浙江省金華市2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期5月階段聯(lián)考試題含答案

/考生須知：1、本卷共6頁(yè)，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2、答題前，在答題紙指定的區(qū)域填寫班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字．3、所有試題必須寫在答題紙上，寫在試卷上無(wú)效．4、考試結(jié)束后，只需上交答題紙．選擇題部分一、單選題：本題共8小題，每題5分，共40分，在每題給出的4個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合要求．1.若集合，則（）A.或 B.或C. D.【答案】D【解析】【分析】解對(duì)數(shù)不等式求得集合M，解分式不等式求得集合N，利用交集運(yùn)算求解即可.【詳解】，因?yàn)椋?，所以或，所以或，所?故選：D2.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義及復(fù)數(shù)的減法運(yùn)算即可得解.【詳解】，則，所以.故選：C.3.若，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】令，則可得，對(duì)求導(dǎo)可得在上單調(diào)遞增，再結(jié)合充分條件和必要條件的定義求解即可.【詳解】由可得，令，，所以在上單調(diào)遞增，所以由，即，當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，當(dāng)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，所以“”是“”的充要條件.故選：C.4.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為（）①已知，若，則②已知，則③投擲一枚均勻的硬幣5次，已知正面向上不少于3次，則出現(xiàn)5次正面向上的概率為A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性求解概率判斷①，根據(jù)二項(xiàng)分布期望和方差公式求解判斷②，根據(jù)古典概率公式求解概率判斷③.【詳解】對(duì)于①，因?yàn)?，，所以，所以，正確；對(duì)于②，隨機(jī)變量，則，，錯(cuò)誤；對(duì)于③，投擲一枚均勻的硬幣5次，正面向上不少于3次的有，5次正面向上只有1種，故所求概率為，正確.故錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為1.故選：B5.科學(xué)家從由實(shí)際生活得出的大量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的頻率較高，以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的頻數(shù)約為總數(shù)的三成，并提出定律：在大量進(jìn)制隨機(jī)數(shù)據(jù)中，以開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為，如裴波那契數(shù)、階乘數(shù)、素?cái)?shù)等都比較符合該定律．后來(lái)常有數(shù)學(xué)愛(ài)好者用此定律來(lái)檢驗(yàn)?zāi)承┙?jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)、選舉數(shù)據(jù)等大數(shù)據(jù)的真實(shí)性．若，則的值為（）A.14 B.15 C.24 D.25【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件中的概率公式，結(jié)合求和公式，以及對(duì)數(shù)運(yùn)算，即可求解.詳解】，即，所以，解得.故選：A.6.袋中裝有5個(gè)大小相同的球，其中有2個(gè)白球，2個(gè)黑球，1個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中每次取出1球，取出后不放回，取得白球得1分，取得黑球得2分，取得紅球得3分，直到取到的球的總分大于或等于4分時(shí)終止，用表示終止取球時(shí)所需的取球次數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，求出時(shí)，取球的情況，結(jié)合獨(dú)立事件的乘法公式求解即可.【詳解】由題意，時(shí)，取球的情況為：白白紅，白白黑，白黑白，白黑黑，白黑紅，黑白白，黑白黑，黑白紅，所以.故選：A.7.體積為1的正三棱錐的外接球的半徑與底面正三角形的邊長(zhǎng)比的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)體積公式得到底面邊長(zhǎng)和三棱錐的高的關(guān)系，再由正三棱錐和其外接球的幾何關(guān)系，得到外接球半徑與底面邊長(zhǎng)比值表達(dá)式，再化簡(jiǎn)利用基本不等式求得最值即可.【詳解】如圖，設(shè)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為，高為，外接球半徑為.因?yàn)轶w積為1，所以，所以.不論外接球的球心在正三棱錐的內(nèi)部（圖1），外部（圖2）還是與重合（圖3），其外接球半徑均滿足，將代入化簡(jiǎn)得，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，所以最小值為.故選：D.8.已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，記的最大值為，有，則實(shí)數(shù)的最大值為（）A.2 B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)可知在區(qū)間為減區(qū)間，進(jìn)而可得最值，結(jié)合絕對(duì)值的性質(zhì)可得，分析求解即可；【詳解】函數(shù)，，由，可得，，可知，則在區(qū)間為減函數(shù)，可得的最大值為，最小值為，對(duì)任意的恒成立，可得，可得，由，可得，即，則的最大值為；故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于先對(duì)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)可知在區(qū)間為減區(qū)間，進(jìn)而可得的最值，結(jié)合絕對(duì)值的性質(zhì)可得，分析求解即可；二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列選項(xiàng)中正確的有（）A.已知在上的投影向量長(zhǎng)度為，且，則B.C.若非零向量滿足，則D.已知，且與夾角為銳角，則的取值范圍是【答案】BC【解析】【分析】結(jié)合投影向量的概念以及平面向量數(shù)量積的定義可判斷A選項(xiàng)；利用向量數(shù)量積的定義可判斷B選項(xiàng)；根據(jù)平面向量夾角的公式以及數(shù)量積的運(yùn)算律即可判斷C選項(xiàng)；結(jié)合平面向量數(shù)量積和向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算即可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，設(shè)與的夾角為（），又因?yàn)樵谏系耐队跋蛄块L(zhǎng)度為，所以，又，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，?duì)兩邊同時(shí)平方：，解得：，，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，則，又因?yàn)榕c夾角為銳角，所以，且與不共線，即，解得，所以則的取值范圍是，故D錯(cuò)誤；故選：BC.10.下列命題錯(cuò)誤的是（）A.線性相關(guān)模型中，決定系數(shù)越大相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)越大相關(guān)性也越強(qiáng)B.回歸直線至少會(huì)經(jīng)過(guò)其中一個(gè)樣本點(diǎn)C.已知一系列樣本點(diǎn)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，若樣本點(diǎn)與的殘差相等，則D.以模型去擬合某組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出回歸方程，設(shè)，將其變換后得到線性方程，則的值分別為3，4【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)決定系數(shù)的概念和相關(guān)系數(shù)的概念判斷A，根據(jù)回歸直線方程的性質(zhì)判斷B，根據(jù)回歸方程及殘差的概念判斷C，根據(jù)線性回歸方程與非線性之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系可判斷D.【詳解】對(duì)于A：在線性相關(guān)模型中，決定系數(shù)越大，即殘差平方和越小，所以擬合效果越好，相關(guān)系數(shù)越大，相關(guān)性越強(qiáng)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：回歸直線方程不一定過(guò)樣本點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：回歸直線方程為，且樣本點(diǎn)與的殘差相等，則，化簡(jiǎn)得，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，所以兩邊取?duì)數(shù)，可得，令，可得，因?yàn)椋?，即，故D正確.故選：AB11.如圖，已知圓臺(tái)的下底面直徑，母線，且，是下底面圓周上一動(dòng)點(diǎn)，則（）A.圓臺(tái)的側(cè)面積為B.圓臺(tái)的體積為C.當(dāng)點(diǎn)是弧中點(diǎn)時(shí)，三棱錐的內(nèi)切球半徑D.的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】作出圓臺(tái)軸截面等腰梯形及其高，求出圓臺(tái)的高及上底面圓半徑，分析計(jì)算判斷AB；利用體積分割法求得內(nèi)切球的半徑判斷C；求出的函數(shù)關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)求出最大值即可判斷D.【詳解】圓臺(tái)中，作出圓過(guò)點(diǎn)的直徑，則四邊形是等腰梯形，作于，在中，由，得，則，對(duì)于A，圓臺(tái)的側(cè)面積，A正確；對(duì)于B，圓臺(tái)的體積，B正確；對(duì)于C，當(dāng)點(diǎn)是弧中點(diǎn)時(shí)，得點(diǎn)到直線距離為2，則面積為，三棱錐體積的為，又，，所以，，，因?yàn)椋?，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，連接，當(dāng)與點(diǎn)都不重合時(shí)，設(shè)，則，在中，由余弦定理得，于是，，求導(dǎo)得，令得，，令得，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)與重合時(shí)，，當(dāng)與重合時(shí)，，因此的最大值為，D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用體積分割法求得三棱錐內(nèi)切球的半徑，進(jìn)而比較大小即可判斷C選項(xiàng).非選擇題部分三、填空題：本題共3小題每題5分，共15分．12.的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為______．【答案】【解析】【分析】先求出的展開式的通項(xiàng)，令，解出代入即可得出答案.【詳解】的展開式的通項(xiàng)為：，令，解得：，所以的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為：.故答案為：.13.在銳角三角形中，邊長(zhǎng)為1，且，則邊的長(zhǎng)度取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】利用二倍角的正弦公式和正弦定理，結(jié)合銳角三角形確定角的范圍，從而求出邊的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，所以，再由正弦定理角化邊得：，因?yàn)?，所以，又由是銳角三角形，，解得：，則.故答案為：.14.某學(xué)校舉辦校慶，安排3名男老師和2名女老師進(jìn)行3天值班，值班分為上午和下午，每班次一人，其中女老師不在下午值班，且每個(gè)人至少要值班一次，則不同的安排方法共有______種（用數(shù)字作答）.【答案】252【解析】【分析】分類討論上午值班是否有男教師，結(jié)合間接法以及分步乘法計(jì)算原理運(yùn)算求解.【詳解】若上午值班均為女教師，則不同的安排方法共有種，可知下午值班均為男教師，則不同的安排方法共有種，則不同的安排方法共有種；若上午值班有男教師，則不同的安排方法共有種，①當(dāng)上午值班的男教師不下午值班時(shí)，則不同的安排方法共有種；②當(dāng)上午值班的男教師也下午值班時(shí)，則不同的安排方法共有種；則不同的安排方法共有種；綜上所述：不同的安排方法共有種.故答案為：252.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答題應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟．15.設(shè)函數(shù)，其中，已知．（1）求的解析式；（2）已知，求的單調(diào)遞增區(qū)間及值域．【答案】（1）（2）調(diào)遞增區(qū)間為，【解析】【分析】（1）由已知可得，可求，可求得的解析式；（2）由，可求的單調(diào)遞增區(qū)間，利用，易求值域.【小問(wèn)1詳解】可化為，所以，所以，又所以所以【小問(wèn)2詳解】令，解得，又，所以，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，，所以，所以.16.在如圖所示的直三棱柱中，分別是線段上的動(dòng)點(diǎn)．（1）若平面，求的值；（2）若三棱柱是正三棱柱，是的中點(diǎn)，求二面角余弦值的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作，交于，連接，則可證平面平面，從而得到，故可求的值，也可以過(guò)點(diǎn)作，可證四邊形是平行四邊形，從而可求的值.（2）過(guò)作，垂足為，再過(guò)作，垂足為，連接，可證即為二面角的平面角，故可求二面角余弦值的最小值，也可以利用建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法可求二面角的余弦值的最小值.小問(wèn)1詳解】法1：（1）過(guò)點(diǎn)作，交于，連接，如圖，由平面，平面，則平面且，又平面，，且平面，故平面平面，又平面平面，平面平面，所以，從而，故.法2：過(guò)點(diǎn)作，交于，則由可得，所以四點(diǎn)共面，而平面，平面，平面平面，所以，四邊形是平行四邊形，所以，所以.【小問(wèn)2詳解】法1：過(guò)作，垂足為，由正三棱柱可得平面平面，而平面平面，平面，則平面，再過(guò)作，垂足為，連接，因?yàn)槠矫?，故，而平面，故平面，而平面，故，則即為二面角的平面角．又在中，，，當(dāng)位于時(shí)，此時(shí)，故二面角余弦值的最小值為.方法2：取的中點(diǎn)由正三棱錐得平面，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，，，設(shè)平面法向量，則即，令得，而平面法向量，設(shè)二面角的平面角為，則為銳角且，當(dāng)時(shí)取到.17.已知函數(shù)，．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）討論的單調(diào)性；（3）證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】（1）（2）答案見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，將得出代入函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)分別得切點(diǎn)和切線斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式即可得切線方程.（2）明確導(dǎo)數(shù)和定義域，根據(jù)導(dǎo)數(shù)特征分類討論求出導(dǎo)數(shù)正負(fù)區(qū)間范圍即可得函數(shù)的單調(diào)性.（3）先（1）得出時(shí)，再將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成證，則只需求證即可.【小問(wèn)1詳解】由題，令，，且切線斜率為，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，可化為.【小問(wèn)2詳解】，當(dāng)，在上恒成立，故在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令得（舍去）或；令得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上所述：時(shí)增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問(wèn)3詳解】由（2）知，當(dāng)時(shí)，有，所以證當(dāng)時(shí)，，即證恒成立，即證，即證，令，則，令，則，因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增．所以，所以，所以在上單調(diào)遞減．因?yàn)?，所以，所以，即?dāng)時(shí)，．18.某超市為促進(jìn)消費(fèi)推出優(yōu)惠活動(dòng)，為預(yù)估活動(dòng)期間客戶投入的消費(fèi)金額，采用隨機(jī)抽樣統(tǒng)計(jì)了200名客戶的消費(fèi)金額，分組如下：（單位：元），得到如圖所示頻率分布直方圖：

活躍客戶非活躍客戶總計(jì)男20

女60

總計(jì)

（1）利用抽樣的數(shù)據(jù)計(jì)算本次活動(dòng)的人均消費(fèi)金額（同一組中的數(shù)據(jù)用該組的中點(diǎn)值表示）（2）若把消費(fèi)金額不低于800元的客戶，稱為“活躍客戶”，經(jīng)數(shù)據(jù)處理，現(xiàn)在列聯(lián)表中得到一定的相關(guān)數(shù)據(jù)，求列聯(lián)表中的值，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認(rèn)為“活躍客戶”與性別有關(guān)？（3）為感謝客戶，該超市推出免單福利，方案如下：從“活躍客戶”中按分層抽樣的方法抽取12人，從中抽取2人進(jìn)行免單，試寫出總單金額的分布列及其期望．（每一組消費(fèi)金額按該組中點(diǎn)值估計(jì)，期望結(jié)果保留至整數(shù)．）附：0.1500.1000.0500.0100.005k2.0722.7063.8416.6357.879【答案】（1）620（2），有的把握與性別有關(guān)（3）分布列見解析，1933【解析】【分析】（1）利用每個(gè)矩形的中點(diǎn)值乘以對(duì)應(yīng)頻率累加來(lái)求樣本均值；（2）先完善列聯(lián)表，再求卡方,即可作出判斷；（3）先用分層抽樣，然后用超幾何分布的概率公式計(jì)算，即可得分布列與期望.【小問(wèn)1詳解】由直方圖計(jì)算人均消費(fèi)金額：元【小問(wèn)2詳解】消費(fèi)金額不低于800元的人數(shù)為：人，則活躍客戶共有60人，所以，，列聯(lián)表如下

活躍客戶非活躍客戶總計(jì)男2080100女4060100總計(jì)60140200計(jì)算因此有的把握與性別有關(guān)．【小問(wèn)3詳解】從“活躍客戶”中用分層抽樣，抽出消費(fèi)900元：人，消費(fèi)1100元：人，從中抽取2人免單總金額的取值有：，則，，，所以的分布列為：Y180020002200P即.19.已知①設(shè)函數(shù)值域是，對(duì)于中的每個(gè)，若函數(shù)在每一處都等于它對(duì)應(yīng)的，這樣的函數(shù)叫做函數(shù)的反函數(shù)，記作，我們習(xí)慣記自變量為，因此可改成即為原函數(shù)的反函數(shù)．易知與互為反函數(shù)，且．如的反函數(shù)是可改寫成即為的反函數(shù)，與互為反函數(shù)．②是定義在且取值于的一個(gè)函數(shù)，定