浙江省金華市2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期6月期末調(diào)研考試試題含答案

/2023-2024學(xué)年第二學(xué)期期末調(diào)研考試高一數(shù)學(xué)試題卷本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.考試時間120分鐘.試卷總分為150分.請考生按規(guī)定用筆將所有試題的答案涂、寫在答題紙上.選擇題部分（共58分）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接求交集即可.【詳解】集合，，則.故選：A.2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】由，可得成立，即充分性成立；反正：若，可得或，即必要性不成立，所以是的充分不必要條件.故選：A.3.數(shù)據(jù)2，3，3，4，4，5，5，5，5，6的中位數(shù)為（）A.3.5 B.4 C.4.5 D.5【答案】C【解析】【分析】根據(jù)中位數(shù)的求解方法可得【詳解】這組數(shù)據(jù)是按從小到大順序排列的，且共有10個數(shù)據(jù)，又最中間兩個數(shù)的平均數(shù)為，該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為故選：C4.復(fù)數(shù)，則（）A.5 B. C. D.32【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算化簡得出復(fù)數(shù)，再結(jié)合復(fù)數(shù)的模長公式計算即可.【詳解】因為,所以.故選：B.5.已知，點關(guān)于點A的對稱點為，點關(guān)于點的對稱點為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量加、減法的法則可得【詳解】因為點關(guān)于點A的對稱點為，點關(guān)于點的對稱點為，所以，兩式相減可得所以，故選：D6.某圓錐的底面半徑為6，其內(nèi)切球半徑為3，則該圓錐的側(cè)面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件首先求出圓錐的母線長，再利用公式求側(cè)面積即可.【詳解】如圖所示，設(shè)球與圓錐底面相切于點，與母線相切于點，根據(jù)已知得，設(shè)母線長，則在直角△中，因為，所以即，化簡得，解得，或(舍去)，所以圓錐的側(cè)面積為：.故選：C.7.若函數(shù)（是常數(shù)）有且只有一個零點，則的值為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】由已知條件可判斷為偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，由函數(shù)有且只有一個零點，過坐標(biāo)原點即可求解.【詳解】函數(shù)的定義域為，因為，所以函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，因為函數(shù)有且只有一個零點，所以函數(shù)過坐標(biāo)原點，，解得.故選：.8.已知三個內(nèi)角，，的對邊分別是，，，且滿足，則面積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由余弦定理以及三角形的面積公式可得，再利用兩次基本不等式得到，從而得解.【詳解】因為，則，，即，由余弦定理可得，又，所以①，②，①②可得，又，即，則，即，即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時，即，時，等號成立，所以面積的最大值為.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解決的關(guān)鍵是，利用余弦定理與三角形的面積公式得到，從而結(jié)合基本不等式即可得解.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分.9.對于事件和事件，，，則下列說法正確的是（）A.若與互斥，則 B.若與互斥，則C.若，則 D.若與相互獨立，則【答案】BD【解析】【分析】由互斥事件的定義，代入計算即可判斷AB，由，則，即可判斷C，由相互獨立事件的定義，即可判斷D【詳解】因為，，若與互斥，則，，故A錯誤，B正確；若，則，所以，故C錯誤；若與相互獨立，則，故D正確；故選：BD10.已知與分別是異面直線與上的不同點，，，，分別是線段，，，上的點.以下命題正確的是（）A.直線與直線可以相交，不可以平行 B.直線與直線可以異面，不可以平行C.直線與直線可以垂直，可以相交 D.直線與直線可以異面，可以相交【答案】BCD【解析】【分析】A可假設(shè)直線與直線相交，推出矛盾；B先根據(jù)特殊位置得到兩直線異面，再假設(shè)兩直線平行，推出矛盾；C根據(jù)特殊位置可以得到兩直線垂直和相交；D由特殊位置得到兩直線可能異面，可能相交，也可以平行.【詳解】A選項，若直線與直線相交，則四點共面，則直線與共面，與題目條件直線與異面矛盾，故直線與直線不可以相交，A錯誤；B選項，當(dāng)分別和重合時，直線與直線異面，直線與直線不可以平行，假如直線與直線平行，平面，平面，故平面，但與平面有交點，顯然這是不可能的，假設(shè)不成立，B正確；C選項，當(dāng)均與重合，此時直線與直線相交，當(dāng)調(diào)整的位置，可能有⊥，且令分別與重合，此時滿足直線與直線垂直，故直線與直線可以垂直，可以相交，C正確；D選項，當(dāng)均與重合，或均與重合時，直線與直線相交，當(dāng)時，與平行，當(dāng)時，與平行，此時與平行，其他情況，直線與直線異面，故直線與直線可以異面，可以相交，D正確.故選：BCD11.小明在研究物理中某種粒子點的運動軌跡，想找到與的函數(shù)關(guān)系，從而解決物理問題，但百思不得其解，經(jīng)過繼續(xù)深入研究，他發(fā)現(xiàn)和都與某個變量有關(guān)聯(lián)，且有.小明以此為依據(jù)去判斷函數(shù)的性質(zhì)，得到了一些結(jié)論，有些正確的結(jié)論幫助小明順利的解決了物理問題，同時也讓小明深深感受到學(xué)好數(shù)學(xué)對物理學(xué)習(xí)幫助很大！我們來看看，小明的以下結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱 B.函數(shù)是以為周期的函數(shù)C.函數(shù)的圖象存在多條對稱軸 D.函數(shù)在上單調(diào)遞增【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)y的取值情況判斷A選項，根據(jù)正弦余弦函數(shù)周期性判斷B選項，根據(jù)圓的特性判斷C選項，應(yīng)用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷D選項.【詳解】對于A：由題意知，故不可能關(guān)于原點對稱，A選項錯誤；對于B:周期為，則是以為周期的函數(shù)，B選項正確；對于C：當(dāng)時，,此時有多條對稱軸，C選項正確；對于D:設(shè)單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得在單調(diào)遞增，D選項正確.故選：BCD.【點睛】方法點睛：根據(jù)對稱中心及對稱軸定義判對稱性即可.非選擇題部分（共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)，則_____________.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)定義域代入相應(yīng)的解析式可得答案.【詳解】因為，所以，.故答案為：2.13.甲船在島的正南方向處，千米，甲船向正北方向航行，同時乙船自島出發(fā)向北偏東的方向航行，兩船航行速度相同，則甲、乙兩船的最近距離為_____________千米.【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知條件用余弦定理將甲、乙兩船的距離表示出來，再求最小值即可求解.【詳解】如圖所示，設(shè)甲船航行到點，同時乙船航行到點，由已知得，，設(shè)，則，在△中，由余弦定理得，代入得，所以當(dāng)時，取最小值為，即甲、乙兩船的最近距離為千米.故答案為：.14.在中，，，，在邊上，延長到，使.若，則_____________.【答案】4【解析】【分析】建系標(biāo)點，設(shè)，根據(jù)向量的坐標(biāo)運算解得，進(jìn)而可得，結(jié)合圖形即可得結(jié)果.【詳解】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，則，可知，設(shè)，可得，因為，則，解得，且，可得，，所以.故答案為：4.【點睛】關(guān)鍵點點睛：建系，根據(jù)可設(shè)，進(jìn)而結(jié)合題意運算.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15.已知是夾角為的兩個單位向量，.（1）若可以作為一組基底，求實數(shù)的取值范圍；（2）若垂直，求實數(shù)的值；（3）求的最小值.【答案】（1）（2）（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)向量不平行，的系數(shù)比值不相等可解；（2）根據(jù)，結(jié)合數(shù)量積運算性質(zhì)即可得解；（3）將向量模轉(zhuǎn)化為數(shù)量積，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得.【小問1詳解】因為可以作為一組基底，所以不平行，又不共線，所以，即，所以，實數(shù)的取值范圍為.【小問2詳解】因為垂直，所以，即，又，所以，解得.【小問3詳解】因為，所以，當(dāng)時，取得最小值3，所以的最小值為.16.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的值域和其圖象的對稱中心；（2）在中，三個內(nèi)角，，的對邊分別是，，，滿足，，，求的面積的值.【答案】（1）值域為，.（2）或【解析】【分析】（1）利用輔助角公式化簡，根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)可得值域，利用整體代入法求解可得對稱中心；（2）根據(jù)求角，利用余弦定理求出c，然后由面積公式可得.【小問1詳解】，所以值域，令，得，所以的對稱中心坐標(biāo)為.【小問2詳解】由得，，，所以或，即或，，，由余弦定理得，即，解得或4.當(dāng)時，；當(dāng)時，.故所求的面積為或.17.在五一假期中，某校組織全校學(xué)生開展了社會實踐活動，抽樣調(diào)查了其中100名學(xué)生，統(tǒng)計他們參加社會實踐活動的時間（單位：小時），并將統(tǒng)計數(shù)據(jù)繪制成如圖的頻率分布直方圖.另外，根據(jù)參加社會實踐活動的時間從長到短按的比例分別被評為優(yōu)秀、良好、合格.（1）求的值并估計該學(xué)校學(xué)生在這個五一假期中參加社會實踐活動的時間的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作為代表）；（2）試估計至少參加多少小時的社會實踐活動，方可被評為優(yōu)秀.（結(jié)果保留兩位小數(shù)）.（3）根據(jù)社會實踐活動的成績，按分層抽樣的方式抽取5名學(xué)生.從這5名學(xué)生中，任選3人，求這3名學(xué)生成績各不相同的概率.【答案】（1），20.32小時（2）21.73小時（3）【解析】【分析】（1）利用頻率之和為1得到方程，求出，利用平均數(shù)的定義進(jìn)行計算；（2）即求60百分位數(shù)，先得到60百分位數(shù)位于18~22之間，設(shè)出60百分位數(shù)為，從而得到方程，求出答案；（3）按照分層抽樣的概念得到優(yōu)秀，良好，及格的人數(shù)，并列舉出求解相應(yīng)的概率.【小問1詳解】由，解得，因為小時，所以該學(xué)校學(xué)生假期中參加社會實踐活動的時間的平均數(shù)約為20.32小時.【小問2詳解】時間從長到短按的比例分別被評為優(yōu)秀、良好、合格，由題意知，即求60百分位數(shù)，又，，所以60百分位數(shù)位于18~22之間，設(shè)60百分位數(shù)為，則，解得小時.故至少參加21.73小時的社會實踐活動，方可被評為優(yōu)秀.【小問3詳解】易知，5名學(xué)生中，優(yōu)秀有人，設(shè)為，良好有人，設(shè)為，合格有人，設(shè)為.任選3人，總共有，10種情況，其中符合的有，共4種，故概率為.18.在四棱臺中，，平面平面，，，，.（1）求證：平面；（2）求直線與直線所成角的余弦值；（3）若是的中點，求平面與平面的夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)平行直線的傳遞性可得，然后根據(jù)線面平行的判定可得（2）方法一，取中點，連，，，則，，所以就是直線與所成的角，然后在直角三角形中求出余弦即可，方法二，如圖，以為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，然后求出平面的法向量，利用公式求出即可（3）利用二面角的定義找出就是二面角的平面角，求出平面的法向量和平面的法向量，利用求解即可.小問1詳解】連接，，，是平行四邊形，.又面，面，故平面【小問2詳解】法一：取中點，連，，，則，，所以就是直線與所成的角.在梯形中，由已知可得，又平面平面，是交線，平面，平面，，，，所以，直線與直線所成角的余弦值為.法二：在梯形中，由已知可得，平面平面，是交線，面，如圖，以A為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，.小問3詳解】法一：過作延長線的垂線于，連接，取中點，連接，過作，連接.易證面，則就是二面角的平面角.，，所以，故.法二：，，設(shè)是平面的法向量，則令，得，又是平面的法向量，所以.19.假設(shè)是定義在一個區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，且.對，記，，…，.若某一個函數(shù)滿足，則有（其中，為關(guān)于的方程的兩個根，，是可以由，來確定的常數(shù)）.