2025年中考數(shù)學(xué)一模試題分類匯編 專題10 中考?jí)狠S題（解析版）

3/136專題10中考?jí)狠S題題型概覽題型01幾何壓軸——平移題型02幾何壓軸——對(duì)稱題型03幾何壓軸——旋轉(zhuǎn)題型04二次函數(shù)綜合——線段問(wèn)題題型05二次函數(shù)綜合——面積問(wèn)題題型06二次函數(shù)綜合——角度問(wèn)題題型07二次函數(shù)綜合——三角形問(wèn)題題型08二次函數(shù)綜合——四邊形問(wèn)題題型09二次函數(shù)綜合——其他問(wèn)題題型01幾何壓軸——平移題型011．（2025·天津西青·一模）將一個(gè)直角三角形紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)．(1)填空：如圖①，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為；(2)連接，將直角三角形紙片沿剪開(kāi)，把水平向右平移得到，點(diǎn)，，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是，，，設(shè)．①如圖②，當(dāng)與重疊部分為五邊形時(shí)，分別與，相交于點(diǎn)，，與相交于點(diǎn)，試用含有的式子表示的長(zhǎng)，并直接寫(xiě)出的取值范圍；②當(dāng)時(shí)，求與重疊部分的面積的取值范圍．（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）【答案】(1)，；(2)①；②．【分析】（1）由點(diǎn)，得到，根據(jù)點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，得到，從而得出點(diǎn)坐標(biāo)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，證明為等邊三角形，求出，即可得出點(diǎn)坐標(biāo)；（2）①由平移可知，，，有，得到，再得到，根據(jù)解直角三角形可得答案；②分兩種情況：當(dāng)時(shí)，重疊部分為五邊形，當(dāng)時(shí)，重疊部分為直角三角形，分別求解即可得出答案．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)，∴，∵點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，∴，∴點(diǎn)，如圖，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，，∴∵，∴為等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∴點(diǎn)，故答案為：，；（2）解：①由（1）可知，為等邊三角形，由平移可知，，，有，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，在中，，∴；②當(dāng)時(shí)，重疊部分為五邊形，∴，由平移可得，，∴，∴為等邊三角形，同理，，在中，，，∵，∴時(shí)，時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，重疊部分為直角三角形，在中，∵，∴，，∵，∴時(shí)，時(shí)，，∴綜上所述，取值范圍為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，平移的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．2．（2025·山東日照·一模）綜合與實(shí)踐[問(wèn)題背景]：如圖1，在四邊形中，，，，連接，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，且．（1）求證：．[操作探究]：如圖2，將沿直線方向向右平移一定距離，點(diǎn)，，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，，，且點(diǎn)與點(diǎn)重合．（2）①連接，試判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；②求出平移的距離．[拓展創(chuàng)新]：如圖3，在（2）的條件下，將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，記直線分別與邊，交于點(diǎn)，．（3）當(dāng)時(shí)，請(qǐng)求出的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）①四邊形為菱形，理由見(jiàn)解析；②；（3）【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平移、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）利用“”證明，即可得到結(jié)論；（2）①根據(jù)平移的性質(zhì)和菱形的判定即可求解；②先證明，由相似三角形的性質(zhì)得到，再由勾股定理求出長(zhǎng)度，即可求解；（3）先證明，再通過(guò)三角形的面積求出的長(zhǎng)，設(shè)，則，再利用勾股定理求解即可．【詳解】（1）證明：∵，∴．又∵，∴．∴；

（2）①四邊形是菱形．理由：由平移的性質(zhì)，得，．∴四邊形是平行四邊形．由（1），得．∴四邊形是菱形；②∵，∴．∴，在中，．∴，解得．∴平移的距離為；（3）解：∵，∴，．∵，∴，，由旋轉(zhuǎn)得，∴，∴．∴．∵，∴．∴．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得，．設(shè)，則．在中，根據(jù)勾股定理，．解得．∴．3．（2025·河南周口·一模）綜合與實(shí)踐學(xué)完圖形的平移后，小慧為了加深理解，對(duì)其進(jìn)行了進(jìn)一步探究．【模型感知】（1）她把邊長(zhǎng)為3的正方形紙片沿著對(duì)角線剪開(kāi)，如圖1．然后固定紙片，把紙片沿剪痕的方向平移得到，如圖2．連接，，，在平移過(guò)程中：①四邊形的形狀始終是________（點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)除外）；②求的最小值．【拓展探究】（2）如圖3，她把正方形改為邊長(zhǎng)為1的菱形，，將沿射線的方向平移得到，連接，，，請(qǐng)直接寫(xiě)出的最小值．【答案】（1）①平行四邊形；②；（2）【分析】（1）①根據(jù)平移的性質(zhì)以及平行四邊形的判定定理，即可得到結(jié)論；②作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，當(dāng)共線時(shí)，有最小值，再證明是等腰直角三角形，且共線，在直角中，利用勾股定理即可求解．（2）同理可得是等邊三角形，且共線，進(jìn)而利用勾股定理即可求解．【詳解】（1）①∵紙片沿剪痕的方向平移得到，∴，，∴四邊形是平行四邊形，故答案是：平行四邊形；②∵四邊形是平行四邊形，∴，∴=，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，當(dāng)共線時(shí)，有最小值，此時(shí)的最小值，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，∴，，∴是等腰直角三角形，且共線，∴在直角中，，∴的最小值=．（2）如圖所示，，∵四邊形是菱形，∴，∴=，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，當(dāng)共線時(shí)，有最小值，此時(shí)的最小值，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，∴，，∴是等邊三角形，且共線，∴在直角中，，∴的最小值=．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，平移和軸對(duì)稱的性質(zhì)，作出點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵．題型02幾何壓軸——對(duì)稱題型021．（2025·遼寧撫順·一模）如圖，在中，，，點(diǎn)是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)，將沿翻折得到，連接．

(1)如圖1，①求證：；②求證：；(2)如圖2，若，當(dāng)點(diǎn)是中點(diǎn)時(shí)，求的面積．【答案】(1)①見(jiàn)解析，②見(jiàn)解析(2)的面積為12【分析】本題主要考查了解直角三角形、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、折疊性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)成為結(jié)題的關(guān)鍵．（1）①由垂線的定義以及翻折的定義可得，然后根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理即可解答；②如圖，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，結(jié)合①的結(jié)論可得，再證明可得、，進(jìn)而證明是等腰直角三角形，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可解答；（2）如圖：過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)G，先說(shuō)明，再根據(jù)正切的定義可得，進(jìn)而得到，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理列方程可得，進(jìn)而得到，再解直角三角形可得，最后根據(jù)三角形的面積公式即可解答．【詳解】（1）證明：①，

，由翻折得到的，，，四邊形的內(nèi)角和是，．②如圖，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，由①知，，由，，，

（SAS），，，，即，是等腰直角三角形，，，．（2）解：如圖：過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)G，，點(diǎn)是中點(diǎn)，，，，，

，在中，，由勾股定理得，，，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，，，，即，由，，，由（2）得，是等腰直角三角形，在中，，，．答：的面積為12．2．（2025·江蘇泰州·一模）在“紙片中的數(shù)學(xué)”主題綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某數(shù)學(xué)小組利用紙片裁剪或者折疊操作后，發(fā)現(xiàn)了很多有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題．【觀察證明】問(wèn)題1：一張長(zhǎng)方形紙片最多可以剪出多少個(gè)大小一樣的等腰直角三角形？如圖1，長(zhǎng)方形紙片中，，，小組成員小明在長(zhǎng)方形紙片中，已經(jīng)剪出8個(gè)腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形（如圖1所示）．小組成員小剛探究發(fā)現(xiàn)，在剪剩下的長(zhǎng)方形中還能再剪出1個(gè)腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形．請(qǐng)你在圖1長(zhǎng)方形中畫(huà)出該三角形的示意圖，并通過(guò)計(jì)算說(shuō)明小剛的說(shuō)法是正確的．【操作實(shí)踐】問(wèn)題2：一張正方形紙片是否可以折出正六邊形？如圖2，小組成員小東按圖2步驟折疊正方形．最后從線段處剪開(kāi)，并展開(kāi)紙片，得到了正六邊形．若原正方形邊長(zhǎng)為6，則折出的正六邊形的邊長(zhǎng)為．【答案】觀察證明：見(jiàn)解析；操作實(shí)踐：，3【分析】題目主要考查折疊的性質(zhì)，勾股定理解三角形，等邊三角形的判定和性質(zhì)，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．觀察證明：根據(jù)題意作出圖形，根據(jù)題意得出，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，，結(jié)合線段長(zhǎng)度記錄得出結(jié)果；操作實(shí)踐：根據(jù)題意得出，再由直角三角形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)確定，根據(jù)折疊問(wèn)題確定，結(jié)合圖形即可求解．【詳解】解：觀察證明：如圖，為符合條件的示意圖，其中，，∴，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，，∵，，∴，，∴能再剪1個(gè)腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形；操作實(shí)踐：根據(jù)折疊過(guò)程，如圖所示標(biāo)注字母：根據(jù)題意得：，∴點(diǎn)F為線段的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∵折疊，∴，∴，∴，根據(jù)題中折疊，得出，∴為等邊三角形，∴最后從線段處剪開(kāi)，并展開(kāi)紙片，得到了正六邊形；∵正方形邊長(zhǎng)為6，∴，∴折出的正六邊形的邊長(zhǎng)為3，故答案為：，3．3．（2025·遼寧葫蘆島·一模）如圖，中，．將沿翻折，點(diǎn)落到點(diǎn)處，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，，垂足為點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，，連接．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，連接，若．①求證：；②求的長(zhǎng)度．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①見(jiàn)解析；②【分析】（1）結(jié)合翻折的性質(zhì)證明，利用全等三角形性質(zhì)求解，即可解題；（2）①根據(jù)題意證明，進(jìn)而得到，再進(jìn)行等量代換，并結(jié)合等腰三角形性質(zhì)，即可證明；②過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，結(jié)合疊的性質(zhì)推出，利用等腰三角形性質(zhì)得到，再證明四邊形為矩形，得到，設(shè)，得到，結(jié)合勾股定理得到，據(jù)此建立方程求解，即可解題．【詳解】（1）證明：，沿翻折，點(diǎn)落到點(diǎn)處，，，，，即，，，，，；（2）①證明：，，，，，，，，；②過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由折疊的性質(zhì)可知，，，，，，，四邊形為矩形，，設(shè)，，，，，，，，整理得，解得或（不合題意，舍去），．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折的性質(zhì)，全等三角形性質(zhì)和判定，平行線性質(zhì)和判定，等腰三角形性質(zhì)，矩形性質(zhì)和判定，勾股定理，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握相關(guān)知識(shí)，并靈活運(yùn)用．4．（2025·廣東東莞·一模）綜合與實(shí)踐課上，同學(xué)們以“折紙”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)．【動(dòng)手操作】如圖1．將邊長(zhǎng)為的正方形對(duì)折，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，得到折痕．打開(kāi)后，再將正方形折疊，使得點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，得到折痕，折痕與折痕交于點(diǎn)，打開(kāi)鋪平，連接、、．【探究提煉】（1）如圖1，點(diǎn)是上任意一點(diǎn)；線段和線段存在什么關(guān)系？并說(shuō)明理由；（2）如圖2，連接，當(dāng)恰好垂直于時(shí)，求線段的長(zhǎng)度；【類比遷移】（3）如圖3，某廣場(chǎng)上有一塊邊長(zhǎng)為的菱形草坪，其中．現(xiàn)打算在草坪中修建步道和，使得點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且．①求的度數(shù)；②請(qǐng)問(wèn)步道所圍成的（步道寬度忽略不計(jì)）的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出最小值：若不存在，說(shuō)明理由．【答案】（1）,理由見(jiàn)解析；（2）；（3）①；②存在、【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可知垂直平分，再結(jié)合垂直平分線性質(zhì)求解，即可解題；（2）結(jié)合折疊的性質(zhì)，理由等腰三角形性質(zhì)，以及全等三角形性質(zhì)得到，結(jié)合正方形性質(zhì)得到，再利用三角形內(nèi)角和定理推出，最后根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求解，即可解題．（3）①過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，利用四邊形內(nèi)角和得到，結(jié)合菱形性質(zhì)證明，結(jié)合全等的性質(zhì)進(jìn)行等量代換，即可解題；②過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，結(jié)合直角三角形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，以及勾股定理得到，進(jìn)而得到，當(dāng)最小時(shí)，面積最小，即時(shí)，面積最小，利用直角三角形性質(zhì)和勾股定理求出，即可解題．【詳解】解：（1），理由如下：由折疊的性質(zhì)可知垂直平分，；（2）由（1）知，垂直平分，，，由折疊的性質(zhì)同理可得，，，，，，，恰好垂直于，四邊形為正方形，平分，，，，，，，，正方形邊長(zhǎng)為，；（3）①解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，草坪為菱形，為菱形的對(duì)角線，，，，，；②解：存在，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，，，，，整理得，，當(dāng)最小時(shí)，面積最小，即時(shí)，面積最小，，，菱形草坪的邊長(zhǎng)為，，，（）．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，垂直平分線性質(zhì)，全等三角形性質(zhì)和判定，等腰三角形性質(zhì)和判定，正方形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，菱形性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短，解題的關(guān)鍵作輔助線構(gòu)造全等三角形．5．（2025·福建泉州·一模）綜合與實(shí)踐：準(zhǔn)備在復(fù)習(xí)探究《幾何圖形變化》的時(shí)候，老師讓同學(xué)們準(zhǔn)備了兩張全等的直角三角形紙片，并且把它們的一條直角邊重合在一起（如圖1），已知，，．實(shí)踐探究平移如圖2，小明同學(xué)把沿直線平移，當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．結(jié)論1：四邊形是矩形；旋轉(zhuǎn)如圖3，小紅同學(xué)把繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊上時(shí)，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)E．結(jié)論2：可求出圖中任意一條線段的長(zhǎng)，如；對(duì)折如圖4，若點(diǎn)M，N分別是，的中點(diǎn)，小軍同學(xué)將沿著直線對(duì)折，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為．結(jié)論3：①點(diǎn)C，，N在同一條直線上；②可求出線段的長(zhǎng)．驗(yàn)證計(jì)算根據(jù)以上同學(xué)對(duì)三種圖形變化的探究，請(qǐng)你完成三個(gè)結(jié)論的證明或計(jì)算．結(jié)論3中①②可任選一個(gè)，②比①多得2分．【答案】結(jié)論1：見(jiàn)解析；結(jié)論2：；結(jié)論3：①見(jiàn)解析；②【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)得到，，再利用矩形的判定即可證明；（2）先證明四邊形是平行四邊形，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，，利用直角三角形的性質(zhì)和等角對(duì)等邊推出，得出的長(zhǎng)度，再利用即可求解；（3）①連接、，先證明四邊形是平行四邊形，得出，再由翻折的性質(zhì)得到，，進(jìn)而得出，推出，即可得證；②作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，利用等面積法求出的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出的長(zhǎng)，再證明，得到，再利用等腰三角形的性質(zhì)得出的長(zhǎng)，即可求出線段的長(zhǎng)．【詳解】解：結(jié)論1：由平移的性質(zhì)得，，，四邊形是平行四邊形，又，平行四邊形是矩形．結(jié)論2：，，，又，四邊形是平行四邊形，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，，，，，，，，．結(jié)論3：①如圖，連接、，由結(jié)論2可得，四邊形是平行四邊形，，，點(diǎn)M，N分別是，的中點(diǎn)，，，，，又，四邊形是平行四邊形，，由翻折的性質(zhì)得，，，，，，，直線和直線重合，點(diǎn)C，，N在同一條直線上；②如圖，作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，，，，由①中的結(jié)論得，，即，又，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形變換（平移、旋轉(zhuǎn)、翻折）的性質(zhì)、矩形的判定、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理，熟練掌握?qǐng)D形變換（平移、旋轉(zhuǎn)、翻折）的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．本題屬于幾何綜合題，需要較強(qiáng)的幾何推理和輔助線構(gòu)造能力，適合有能力解決幾何難題的學(xué)生．題型03幾何壓軸——旋轉(zhuǎn)題型031．（2025·四川成都·一模）如圖，四邊形和均為正方形，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)；(1)如圖①，連接，判斷直線的位置關(guān)系并說(shuō)明理由；(2)如圖②，連接，若，探索并證明線段的數(shù)量關(guān)系；(3)如圖③，若正方形、邊長(zhǎng)分別為，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，直線與相交于點(diǎn)，直接寫(xiě)線段的最小值及點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度．【答案】(1)，理由見(jiàn)解析(2)，證明見(jiàn)解析(3)的最小值為，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度為【分析】（1）延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，證明，進(jìn)而可證明，即可得結(jié)論；（2）將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接，證明，得，，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接，同理可得，，，，進(jìn)而可得三點(diǎn)共線，，用勾股定理即可得結(jié)論；（3）作于，得，在正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，，當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)最大，得，，由（1）可知，，得點(diǎn)在以為直徑的上，解直角三角形，利用勾股定理定理即可求出相關(guān)結(jié)論．【詳解】（1）解：，理由如下，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，，，，，，，，，，，，即；（2）解：，理由如下，四邊形是正方形，，，如圖，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接，，，，，，，，，如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接，同理可證，，，，，，，三點(diǎn)共線，，，，，，在中，，即，；（3）解：正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，，在以為圓心，2為半徑圓上，如圖所示：作于，中，，在正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，，當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)最大，，，，由（1）可知，，，連接，取中點(diǎn)，連接，在以為直徑的上，，，，，，此時(shí)、重合，最小，如圖所示：作，交的延長(zhǎng)線于，，，，由（1）知，，，，，，，當(dāng)點(diǎn)在左側(cè)時(shí)，如圖所示：同理可得，，點(diǎn)從左側(cè)運(yùn)動(dòng)到右側(cè)，點(diǎn)在上轉(zhuǎn)過(guò)的角度為，點(diǎn)從右側(cè)運(yùn)動(dòng)到左側(cè)，點(diǎn)在上轉(zhuǎn)過(guò)的角度為，正方形的邊長(zhǎng)為4，，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，解直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)及判定，求動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡等動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題，綜合性強(qiáng)，難度較大，能正確作出輔助線并結(jié)合圖形分類討論是正確解答此題的關(guān)鍵．2．（2025·陜西咸陽(yáng)·一模）【問(wèn)題探究】（1）如圖①，在中，，，點(diǎn)是上的一動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，求的度數(shù)；【問(wèn)題解決】（2）如圖②，四邊形是一個(gè)工廠的平面示意圖，，，，連接，，平分，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，在處修建一個(gè)員工休息處，連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，按規(guī)劃在處修建一個(gè)廢品處理站，是一條產(chǎn)品加工線，其中點(diǎn)在上，點(diǎn)是四邊形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，為方便回收廢品，現(xiàn)要沿安裝一條自動(dòng)運(yùn)輸帶．為節(jié)約成本，要使自動(dòng)運(yùn)輸帶的長(zhǎng)盡可能的小，自動(dòng)運(yùn)輸帶的長(zhǎng)是否存在最小值，若存在，請(qǐng)求出的最小值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）自動(dòng)運(yùn)輸帶的長(zhǎng)存在最小值，的最小值為【分析】（1）根據(jù)等邊對(duì)等角及三角形內(nèi)角和定理可得，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，當(dāng)最小時(shí)，此時(shí)也最小，即當(dāng)時(shí)，最?。ㄈ鐖D），由等腰三角形三線合一得，可得結(jié)論；（2）連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，證明，可得四邊形是平行四邊形，進(jìn)一步證明四邊形是菱形，得，，，以為圓心為半徑作弧，該弧交于點(diǎn)，連接，推出點(diǎn)在以為圓心為半徑的四邊形內(nèi)的弧上運(yùn)動(dòng)，繼而推出是的中位線，得，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，可得，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，證明，得到，推出隨著點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，證明四邊形是矩形，得，則的最小值為，再推出，根據(jù)平行線分線段成比例定理得，即點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，可得，，則，在中，由，在中，，可得結(jié)論．【詳解】解：（1）∵，，∴，∴，∵將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，當(dāng)最小時(shí)，此時(shí)也最小，即當(dāng)時(shí)，最?。ㄈ鐖D），此時(shí)，∴，∴當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的度數(shù)為；（2）連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，∵，∴，∵，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，在和中，∴，∴，即點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴四邊形是平行四邊形，∵平分，，∴，∴，∴四邊形是菱形，∴，，∴，以為圓心為半徑作弧，該弧交于點(diǎn)，連接，∵點(diǎn)是四邊形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，∴點(diǎn)在以為圓心為半徑的四邊形內(nèi)的弧上運(yùn)動(dòng)，∴，∴，∴點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∴，∴四邊形是矩形，∴，∵將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∴隨著點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，∴，∴四邊形是矩形，∴，∴的最小值為，∵，，，，∴，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，即點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴是的中位線，是的中位線，∴，，∴，在中，，∴，在中，，∴，∴，∴自動(dòng)運(yùn)輸帶的長(zhǎng)存在最小值，的最小值為．【點(diǎn)睛】本題是旋轉(zhuǎn)變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，平行線分線段成比例定理，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)構(gòu)造圓并確定的最小值為是解題的關(guān)鍵．3．（2024·山東泰安·一模）綜合實(shí)踐問(wèn)題背景：借助三角形的中位線可構(gòu)造一組相似三角形，若將它們繞公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線的長(zhǎng)度存在特殊的數(shù)量關(guān)系，數(shù)學(xué)小組對(duì)此進(jìn)行了研究．如圖1，在“中，，，分別取，的中點(diǎn)D，E，作．如圖2所示，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，．(1)探究發(fā)現(xiàn)：旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段和的長(zhǎng)度存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出你的猜想，并證明．(2)性質(zhì)應(yīng)用：如圖3，當(dāng)所在直線首次經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，求的長(zhǎng)．(3)延伸思考：如圖4，在中，，，，分別取，的中點(diǎn)D，E．作，將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，．當(dāng)邊平分線段時(shí)，求的值．【答案】(1)猜想，證明見(jiàn)解析(2)(3)【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)前后對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等；相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，以及解直角三角形的方法和步驟．（1）根據(jù)中點(diǎn)的定義得出，進(jìn)而得出，易得，通過(guò)證明，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)題意推出當(dāng)所在直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，，根據(jù)勾股定理可得，根據(jù)（1）可得，即可求解；（3）令相交于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)G，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得出，則，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而推出，則，求出，，則，即可解答．【詳解】（1）解：猜想，證明如下：∵點(diǎn)D和點(diǎn)E為分別為中點(diǎn)，∴由圖1可知，，∴，則，∵，∴，∴，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，∴，∴；（2）解：由圖1可知點(diǎn)D和點(diǎn)E為分別為中點(diǎn)，∴，，∴，∴，∴當(dāng)所在直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，，根據(jù)勾股定理可得：，由（1）可得：，∴，解得：；（3）解：令相交于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)G，根據(jù)題意可得：，∵，∴，∴，∵邊平分線段，，∴，∴，∵，∴，∴，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，∴，∴，∴，，∴，∴．題型04二次函數(shù)綜合——題型041．（2025·湖南岳陽(yáng)·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖1，點(diǎn)是直線下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，求線段的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖2，過(guò)平面上一點(diǎn)作任意一條直線交拋物線于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線，分別交軸于兩點(diǎn)，試探究與的積是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)最大值為，此時(shí)(3)與的積為定值，定值為2【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）求出直線的表達(dá)式為：設(shè)，過(guò)作，交于，求出，進(jìn)而求出，利用而闡述的性質(zhì)即可解答；（3）設(shè)直線的解析式為：，求出直線的解析式為：，聯(lián)立：，求出，求出直線的解析式為，進(jìn)而求出，同理：，即可解答．【詳解】（1）解：由題意的：拋物線的表達(dá)式為：；（2）解：，設(shè)直線的表達(dá)式為：，設(shè)直線的表達(dá)式為：設(shè)，過(guò)作，交于∵，∴，，的最大值為，此時(shí)；（3）解：設(shè)直線的解析式為：，且直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)直線的解析式為：聯(lián)立：得設(shè)直線的解析式為：，同理：，與的積為定值，定值為2．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，根和系數(shù)的關(guān)系等．解決（3）問(wèn)的關(guān)鍵的是通過(guò)相似三角形用坐標(biāo)表示出線段，的長(zhǎng)．2．（2025·山東臨沂·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過(guò)拋物線的頂點(diǎn)．如圖，當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，其頂點(diǎn)記為．(1)求拋物線的解析式并直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)時(shí)，的最小值為，求的值；(3)當(dāng)時(shí)．動(dòng)點(diǎn)在直線下方的拋物線上，過(guò)點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)，令，求的最大值．【答案】(1)拋物線的解析式為，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；(2)的值為或；(3)最大值【分析】（1）由拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，可得，即可求得，利用配方法將拋物線解析式化為頂點(diǎn)式即可求得答案；（2）分兩種情況：當(dāng)，即時(shí)，隨增大而減小，當(dāng)時(shí)，隨增大而增大，分別列方程求解即可；（3）把代入，可得，設(shè)點(diǎn)，可得，進(jìn)而可得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得答案；【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，∴，解得：或，∵，∴，∴拋物線的解析式為，∵，∴頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）解：如圖，當(dāng)，即時(shí)，隨增大而減小，由題意得：，解得：，（舍去），∴的值為，如圖，當(dāng)時(shí)，隨增大而增大，由題意得：，解得：（舍去），，∴的值為，綜上所述，的值為或；（3）解：由題意得：當(dāng)時(shí)，則，∵經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，可得，∴，如圖，設(shè)點(diǎn)，且，∵軸，∴，可得：，則，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值；【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)圖象與拋物線的交點(diǎn)等，涉及知識(shí)點(diǎn)多，難度大，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，運(yùn)用分類討論思想是解題關(guān)鍵．3．（2025·內(nèi)蒙古赤峰·一模）如圖，已知拋物線與軸相交于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，(1)求拋物線解析式，并求出該拋物線對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)．(2)如圖，點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，求周長(zhǎng)的最小值．(3)如圖，是線段上一動(dòng)點(diǎn)（端點(diǎn)除外），過(guò)作，交于點(diǎn)，連接．求面積的最大值，并判斷當(dāng)?shù)拿娣e取最大值時(shí)，以、為鄰邊的平行四邊形是否為菱形．【答案】(1)拋物線的解析式為：，對(duì)稱軸是直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(2)(3)以、為鄰邊的平行四邊形不是菱形【分析】（1）用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，即可求解；（2）軸對(duì)稱的性質(zhì)可知，從而得到的周長(zhǎng)，進(jìn)而得到當(dāng)點(diǎn)A、C、M在同一條直線上時(shí)可取得最小值，為的長(zhǎng)，即當(dāng)點(diǎn)A、C、M在同一條直線上時(shí)，周長(zhǎng)的最小，為，即可求解；（3）設(shè)，則，可得，，然后根據(jù)，可得，過(guò)點(diǎn)P作，可得，可得到的面積，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得面積的最大值，最后再分別計(jì)算出的長(zhǎng)，由此即可判斷以為鄰邊的平行四邊形是否為菱形．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸相交于，兩點(diǎn)，∴，解得：，∴拋物線的解析式為：，∵，∴拋物線的對(duì)稱軸是直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是．（2）解：∵點(diǎn)M在對(duì)稱軸上，A、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∴，∴的周長(zhǎng)，如圖，當(dāng)點(diǎn)A、C、M在同一條直線上時(shí)可取得最小值，為的長(zhǎng)，即當(dāng)點(diǎn)A、C、M在同一條直線上時(shí)，周長(zhǎng)的最小，為，對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)，∵，點(diǎn)，∴，∴周長(zhǎng)的最小值為：．（3）解：設(shè)，則，∵，，∴，，，∴，，即，解得：，如圖，過(guò)點(diǎn)P作，在中，，∴是等腰直角三角形，∴，∴，的面積，，面積的最大值為3，此時(shí)，∴，，∴，∴以、為鄰邊的平行四邊形不是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，一次函數(shù)的圖象性質(zhì)，菱形的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式以及二次函數(shù)的圖象性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．4．（2025·河北承德·一模）如圖1，拋物線交x軸于O，兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為B．(1)直接寫(xiě)出點(diǎn)B的坐標(biāo)________；(2)求拋物線的表達(dá)式；(3)點(diǎn)C為的中點(diǎn)，①過(guò)點(diǎn)C作，垂足為H，交拋物線于點(diǎn)E．求線段的長(zhǎng)．②點(diǎn)D為線段上一動(dòng)點(diǎn)（O點(diǎn)除外），在右側(cè)作平行四邊形．如圖2，當(dāng)點(diǎn)F落在拋物線上時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)；【答案】(1)(2)(3)①；②【分析】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、平移、平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)頂點(diǎn)式寫(xiě)出坐標(biāo)即可；（2）利用待定系數(shù)法解答即可；（3）①由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得點(diǎn)，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)為，即可得到答案；②點(diǎn)C向下平移個(gè)單位，向左平移1個(gè)單位，即可到達(dá)點(diǎn)O，求出點(diǎn)，根據(jù)平移規(guī)律即可得到答案．【詳解】（1）解：∵拋物線∴頂點(diǎn)為B的坐標(biāo)為．故答案為：（2）由題意得：，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入上式得：，解得：，拋物線的表達(dá)式為即為；（3）①由（1）知，，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為，則；②由（2）知，，∴點(diǎn)C向下平移個(gè)單位，向左平移1個(gè)單位，即可到達(dá)點(diǎn)O，當(dāng)時(shí)，，則（不合題意的值已舍去），即點(diǎn)；∵四邊形是平行四邊形，∴，∴根據(jù)點(diǎn)C平移的規(guī)律可得到題型05二次函數(shù)綜合——題型051．（2025·江西吉安·一模）已知，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的斜邊在x軸上，直角頂點(diǎn)A在y軸的正半軸上，．(1)求過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；(2)設(shè)點(diǎn)是拋物線在第一象限部分上的點(diǎn)，的面積為S，求S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求使S最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在拋物線對(duì)稱軸上，是否存在這樣的點(diǎn)M，使得為等腰三角形（P為上述（2）問(wèn)中使S最大時(shí)的點(diǎn)）？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；【答案】(1)(2)，點(diǎn)的坐標(biāo)為；(3)當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或或時(shí)，為等腰三角形．【分析】（1）由同角的余角相等得到一對(duì)角相等，再由一對(duì)直角相等，得到，由相似得比例，求出的長(zhǎng)，確定出C的坐標(biāo)，由B與C的坐標(biāo)設(shè)出拋物線的交點(diǎn)式解析式，將A坐標(biāo)代入求出a的值，確定出拋物線解析式；（2）連接，過(guò)P作垂直于x軸，將代入拋物線解析式表示出P的縱坐標(biāo)，即為的長(zhǎng)，，列出S關(guān)于m的二次函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出S最大時(shí)m的值，即可確定出此時(shí)P的坐標(biāo)；（3）分點(diǎn)M是頂點(diǎn)、點(diǎn)C是頂點(diǎn)、點(diǎn)P是頂點(diǎn)三種情況分別討論即可．【詳解】（1）解：∵，∴，，∵，∴，，∴，∴，∴，即，解得，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)過(guò)、、三點(diǎn)的拋物線的解析式為，將代入，得，解得，∴過(guò)、、三點(diǎn)的拋物線的解析式為，即；（2）解：過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為點(diǎn)，∵點(diǎn)在上，∴，∴，，，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，最大，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）解：存在．∵，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線；設(shè)點(diǎn)，∵，，∴，，．分三種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)是頂點(diǎn)時(shí)，，即，解得，．∴，②當(dāng)點(diǎn)是頂點(diǎn)時(shí)，，即，解得，．∴，，③當(dāng)點(diǎn)是頂點(diǎn)時(shí)，，即，解得，．∴，，綜上所述，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或或時(shí)，為等腰三角形．【點(diǎn)睛】此題主要考查二次函數(shù)的綜合問(wèn)題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)面積最值問(wèn)題，等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等，解題的關(guān)鍵是分類討論．2．（2025·遼寧撫順·一模）一般地，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的兩個(gè)變量x，y，以及對(duì)應(yīng)關(guān)系f，對(duì)于每一個(gè)實(shí)數(shù)x，y都有唯一確定的實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，則稱f為定義在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的一個(gè)函數(shù)，即（x為使對(duì)應(yīng)關(guān)系成立的全體實(shí)數(shù)）．例如：若，則；若，則．如圖，函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A，且，與y軸交于點(diǎn)C，且．函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)C．(1)求的表達(dá)式．(2)如圖，若為函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，作垂直x軸，垂足為E，延長(zhǎng)交的圖象于點(diǎn)F，此時(shí)稱點(diǎn)D與點(diǎn)F互為“垂直點(diǎn)”，兩垂直點(diǎn)函數(shù)值的差，即稱為“垂直差”．當(dāng)時(shí)，求的最大值以及此時(shí)的值．(3)若是函數(shù)圖象上不與點(diǎn)B重合的一點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e與的面積相等時(shí)，求出的值．【答案】(1)(2)的最大值為3，此時(shí)的值為1.5．(3)或或【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵：（1）待定系數(shù)法求出解析式即可；（2）根據(jù)列出二次函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可；（3）求出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出，根據(jù)的面積與的面積相等，列出方程進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：，，，．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．點(diǎn)．把點(diǎn)代入，得解得．（2），．拋物線的開(kāi)口向下．當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為3．此時(shí)．的最大值為3，此時(shí)的值為1.5．（3）當(dāng)時(shí)，．解得．點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為．．．．，，．解得（舍去），，，．∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．綜上所述，的值為，，．3．（2025·海南三亞·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，且二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求二次函數(shù)解析式；(2)動(dòng)直線（為常數(shù)，且）與拋物線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，連接，構(gòu)成，當(dāng)面積最大時(shí)，求的值及點(diǎn)坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值的取值范圍是_______．【答案】(1)(2)當(dāng)面積最大時(shí)，，(3)【分析】（）將代入求出a的值即可得出拋物線的解析式；（）令，則，即，令，求出點(diǎn)，，再求出直線的解析式為，設(shè)，，則可求出關(guān)于的函數(shù)解析式為；然后通過(guò)，再由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（）先求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，求出y的取值范圍即可．【詳解】（1）解：將代入得：，解得：，∴二次函數(shù)解析式為；（2）解：把代入，得，∴，把代入，得，解得：，，∴點(diǎn)，設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入，得：，解得：，∴直線的解析式為，∵動(dòng)直線與拋物線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，設(shè)，，∴，由題意可知，，∴，∵，且，∴當(dāng)時(shí)，有最大，最大值為，∴當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，∴當(dāng)面積最大時(shí)，，；（3）解：∵，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∵（為常數(shù)，且），∴當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，二次函數(shù)與線段長(zhǎng)度，二次函數(shù)與面積問(wèn)題，二次函數(shù)上點(diǎn)的特征，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．4．（2025·江蘇蘇州·一模）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，且點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)是直線下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，與交于點(diǎn)．連接，，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，面積為，面積為，面積為．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)若，求的值；(3)若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】(1)(2)(3)或．【分析】（1）根據(jù)拋物線（b、c為常數(shù)）與x軸正半軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，代入解析式解方程組即可．（2）過(guò)點(diǎn)A作軸交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)E作軸交于點(diǎn)Q，確定直線的解析式為：，設(shè)，則，，，結(jié)合，得到，得到，根據(jù)題意，得，得到方程，解答即可．（3）根據(jù)，得到，故，設(shè)，∵根據(jù)同高兩個(gè)三角形的面積之比等于對(duì)應(yīng)底的比，得，，得到，求得（舍去）；過(guò)點(diǎn)A作軸交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)E作軸交于點(diǎn)N，仿照2問(wèn)解答即可．【詳解】（1）解：∵拋物線（b、c為常數(shù)）與x軸正半軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，∴，解得，∴．（2）解：∵拋物線與x軸正半軸交于點(diǎn)，且對(duì)稱軸為直線，，∴，設(shè)直線的解析式為，將，代入直線的解析式得：，解得，∴直線的解析式為：，過(guò)點(diǎn)A作軸交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)E作軸交于點(diǎn)Q，∴，設(shè)，則，∴，∵點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴，∵根據(jù)同高兩個(gè)三角形的面積之比等于對(duì)應(yīng)底的比，得，∴，整理，得，解得，∵點(diǎn)E是直線下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴，∴．（3）解：∵，∴，∴，設(shè)，∵根據(jù)同高兩個(gè)三角形的面積之比等于對(duì)應(yīng)底的比，得，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，解得（舍去）；，過(guò)點(diǎn)A作軸交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)E作軸交于點(diǎn)N，∴，設(shè)，則，∴，∵點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴，∴，整理，得，解得或，∵點(diǎn)E是直線下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴，∴都符合題意，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)；故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，三角形相似的判定和性質(zhì)，一元二次方程的解法，三角形的面積性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法，解方程，三角形相似的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型06二次函數(shù)綜合——題型061．（2025·遼寧營(yíng)口·一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與直線l交于B，C兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式和點(diǎn)B的坐標(biāo)．(2)如圖2，若拋物線與y軸交于點(diǎn)D，連接，拋物線上是否存在點(diǎn)M，使？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2)點(diǎn)M的坐標(biāo)為或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式，即可求解；（2）先求出點(diǎn)D的坐標(biāo)為，可得，，，的長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)E，再由，可得，再由勾股定理求出，從而得到，是等腰直角三角形，進(jìn)而得到，再由，可得，過(guò)點(diǎn)M作軸于點(diǎn)F，可得是等腰直角三角形，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，可得，，即可求解．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，∴，解得：，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為；令，則，解得：，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為；（2）解：對(duì)于，令，，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為，∴，∵點(diǎn)，∴，，如圖，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)E，∵，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，過(guò)點(diǎn)M作軸于點(diǎn)F，∴是等腰直角三角形，∴，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，∴，，∴，解得：（舍去）或2或4，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，涉及了求二次函數(shù)的解析式，解一元二次方程，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．2．（2025·四川成都·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸，軸分別交于點(diǎn)，，拋物線：經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接，且．(1)求該拋物線的解析式；(2)如圖2，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，且位于第三象限，于點(diǎn)，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)拋物線與拋物線：關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，拋物線與軸正半軸交于點(diǎn)，作交直線于點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)，使得∠，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)或；(3)或【分析】（1）先求出，，再根據(jù)，求出，利用待定系數(shù)法即可求解；（2）取的中點(diǎn)，在的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)G，使點(diǎn)G與點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱，得到，根據(jù)，求出，證明四邊形是矩形，求出直線，聯(lián)立，求解即可；（3）拋物線與拋物線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求出的函數(shù)表達(dá)式為，分點(diǎn)H位于第一象限，點(diǎn)H位于第三象限兩種情討論即可．【詳解】（1）解：直線與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B，，，，，，，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，C，解得拋物線的解析式為；（2）解：，，，，取的中點(diǎn)，在的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)G，使點(diǎn)G與點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱，，，，，，，四邊形是矩形，，設(shè)直線且過(guò)點(diǎn)，，，或；（3）解：拋物線與拋物線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，的函數(shù)表達(dá)式為，點(diǎn)F的坐標(biāo)為，，點(diǎn)G的坐標(biāo)為，在x軸上取一點(diǎn)P，使得，此時(shí)，設(shè)，，，，，當(dāng)點(diǎn)H位于第一象限時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，作軸于點(diǎn)M，作軸于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，，，，，∵∴∵∴，，，，，，，，直線與交于點(diǎn)H，（舍去），點(diǎn)H的坐標(biāo)為，

當(dāng)點(diǎn)H位于第三象限時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)Q關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱，此時(shí)，，，（舍去），點(diǎn)H的坐標(biāo)為，綜上所述，點(diǎn)H的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形．注意掌握分類討論思想與方程思想的應(yīng)用．3．（2025·廣東中山·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)P是x軸上一點(diǎn)，若是等腰三角形，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖（2），點(diǎn)D是直線下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E，問(wèn)：是否存在點(diǎn)D，使得?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或；(3)點(diǎn)D的坐標(biāo)為．【分析】（1）將A，B坐標(biāo)代入拋物線解析式中，利用待定系數(shù)法可求；（2）求出線段的長(zhǎng)，分類討論解答即可；（3）取的中點(diǎn)M，連接交于H，交軸于G，作軸于F，，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得出，這樣．利用三角形的相似得出．從而得到M的坐標(biāo)；求出直線的解析式，然后與拋物線解析式聯(lián)立成方程組，解方程組可求交點(diǎn)D的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：將代入得：．解得：．∴此拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；（2）解：令，．∴．∴．∵，∴．∴．若是等腰三角形，分三種情形：當(dāng)時(shí)，，∴，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為或；當(dāng)時(shí)，．∴P點(diǎn)坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，∵，，∴．解得：．∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為．綜上，是等腰三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或；（3）解：存在，D點(diǎn)坐標(biāo)為．理由：如圖，取的中點(diǎn)M，連接交于H，交軸于G，作軸于F，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴M的坐標(biāo)為，∴，，∵，∵，∴，∴，即，∴，∴，設(shè)直線的解析式為，將代入得，解得，∴直線的解析式為，∴聯(lián)立得，解得：或，當(dāng)時(shí)，，∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴存在點(diǎn)D使得，點(diǎn)D的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．待定系數(shù)法是確定解析式的重要方法；利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長(zhǎng)度，從而求出線段之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．將兩個(gè)解析式聯(lián)立可以求出交點(diǎn)的坐標(biāo)．題型07二次函數(shù)綜合——題型071．（2025·廣東惠州·一模）如圖，已知直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線與直線交于、兩點(diǎn)，與軸交于兩點(diǎn)，且線段．(1)求該拋物線的解析式；(2)動(dòng)點(diǎn)在軸上移動(dòng)，當(dāng)是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)，使的值最大，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或或(3)【分析】（1）首先得點(diǎn)，，那么把，坐標(biāo)代入即可求得函數(shù)解析式；（2）讓直線解析式與拋物線的解析式結(jié)合即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)．是直角三角形，應(yīng)分點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，點(diǎn)是直角頂點(diǎn)，點(diǎn)是直角頂點(diǎn)三種情況探討；（3）首先得的值最大，應(yīng)找到關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交對(duì)稱軸的一點(diǎn)就是．應(yīng)讓過(guò)的直線解析式和對(duì)稱軸的解析式聯(lián)立即可求得點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】（1）解：直線與軸交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，，∵，，過(guò)和，則，解得：拋物線的解析式為：（2）設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則它的縱坐標(biāo)為，即點(diǎn)的坐標(biāo)，又點(diǎn)在直線上，解得（舍去），，的坐標(biāo)為．（Ⅰ）當(dāng)為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)作交軸于點(diǎn)，設(shè)，∵直線與x軸交于點(diǎn)D，令，則∴點(diǎn)坐標(biāo)為，∵，∴∵∴，∴，即，，．（Ⅱ）同理，當(dāng)為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)作交軸于點(diǎn)，過(guò)作軸于，同理可證，∴，∵點(diǎn)坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為∴即，，，，∴點(diǎn)坐標(biāo)為．（Ⅲ）當(dāng)為直角頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)，由，得，∴，由得，解得，，此時(shí)的點(diǎn)的坐標(biāo)為或，綜上所述，滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或；（3）拋物線的對(duì)稱軸為，、關(guān)于對(duì)稱，，要使最大，即是使最大，由三角形兩邊之差小于第三邊得，當(dāng)、、在同一直線上時(shí)的值最大．∵，，設(shè)直線的解析式為∴，解得∴直線的解析式為由，得，．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)一個(gè)三角形是直角三角形，應(yīng)分不同頂點(diǎn)為直角等多種情況進(jìn)行分析；求兩條線段和或差的最值，都要考慮做其中一點(diǎn)關(guān)于所求的點(diǎn)在的直線的對(duì)稱點(diǎn)得出是解題關(guān)鍵．2．（2025·河南焦作·一模）新定義：若一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之和為6，那么稱這個(gè)點(diǎn)為“和六點(diǎn)”．已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)該反比例函數(shù)圖象上的所有“和六點(diǎn)”．(1)求該二次函數(shù)的解析式；(2)若，請(qǐng)直接寫(xiě)出的解集；(3)已知二次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于（點(diǎn)的橫坐標(biāo)小于點(diǎn)的橫坐標(biāo)）兩點(diǎn)，為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)．若是以為頂點(diǎn)的等腰三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)或(3)或【分析】本題主要考查了二次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，兩點(diǎn)距離計(jì)算公式，等腰三角形的定義，正確理解題意求出反比例函數(shù)上的“和六點(diǎn)”的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．（1）先利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式為，設(shè)反比例函數(shù)上的“和六點(diǎn)”為，根據(jù)“和六點(diǎn)”的定義建立方程求出反比例函數(shù)上的“和六點(diǎn)”坐標(biāo)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式即可；（2）根據(jù)函數(shù)圖象找到反比例函數(shù)圖象在二次函數(shù)圖象上方時(shí)自變量的取值范圍即可；（3）先求出對(duì)稱軸，再設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，根據(jù)，利用兩點(diǎn)距離計(jì)算公式建立方程求解即可．【詳解】（1）解：反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，．反比例函數(shù)的解析式為．設(shè)反比例函數(shù)上的“和六點(diǎn)”為．．解得，經(jīng)檢驗(yàn)，都是原方程的解，反比例函數(shù)圖象上的“和六點(diǎn)”為．二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)，．解得二次函數(shù)的解析式為．（2）解：由函數(shù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，的解集為或．（3）解：由（1）可知，拋物線解析式為．拋物線對(duì)稱軸為．點(diǎn)在拋物線對(duì)稱軸上，∴可設(shè)．點(diǎn)的橫坐標(biāo)小于點(diǎn)的橫坐標(biāo)，．是以為頂點(diǎn)的等腰三角形，．，，．解得．點(diǎn)的坐標(biāo)為或．3．（2025·天津紅橋·一模）已知拋物線（b，c為常數(shù)）與x軸相交于，兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C．(1)求該拋物線的解析式；(2)若P是該拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn)．①當(dāng)點(diǎn)P在第一象限，且是等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)①或或；②或【分析】此題考查了圓周角定理、勾股定理、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合是解題關(guān)鍵．（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）①分三種情況分別進(jìn)行解答即可；②畫(huà)出圖形利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行解答即可．【詳解】（1）解：把，代入得，，解得，∴該拋物線的解析式為；（2）①∵∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，，，，，當(dāng)時(shí)，，則，解得，或（不合題意，舍去）；當(dāng)時(shí)，，則，解得，或（不合題意，舍去）；當(dāng)時(shí)，，則，解得，綜上可知，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或；②如圖，以為鄰邊作正方形，分別以點(diǎn)為圓心，以的長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓分別交直線于點(diǎn)、，連接，根據(jù)圓周角定理可知，得到，即為所求的角，如圖，連接由題意可知，，在中，，∴，∴，在中，，∴，綜上可知，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或4．（2025·江蘇宿遷·一模）如圖，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．點(diǎn)是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)求線段的最大值；(3)是否存在以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出，再求出直線的解析式為，設(shè)，則，求出，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（3）先求出，根據(jù)以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，分或，兩種情況討論，設(shè)，則，求出，建立方程求解即可．【詳解】（1）解：將、兩點(diǎn)代入拋物線，則，解得：，即拋物線解析式為：；（2）解：將代入中，則，∴，又∵，設(shè)直線的解析為，則，解得：，∴直線的解析為，設(shè)，則，∴，∵，且，∴當(dāng)時(shí)，線段有最大值為；（3）解：存在以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，理由如下：∵，∴∴，∵軸，∴，∴，∵以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，∴或，∵，.∴，設(shè)，則，∴，∴或，解得(P與C重合，舍去)或或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，,∴.P的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，相似三角形性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是分類討論思想的應(yīng)用，5．（2025·黑龍江齊齊哈爾·一模）如圖，拋物線交軸于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．(1)求拋物線的函數(shù)解析式．(2)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，與交于點(diǎn)，與拋物線交于點(diǎn)，連接、，求四邊形的面積的最大值，并寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．(3)在（2）的條件下，點(diǎn)N是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，求當(dāng)N點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，的值最小，最小值為．(4)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)A、C、M為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)四邊形的面積最大為16；點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3)，(4)點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或【分析】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，熟練掌握用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式的方法和步驟，以及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．（1）把，代入，求出b和c的值，即可得出函數(shù)解析式；（2）易得，設(shè)，則，求出，則，根據(jù)四邊形的面積，結(jié)合二次函數(shù)的增減性，即可解答；（3）作C點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接與x軸相交于點(diǎn)N，此時(shí)的值最小，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式即可求出的最小值，再求出直線的解析式為，即可得到點(diǎn)N的坐標(biāo)；（4）設(shè)，根據(jù)兩點(diǎn)之間距離公式得出，，，然后分情況根據(jù)勾股定理列出方程求解即可．【詳解】（1）解：把，代入得：，解得：，∴該二次函數(shù)的解析式；（2）解：∵，，∴，∴，設(shè)直線的解析式為，代入得，，解得，∴直線的解析式為，設(shè)，則，∴，∴，∴四邊形的面積，∵，∴當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最大為16，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為；（3）解：作C點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接與x軸相交于點(diǎn)N，此時(shí)的值最小，，設(shè)直線的解析式為，則，解得：，則直線的解析式為，令，解得：，此時(shí)點(diǎn)；（4）解：設(shè)，∵，，∴，，，當(dāng)斜邊為時(shí)，，即，整理得：，解得：；當(dāng)斜邊為時(shí)，，即，解得：；∴當(dāng)斜邊為時(shí)，，即，解得：；∴綜上：點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．6．（2025·陜西商洛·一模）如圖，已知拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)拋物線關(guān)于軸對(duì)稱得到拋物線，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為為拋物線上一點(diǎn)且在軸上方，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接．當(dāng)和相似時(shí)，求符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)點(diǎn)的坐標(biāo)是或【分析】本題考查二次函數(shù)綜合，涉及待定系數(shù)法確定函數(shù)表達(dá)式、二次函數(shù)與相似三角形綜合、解一元二次方程等知識(shí)，熟練掌握二次函數(shù)圖象與性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．（1）由待定系數(shù)法求二次函數(shù)表達(dá)式即可得到答案；（2）先求出關(guān)于軸對(duì)稱得到拋物線，由題意可知，從而由題中和相似，分兩種情況分類討論求解即可得到答案．【詳解】（1）解：拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，，解得，拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；（2）解：拋物線關(guān)于軸對(duì)稱得到拋物線，拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，，拋物線的對(duì)稱軸為，，，，，若和相似，則分兩種情況：①；②；設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，則，，則，解得或（與重合，舍去），為拋物線上一點(diǎn)且在軸上方，；當(dāng)時(shí)，，則，，則，解得或（與重合，舍去），為拋物線上一點(diǎn)且在軸上方，；綜上所述，當(dāng)和相似時(shí)，符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)是或．7．（2025·青海西寧·一模）【閱讀理解】在平面直角坐標(biāo)系中，我們把橫，縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)叫做“不動(dòng)點(diǎn)”，例如，都是“不動(dòng)點(diǎn)”．【遷移應(yīng)用】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線：與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線表達(dá)式及拋物線上“不動(dòng)點(diǎn)”的坐標(biāo)；(2)如圖，將拋物線沿直線折疊得到新的圖象，若恰好有個(gè)“不動(dòng)點(diǎn)”，求的值；(3)如圖，點(diǎn)為“不動(dòng)點(diǎn)”，點(diǎn)是拋物線上的點(diǎn)，試探究：在第一象限是否存在這樣的點(diǎn)，，使？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，，(2)(3)存在，或【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵：（1）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，令，求出不動(dòng)點(diǎn)即可；（2）當(dāng)直線和折疊的部分拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，滿足題設(shè)要求，相當(dāng)于折疊前拋物線和直線只有一個(gè)交點(diǎn)，則直線、關(guān)于直線設(shè)該直線和軸的交點(diǎn)為對(duì)稱，則是的中點(diǎn)，即可求解；（3）分當(dāng)點(diǎn)在拋物線內(nèi)部和點(diǎn)在拋物線外部，兩種進(jìn)行討論求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，∴，把代入，得：，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，解得：或，∴拋物線上“不動(dòng)點(diǎn)”的坐標(biāo)為：，；（2）由題意，設(shè)“不動(dòng)點(diǎn)”所在的直線表達(dá)式為：，如圖直線，當(dāng)直線和折疊的部分拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，滿足題設(shè)要求，相當(dāng)于折疊前拋物線和直線只有一個(gè)交點(diǎn)，則直線、關(guān)于直線設(shè)該直線和軸的交點(diǎn)為對(duì)稱，則是的中點(diǎn)，聯(lián)立和原拋物線得：，則，則，∴直線，當(dāng)時(shí)，，∴，∵是的中點(diǎn)，∴，把代入，得：；（3）存在，理由：∵，，，∴，，，則，即為直角三角形，且，，∴，，∴，設(shè)點(diǎn)，①當(dāng)點(diǎn)在拋物線內(nèi)部時(shí)，過(guò)點(diǎn)作軸，交軸于點(diǎn)，作于點(diǎn)，則：，∴，∴，∴，∴，∴，∴，即：，∵在拋物線上，∴，解得：或（舍去），∴點(diǎn)．②當(dāng)點(diǎn)在拋物線外部時(shí)，同法可得：，∴，解得：或（舍去）；∴；綜上：或．題型08二次函數(shù)綜合——題型081．（2025·四川雅安·一模）如圖，直線與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B．(1)求k的值和點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)求拋物線的表達(dá)式；(3)為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M且垂直于x軸的直線與直線及拋物線分別交于點(diǎn)P，N．若以O(shè)，B，N，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求m的值．【答案】(1)，，(2)(3)或．【分析】本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用和數(shù)形結(jié)合思想，理解二次函數(shù)最值的求法是解題的關(guān)鍵．（1）利用待定系數(shù)法將代入即可得到及函數(shù)解析式，進(jìn)一步即可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）利用待定系數(shù)法求出答案即可；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得到，分兩種情況得到的值．【詳解】（1）解：把代入，得，∴解得，∴直線的解析式為，∴，（2）把分別代入，解得，∴拋物線的解析式為，（3）解：∵，∴P，N，有兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的上方時(shí)，，∵四邊形為平行四邊形，∴，即，解得，②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的下方時(shí)，，同理，，解得，綜上所述，的值為或．2．（2025·山東煙臺(tái)·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與y軸交于點(diǎn)．經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的拋物線交直線于點(diǎn)A，C，拋物線的頂點(diǎn)為D．

(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)M是線段上一點(diǎn)，N是拋物線上一點(diǎn)，平行于y軸且交x軸于點(diǎn)E，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，Q是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)．是否存在以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)，(3)或或或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（2）求出直線的表達(dá)式為，設(shè)，則，，分情況表示出，，結(jié)合，列方程求出，即可求解；（3）畫(huà)出圖形，分是四邊形的邊和是四邊形的對(duì)角線，進(jìn)行討論，利用勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，函數(shù)圖像的交點(diǎn)，平移等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行解答即可得出答案．【詳解】（1）解：∵拋物線過(guò)原點(diǎn)，，將代入拋物線中，得，解得：，∴拋物線的表達(dá)式為；（2）解：設(shè)直線的解析式為，將代入得：，解得：，∴直線的解析式為，設(shè)，，其中．當(dāng)在點(diǎn)上方時(shí)，，．∵，∴．∴，解得：（不合題意，舍去）；當(dāng)M在N點(diǎn)下方時(shí)，．∴，解得：（不合題意，舍去）．∴滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)有兩個(gè)．（3）解：存在，滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)有4個(gè)．如圖，若是四邊形的邊，拋物線的對(duì)稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，，∴拋物線的對(duì)稱軸與直線相交于點(diǎn)，聯(lián)立，解得：或（舍去），，過(guò)點(diǎn)分別作直線的垂線交拋物線于點(diǎn)，，，，，，∴點(diǎn)與點(diǎn)重合．當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形．∵向右平移1個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位得到．∴向右平移1個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位得到，此時(shí)直線的解析式為．∵直線與平行且過(guò)點(diǎn)，∴直線的解析式為．∵點(diǎn)是直線與拋物線的交點(diǎn)，∴，解得：（舍去）．，當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形，∵向左平移3個(gè)單位，向上平移3個(gè)單位得到．∴向左平移3個(gè)單位，向上平移3個(gè)單位得到．如圖，若是四邊形的對(duì)角線，當(dāng)時(shí)．過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，過(guò)點(diǎn)作，垂足為．可得，，，設(shè)，，∵點(diǎn)不與點(diǎn)重合，和，，，∴如圖，滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè)．即．當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形．∵向左平移個(gè)單位，向下平移個(gè)單位得到．∴向向平移個(gè)單位，向下平移個(gè)單位得到．當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形．∵向右平移個(gè)單位，向上平移個(gè)單位得到．∴向右平移個(gè)單位，向上平移個(gè)單位得到．綜上，滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，本題主要涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，勾股定理，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，點(diǎn)的平移等知識(shí)，根據(jù)題意畫(huà)出符合條件的圖形，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．3．（2025·四川達(dá)州·一模）如圖．拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸：直線與軸交于點(diǎn)．(1)求該拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)是直線上方的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，如圖1，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)及的最大值；(3)若點(diǎn)為對(duì)稱軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn)，且在軸上方，為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使得以為頂點(diǎn)的四邊形為正方形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，最大值為(3)不存在，理由見(jiàn)解析【分析】本題考查二次函數(shù)綜合，涉及待定系數(shù)法求解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)；（1）根據(jù)拋物線與軸交于，對(duì)稱軸：直線，列方程組求解即可；（2）先求出直線解析式為，過(guò)作軸交直線于，過(guò)作軸交直線于，則，得到，則，再求出，設(shè)，則，，代入計(jì)算求最大值即可；（3）過(guò)作軸，由得到，根據(jù)給定的條件發(fā)現(xiàn)在內(nèi)部，即，但是由以為頂點(diǎn)的四邊形為正方形，得到必定是等腰直角三角形，或，與矛盾，據(jù)此得到不存在以為頂點(diǎn)的四邊形為正方形．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于，對(duì)稱軸：直線，∴，解得，∴該拋物線的解析式為；（2）解：令，則，令，則，解得，∴，，設(shè)直線解析式為，把代入得，解得，∴直線解析式為，過(guò)作軸交直線于，過(guò)作軸交直線于，則，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，設(shè)，則，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)，∴當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，最大值為；（3）解：不存在，理由如下：過(guò)作軸，∵，，∴，∴，∴，∵點(diǎn)是直線上方的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為對(duì)稱軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn)，且在軸上方，∴在內(nèi)部，∴，假設(shè)存在以為頂點(diǎn)的四邊形為正方形，∴必定是等腰直角三角形，∴或，與矛盾，∴假設(shè)不成立，∴不存在以為頂點(diǎn)的四邊形為正方形．4．（2025·陜西咸陽(yáng)·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若點(diǎn)F為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)E為直線上一點(diǎn)，當(dāng)以A，B，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是以為邊的平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)點(diǎn)F的坐標(biāo)為，，，【分析】此題考查了二次函數(shù)圖象和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）畫(huà)出圖形根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．【詳解】（1）解：∵，，，∴將，，代入得：，解得，∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；（2）∵點(diǎn)F為拋物線上一點(diǎn)，設(shè)，∵點(diǎn)E為上一點(diǎn)，設(shè)，當(dāng)以A，B，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是以為邊的平行四邊形時(shí)，，解得或，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為，，，．5．（2025·湖南衡陽(yáng)·一模）拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．(1)求拋物線的表達(dá)式．(2)如圖1，連接，并延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，連接，交軸于點(diǎn)．點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的值是否為定值，若是，請(qǐng)求出定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)將該拋物線向左平移4個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，得到如圖2所示的拋物線剛好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)．在平面內(nèi)確定一點(diǎn)，使以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．【答案】(1)(2)的值為定值10，理由見(jiàn)詳解(3)點(diǎn)坐標(biāo)為或【分析】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達(dá)式，相似三角形的判定和性質(zhì)，拋物線和菱形的綜合等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法和菱形的判定和性質(zhì)．（1）利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可；（2）過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，得出，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，列出關(guān)于的代數(shù)式，化簡(jiǎn)代數(shù)式即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)菱形的判定和性質(zhì)分類討論，根據(jù)題意畫(huà)出圖形，假設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)邊平行且相等列出方程，解方程即可得出坐標(biāo)．【詳解】（1）解：將，兩點(diǎn)代入得，解得，∴拋物線的表達(dá)式為；（2）解：的值為定值10，理由如下，如圖，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn),則,∴,即假設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，，,，，∴，整理得，∴的值為定值10；（3）解：平移后拋物線的表達(dá)式為，整理得，聯(lián)立，解得，∴點(diǎn)坐標(biāo)為，∴根據(jù)勾股定理得，拋物線的對(duì)稱軸為直線，①當(dāng)以點(diǎn)為圓心長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓時(shí)，此圓與直線無(wú)交點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為；②當(dāng)以點(diǎn)為圓心長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓時(shí)，如下圖所示，假設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，∴解得或，即，假設(shè)，∵,∴，；，；解得；；所以此時(shí)；③當(dāng)為菱形的對(duì)角線時(shí)，作的垂直平分線，交對(duì)稱軸于點(diǎn)，如下圖所示，假設(shè)，∴即解得∴假設(shè)，根據(jù)得，，解得，所以此時(shí)綜上可得點(diǎn)坐標(biāo)為或．6．（2025·江蘇揚(yáng)州·一模）已知拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，若點(diǎn)是拋物線在第四象限上的任意一點(diǎn)，①連接，點(diǎn)D為y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)P和點(diǎn)D，使得以A、C、P、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．②將點(diǎn)P按豎直方向向下平移m個(gè)單位到點(diǎn)Q，求點(diǎn)Q到x軸距離的最大值．【答案】(1)拋物線的解析式為；(2)①存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為；②點(diǎn)Q到x軸的距離的最大值為．【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)，二次函數(shù)與幾何綜合，二次函數(shù)的性質(zhì)，正確求得二次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可解答；（2）①畫(huà)出圖形，利用平行四邊形的性質(zhì)即可解答；②求得點(diǎn)的縱坐標(biāo)的表達(dá)式，利用配方法即可解答．【詳解】（1）解：∵拋物線與y軸交于點(diǎn)，∴，

∵拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，可得，解得，拋物線的解析式為；（2）解：①存在，如圖，過(guò)點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，，當(dāng)四邊形為平行四邊形時(shí)，，，，，，，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，則，故存在點(diǎn)，使得以A、C、P、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；②∵點(diǎn)是拋物線在第四象限上的任意一點(diǎn)∴，，∵點(diǎn)按豎直方向向下平移個(gè)單位到點(diǎn)，∴，∴點(diǎn)到x軸的距離為，此時(shí)滿足，∴點(diǎn)到x軸的距離的最大值為．7．（2025·江蘇徐州·一模）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)都在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上，且，求的最大值；(3)若點(diǎn)是直線上的點(diǎn)，二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），使得四邊形是面積為2的正方形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)n的最大值為(3)存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為【分析】（1）把代入求解即可；（2）根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性可得出，設(shè)，則，解方程組，求出，把代入，求出n關(guān)于t的二次函數(shù)，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（3）先求出直線表達(dá)式為，當(dāng)在右上方時(shí)，如圖，設(shè)直線與y軸交于點(diǎn)E，過(guò)B作于F，則，，根據(jù)正切的定義求出，則可求，進(jìn)而求出直線表達(dá)式為，聯(lián)立方程組，解方程組即可；當(dāng)在左下方時(shí)，同理求解即可．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，∴，∴二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）解：∵，∴拋物線對(duì)稱軸為直線，∴點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，∴，∴，設(shè)，則，解方程組，得，∴，∵，∴拋物線開(kāi)口向下，∴當(dāng)時(shí)，n隨t的增大而減小，又，∴當(dāng)時(shí)，n有最大值為；（3）解：對(duì)于，令，則，∴，∵，∴，∴，設(shè)直線表達(dá)式為，則，解得，∴直線表達(dá)式為，∵正方形的面積為2，∴正方形的邊長(zhǎng)為，當(dāng)在右上方時(shí)，如圖，設(shè)直線與y軸交于點(diǎn)E，過(guò)B作于F則，，∴，∴，又，∴，∴，∵∴直線表達(dá)式為，聯(lián)立方程組，解得或，∴，，∴，符合題意；當(dāng)在左下方時(shí)，同理可求直線表達(dá)式為，聯(lián)立方程組，解得或，∴，，∴，不符合題意，舍去，綜上，當(dāng)時(shí)，正方形的面積為2．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，解直角三角形，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理，正確作出輔助線，構(gòu)造等腰直角三角形解答．8．（2025·湖南·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，設(shè)的對(duì)稱軸為直線．(1)求的值；(2)設(shè)與軸的交點(diǎn)為，，曲線是與關(guān)于軸對(duì)稱的拋物線，若，求的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，設(shè)在的對(duì)稱軸左側(cè)有直線軸，且與和分別交于點(diǎn)，另有一條直線軸，且與和分別交于點(diǎn)，當(dāng)四邊形是正方形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)及正方形的邊長(zhǎng)．【答案】(1)(2)曲線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，解析式為(3)，正方形的邊長(zhǎng)為【分析】本題主要考查二次函數(shù)圖象與幾何圖形的綜合，掌握待定系數(shù)法求解析式，軸對(duì)稱的性質(zhì)，二次函數(shù)與特殊圖形求邊長(zhǎng)的計(jì)算是關(guān)鍵．（1）根據(jù)拋物線過(guò)點(diǎn)，對(duì)稱軸直線為，代入計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)對(duì)稱軸直線為，結(jié)合可得，代入拋物線，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求解；（3）根據(jù)四邊形是正方形，得到，設(shè)，則，，，，代入計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，設(shè)的對(duì)稱軸為直線，∴，∴，解得，；（2）解：∵設(shè)與軸的交點(diǎn)為，，拋物線的對(duì)稱軸直線為，∴，且，∴解得，，∴，∴，且，∴，整理得，，解得，，∴，∴拋物線的解析式為，∴，即拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∵曲線是與關(guān)于軸對(duì)稱的拋物線，則曲線圖象開(kāi)口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴曲線的解析式為；（3）解：如圖所示，∵四邊形是正方形，∴，∵點(diǎn)在拋物線的圖象上，點(diǎn)在拋物線的圖象上，∴設(shè)，∴，∴，，∵點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，∴，則，∴，∴，整理得，，解得，（大于，不符合題意，舍去），，∴，，∴，正方形的邊長(zhǎng)為．題型09二次函數(shù)綜合——題型091．（2025·廣東江門(mén)·一模）如圖，二次函數(shù)（常數(shù)）與x軸從左到右的交點(diǎn)為A、B，過(guò)線段的中點(diǎn)D作軸，交反比例函數(shù)于點(diǎn)C，且．(1)求反比例函數(shù)的解析式．(2)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)，并求直線與拋物線的對(duì)稱軸之間的距離．(3)把拋物線在直線右側(cè)部分的圖象（含與直線的交點(diǎn)）記為E，用t表示圖象E最低點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)，直線與拋物線的對(duì)稱軸之間的距離為(3)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，【分析】本題考查了二次函數(shù)的幾何綜合，求反比例函數(shù)的解析式，求對(duì)稱軸，二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)問(wèn)題，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）先結(jié)合點(diǎn)D是線段的中點(diǎn)，得，結(jié)合，故，即可作答．（2）把代入，得出，得，二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，再求出，即可作答．（3）先表示出，二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，，再結(jié)合把拋物線在直線右側(cè)部分的圖象（含與直線的交點(diǎn)）記為E，且，則當(dāng)時(shí)，故，代入，得，當(dāng)時(shí)，即，把代入，則，即可作答．【詳解】（1）解：∵過(guò)線段的中點(diǎn)D作軸，∴∵，∴∴∵點(diǎn)C在反比例函數(shù)于∴，∴反比例函數(shù)的解析式為；（2）解：∵，且，∴，∵二次函數(shù)（常數(shù)）與x軸從左到右的交點(diǎn)為A、B，∴，∴，二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，∵過(guò)線段的中點(diǎn)D作軸，∴，∴，∴，則直線與拋物線的對(duì)稱軸之間的距離為1；（3）解：∵，∴當(dāng)時(shí)，，∴，∵二次函數(shù)（常數(shù)）與x軸從左到右的交點(diǎn)為A、B，且，∴，此時(shí)二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，∵過(guò)線段的中點(diǎn)D作軸，∴，∴，∵把拋物線在直線右側(cè)部分的圖象（含與直線的交點(diǎn)）記為E，且，當(dāng)時(shí)，即，故，把代入，得，∴．當(dāng)時(shí)，即，把代入，得，∴．綜上：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；2．（2025·遼寧撫順·一模）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，如果一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)絕對(duì)值相等，則稱該點(diǎn)為“絕值點(diǎn)”．例如，，，…都是“絕值點(diǎn)”．若某函數(shù)圖象上只存在兩個(gè)“絕值點(diǎn)”，則稱該函數(shù)為“絕值函數(shù)”．例如的圖象上存在，兩個(gè)“絕值點(diǎn)”，則稱函數(shù)為“絕值函數(shù)”．(1)求反比例函數(shù)圖象上的“絕值點(diǎn)”的坐標(biāo)；(2)判斷二次函數(shù)是不是“絕值函數(shù)”，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)“絕值函數(shù)”的“絕值點(diǎn)”分別是點(diǎn)A，（點(diǎn)A在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e為1時(shí)，求的值．【答案】(1)，(2)是“絕值函數(shù)”，理由見(jiàn)解析(3)或【分析】（1）根據(jù)“絕值點(diǎn)”的定義得，反比例函數(shù)圖象上的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)絕對(duì)值相等，得到，則有或，解得，或無(wú)解，即可求解；（2）當(dāng)時(shí)，，即，解得，，則兩個(gè)“絕值點(diǎn)”分別為，；當(dāng)時(shí)，，即，方程無(wú)解，即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)二次函數(shù)為“絕值函數(shù)”，則分兩種情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別求出b的值，再檢驗(yàn)即可求解．【詳解】（1）解：由“絕值點(diǎn)”的定義得，反比例函數(shù)圖象上的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)絕對(duì)值相等，，或，或，，或無(wú)解反比例函數(shù)圖象上“絕值點(diǎn)”的坐標(biāo)為，．（2）解：是“絕值函數(shù)”，二次函數(shù)圖象上的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)絕對(duì)值相等，當(dāng)時(shí)，，即，，，兩個(gè)“絕值點(diǎn)”分別為，，當(dāng)時(shí)，，即，方程無(wú)解二次函數(shù)的圖象上只存在兩個(gè)“絕值點(diǎn)”，二次函數(shù)是“絕值函數(shù)”．（3）解：二次函數(shù)為“絕值函數(shù)”，當(dāng)時(shí)，，即，，，，，，，，，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，即，∵，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解；當(dāng)時(shí)，，即，∵，∴方程無(wú)解；二次函數(shù)只存在兩個(gè)“絕值點(diǎn)”，二次函數(shù)為“絕值函數(shù)”．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，∵，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，當(dāng)時(shí)，，即，∵，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解二次函數(shù)存在四個(gè)“絕值點(diǎn)”二次函數(shù)不是“絕值函數(shù)”不合題意，故舍去，當(dāng)時(shí)，，即，，，，，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，即，∵，∴方程無(wú)解，當(dāng)時(shí)，，即，∵，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，二次函數(shù)只存在兩個(gè)“絕值點(diǎn)”二次函數(shù)為“絕值函數(shù)”當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，即，∵，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，當(dāng)時(shí)，，即，∵，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，二次函數(shù)存在四個(gè)“絕值點(diǎn)”二次函數(shù)不是“絕值函數(shù)”，不合題意，故舍去，．綜上所述，或．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義與一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的運(yùn)用，一元二次方程根的判別式等，解題關(guān)鍵是理解并運(yùn)用新定義，運(yùn)用分類討論思想解決問(wèn)題．3．（2025·山東日照·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，與拋物線交于點(diǎn)．(1)若拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)；①求點(diǎn)的坐標(biāo)；②當(dāng)時(shí)，拋物線取得最大值為，求的值；(2)已知點(diǎn)，，若拋物線與線段有且只有一個(gè)交點(diǎn)（不含端點(diǎn)、），求的取值范圍．【答案】(1)①；②的值為或(2)或【分析】（1）①先求出，當(dāng)時(shí)，即，可解得；②先由得拋物線開(kāi)口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，再分兩種情況討論：當(dāng)時(shí)，得；當(dāng)即時(shí)，，分別