【素養(yǎng)目標(biāo)】5.3.2 古代數(shù)學(xué)問題 教案（表格式） 2024-2025學(xué)年北師大數(shù)學(xué)上冊(cè)

第2課時(shí)古代數(shù)學(xué)問題教學(xué)目標(biāo)課題第2課時(shí)古代數(shù)學(xué)問題授課人素養(yǎng)目標(biāo)1.能根據(jù)古代數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，感悟數(shù)學(xué)模型的思想。2.借助古代數(shù)學(xué)問題，體會(huì)利用表格分析數(shù)量關(guān)系是一種有效方法。3.經(jīng)歷運(yùn)用方程解決古代數(shù)學(xué)問題的過程，感受數(shù)學(xué)與實(shí)際的聯(lián)系，加強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)。教學(xué)重點(diǎn)尋找古代數(shù)學(xué)問題中的等量關(guān)系，建立方程。教學(xué)難點(diǎn)抓住古代數(shù)學(xué)問題中的不變量，確定等量關(guān)系。教學(xué)活動(dòng)教學(xué)步驟師生活動(dòng)活動(dòng)一：創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課設(shè)計(jì)意圖借助現(xiàn)代的分書問題情境，激發(fā)學(xué)生興趣，引出古代數(shù)學(xué)問題，為接下來的學(xué)習(xí)做鋪墊?！厩榫骋搿堪岩恍纸o幾名學(xué)生，如果每人分3本，那么多出8本；如果每人分5本，那么還少2本。共有多少本書？共有多少名學(xué)生？你知道怎么算嗎？古代數(shù)學(xué)著作中把這類問題叫作“盈不足”問題，這節(jié)課我們就來學(xué)習(xí)用一元一次方程解決這類問題?！窘虒W(xué)建議】讓學(xué)生交流討論，指定學(xué)生代表回答，并說明列方程的思路?；顒?dòng)二：?jiǎn)栴}引入，合作探究設(shè)計(jì)意圖通過古代數(shù)學(xué)中的“盈不足”問題，讓學(xué)生學(xué)會(huì)利用表格分析數(shù)量關(guān)系，培養(yǎng)從古代數(shù)學(xué)問題中找等量關(guān)系的能力，感受方程模型對(duì)于解決古代數(shù)學(xué)問題的作用，加強(qiáng)模型觀念與應(yīng)用意識(shí)。探究點(diǎn)利用一元一次方程解決古代數(shù)學(xué)問題問題《九章算術(shù)》“盈不足”章第一題：今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四。問：人數(shù)、物價(jià)各幾何？題目大意：幾個(gè)人合伙買東西，若每人出8錢，則會(huì)多出3錢；若每人出7錢，則還少4錢。合伙人數(shù)、物品的價(jià)格分別是多少？（1）問題中有哪些已知量和未知量？它們之間有怎樣的等量關(guān)系？已知量：每人出8錢和7錢時(shí)出錢總數(shù)與物價(jià)的差距；未知量：人數(shù)與物價(jià)。等量關(guān)系：每人出的錢數(shù)×人數(shù)-多出的錢數(shù)=每人出的錢數(shù)×人數(shù)+少的錢數(shù)。（2）設(shè)人數(shù)為x，其他未知量能用含x的代數(shù)式表示嗎？請(qǐng)完成下表。有關(guān)量每人出8錢每人出7錢人數(shù)xx出錢總數(shù)8x7x物價(jià)8x-37x+4（3）根據(jù)等量關(guān)系，你能列出怎樣的方程？設(shè)人數(shù)為x。根據(jù)等量關(guān)系，列出方程：8x-3=7x+4。解這個(gè)方程，得x=7。因此，人數(shù)為7，物價(jià)為53錢。思考如果設(shè)物價(jià)為y錢，你能列出怎樣的方程？與同伴進(jìn)行交流。用含y的代數(shù)式表示其他未知量如下表。 例（教材P149例2）《九章算術(shù)》“盈不足”章第五題：今有共買金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百。問：人數(shù)、金價(jià)各幾何？題目大意：幾個(gè)人合伙買金，每人出400錢，會(huì)多出3400錢；每人出300錢，會(huì)多出100錢。合伙人數(shù)、金價(jià)各是多少？分析提問：（1）問題中的等量關(guān)系是怎樣的？每人出的較多錢數(shù)×人數(shù)-多出的錢數(shù)=每人出的較少錢數(shù)×人數(shù)-多出的錢數(shù)。（2）設(shè)人數(shù)為x，你能把下表補(bǔ)充完整嗎？有關(guān)量每人出400錢每人出300錢人數(shù)xx出錢總數(shù)400x300x物價(jià)400x-3400300x-100解：設(shè)合伙人數(shù)為x，則金價(jià)可表示為（400x-3400）錢，還可表示為（300x-100）錢，根據(jù)等量關(guān)系，列出方程：400x-3400=300x-100。解這個(gè)方程，得x=33。300×33-100=9800。因此，人數(shù)為33，金價(jià)為9800錢。思考（1）如果設(shè)金價(jià)為y錢，能列出怎樣的方程？（2）《九章算術(shù)》給出了一種算法：人數(shù)=兩次剩余錢數(shù)之差÷兩次每人所出錢數(shù)之差；物價(jià)=每人出的錢數(shù)×人數(shù)-剩余錢數(shù)。你能理解這種解法嗎？與方程的求解過程相比，有什么不同？與同伴進(jìn)行交流。能。因?yàn)榈谝淮纬鲥X總數(shù)-物價(jià)=第一次剩余錢數(shù)，第二次出錢總數(shù)-物價(jià)=第二次剩余錢數(shù)，將這兩個(gè)式子左右分別相減，物價(jià)不變，所以兩次出錢總數(shù)之差=兩次剩余錢數(shù)之差，而兩次出錢總數(shù)之差=兩次每人所出錢數(shù)之差×人數(shù)，所以人數(shù)=兩次剩余錢數(shù)之差÷兩次每人所出錢數(shù)之差。這種解法與方程的求解過程相比，不用設(shè)未知數(shù)解方程，用有理數(shù)運(yùn)算的形式解決，但是沒有方程直觀，對(duì)題意的理解有較高的要求，例如當(dāng)出錢總數(shù)不足物價(jià)時(shí)，剩余錢數(shù)需用負(fù)數(shù)表示?！緦?duì)應(yīng)訓(xùn)練】教材P150隨堂練習(xí)。【教學(xué)建議】讓學(xué)生交流討論，指定學(xué)生代表回答問題，引導(dǎo)學(xué)生找出題目中的等量關(guān)系，用表格分析數(shù)量關(guān)系，根據(jù)物價(jià)不變列出方程。【教學(xué)建議】讓學(xué)生交流討論，引導(dǎo)學(xué)生類比上面的過程用表格分析數(shù)量關(guān)系，體會(huì)此時(shí)需要根據(jù)人數(shù)不變列方程，并詢問學(xué)生感覺哪種方法更簡(jiǎn)便?！窘虒W(xué)建議】告訴學(xué)生：當(dāng)設(shè)人數(shù)為未知數(shù)時(shí)，就根據(jù)金價(jià)不變列方程，如400x-3400=300x-100的兩邊就是金價(jià)的兩種不同的表達(dá)式；當(dāng)設(shè)金價(jià)為未知數(shù)時(shí)，就根據(jù)人數(shù)不變列方程，用兩種不同的表達(dá)式表示出人數(shù)。讓學(xué)生交流討論，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩次剩余錢數(shù)之差=兩次出錢總數(shù)之差，知道人數(shù)后，物價(jià)的表示比較好理解，可讓學(xué)生用這種解法檢驗(yàn)前面解決過的問題，并感受剩余錢數(shù)為負(fù)數(shù)的情況也是成立的。也可以讓學(xué)生從解方程的過程的角度去體會(huì)，如解方程400x-3400=300x-100時(shí)，將解方程的過程濃縮成一步，就是，實(shí)際就是人數(shù)=兩次剩余錢數(shù)之差÷兩次每人所出錢數(shù)之差?；顒?dòng)三：知識(shí)延伸，鞏固升華設(shè)計(jì)意圖借助不同形式的古代數(shù)學(xué)問題，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生從古代數(shù)學(xué)問題中找等量關(guān)系列方程的能力。例《孫子算經(jīng)》中有一道題，原文是“今有三人共車，二車空；二人共車，九人步，問：人與車各幾何？”題目大意：今有若干人乘車，每3人共乘一車，最終剩余2輛車；每2人共乘一車，最終剩余9人無車可乘。共有多少人？多少輛車？分析提問：（1）問題中的等量關(guān)系是怎樣的？一輛車乘的較多人數(shù)×（車數(shù)-剩余空車數(shù)）=一輛車乘的較少人數(shù)×車數(shù)+無車可乘的人數(shù)。（2）設(shè)車輛數(shù)為x，你能把下表補(bǔ)充完整嗎？有關(guān)量每3人共乘一車每2人共乘一車車輛數(shù)xx乘車的人數(shù)3（x-2）2x總?cè)藬?shù)3（x-2）2x+9解：設(shè)共有x輛車，則根據(jù)題意，得3（x-2）=2x+9。解這個(gè)方程，得x=15。3×（15-2）=39。因此，共有39人，15輛車?！緦?duì)應(yīng)訓(xùn)練】我國(guó)古代《算法統(tǒng)宗》里有這樣一首詩：我問開店李三公。眾客都來到店中，一房七客多七客，一房九客一房空。詩中后兩句的意思是：如果每一間客房住7人，那么有7人無房可?。蝗绻恳婚g客房住9人，那么就空出一間房。該店有客房多少間？多少客人？解：設(shè)該店有客房x間，則根據(jù)題意，得7x+7=9（x-1）。解這個(gè)方程，得x=8。7×8+7=63。因此，該店有客房8間，63個(gè)客人?！窘虒W(xué)建議】先讓學(xué)生獨(dú)立思考，提醒學(xué)生注意“二車空”的意義，酌情引導(dǎo)學(xué)生利用表格分析數(shù)量關(guān)系?；顒?dòng)四：課堂總結(jié)【課堂總結(jié)】師生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請(qǐng)學(xué)生回答以下問題：1.你會(huì)用表格分析“盈不足”問題中的數(shù)量關(guān)系嗎？2.你會(huì)用一元一次方程解決“盈不足”問題嗎？會(huì)列幾種方程？3.你會(huì)用有理數(shù)運(yùn)算的方法解決“盈不足”問題嗎？【知識(shí)結(jié)構(gòu)】【作業(yè)布置】1.教材P155習(xí)題5.3第6，7題。板書設(shè)計(jì)第2課時(shí)古代數(shù)學(xué)問題古代數(shù)學(xué)問題：1.用表格分析數(shù)量關(guān)系；2.列方程；3.求解。教學(xué)反思本節(jié)課首先通過一個(gè)現(xiàn)代分書問題引入，為本節(jié)課的主要內(nèi)容做一點(diǎn)準(zhǔn)備。接著通過“盈不足”問題，讓學(xué)生掌握用表格分析數(shù)量關(guān)系的方法，并嘗試用不同方法列方程，進(jìn)一步提高從古代數(shù)學(xué)問題中找等量關(guān)系列方程的能力。然后通過思考“盈不足”問題的有理數(shù)運(yùn)算解法，拓寬學(xué)生思維，并與方程解法進(jìn)行比較，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)方程模型對(duì)于解決古代數(shù)學(xué)問題的作用，加強(qiáng)模型觀念與應(yīng)用意識(shí)。部分學(xué)生對(duì)有理數(shù)運(yùn)算的解法難以理解，可通過驗(yàn)證的方式幫助體會(huì)，但也不用有過高要求，掌握主要的兩種方程解法即可。解題大招一根據(jù)“盈不足”問題列方程根據(jù)“盈不足”問題列方程，一般要抓住不變的兩個(gè)量，設(shè)其中一個(gè)不變量為未知數(shù)，然后用不同方式表示出另一個(gè)不變量，據(jù)此列出方程。例《孫子算經(jīng)》中有一道題，原文是：今有四人共車，一車空；三人共車，九人步，問：人與車各幾何？譯文為：今有若干人乘車，若每4人共乘一車，則最終剩余1輛車；若每3人共乘一車，則最終剩余9個(gè)人無車可乘，共有多少人？多少輛車？設(shè)共有x人，可列方程（A）培優(yōu)點(diǎn)根據(jù)古代數(shù)學(xué)問題列方程例我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中記載了一道題，大