(gè)平角．在轉(zhuǎn)化中借助平行線．（4）三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用主要用在求三角形中角的度數(shù)．①直接根據(jù)兩已知角求第三個(gè)角；②依據(jù)三角形中角的關(guān)系，用代數(shù)方法求三個(gè)角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角．6．三角形的外角性質(zhì)（1）三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六個(gè)外角，其中有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)相等，因此共有三對．（2）三角形的外角性質(zhì)：①三角形的外角和為360°．②三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．③三角形的一個(gè)外角大于和它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角．（3）若研究的角比較多，要設(shè)法利用三角形的外角性質(zhì)②將它們轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中去．（4）探究角度之間的不等關(guān)系，多用外角的性質(zhì)③，先從最大角開始，觀察它是哪個(gè)三角形的外角．7．全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．8．角平分線的性質(zhì)角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．注意：①這里的距離是指點(diǎn)到角的兩邊垂線段的長；②該性質(zhì)可以獨(dú)立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，有時(shí)不必證明全等；③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分線的性質(zhì)語言：如圖，∵C在∠AOB的平分線上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE9．線段垂直平分線的性質(zhì)（1）定義：經(jīng)過某一條線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）垂直平分線，簡稱“中垂線”．（2）性質(zhì)：①垂直平分線垂直且平分其所在線段．②垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫外心，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．10．等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質(zhì)①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個(gè)底角相等．【簡稱：等邊對等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個(gè)元素中，從中任意取出兩個(gè)元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個(gè)元素為結(jié)論．11．等腰三角形的判定與性質(zhì)1、等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有關(guān)問題中，會遇到一些添加輔助線的問題，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線是常見的輔助線，雖然“三線合一”，但添加輔助線時(shí)，有時(shí)作哪條線都可以，有時(shí)不同的做法引起解決問題的復(fù)雜程度不同，需要具體問題具體分析．3、等腰三角形性質(zhì)問題都可以利用三角形全等來解決，但要注意糾正不顧條件，一概依賴全等三角形的思維定勢，凡可以直接利用等腰三角形的問題，應(yīng)當(dāng)優(yōu)先選擇簡便方法來解決．12．等邊三角形的判定與性質(zhì)（1）等邊三角形是一個(gè)非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關(guān)角的計(jì)算奠定了基礎(chǔ)，它的邊角性質(zhì)為證明線段、角相等提供了便利條件．同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形，同樣具備三線合一的性質(zhì)，解題時(shí)要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應(yīng)用．（2）等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成含有30°角的直角三角形、連接三邊中點(diǎn)可以把等邊三角形分成四個(gè)全等的小等邊三角形等．（3）等邊三角形判定最復(fù)雜，在應(yīng)用時(shí)要抓住已知條件的特點(diǎn)，選取恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒?，一般地，若從一般三角形出發(fā)可以通過三條邊相等判定、通過三個(gè)角相等判定；若從等腰三角形出發(fā)，則想法獲取一個(gè)60°的角判定．13．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．（2）此結(jié)論是由等邊三角形的性質(zhì)推出，體現(xiàn)了直角三角形的性質(zhì)，它在解直角三角形的相關(guān)問題中常用來求邊的長度和角的度數(shù)．（3）注意：①該性質(zhì)是直角三角形中含有特殊度數(shù)的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能應(yīng)用；②應(yīng)用時(shí)，要注意找準(zhǔn)30°的角所對的直角邊，點(diǎn)明斜邊．14．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．15．平行四邊形的性質(zhì)（1）平行四邊形的概念：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．（2）平行四邊形的性質(zhì)：①邊：平行四邊形的對邊相等．②角：平行四邊形的對角相等．③對角線：平行四邊形的對角線互相平分．（3）平行線間的距離處處相等．（4）平行四邊形的面積：①平行四邊形的面積等于它的底和這個(gè)底上的高的積．②同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等．16．平行四邊形的判定（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四邊行ABCD是平行四邊形．（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵AB＝DC，AD