2022年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：動(dòng)態(tài)幾何探究（截長(zhǎng)補(bǔ)短法）

2022年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：動(dòng)態(tài)幾何探究（截長(zhǎng)補(bǔ)短法）

1.在平行四邊形A8CZ）中，于E,于/，〃為AO上一動(dòng)點(diǎn)，連

接CH,CH交AK于G,且A石=6=4.

（1）如圖1,若NB=&）。，求C尸、所的長(zhǎng)；

（2）如圖2,當(dāng)/?7/=/0時(shí)，求證：CG=￡D+AG；

（3）如圖3,若N8=60。，點(diǎn)〃是直線AO上任一點(diǎn)，將線段C77繞C點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

60。，得到線段C”'，請(qǐng)直接寫出A/T的最小值

2.如圖1,在等邊三角形A4C中，AD_LBC于DCE_L4B于民A。與相交于點(diǎn)

O.

（1）求證：OA=2DO；

（2）如圖2,若點(diǎn)G是線段AO上一點(diǎn)，CG平分/BCS/BG/=60。,6/交CE所在直

線于點(diǎn)尸.求證：GB=GF.

（3）如圖3,若點(diǎn)G是線段。4上一點(diǎn)（不與點(diǎn)。重合），連接8G,在8G下方作

/BGF=60。,邊G廠交值所在直線于點(diǎn)尸.猜想：OG,OF、QA三條線段之間的數(shù)量

關(guān)系，并證明.

3.如圖，在四邊形ABC。中，入8=八。,々+乙仞。=180。，點(diǎn)從尸分別在直線

BC、6上，且/印亭84/).

⑴當(dāng)點(diǎn)￡F分別在邊BC、CQ上時(shí)(如圖I),請(qǐng)說明=的理由.

(2)當(dāng)點(diǎn)心產(chǎn)分別在邊BC、。。延長(zhǎng)線上時(shí)(如圖2),(I)中的結(jié)論是否仍然成立?

若成立，請(qǐng)說明理由；若不成立，請(qǐng)寫出EF、BE、尸。之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理

由.

4.(1)如圖I,在四邊形48co中，AB=AD,NB=/Q=90。，E、尸分別是邊BC、

CO上的點(diǎn)，且NE4/=/NB4。，線段EF、BE、陽之間的關(guān)系是；(不需要證

明)

(2)如圖2,在四邊形ABCO中，AB=AD,/8+/。=180。，E、F分別是邊BC、

8上的點(diǎn)，且ZEA/一^■NBA。，(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明.若

不成立，請(qǐng)寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

(3)如圖3,在四邊形ABCO中，AB=AD,ZB+Z/)=180°,E、尸分別是邊8C、

CO延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且/以r=gNZMO,(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證

明.若不成立，請(qǐng)寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

圖2圖3

5.(1)閱讀理解：?jiǎn)栴}：如圖1,在四邊形A8CD中，對(duì)角線80平分乙ABC,

ZA4-ZC=180°.求證：DA=DC.

思考：“角平分線+對(duì)角互補(bǔ)”可以通過“截長(zhǎng)、補(bǔ)短”等構(gòu)造全等去解決問題.

方法1：在8c上截取而=小，連接QM,得到全等三角形，進(jìn)而解決問題；

方法2：延長(zhǎng)胸到點(diǎn)N,使得BN=BC,連接DV,得到全等三角形，進(jìn)而解決問

題.

結(jié)合圖I,在方法1和方法2中住造1杓，添加輔助線并完成證明.

(2)問題解決：如圖2,在(1)的條件下，連接AC,當(dāng)ND4C=60。時(shí)，探究線段

AB,BC,30之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)問題拓展：如圖3,在四邊形A8c。中，ZA+ZC=180°,DA=DC,過點(diǎn)。作

DEA.BC,垂足為點(diǎn)E,請(qǐng)直接寫出線段人8、CE、BC之間的數(shù)量關(guān)系.

圖1圖2圖3

6.在△人4c中，八。為的角平分線，點(diǎn)￡是直線8。上的動(dòng)點(diǎn).

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)七在C8的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接4E,若NE=48。，AE=AD=DC,則

NA3C的度數(shù)為

(2)如圖2,AOAB,點(diǎn)P在線段4。延長(zhǎng)線上，比較AC+期與/W+CP之間的大小

關(guān)系，并證明.

(3)連接4E,若ND4E=9O。，/84C=24。，且滿足AB+AC=EC,請(qǐng)求出NAC8的

度數(shù)(要求：畫圖，寫思路，求出度數(shù)).

圖1

7.如圖，在“IBC中，4=45。.

(1)如圖1,若AC=66，BC=2屈,求aABC*的面積；

(2)如圖2,。為“UJC外的一點(diǎn)，連接C。，3￡＞且CD=C4,ZABD=ZBCD.過

點(diǎn)C作CE_LAC交A8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.求證：BD+2AB=6AC.

(3)如圖3,在(2)的條件下，作”平分NC4E交CE于點(diǎn)P,過E點(diǎn)作EM_LAP

交AP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)”.點(diǎn)K為直線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接MK,過M點(diǎn)作

MK'1MK,且始終滿足/WK—MK,連接AK1若AC=4,請(qǐng)直接寫出4c十MK

取得最小值時(shí).(AK'+MK)2的值.

8.在中，AE,C。為△ABC的角平分線，AE,C。交于點(diǎn)F.

(1)如圖1,若N8=&)。.

①直接寫出44”"的大?。?/p>

②求證：AC=AD+CE.

(2)若圖2,若NB=90°,求證：S?CF=S&AFD+S4CEF+S4DEF,

9.我們學(xué)習(xí)了三角形相關(guān)知識(shí)，而四邊形的學(xué)習(xí)，我們?般通過輔助線把四邊形轉(zhuǎn)化

為三角形，通過三角形的基本性質(zhì)和全等來解決一些問題.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,在四邊形A8CD中，AB=AJ),/8+/。=180。，連接AC.

①小明發(fā)現(xiàn)，此時(shí)AC平分N8C。.他通過觀察、實(shí)驗(yàn)，提出以下想法：延長(zhǎng)C8到點(diǎn)

E,使得BE=CD,連接4E,證明△AHEgAWC,從而利用全等和等腰三角形的

性質(zhì)可以證明AC平分N8CD.請(qǐng)你參考小明的想法，寫出完整的證明過程.

②如圖2,當(dāng)/胡。=90。時(shí)，請(qǐng)你判斷線段AC,BC,C。之間的數(shù)量關(guān)系，并證

明.

(2)如圖3,等腰△(?沈、等腰△A3。的頂點(diǎn)分別為A、C,點(diǎn)4在線段CE上，且

Z/WC+ZADC=180。，請(qǐng)你判斷ND4￡與NO4E的數(shù)量關(guān)系，并證明.

10.在口ABC。中，直線MN經(jīng)過點(diǎn)A,BEA.MN于E,CF【MN千F,DG1MN

于G.請(qǐng)解答下列問題：

B

(1)如圖①，求證：BE+CF=DG；(提示:過點(diǎn)。作C〃_LOG于”)

(2)如圖②、圖③，線段鹿，CF,DG之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜

想，不需要證明;

(3)在(1)(2)的條件下，若CD=10,AE=6,CF=\,則QG=

11.如圖1,在四邊形ABC。中，AC交8。于點(diǎn)E,么AOE為等邊三角形.

圖1圖2

(1)若點(diǎn)E為3。的中點(diǎn)，AD=4,CD=5,求△以：￡的面積；

(2)如圖2,若4C=CQ,點(diǎn)尸為C。的中點(diǎn)，求證："=2”；

(3)如圖3,若AB〃C。，NH4O=90。，點(diǎn)P為四邊形ABC。內(nèi)一點(diǎn)，且NAPO=

90°,連接3P,取8P的中點(diǎn)Q,連接CQ.當(dāng)AB=6拒，4￡>=4^，tanZABC=2

時(shí)，求CQ+*8Q的最小值.

12.如圖，在“18。中，AC=BC,人￡＞平分NC4B.

(1)如圖1,若AC3=90。，求證：AB=AC+CD；

(2)如圖2,若=求ZAC6的度數(shù)；

(3)如圖3,若Z4C8=1(XF,求證：AB=AD+CD.

13.(1)問題背景：如圖1：在四邊形A3CO中，AB=ADfZBAD=120°,ZB=

NADC=90。,E、“分別是AC,CO上的點(diǎn)且NE4”=60。，探究圖中線段BE、EF、

尸。之間的數(shù)量關(guān)系.

小王同學(xué)探究此問題的方法是，延長(zhǎng)尸。到點(diǎn)G.使連結(jié)AG,先證明△

ABE/"DG,再證明AAE/W"GF,可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是______________

別是BC,CO上的點(diǎn)，且NEA廣=g/8A。，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；

(3)實(shí)際應(yīng)用：如圖3,在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心(O處)北偏西30。

的4處，艦艇乙在指揮中心南偏東70。的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，

接到行動(dòng)指令后，艦艇不向正東方向以45海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，同時(shí)艦艇乙沿北偏

東50。的方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，2小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩地分別

到達(dá)瓜尸處，且兩艦艇之間的夾角為70。，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離.

14.已知在四邊形ABCD中，ZABC+ZADC=180°,ZBAD+ZBCD=180°,AB

=BC

(1)如圖1,連接BD,若NBAD=90。，AD=7,求DC的長(zhǎng)度.

(2)如圖2,點(diǎn)P、Q分別在線段AD、DC±,滿足PQ=AP+CQ,求證：ZPBQ=

ZABP+ZQBC

(3)若點(diǎn)Q在DC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)P在DA的延長(zhǎng)線上，如圖3所示，仍然滿足PQ

15.閱讀題：如圖1,OM平分乙408,以。為圓心任意長(zhǎng)為半徑畫弧，交射線

。4于C,D兩點(diǎn),在射線O歷上任取一點(diǎn)E(點(diǎn)0除外)，連接C￡,DE,可證

△OCEqAODE,請(qǐng)你參考這個(gè)作全等的方法，解答下列問題：

(1)如圖2,在“18。中，ZA=2ZB,CD平分ZACB交A3于點(diǎn)D,試判斷與

AC、人。之間的數(shù)量關(guān)系；

(2)如圖3,在四邊形ABC。中，AC平分44。，BC=CD=U),AB=20,

AD=8,求aABC的面積.

16.如圖①，△ABC和AADC是等腰三角形，且43=AC,BD=CD,NBAC=80。,

ZBZ)C=100°,以。為頂點(diǎn)作一個(gè)50。角，角的兩邊分別交邊AB,AC于點(diǎn)E、F.

連接EA

圖①圖②

(1)探究鹿、EF、尸C之間的關(guān)系，并說明理由；

(2)若點(diǎn)E、尸分別在48、CA延長(zhǎng)線上，其他條件不變，如圖②所示，則破、

EF、"C之間存在什么樣的關(guān)系？并說明理由.

17.(1)如圖①，RsABC中,AB=AC,ZBAC=90°,。為8c邊上的一點(diǎn)，將

△A8。繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至zvAb,作A￡平分ND4/交3c于點(diǎn)E,易證明：

BD2+CE2=DE2.若=則以8D、DE、EC為邊的三角形的形狀是

(2)如圖②，四邊形48co中，NBAD=NBCD=90。,AB=AL),若四邊形ABC。

的面積是32,CD=6,求8c的長(zhǎng)度；

(3)AAEC是以8r為底的等腰直角三角形，點(diǎn)。是“160所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足

4)=4,BD=6,CD=2,請(qǐng)畫草圖并求NAZX:的度數(shù).

圖①一圖②

18.已知等腰A43C中，A8=AC,點(diǎn)。在直線A4上，DE//BC,交直線AC于點(diǎn)

E,且3O=3C,CHLAB,垂足為〃.

圖3

（1）當(dāng)點(diǎn)。在線段人B上時(shí)，如圖I,求證8"+。石=?！ǎ?/p>

（2）當(dāng)點(diǎn)。在線段8A的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2；當(dāng)點(diǎn)0在線段AB延長(zhǎng)線時(shí)，如圖3,

線段8H,DE,?！ㄓ钟性鯓拥臄?shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想，不需要證明.

19.數(shù)學(xué)課上，張老師出示了問題：如圖I,四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC

的中點(diǎn).ZAEF=90°,且EF交正方形外角NDCG的角平分線CF于點(diǎn)E求證：

AE二EF.

經(jīng)過思考，小明展示了一種正確