2024年人教版數(shù)學七年級下冊同步講義+練習專題6.3 實數(shù)（學生版）

專題6.3實數(shù)目標導航目標導航1.有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)2.實數(shù)的相關概念：（1）在實數(shù)范圍內(nèi)，相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值的意義，和有理數(shù)范圍內(nèi)的相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值的意義完全一樣。（2）有理數(shù)的運算及運算律對實數(shù)仍然適用.（3）實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應關系：每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示；反過來，數(shù)軸上的每一點都表示一個實數(shù)。即實數(shù)和數(shù)軸上的點是一一對應的?？键c精講考點精講考點1：實數(shù)概念的理解典例：（2022·云南昭通·七年級期中）把下列各數(shù)填入相應的大括號中：0.3，，，，0，，3.14，，，，，0.125，，負數(shù)集合{

…}；整數(shù)集合{

…}；有理數(shù)集合{

…}；無理數(shù)集合{

…}．方法或規(guī)律點撥本題主要考查了實數(shù)的分類，熟記整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)，是解題的關鍵．鞏固練習1．（2022·河南三門峽·七年級期中）下列說法中，錯誤的是（

）A．是整數(shù) B．的平方根是C．是分數(shù) D．是有理數(shù)2．（2022·湖北孝感·七年級期中）在，，，是圓周率），，，中，負有理數(shù)共有（

）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個3．（2022·廣東·海豐縣教研室七年級期末）實數(shù)中，無理數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．（2022·山東德州·七年級期末）下列說法中錯誤的是（

）A．是整數(shù) B．是有理數(shù)C．是分數(shù) D．的立方根是無理數(shù)5．（2022·河北保定·七年級期末）下列命題中是真命題的是（

）A．實數(shù)由有理數(shù)和無理數(shù)組成 B．實數(shù)分為正實數(shù)和負實數(shù)C．若，則a=b D．是個分數(shù)6．（2022·海南省直轄縣級單位·七年級期末）在下列各實數(shù)中，屬于無理數(shù)的是（

）A．2022 B． C． D．7．（2022·貴州銅仁·八年級期末）下列四個實數(shù)中，是無理數(shù)的為（

）A． B． C． D．8．（2022·青海西寧·中考真題）下列各數(shù)是負數(shù)的是（

）A．0 B． C． D．9．（2022·湖南長沙·七年級期中）實數(shù)（相鄰兩個3之間依次多一個1）中，無理數(shù)的個數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．110．（2022·陜西渭南·七年級期末）已知實數(shù)，3.14，，，其中為無理數(shù)的是______．考點2：實數(shù)的性質(zhì)典例：（1）（2022·四川綿陽·中考真題）的絕對值是（

）A． B． C． D．（2）（2022·河北保定·七年級期末）實數(shù)的相反數(shù)是（

）A． B． C． D．方法或規(guī)律點撥本題主要考查了實數(shù)的絕對值和相反數(shù)的性質(zhì)，掌握掌握相關性質(zhì)是解答本題的關鍵．鞏固練習1．（2022·河南洛陽·七年級期中）計算（

）A． B． C．5 D．3．（2021·廣東·雷州市第三中學七年級期中）下列說法正確的是（

）①最大的負整數(shù)是﹣1；②數(shù)軸上表示數(shù)3和﹣3的點到原點的距離相等；③當a≤0時，|a|＝﹣a成立；④a＋5一定比a大；⑤（﹣2）3和﹣23相等．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個4．（2022·河南·潢川縣中小學教研室七年級期中）下列各數(shù)中，它的相反數(shù)與它的絕對值不相等的是（

）A．0 B． C． D．5．（2022·浙江·三模）若一個實數(shù)的相反數(shù)為，則這個實數(shù)為（

）A． B． C． D．6．（2022·四川廣元·中考真題）若實數(shù)a的相反數(shù)是-3，則a等于（）A．-3 B．0 C． D．37．（2022·河南安陽·一模）在，，，6這四個數(shù)中，絕對值小于2的數(shù)是（

）A． B． C． D．68．（2022·重慶巴蜀中學七年級期末）若有理數(shù)a、b滿足a2+b＝9+4（a＞0）．則a﹣b的值為_____．9．（2022·黑龍江·哈爾濱市雙城區(qū)教師進修學校七年級期末）的相反數(shù)是_________．10．（2022·北京師大附中七年級期中）______．11．（2022·四川自貢·七年級期末）實數(shù)﹣的相反數(shù)是_____．12．（2022·湖北恩施·七年級期末）的絕對值的相反數(shù)是_________．考點3：實數(shù)與數(shù)軸典例：（2022·河南許昌·七年級期中）閱讀下列材料，完成相應的任務．下框中是小云同學的作業(yè)．請把實數(shù)0，，，，2表示在數(shù)軸上，并比較它們的大?。ㄓ?lt;號連接）解：老師看了后，找來小云．問道：“小云同學，你標在數(shù)軸上的兩個點對應題中兩個無理數(shù)，是嗎？”小云點點頭．老師又說：“你這兩個無理數(shù)對應的點找得非常準確，遺憾的是沒有完成全部解答．”任務：請你幫小云同學將上面的作業(yè)做完．方法或規(guī)律點撥本題考查實數(shù)的大小比較，數(shù)軸上右邊的點表示的數(shù)大于左邊的點表示的數(shù)，解題關鍵是正確估算已知兩點表示的數(shù)，和由這兩點確定原點位置．鞏固練習1．（2022·湖北武漢·七年級期中）如圖，在數(shù)軸上以單位長度為邊長畫一個正方形，以表示數(shù)1的點為圓心，正方形的對角線長為半徑畫弧，與正半軸交于點A，則點A表示的數(shù)為（

）A． B． C． D．2．（2022·河南許昌·八年級期中）如圖，點O為數(shù)軸的原點，點A和B分別對應的實數(shù)是-1和1．過點B作，以點B為圓心，OB長為半徑畫弧，交BC于點D；以點A為圓心，AD長為半徑畫弧，交數(shù)軸的正半軸于點E，則點E對應的實數(shù)是（

）A． B． C． D．2．（2022·山東濟寧·七年級期中）如圖，被陰影覆蓋的數(shù)可能是（

）A． B． C． D．4．（2022·廣西河池·七年級期中）如圖，數(shù)軸上有A，B，C，D四點，根據(jù)各點的位置，所表示的數(shù)與最接近的點是（

）A．A B．B C．C D．D5．（2022·山東濟南·中考真題）實數(shù)a，b在數(shù)軸上對應點的位置如圖所示，下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．6．（2022·湖北·嘉魚縣教學研究室七年級期末）如圖，數(shù)軸上點A表示的數(shù)是，點B表示的數(shù)是，則數(shù)軸上A，B兩點之間表示整數(shù)的點共有（

）個A．5 B．6 C．7 D．87．（2022·山東菏澤·八年級期中）如圖，已知正方形ABCD的面積為5，點A在數(shù)軸上，且表示的數(shù)為1．現(xiàn)以A為圓心，AB為半徑畫圓，和數(shù)軸交于點E（E在A的右側(cè)），則點E表示的數(shù)為______．8．（2022·河南許昌·七年級期中）老師在講“實數(shù)”這節(jié)時，畫了圖（如圖），即以數(shù)軸的單位長的線段為邊作一個正方形，然后以原點O為圓心，正方形的對角線長為半徑畫弧交x軸于點A，作這樣的圖是用來說明_______．9．（2022·廣西賀州·七年級期中）（1）在數(shù)軸上表示下列各數(shù)：－3，，，．（2）并將原數(shù)按從小到大的順序用“”連接起來．10．（2022·湖北孝感·七年級期中）如圖，a，b，c是數(shù)軸上三個點A，B，C所對應的實數(shù)．試化簡：考點4：實數(shù)比較大小典例：（2022·河南許昌·七年級期末）在比較與13的大小關系中，我們可以把它們分別平方，，．依據(jù)正數(shù)越大，算術(shù)平方根越大，得到．請利用上面的方法完成下面的問題：比較大小______（填＞，＜或＝）．方法或規(guī)律點撥本題考查了實數(shù)的大小比較，掌握實數(shù)大小比較的方法是解題的關鍵．鞏固練習1．（2022·河北·豐寧滿族自治縣教育和體育局教研室七年級期末）在下列給出的四個實數(shù)中，最小的實數(shù)是（

）A．0 B． C． D．22．（2022·江西·石城縣教育局教研室七年級期末）在實數(shù)，，，中，最小的實數(shù)是（

）A． B． C． D．3．（2022·四川廣安·七年級期末）在實數(shù)，－3，，中，最小的數(shù)是（

）A． B．－3 C． D．4．（2022·陜西渭南·七年級期末）在實數(shù)，，，2中，最大的數(shù)是（

）A． B． C． D．25．（2022·河北保定·七年級期末）下列式子的結(jié)果為正數(shù)的是（

）A． B． C． D．6．（2022·河北邯鄲·八年級期末）面積為8的正方形邊長為，下列敘述錯誤的是（

）A． B．在數(shù)軸上可以找到表示數(shù)的點C． D．7．（2022·廣東廣州·七年級期末）下列判斷實數(shù)1與的大小關系，正確的是（

）A． B． C． D．無法確定8．（2022·云南昭通·七年級期中）已知，則，，，的大小關系為（

）A． B．C． D．9．（2022·山東濰坊·八年級期中）比較大?。篲____．10．（2022·廣東·海豐縣教研室七年級期末）比較大?。篲________（填“>”“<”或“=”）．11．（2021·湖北孝感·七年級期中）比較大?。篲____（填“＜”，“＝”，“＞”）．12．（2022·安徽蕪湖·八年級期末）比較大?。篲_______．（填“＞”或“＜”）考點5：與實數(shù)有關的混合運算典例：（2022·山東濟寧·七年級期中）計算：(1)；(2)．方法或規(guī)律點撥本題主要考查了實數(shù)的混合運算，熟練掌握絕對值的意義、算術(shù)平方根定義、立方根的定義、乘方運算法則，是解題的關鍵．鞏固練習1．（2022·湖北武漢·七年級期中）計算：______．2．（2022·山西·古縣教育局教學研究室八年級期末）計算：的結(jié)果是_________．3．（2022·甘肅隴南·七年級期末）計算：．4．（2022·湖北孝感·七年級期中）計算：(1)(2)5．（2022·湖北孝感·七年級期中）計算：(1)(2)6．（2022·江蘇無錫·七年級期中）計算：(1)；(2)7．（2022·山東德州·七年級期中）計算下列各題：(1)(2)8．（2022·河南許昌·七年級期中）計算：(1)(2)9．（2022·河南許昌·七年級期中）如圖，長方形內(nèi)有兩個相鄰的正方形，它們面積分別為4和2，求陰影部分的周長和面積．考點6：與流程圖有關的實數(shù)運算典例：（2022·河北衡水·七年級期中）如圖為一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器．(1)當輸入的x值為4時，輸出的y值為；當輸入的x值為16時，輸出的y值為；(2)輸入x值后，經(jīng)過兩次取算術(shù)平方根運算，輸出的y值為，求輸入的x值；(3)嘉淇發(fā)現(xiàn)輸入x值后要取其算術(shù)平方根，因此他輸入的x為非負數(shù)．但是當他輸入x值后，卻始終輸不出y值，請你分析，他輸入的x值是多少？方法或規(guī)律點撥此題考查算術(shù)平方根概念及無理數(shù)，解題關鍵是正確理解題目中規(guī)定的運算．鞏固練習1．（2022·福建福州·七年級期中）有個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，程序原理如圖．當輸入時，輸出n的值等于（

）A．3 B． C． D．2．（2022·山東聊城·八年級期中）有一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器原理如圖，當輸入的x的值為256時，輸出的y的值為（

）A． B． C． D．163．（2022·廣西賀州·七年級期中）按下圖所示程序框圖計算，若輸入的值為，則輸出結(jié)果為（

）A． B． C．4 D．4．（2022·重慶南川·七年級期末）按如圖所示的運算程序，能使輸出的結(jié)果為5的是（

）A．、 B．、 C．、 D．、5．（2022·重慶南川·七年級期中）如圖所示是一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，若輸入某個正整數(shù)值后，輸出的值為5，則輸入的值可能為（）A．1 B．6 C．7 D．196．（2021·山西長治·八年級期末）按如圖所示的程序計算，若開始輸入的值為25，則最后輸出的y值是（

）A． B． C．5 D．7．（2022·河南洛陽·七年級期中）有一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，流程如圖．當輸入x的值為27時，輸出y的值是__________．8．（2022·河北邢臺·七年級期末）按下面程序計算：（1）當輸入時，輸出的結(jié)果為______（2）若輸入的值為大于1的實數(shù)，最后輸出的結(jié)果為17，則符合條件的的值是______9．（2022·福建莆田·七年級期末）如圖為一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器．(1)若輸入的x值為3，則輸出的y值為________；若輸入的x值為9，則輸出的y值為________；(2)若輸入x值后，經(jīng)過兩次取算術(shù)平方根運算，輸出的y值為，求輸入的x的值．(3)尚進同學輸入非負數(shù)x值后，卻始終輸不出y值．請你分析，他輸入的x值是_______．10．（2022·河南新鄉(xiāng)·七年級期末）如圖所示的是一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器．(1)當輸入的x值為9時，輸出的y值為________；當輸入x值后，經(jīng)過兩次取算術(shù)平方根運算，輸出的y值為時，輸入的x值為________．(2)嘉淇發(fā)現(xiàn)輸入x值后要取其算術(shù)平方根，因此他輸入的x值應為非負數(shù)．但是當他輸入x值后，卻始終輸不出y值，請你分析，他輸入的x值是多少？11．（2020·浙江·七年級期末）有一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器．原理如圖．（1）當輸入的為81時，輸出的是多少？（2）是否存在輸入有效的值后，始終輸不出值？如果存在．請寫出所有滿足要求的的值；如果不存在，請說明理由；（3）小明輸入數(shù)據(jù)，在轉(zhuǎn)換器運行程序時，屏幕顯示“該操作無法運行”，請你推算輸入的數(shù)據(jù)可能是什么情況？（4）若輸出的是，試判斷輸入的值是否唯一？若不唯一，請寫出其中的兩個．12．（2022·北京市師達中學七年級期中）一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，如圖所示：(1)當輸入的x為81時．輸出的y值是_________；(2)若輸入有效的x值后，始終輸不出y值，請寫出所有滿足要求的x的值；(3)若輸出的y是，請寫出兩個滿足要求的x值．考點7：新定義下的實數(shù)運算典例：（2022·云南師范大學實驗中學七年級期中）閱讀材料：對實數(shù)、，定義的含義為，當時；當時，例如：，；根據(jù)以上材料，回答下列問題：(1)若，則m=________；(2)已知，且，求的值．方法或規(guī)律點撥本題考查的是新定義運算，利用平方根的含義解方程，理解新定義的運算法則是解本題的關鍵．鞏固練習1．（2022·福建福州·八年級期中）定義一種新運算：對于任意實數(shù)a，b，都有．例如，求的值2．（2022·江蘇無錫·七年級期中）對于a、b兩數(shù)定義@的一種運算：a@b=(a?b)a+b（其中等式右邊的?和+是通常意義下的乘法與加法），則下列結(jié)論：①若a=1，b=－2，則a@b=－；

②若（－1）@x=1，則x=1；③a@b=b@a；④當a、b互為相反數(shù)時，a@b的值總是等于1．其中正確的是（

）A．①②④ B．①③ C．①③④ D．②③3．（2022·全國·七年級）規(guī)定[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如[3.6]＝3，[2]＝2，[﹣2.1]＝﹣3，則下列結(jié)論：①[﹣x]＝﹣[x]；②若[x]＝n，則x的取值范圍是n≤x＜n＋1；③當﹣1＜x＜1時，[1＋x]＋[1﹣x]的值為1或2，其中正確的結(jié)論有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個4．（2022·安徽合肥·七年級期中）對任意兩個實數(shù)a、b定義兩種運算：a▲b=，a▼b=并且定義運算順序仍然是先做括號內(nèi)的，例如（-2）▲3=3、（-2）▼3=-2、（（-2）▲3））▼2=2，那么（▲2）▼等于（

）A． B．3 C．6 D．35．（2022·福建·廈門市蓮花中學七年級期末）對于實數(shù)，我們規(guī)定表示不大于的最大整數(shù)，如，，.現(xiàn)對82進行如下操作；，這樣對82只需進行3次操作后變?yōu)?，類似地，對260只需進行（

）次操作后變?yōu)?．A．3 B．4 C．5 D．66．（2022·江西·峽江縣教學研究室七年級期末）現(xiàn)在規(guī)定兩種新的運算“﹡”和“◎”：a﹡b=；a◎b=2ab，如（2﹡3）（2◎3）=（22+32）（2×2×3）=156，則[3﹡（－1）]＋[3◎（－1）]=__________．7．（2022·河南南陽·七年級期末）先閱讀，再解答：對于三個數(shù)、、中，我們用符號來表示其中最大的數(shù)和最小的數(shù)，規(guī)定表示這三個數(shù)中最小的數(shù)，表示這三個數(shù)中最大的數(shù)．例如：，；若，則的值為______．8．（2022·河北滄州·七年級期末）對定義一種新運算，規(guī)定，這里等式右邊是通常的四則運算．如．(1)求的值；(2)計算；(3)若，求x的值．9．（2022·江蘇揚州·七年級期末）若新規(guī)定這樣一種運算法則：a※b＝a2+2ab，例如3※（﹣2）＝32+2×3×（﹣2）＝﹣3．(1)試求（﹣2）※3的值；(2)若4※x＝﹣x﹣2，求x的值．10．（2022·江蘇泰州·七年級期中）在有理數(shù)范圍內(nèi)定義一種新運算，規(guī)定（a為常數(shù)），若．(1)求；(2)設，試比較M，N的大?。?3)無論m取何值，都成立，求此時t的值．能力提升能力提升一、單選題（每題3分）1．（2022秋·河南洛陽·八年級統(tǒng)考期中）有下列命題，其中是真命題的是（

）A．無理數(shù)都是無限不循環(huán)小數(shù) B．數(shù)軸上的點和有理數(shù)一一對應C．無限循環(huán)小數(shù)都是無理數(shù) D．兩個無理數(shù)和還是無理數(shù)2．（2022秋·山東青島·八年級統(tǒng)考期末）的絕對值是（

）A． B． C． D．的絕對值等于它的相反數(shù)”，熟知求一個實數(shù)的絕對值的法則是解題關鍵．3．（2022春·江蘇南通·七年級如皋市實驗初中校考階段練習）如圖，長方形內(nèi)有兩個相鄰的正方形，面積分別為2和4，則陰影部分的面積為（）A． B． C．2 D．4．（2023春·八年級單元測試）正方形的面積是13，估計它的邊長大小在（

）A．2與3之間 B．3與4之間 C．4與5之間 D．5與6之間5．（2022秋·全國·八年級專題練習）已知為實數(shù)﹐規(guī)定運算：，，，，……，．按上述方法計算：當時，的值等于（

）A． B． C． D．6．（2022秋·浙江·八年級專題練習）