2021年黑龍江大慶中考數(shù)學(xué)真題【含答案】

2021年黑龍江大慶中考數(shù)學(xué)真題試卷

一.選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的，請將正確選項的序母填涂在答題卡上）

14

1.在開，一3,'這四個數(shù)中，整數(shù)是（）

_1r4

A.冗B.—C.—3D.一

27

C

【分析】根據(jù)整數(shù)分為正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)，由此即可求解.

【詳解】解：選項4乃是無理數(shù)，不符合題意；

選項8：g■是分?jǐn)?shù)，不符合題意：

選項G-3是負(fù)整數(shù)，符合題意；

4

選項〃：,是分?jǐn)?shù)，不符合題意；

故選：C.

本題考查了有理數(shù)的定義，熟練掌握整數(shù)分為正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)是解決本題的關(guān)鍵.

【詳解】分析：根據(jù)中心對稱圖形的定義旋轉(zhuǎn)180。后能夠與原圖形完全重合即是中心對稱圖形，以及軸對

稱圖形的定義：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形,

這條直線叫做對稱軸，即可判斷出答案.

詳解：A、此圖形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項正確；

B、此圖形不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項錯誤；

C、此圖形是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故此選項錯誤；

D、此圖形不中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項錯誤.

故選A.

點睛：此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱的定義，關(guān)鍵是找出圖形的對稱中心與對稱軸I.

3.北京故宮的占地面積約為in?,將用科學(xué)記數(shù)法表示為（）.

A.72X10'B.7.2X105C.7.2X106D.0.72X106

B

【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時，一般形式為aXlO、其中iW|a|V10,n為整數(shù)，據(jù)此判斷即可.

【詳解】解：將用科學(xué)記數(shù)法表示為7.2X10。

故選B

此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為aX10"的形式，其中l(wèi)W|a|V10,n為整數(shù)，

表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值.

4.下列說法正確的是（）

A.Ix|<xB.若|X一11+2取最小值，則x=0

C.若則|x|Vy|D.若|x+l區(qū)0,則工=一1

1）

【分析】根據(jù)絕對值的定義和絕對值的非負(fù)性逐一分析判定即可.

【詳解】解：A.當(dāng)x=0時，|x|=x,故該項錯誤；

B.???卜一1性0,???當(dāng)x=l時|工一1|+2取最小值，故該項錯誤；

C.Vx>l>y>-1,|j|<LA|x|>|y|,故該項錯誤；

D.???[X+1區(qū)0且|冗+1|20,??.|x+l|=O,/.x=-l,故該項正確;

故選:D.

本預(yù)考查絕對值，掌握絕對值的定義和絕對值的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵.

5.已知力>。>0,則分式￡與四的大小關(guān)系是（）

bb+\

a。+1a_a+\a>a+\

A.—<—=C.D.不能確定

bb+\~b~b+\b

A

【分析】將兩個式子作差，利用分式的減法法則化簡，即可求解.

a〃+1_++_a-b

【詳解】解:

~b~商-〃0+1)-〃(>+1)

?；b>a>0,

aa+\a-b八

?------------=--------<0

,?bb+\〃（"1）'

aa+\

-v------?

bb+\

故選:A.

本題考直分式的大小比較，掌握作差法是解題的關(guān)鍵.

k

6.已知反比例函數(shù)），=一，當(dāng)x<0時，）'隨x的增大而減小，那么一次的數(shù)丁=一履+女的圖像經(jīng)過第（）

x

A.一，二，三象限B.一，二，四象限

C.一，三，四象限I）.二，三，四象限

B

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的增減性得到k〉0,再利用一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：???反比例函數(shù)），=幺，當(dāng)x<0時，隨工的增大而減小，

x

???女>0,

???p=一質(zhì)+出的圖像經(jīng)過第一，二，四象限，

故選:B.

本題考杳反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，掌握反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

7.一個兒何體由大小相同的小立方塊搭成，從上面看到的幾何體的形狀圖如圖所示，其中小正方形中的數(shù)

字表示在該位置的小正方塊的個數(shù)，能正確表示該幾何體的主視圖的是（）

【分析】主視圖的列數(shù)與俯視圖的列數(shù)相同，且每列小正方形的數(shù)目為俯視圖中該列小正方數(shù)字中最大數(shù)

字，從而可得出結(jié)論.

【詳解】由已知條件可知：主視圖有3歹U，每列小正方形的數(shù)目分別為4,2,3,根據(jù)此可畫出圖形如下:

故選：B.

本題考查了從不同方向觀察物體和幾何圖像，是培養(yǎng)學(xué)生觀察能力.

8.如圖，b是線段CO上除端點外一點，將△AOb繞正方形A8CD的頂點A順時針旋轉(zhuǎn)90。，得到

/\ABE.連接石歹交4A于點H.下列結(jié)論正確的是（）

2

A.ZE4F=120°B.AE：EF=I：6C.AF=EHEFD.EB：AD=EH：HF

I)

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得到△加〃是等腰直用二角形，然后根據(jù)相似二角形的判定和性質(zhì)，以及平行

線分線段成比例定理即可作出判斷.

【詳解】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：/必戶90°,故力選項錯誤；

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：N創(chuàng)片90°,陸”,則△分尸是等腰直角三角形,

:.E六五AE,即花牙M：夜，故8選項錯誤；

若C選項正確，則A/7?=AE?=石”?成，即^EA_=^EF,

EHEA

■:NAEg/H陸45°,

:.2EAF?叢EHA,

???<EAH=乙EFh

而/價>1=45°,/EAH/45°,

???/EAH豐ZEFA,

??.假設(shè)不成立，故C選項錯誤；

???四邊形ABCD是正方形,

：.CD//AH,段BH"CF,AD=BC,

:.EB：BBEH：HF,即￡合力廬夕/：HF,故〃選項正確；

故選：D

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，正確運用

反證法是解題的關(guān)鍵.

9.小剛家2019年和2020年的家庭支出如下，已知2020年的總支出2019年的總支出增加了2成，則下列

說法正確的是（）

A.2020年教育方面的支出是2019年教育方面的支出的1.4倍；

B.2020年衣食方面的支出比2019年衣食方面的支出增加了10%；

C.2020年總支出比2019年總支出增加了2%

D.2020年其他方面的支出與2013年娛樂方面的支出相同.

A

【分析】設(shè)2019年總支出為a元，則202()年總支出為1.2a元，根據(jù)扇形統(tǒng)計圖中的信息逐項分析即可.

【洋解】解：設(shè)2019年總支出為a元，則2020年總支出為1.2a元，

A.2019年教育總支出為0.3a,2020年教育總支出為1.力><35%=0.4區(qū),0.42a+0.3。=1.4,故該項正確;

B.2019年衣食方面總支出為0.3a,2020年衣食方面總支出為L2ax40%=0.4&/,

(0.48。-0.3。)+0.3〃?53%,故該項錯誤；

C.2020年總支出比2019年總支出增加了20$,故該項錯誤；

D.2020年其他方面的支出為1.2dxl5%=0.1&7,2019年娛樂方面的支出為0.15a,故該項錯誤；

故選:A.

本題考查扇形統(tǒng)計圖，能夠從扇形統(tǒng)計圖中獲取相關(guān)信息是解題的關(guān)鍵.

10.已知函數(shù))=融2—(〃+1)工+1,則下列說法不正確的個數(shù)是()

①若該函數(shù)圖像與工軸只有一個交點，則。=1

②方程以之一(〃+i)x+1=0至少有一個整數(shù)根

③若L<X<1,則>=由廣一(4+1)工+1的函數(shù)值都是負(fù)數(shù)

④不存在實數(shù)a，使得依2-(4+l)x+1工0對任意實數(shù)X都成立

A.0B.1C.2D.3

C

【分析】對于①：分情況討論一次函數(shù)和二次函數(shù)即可求解；

對于②：分情況討論a=0和aWQ時方程的根即可；

對于③：已知條件中限定aWO且a>l或aVO,分情況討論1或aVO時的函數(shù)值即可；

對干④：分情況討論a=0和aX()時函數(shù)的最大值是否小于等于0即可.

【詳解】解：對于①：當(dāng)a=0時，函數(shù)變?yōu)閥=-x+l,與/只有一個交點，

當(dāng)aWO時，D=(t7+1)2-4a=(a-I)2=0,a=\,

故圖像與x軸只有一個交點時，。=1或。=0,①錯誤；

對于②：當(dāng)a=0時，方程變?yōu)橐还?1=0,有一個整數(shù)根為冗=1,

當(dāng)aWO時，方程姓2—(。+1)工+1=0因式分解得到：(cix-])(x-\)=O,其中有一個根為x=l,故此

時方程至少有一個整數(shù)根，故②正確；

對于③：由己知條件得到aWO,且加>1或aVO

a

當(dāng)a>l時，>=辦2一開口向上，對稱軸為工二絲1=1+」_,自變量離對稱軸越遠(yuǎn)，其對應(yīng)

2a22a

的函數(shù)值越大，

j11

?巨_

=1+_，

222a

???工二,口=1離對稱軸的距離一樣，將x=l代入得到y(tǒng)=O,此時函數(shù)最大值小于0：

a

當(dāng)aVO時，>=G：2—（4+1）X+1開口向下，自變量離對稱軸越遠(yuǎn)，其對應(yīng)的函數(shù)值越小，

Ax=-+—函數(shù)取得最大值為），=幾"2。1（。。,

22a4。4。4。

??Z<0,

.??最大值一四二121>0,即有一部分實數(shù)x,其對應(yīng)的函數(shù)值y>0,故③錯誤：

4。

對于④：a=0時，原不等式變形為：一X+1W0對任意實數(shù)x不一定成立，故a=0不符合；

aWOH寸，對于函數(shù)y二冰？一（〃+1卜+1,

當(dāng)心0時開口向上，總有對應(yīng)的函數(shù)值y>0,此時不存在。對0?一（4+1）工+1工0對任意實數(shù)工都成立;

當(dāng)aVO時開口向下，此時函數(shù)的最大值為4〃—（〃+1）-=一。-+2〃—1=（〃-1）一,

4。4。4a

Vs<0,

???最大值一（"-1）’>0,即有一部分實數(shù)X,其對應(yīng)的函數(shù)值y>。，

4。

此時不存在a對?2-（。+1）工+1<0對任意實數(shù)x都成立；故④正確；

綜上所述，②④正確，

故選：C.

本題考查二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，二次函數(shù)與方程之間的關(guān)系，分類討論的思想，本題難度較大，熟練掌

握二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本類題的關(guān)鍵.

二.填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分.不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相

應(yīng)位置上)

1L7(-2)4=-----

4

【分析】先算(-2)3再開根即可.

【詳解】解:J(-2)4

=72x2x2x2

=V16

=4

故答案是：4.

本題考查了求一個數(shù)的4次方和對一個實數(shù)開根號，解題的關(guān)鍵是：掌握相關(guān)的運算法則.

…工yz八?,x2+x>?

12.已知一二<=一。0,則------=________

234yz

5

6

【分析】設(shè)再將兒y，z分別用攵的代數(shù)式表示，再代入約去我即可求解.

234

【詳解】解：設(shè)'=上=三=火。0,

234

則上=2%,y=32,z=4k,

,,x2+xy(2k)2+2kx3k4k2+6k2\0k25

yz3kx4k12k2\2k26

故二.

6

本題考查了比例的性質(zhì)，正確用同一字母表示各數(shù)是解決此類題的關(guān)鍵.

13.一個圓柱形橡皮泥，底面積是12C,〃2.高是5?！?如果用這個橡皮泥的一半，把它捏成高為5cm的圓

錐，則這個圓錐的底面積是cm2

18

【分析】首先求出圓柱體積，根據(jù)題意得出圓柱體積的一半即為圓錐的體積，根據(jù)圓錐體積計算公式列出

方程，即可求出圓錐的底面積.

【詳解】心柱=S〃=12?560cm2，

這個橡皮泥的一半體積為：V=-?6030cm2,

19

把它捏成高為的圓錐，則圓錐的高為5c加，

故1夕?二30,

3

即;Sg5=3O,

解得S=18(c/zr),

故填：18.

本題考杳了圓柱體積和圓錐的體積計算公式，解題關(guān)鍵是理解題意，熟練掌握圓柱體積和圓錐體積計算

公式.

14.如圖，3條直線兩兩相交最多有3個交點，4條直線兩兩相交最多有6個交點，按照這樣的規(guī)律，則20

條直線兩兩相交最多有個交點

19C

【分析】根據(jù)題目中的交點個數(shù)，找出〃條直線相交最多有的交點個數(shù)公式：:〃(〃-1).

2

【詳解】解：2條直線相交有1個交點；

3條直線相交最多有1+2=3=gx3x2個交點；

4條直線相交最多有1+2+3=6=；X4X3個交點；

5條直線相交最多有1+2+3+4=10=:X5X4個交點；

20條直線相交最多有g(shù)x20xl9=190.

2

故190.

本題考查的是多條直線相交的交點問題，解答此題的關(guān)鍵是找出規(guī)律，即〃條直線相交最多有!〃5-1).

2

15.三個數(shù)3,1-2。在數(shù)軸上從左到右依次排列，且以這三個數(shù)為邊長能構(gòu)成三角形，則。的取值

范圍為______

-3<a<-2

【分析】根據(jù)三個數(shù)在數(shù)軸上的位置得到3<1—。<1一2?,再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得到

1一。+3>1-2。，求解不等式組即可.

【詳解】解：???3,1--2。在數(shù)軸上從左到右依次排列，

：■3V1—。v1—?解得u<—2>

???這三個數(shù)為邊長能構(gòu)成三角形，

1—。+3>1-2cl?解得a>—3?

綜上所述，。的取值范圍為一3<〃<一2,

故-3<a<-2.

本題考查不等式組的應(yīng)用、三角形的三邊關(guān)系，根據(jù)題意列出不等式組是解題的關(guān)鍵.

16.如圖，作。。的任意一條直經(jīng)產(chǎn)。，分別以EC為圓心，以“。的長為半徑作弧，與。。相交于點EA

和D、8,順次連接4氏BC,CZ),EEE4,得到六邊形則。。的面積與陰影區(qū)域的面積

的比值為；

2缶

3

【分析】可將圖中陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為兩個等邊三角形的面積之和，設(shè)。0的半徑與等邊三角形的邊長為

a,分別表示出圓的面積和兩個等邊二角形的面積，即可求解

【詳解】連接OE,OD,OB,OA,

由胭可得：EF=OF=OE=FA=OA=AB=OB=BC=OC=CD=OD

.?.△ER9,Z\O￡4,ZXQ48AO8C,Z\OCDZ\0DE為邊長相等的等邊三角形

可將圖中陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為△。叫:和△043的面積之和，如圖所示:

設(shè)00的半徑與等邊三角形的邊長為。，

00的面積為S=7VK2=71CT

v等邊M)ED與等邊AOAB的邊長為Q

S陰=+S^OAB=~r

S_Tua1_2#)幾

O0的面積與陰影部分的面積比為.=；^=二-

F

故"

3

本題考查了圖形的面積轉(zhuǎn)換，等邊三角形面積以及圓面積的求法，將不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)換成規(guī)則圖形的

面積是解題關(guān)鍵.

17.某酒店客房都有三人間普通客房，雙人間普通客房，收費標(biāo)準(zhǔn)為：三人間15()元/間，雙人間140元/

間.為吸引游客，酒店實行團(tuán)體入住五折優(yōu)惠措施，一個46人的旅游團(tuán)，優(yōu)惠期間到該酒店入住，住了一

些三人間普通客房和雙人間普通客房，若每間客房正好住滿，且一天共花去住宿費1310元，則該旅游團(tuán)住

了三人間普通客房和雙人間普通客房共_______間；

18.

【分析】根據(jù)客房數(shù)x相應(yīng)的收費標(biāo)準(zhǔn)=1310元列出方程并解答.

【詳解】解：設(shè)住了三人間普通客房x間，則住了兩人間普通客房一46-3二r間，由題意，得:

2

150x0.5x+140x0.5x竺三二1310,

2

解得：A=10,

所以，這個旅游團(tuán)住了三人間普通客房10間，住了兩人間普通客房8間，共18間.

故18.

本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，弄清題意，找出合適的等量關(guān)系，利用已知得出等式方程是解題關(guān)鍵.

AnRI')

18.已知，如圖1,若AO是△ABC中NB4C的內(nèi)角平分線，通過證明可得「；二二，同理，若AE是

ACCD

△4/C中4AC的外角平分線，通過探究也有類似的性質(zhì).請你根據(jù)上述信息，求解如下問題：如圖2,

在△A6C中，8O=2,CO=3,AO是△入笈仁的內(nèi)角平分線，則AAKC的AC邊上的中線長/的取值范圍

1</<^

22

AD9

【分析】根據(jù)題意得到一二一，反向延長中線AE至尸，使得AE=石尸，連接C尸，最后根據(jù)三角形三

AC3

邊關(guān)系解題.

【詳解】如圖，反向延長中線AE至尸，使得A￡=￡b，連接

?.?8。=2,。。=3,4。是444。的內(nèi)角平分線,

AB2

■7C-3

DE=EC

?.?<ZAEB=ZCEF

AE=EF

:.AABE^FEC(SAS)

AB=CF

由三角形三邊關(guān)系可知，

AC-CF<AF<AC+CF

1<4F<5

BD

本題考查角平分線的性質(zhì)、中線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系等知識，是重要考點,

難度一般，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

三.解答題（本大題共10小題，共66分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解有時應(yīng)寫出文字說明，證明過

程或演算步驟）

19.計算|旅一2|+23。45。一（一1）2

【分析】直接利用去絕對值符號、特殊角度的三角函數(shù)值、負(fù)整數(shù)的平方運算計算出結(jié)果即可.

【詳解】解：出一2卜25訪45。一(一1『

=2-V2+2x--1

2

=1

故答案是：1.

本題考查了去絕對值符號、特殊角度的三角函數(shù)值、負(fù)整數(shù)的平方運算法則，解題的關(guān)鍵是：掌握相關(guān)的

運算法則.

20.先因式分解，再計算求值：2d—8x，其中x=3.

2x(x+2)(x-2),30

【分析】先利用提公因式法和平方差公式進(jìn)行因式分解，再代入X的值即可.

【詳解】解：2d-8x=2x(V-4)=2X(X+2)(X-2),

當(dāng)x=3時，原式=2x3x5x1=30.

本題考查因式分解，掌握提公因式法和公式法是解題的關(guān)鍵.

x5)

21.解方程:-----=4

2x—33-2x

x=]

【分析】去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解?.

【詳解】方程兩邊乘21一3,得：x-5=4(2x-3),

解得：x-1,

檢驗：當(dāng)x=l時，2x—3wO.

???工=1是原分式方程的解.

本題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗.

22.小明在A點測得。點在A點的北偏西75。方向，并由A點向南偏西45。方向行走到達(dá)B點測得C點在

A點的北偏西45。方向，繼續(xù)向正西方向行走2km后到達(dá)。點，測得。點在。點的北偏東22.5。方向，求

4c兩點之間的距離.（結(jié)果保留0.1km,參數(shù)數(shù)據(jù)、石。1.732）

2.3km

【分析】根據(jù)題中給出的角度證明△口）/，為等腰三角形，得到C3=M=2,再證明△O陰為30°,60。，90°

直角三角形，最后根據(jù)sin?C4Bsin60=三二立即可求出AC的長.

AC2

【詳解】解：如下圖所示，

由題意可知：N加075°,/用反NA阱45°,N⑦345°,妙2km,NJ叱22.5°,

在△筋中，NCDB=900-N機抬=90°-22.5°=67.5°,

/幽＞90°-/仍滬90°-45°=45°,

/加方=180°-/切片/。除180°-67.5°-45°=67.5°,

???/比廬/。如，△Q明為等腰三角形，

???止廄2,

在△煙中，4CBA=NCB砧/NBA=450+45°=90°,

???△煙為直角三角形，

又/。族N。創(chuàng)N&傳(90°-N刈。+/期后(90°-75°)+45°=60°,

???△或4為30°,60°,90°直角三角形，

sin?CABsin60=^-=—,代入C3=2,

AC2

AAC=—?2.3（A加，

3

故4c兩點之間的距離為2.3km.

本題考查了三角函數(shù)解直角三角形，讀懂題意，將題中信息轉(zhuǎn)化成已知條件，本題中得出△儂為等腰三角

形是解題的關(guān)鍵.

23.如圖①是甲，乙兩個圓柱形水槽的軸截面示意圖，乙槽中有一圓柱形實心鐵塊立放其中（圓柱形實心

鐵塊的下底面完全落在乙槽底面上），現(xiàn)將甲槽中的水勻速注入乙槽，甲，乙兩個水槽中水的深度y（cm）與

注水時間x（min）之間的關(guān)系如圖②所示，根據(jù)圖象解答下列問題：

（1）圖②中折線EDC表示槽中水的深度與注入時間之間的關(guān)系；線段A2表示

槽中水的深度與注入時間之間的關(guān)系；鐵塊的高度為cm.

（2）注入多長時間，甲、乙兩個水槽中水的深度相同？（請寫出必要的計算過程）

（1）乙，甲，16：（2）2分鐘

【分析】（1）根據(jù)圖象分析可知水深減少的圖象為甲槽的，水深增加的為乙槽的，并水深16或之后增加的

變慢，即可得到鐵塊的高度；

（2）利用待定系數(shù)法求出兩個水槽中水深與時間的解析式，即可求解.

【詳解】解：（1）圖②中折線皿C表示乙槽中水深度與注入時間之間的關(guān)系；

線段A8表示甲槽中水的深度與放出時間之間的關(guān)系;

鐵塊的高度為16cm.

(2)設(shè)甲槽中水的深度為y=2盧+偽，把A(014),B(7,0)代入,可得

仿=14億=-2

%im叫仁r

???甲槽中水的深度為,=-2x+14,

根據(jù)圖象可知乙槽和甲槽水深相同時，在班'段，

設(shè)乙槽〃段水的深度為)，2=內(nèi)工+4，把￡(。,4),。(4,16)代入，可得

族=4依=3

匕人心解得仁.

14幺/+A/=16iba>=4

，甲槽中水的深度為％=3X+4,

???甲、乙兩個水槽中水的深度相同時，一2a+14=3.1+4,解得人=2,

故注入2分鐘時，甲、乙兩個水槽中水的深度相同.

本題考查一次函數(shù)的實際應(yīng)用，根據(jù)題意理解每段函數(shù)對應(yīng)的實際情況是解題的關(guān)鍵.

24.如圖，在平行四邊形48co中，A4=3,點￡為線段A8的三等分點(靠近點A),點F為線段CO

的三等分點(靠近點C,且CE_LA3.將△3CE沿CE對折，8C邊與AO邊交于點G,且。。=QG.

(1)證明：四邊形AEb為矩形;

(2)求四邊形AECG的面積.

證明見解析；(2)迪

(1)

4

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得A3〃CO,AB=CD,根據(jù)題意三等分點可得=C/，根據(jù)

對邊平行且相等得到四邊形AECF為平行四邊形，再根據(jù)一個足為90°的平行四邊形是矩形即可得證；

（2）根據(jù)角度關(guān)系可得△9AG是等邊三角形，△廳是等邊三角形，利用割補法即可求出面積.

【詳解】解：（1）???四邊形/切切是平行四邊形，

/.AB//CD,AB=CD,

???點E為線段AB的三等分點（靠近點A）,點尸為線段CO的三等分點（靠近點C）,

：.AE=-ABtCF=-CDf

33

:.AE=CF,

:.四邊形AECF為平行四邊形，

?：CE±AB,

???四邊形AECF為矩形；

（2）???ABn?,點E為線段4B的三等分點（靠近點A）,

???，4石=1，BE=2,

???將△BCE沿CE對折，BC邊與AO邊交于點G,

：?BB=2BE=4,=

,:DC=DG,

：.4DGC=NDCG,

VAB!/CD,

:‘乙B'=乙L）CG,々'AG=ZZ）=Z^=Z/T,

???/8'4G=ZB'=N8'G4,

???A^AG是等邊三角形，△B'BC是等邊三角形,

作于"

AB'H=—AB,=—,CE=—?C=2>/3,

222

.-c_1oFo1i

??^cAECG=SACER-S-GA*=—x2x/^x2--X—X1=—?

B9

本題考查矩形的判定、割補法求面積、解直角三角形，掌握上述性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

25.某校要從甲，乙兩名學(xué)生中挑選一名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，在最近的8次選拔賽中，他們的成績（成績

均為整數(shù)，單位：分）如下：

甲：92,95,96,88,92,98,99,100

乙：100,87,92,93,9.,95,97,98

由干保存不當(dāng)，學(xué)生乙有一次成績的個位數(shù)字模糊不清，

（1）求甲成績的平均數(shù)和中位數(shù)；

（2）求事件“甲成績的平均數(shù)大于乙成績的平均數(shù)”的概率；

（3）當(dāng)甲成績的平均數(shù)與乙成績的平均數(shù)相等時，請用方差大小說明應(yīng)選哪個學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽.

4

（1）平均數(shù)為95分，中位數(shù)為95.5分；（2）—；（3）甲

5

【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)和中位數(shù)的定義求解即可;

（2）設(shè)乙成績模糊不清的分?jǐn)?shù)個位數(shù)為3求出乙成績的平均數(shù)，解不等式得到〃的范圍，利用概率公式

即可求解;

（3）利用方差公式求出甲和乙的方差，選方差較小的即可.

山……92+95+96+88+92+98+99+10（）

【詳解】解：（1）甲成績的平均數(shù)為：-----------------------------------=95；

甲成績從小到大排列為：88,92,92,95,96,98,99,100,

強=95.5；

???甲成績的中位數(shù)為:

2

（2）設(shè)乙成績模糊不清的分?jǐn)?shù)個位數(shù)為a,（a為0-9的整數(shù)）

100+87+92+93+90+4+95+97+98752+。

則乙成績的平均數(shù)為:

88

當(dāng)甲成績的平均數(shù)大于乙成績的平均數(shù)時，即既知＜95,

解得。＜8,

???a的值可以為0?7這8個整數(shù)

84

???P（甲成績的平均數(shù)大于乙成績的平均數(shù)）二—二一；

105

（3）當(dāng)甲成績的平均數(shù)與乙成績的平均數(shù)相等時，——^=95,解得。=8,

此時乙的平均數(shù)也為95,

???甲的方差為:

4="[(92-95)2+(95—95『+(96-95)2+(88-95)2+(92-95)2+(98-95)2+(99-95)2+(100-95)2]

=^(9+0+1+49+9+9+16+25)=14.75；

乙的方差為：

立="[000-95『+(87-95丫+(92-95『+(93-95『+(98-95『+(95-95『+(97-95)2+(98-95)1

=#25+64+9+4+9+1+4+9)=15.5,

$市<$3

二甲的成績更穩(wěn)定，故應(yīng)選甲參加數(shù)學(xué)競賽.

本題考查求平均數(shù)、中位數(shù)和方差，以及概率公式，掌握求平均數(shù)、中位數(shù)和方差的公式是解題的關(guān)鍵.

4

26.如圖，一次函數(shù)、=辰+〃的圖象與)，軸的正半軸交于點A,與反比例函數(shù))，=一的圖像交于P,。兩

x

點.以AO為邊作正方形A8CO,點4落在x軸的負(fù)半軸上，已知△30。的面積與AAOB的面積之比為

1:4.

(1)求一次函數(shù))，=爪+。的表達(dá)式：

(2)求點P的坐標(biāo)及△CP。外接圓半徑的長.

(l)y=-1x+4；(2)點P的坐標(biāo)為(g,3)；△CPO外接圓半徑的長為生叵

436

【分析】⑴過〃點作龐軸交x軸于〃點，過力點作用〃x軸交〃￡于￡點，過8作跖〃y軸交〃于尸

416

點，證明△〃/￡＞（4,一乂々＞0）,zJ?。。的面積與△AOG的面積之比為1:4得到。4=一，進(jìn)而

aa

IA

得到了二。，求出山〃兩點坐標(biāo)即可求解;

（2）聯(lián)立一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式即可求出P點坐標(biāo)；再求出。點坐標(biāo)，進(jìn)而求出⑦長度，Rt外

接圓的半徑即為〃的一半.

【詳解】解：⑴過〃點作班〃y軸交x軸于〃點，過力點作a〃x軸交應(yīng)于￡點，過8作分軸交哥'

于"點，如下圖所示：

???ROD與△AQ8有公共的底邊B0,其面積之比為1:4,

好1:4,

4416

設(shè)。（。,一）（。＞0）,則?！岸唬琌A=—tOH=AE=a,

aaa

?.?/及方為正方形，

：.AB=AD,N砌分90°,

???/加?/均加90°,

.：NBAF+/FBA=90°,

/FBA=/EAD,

ZF=ZE=90

在△力郎和△刃后中：ZFBA=ZEAD,

AB=AD

:.AAB四△DAE(MS,

???BF=AE=OA=a

又。A=￡

a

????二a,解得。=4(負(fù)值舍去),

???A(0,4),0(4,1),代入y=1+b中,

,3

,4=0+/?k=—

i+廠解得4,

〃=4

???一次函數(shù)的表達(dá)式為y=—』x+4；

*4

3,

y=——x+4

-4

(2)聯(lián)立?次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式：

4

)'=一

x

整理得到：3X2-16X+16=0，

4

解得=—,x2=4,

4

點、P的坐標(biāo)為(—,3)；〃點的坐標(biāo)為(4,1)

???四邊形力以》為正方形，

???DC=AD=>jAE2+DE2="2+32=5，

JIPD2=(--4)2+(3-1)2=—

39

i(v)375

在aAPCD中，由勾股定理：PC2=DC2+PD2=25+—=—

99

???pc=^H

3

又力為直角三角形，其外接圓的圓心位于斜邊A7的中點處,

???A67刃外接圓的半徑為之晅.

6

本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理求線段長，本題屬于

綜合題，解題的關(guān)鍵是正確求出點兒〃兩點坐標(biāo).

27.如圖，己知A8是。。的直徑.3C是。。的弦，弦￡7）垂直A3于點/，交8C于點G.過點C作。。

的切線交EO的延長線于點P

（1）求證：PC=PG；

（2）判斷PG?=是否成立？若成立，請證明該結(jié)論；

（3）若G為8C中點，OG=亞,sinB=—，求DE的長.

5

（1）見解析；（2）結(jié)論成立，見解析：（3）46

【分析】（1）連接0C,可得△30C為等腰三角形，則N4=N0C3,結(jié)合垂經(jīng)定理和切線的性質(zhì)可得

/OCP=/BFG=90°，從而可得NBGF=NPCG,即可得到結(jié)論；

（2）連接EC,CD,CO并延長CO交。0于點H,連接力H，證明在結(jié)合（1）中的結(jié)

論即可求解；

（3）連接OD,0G,根據(jù)垂經(jīng)定理的推論得出OG_L8G,ZB=ZFGO,在放ABOG中利用三角函數(shù)求

出。。的半徑，在心ZXGOF中利用三角函數(shù)即可求得“長，在利用勾股定理求出FO,從而可求應(yīng)

【詳解】（1）如圖：連接0C

...aBOC為等腰三角形

:"B=/OCB

?.?ED上AB,PC切。。于點C

/OCP=/BFG=90。

：.“C8+N〃CG=90°,N4+NBGk=90w

4BGF=/PCG

?;/BGF=/PGC

:.乙PGC=/PCG

:.PC=PG

（2）結(jié)論成立；理由如下；

如圖：連接比；CD,CO并延長CO交。0于點“，連接

二.CH為。。的直徑

:"HDC=900

???PC切。0于點。

Z//CP=90°

:"H+/HCD=90°,/PCD+Z.HCD=90°

:"H=/PCD

?.?ZH=NE

；./E=/PCD

.?APCD^APEC

.PCPD

~PE~~PC

?;PC=PG

/.PG2=PD?PE

(3)如圖：連接0D,0G,

???GBC中點

s.OGLBC

ZBGO=90°

??.OG=>/5,sinB=—

5

.OG亞亞

sinB=——=——=—

OBOB5

:.OB=5

：.OB=OD=5

???EDJ_AB與點尸

:.ED=2FD

../CFG=90。/BOG+ZFGO=90°.ZB+/BOG=90°

ZB=ZFGO

45OFOF

sinZ.FGO=

T~0G~^5

:.0F=\

在Rt^OFD中有

OD2=OF2+FD2

/.52=12+FD2

:.FD=2y[6

DE=476

本題考查了垂經(jīng)定理及推論，相似三角形的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)，以及解直角三角形等知識，綜合性

較強，解答本題需要我們熟練掌握各部分內(nèi)容，將所學(xué)知識貫穿起來.

28.如圖，拋物線），二〃2+辰與x軸交于除原點。和點人，且其頂點3關(guān)于x軸的對稱點坐標(biāo)為

（2,1）.

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）拋物線的對稱軸上存在定點“