4.2 角（12大題型提分練）（原卷版）

（北師大版）七年級上冊數(shù)學(xué)《第4章基本平面圖形》4.2角知識點一知識點一角的概念、表示方法◆1、角的概念：靜態(tài)定義：有公共端點的兩條射線組成的圖形，叫做角.動態(tài)定義：如圖（1）角也可以看作由一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)所形成的圖形.①如圖（2），當(dāng)射線旋轉(zhuǎn)到起始位置OA與終止位置OB在一條直線上時，形成平角；②如圖（3），繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，OB與OA重合時，又形成周角；◆2、角的表示方法：角的幾何符號為“∠”，角的表示方法有以下四種：∠AOB∠O）∠1∠α表示方法溫馨提示用三個大寫表示頂點的在中間.用一個大寫一個.用一個阿拉伯弧線，用一個小寫希臘弧線，知識點二知識點二角的度量單位及換算方法◆1、角的度量單位是：度、分、秒.我們常用量角器量角，度、分、秒是常用的角的度量單位.把一個周角360等分，每一份就是1度的角，記作1°；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，記作1′；把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，記作1″.◆2、角度制：以度、分、秒為單位的角的度量制.◆3、平角與周角的概念平角：一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn),當(dāng)終邊與始邊成一條直線時,所成的角叫作平角；周角：一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn),當(dāng)終邊與始邊重合時,所成的角叫作周角.1周角＝360°1平角＝180°◆4、度、分、秒是角的基本度量單位，它們的換算關(guān)系如下：160′1′＝60″1″＝知識點三知識點三角的比較與運算◆1、角的比較有兩種方法：方法一：度量法，測量度數(shù)大的那個角就大，反之，度數(shù)小的那個角就小.方法二：疊合法：利用尺規(guī)作圖把其中的一條邊重合，通過觀察另一條邊的位置作比較①若邊OB在內(nèi)部，則∠AOB＜∠A'O'B'②若邊OB與重合，則∠AOB＝∠A'O'B'③若邊OB在外部，則∠AOB＞∠A'O'B'◆2、角的平分線：一般地，從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成兩個相等的角的射線，叫做這個角的平分線.因為OC是∠AOB的平分線，所以∠AOC＝∠BOC＝12◆3、角的和、差∠AOC是∠AOB與∠BOC的和，記作∠AOC=∠AOB+∠BOC；∠AOB是∠AOC與∠BOC的差，記作∠AOB=∠AOC－∠BOC；類似地，∠AOC－∠AOB=∠AOC知識點四知識點四用尺規(guī)作一個角等于已知角◆作一個角等于已知角.已知：∠AOB，求作∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB.題型一角的定義及角的表示方法解題技巧提煉（1）角的定義：有公共端點是兩條射線組成的圖形叫做角，其中這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊．（2）角的表示方法：角可以用一個大寫字母表示，也可以用三個大寫字母表示．其中頂點字母要寫在中間，唯有在頂點處只有一個角的情況，才可用頂點處的一個字母來記這個角，否則分不清這個字母究竟表示哪個角．角還可以用一個希臘字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯?dāng)?shù)字（∠1，∠2…）表示．（3）平角、周角：角也可以看作是由一條射線繞它的端點旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，當(dāng)始邊與終邊成一條直線時形成平角，當(dāng)始邊與終邊旋轉(zhuǎn)重合時，形成周角．1．（2023春?肥城市期中）如圖所示，下列說法錯誤的是（）A．∠DAO可用∠DAC表示 B．∠COB也可用∠O表示 C．∠2也可用∠OBC表示 D．∠CDB也可用∠1表示2．（2024春?聊城月考）下列說法中正確的是（）A．直線是平角 B．角的大小與角的兩邊長有關(guān) C．角的兩邊是兩條射線 D．用放大鏡看一個角，角的度數(shù)變大了3．下列關(guān)于角的說法中，正確的個數(shù)為（）①兩條有公共點的射線組成的圖形叫做角；②角是由一個端點引出的兩條射線所組成的圖形；③兩條射線，它們的端點重合時，可以形成角；④角的大小與邊的長短有關(guān)．A．0 B．1 C．2 D．34．（2023秋?晉江市期末）如圖，下列說法不正確的是（）A．∠BAC和∠DAE是同一個角 B．∠ABC和∠ACB不是同一個角 C．∠ABC可以用∠B表示 D．∠AED可以用∠E表示5．（2023秋?唐縣期末）下列四個圖中，能用∠1、∠AOB、∠O三種方法表示同一個角的是（）A． B． C． D．6．（2024春?淄川區(qū)期末）下列圖中的∠1也可以用∠O表示的是（）A． B． C． D．題型二角的換算解題技巧提煉角的度量：度、分、秒是常用的角的度量單位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″．1．（2024春?張店區(qū)校級月考）把2.36°用度、分、秒表示，正確的是（）A．2°21′36′′ B．2°18′36′′ C．2°30′50′′ D．2°3′6′′2．（2023秋?新樂市期末）若∠α＝5.12°，則∠α用度、分、秒表示為（）A．5°12' B．5°7'12'' C．5°7'2'' D．5°10'2''3．（2023秋?永年區(qū)期中）下列各式中，正確的是（）A．35.5°＝35°50′ B．15°12′36″＝15.48° C．28°18′18″＝28.33° D．65.25°＝65°15′4．下列式子中錯誤的是（）A．38.78°＝38°46′48″ B．50°42'＝50.7° C．98°45'+2°35'＝101°20' D．108°18'﹣57°23'＝51°55'5．（2024春?張店區(qū)校級月考）1.16°＝°′″；45°57′18″＝°6．計算：（1）8.76°＝°′″；（2）540″＝°．題型三角度的運算解題技巧提煉1、度、分、秒的加減運算．在進(jìn)行度分秒的加減時，要將度與度，分與分，秒與秒相加減，分秒相加，逢60要進(jìn)位，相減時，要借1化60．2、度、分、秒的乘除運算．①乘法：度、分、秒分別相乘，結(jié)果逢60要進(jìn)位．②除法：度、分、秒分別去除，把每一次的余數(shù)化作下一級單位進(jìn)一步去除．1．（2024春?坊子區(qū)校級月考）計算：（1）47°53′43″+53°47′42″；（2）92°56′3″﹣46°57′54″．2．（2023秋?孝南區(qū)期末）計算：（1）48°39'+67°31'；（2）23°53'×2﹣17°43'．3．（2023春?譙城區(qū)校級期末）計算：（1）89°35'+20°25'（結(jié)果用度、分、秒表示）．（2）123°24'﹣60°36'（結(jié)果用度表示）．4．如圖，AB是一條直線，如果∠1＝65°15′，∠2＝78°35′，且∠1+∠2+∠3＝180°，求∠3的度數(shù)．5．（2023秋?羅山縣校級月考）計算：①180°﹣18°15'×6；②90°﹣（78°36'﹣13°10'÷4）．6．計算．（1）56°18'+61°35'（2）19°26'﹣7°33'（3）78°14'+25°46'（4）108°11'5'﹣22°38'26″7．計算：（1）51°37′11″﹣30°30′30″+12°25′40″；（2）13°53′×3﹣32°5′31″．題型四鐘表中的角度問題解題技巧提煉1、鐘面一周平均分60格，相鄰兩格刻度之間的時間間隔是1分鐘，時針1分鐘走1122、計算鐘面上時針與分針?biāo)山堑亩葦?shù)，一般先從鐘面上找出某一時刻分針與時針?biāo)幍奈恢?，確定其夾角，再根據(jù)表面上每一格30°的規(guī)律，計算出分針與時針的夾角的度數(shù)．3、鐘面上的路程問題分針：60分鐘轉(zhuǎn)一圈，每分鐘轉(zhuǎn)動的角度為：360°÷60＝6°時針：12小時轉(zhuǎn)一圈，每分鐘轉(zhuǎn)動的角度為：360°÷12÷60＝0.5°．1．（2023秋?梁山縣期末）鐘表8時30分時，時針與分針?biāo)傻慕堑亩葦?shù)為（）A．110° B．75° C．105° D．90°2．（2023秋?西山區(qū)期末）從下午13：00到當(dāng)天下午13：30，時鐘的分針轉(zhuǎn)過的角度度數(shù)是（）A．90° B．120° C．180° D．150°3．（2024春?泰山區(qū)期中）如圖，1時30分的時候，鐘表的時針與分針?biāo)M成的小于平角的角的度數(shù)是（）A．120° B．125° C．135° D．150°4．（2023秋?烏魯木齊期末）鐘表上的分針和時針經(jīng)過40分鐘，分針和時針旋轉(zhuǎn)的角度分別是（）A．40°和20° B．240°和20° C．240°和40° D．40°和40°5．（2023秋?金臺區(qū)校級月考）當(dāng)時針指向上午10：15時，時針與分針的夾角是°．6．知識的遷移與應(yīng)用問題一：甲、乙兩車分別從相距180km的A、B兩地出發(fā)，甲車速度為36km/h，乙車速度為24km/h，兩車同時出發(fā)，同向而行（乙車在前甲車在后），后兩車相距120km？問題二：將線段彎曲后可視作鐘表的一部分，如圖，在一個圓形時鐘的表面上，OA表示時針，OB表示分針（O為兩針的旋轉(zhuǎn)中心）．下午3點時，OA與OB成直角．（1）3：40時，時針與分針?biāo)傻慕嵌?；?）分針每分鐘轉(zhuǎn)過的角度為，時針每分鐘轉(zhuǎn)過的角度為；（3）在下午3點至4點之間，從下午3點開始，經(jīng)過多少分鐘，時針與分針成60°角？題型五角的計數(shù)與規(guī)律探究解題技巧提煉數(shù)角的個數(shù)的方法類似于數(shù)線段的方法,當(dāng)∠AOB內(nèi)部有n條射線時，射線的總數(shù)就有（n+2）條，共有（n+11．（2023秋?青龍縣期中）如圖所示，圖中共有多少個小于平角的角（）A．10個 B．9個 C．8個 D．4個2．（2023秋?興城市期末）如圖①，若在∠AOB的內(nèi)部以O(shè)為端點做一條射線OA1，得到3個角；如圖②，若在∠AOB的內(nèi)部以O(shè)為端點做兩條射線OA1和OA2，得到6個角……，以此類推，如果在∠AOB的內(nèi)部以O(shè)為端點做n條射線，則圖③中角的個數(shù)為（）A．n（n+1） B．(n+1)(n+2)2C．n(n+1)2 D．3．（2023秋?泗縣期末）如圖，已知∠MON，在∠MON內(nèi)逐一畫射線，下面三個圖中分別有3個、6個、10個角（不大于平角的角）．當(dāng)∠MON內(nèi)有n條射線時，角的個數(shù)為（）A．n22 B．C．n(n?1)2 D．4．（2023秋?連城縣期末）在銳角∠AOB內(nèi)部，畫出1條射線，可以畫出3個銳角；畫出2條不同的射線，可以畫出6個銳角；畫出3條不同的射線，可以畫出10個銳角．照此規(guī)律，畫19條不同的射線，可以畫出銳角的個數(shù)為（）A．165 B．186 C．199 D．2105．觀察如圖，回答下列問題：（1）在∠AOB內(nèi)部畫1條射線OC，則圖中有個不同的角；（2）在∠AOB內(nèi)部畫2條射線OC，OD，則圖中有個不同的角；（3）在∠AOB內(nèi)部畫3條射線OC，OD，OE，則圖中有個不同的角；（4）在∠AOB內(nèi)部畫10條射線OC，OD，OE…則圖中有個不同的角；（5）在∠AOB內(nèi)部畫n條射線OC，OD，OE…則圖中有個不同的角．題型六角的比較解題技巧提煉角的大小比較（1）比較角的大小有兩種方法：①測量法，即用量角器量角的度數(shù)，角的度數(shù)越大，角越大．②疊合法，即將兩個角疊合在一起比較，使兩個角的頂點及一邊重合，觀察另一邊的位置．1．（2023春?岱岳區(qū)期末）在∠AOB內(nèi)取一點C，作射線OC，則一定成立（）A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOC＞∠BOC C．∠BOC＞∠AOC D．∠AOB＞∠AOC2．（2023秋?呼和浩特期末）如圖所示，正方形網(wǎng)格中有∠α和∠β，如果每個小正方形的邊長都為1，估測∠α與∠β的大小關(guān)系為（）A．∠α＜∠β B．∠α＝∠β C．∠α＞∠β D．無法估測3．（2023秋?渠縣校級期末）如圖，射線OC，OD分別在∠AOB的內(nèi)部、外部，下列結(jié)論錯誤的是（）A．∠AOB＜∠AOD B．∠BOC＜∠AOB C．∠COD＞∠AOD D．∠AOB＞∠AOC4．（2023秋?紅橋區(qū)期末）如圖，用同樣大小的三角板比較∠A和∠B的大小，下列判斷正確的是（）A．∠A＞∠B B．∠A＜∠B C．∠A＝∠B D．沒有量角器，無法確定5．（2023秋?長安區(qū)期末）∠A＝40.4°，∠B＝40°4'，關(guān)于兩個角的大小，下列正確的是（）A．∠A＞∠B B．∠A＜∠B C．∠A＝∠B D．無法確定6．（2024春?莘縣期末）若∠1＝25°12′，∠2＝25.12°，∠3＝25.2°，則下面說法正確的是（）A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠1＝∠3 D．∠1，∠2，∠3互不相等7．（2023春?萊西市期中）如圖所示，由正方形組成的網(wǎng)格中，點A，B，C，D，O是網(wǎng)格線交點，那么∠AOB與∠COD的大小關(guān)系是∠AOB∠COD．（填“＞”，“＜”或“＝”）題型七角的和、差、倍、分解題技巧提煉角的和、差、倍、分①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，記作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，記作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射線OC是∠AOB的三等分線，則∠AOB＝3∠BOC或∠BOC=13∠1．（2023秋?駐馬店期末）如圖，下列結(jié)論中，不能說明射線OC平分∠AOB的是（）A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOB＝2∠BOC C．∠AOB＝2∠AOC D．∠AOC+∠BOC＝∠BOA2．（2023春?陽谷縣期中）如圖∠AOB，以O(shè)B為邊作∠BOC，使∠BOC＝2∠AOB，那么下列說法正確的是（）A．∠AOC＝3∠AOB B．∠AOC＝∠AOB C．∠AOC＞∠BOC D．∠AOB＝∠AOC或∠AOC＝3∠AOB3．（2023秋?雁塔區(qū)校級期中）如圖，OB平分∠AOC，則∠AOD﹣∠BOC等于（）A．∠BOD B．∠DOC C．∠AOB D．∠AOC4．（2023秋?肥西縣期末）如圖，OC是∠AOB的平分線，OD是∠BOC的平分線，那么下列各式中正確的是（）A．∠COD=12∠AOB B．∠AOD=2C．∠BOD=12∠AOD D．∠BOC=5．（2023秋?松桃縣期末）如圖，已知O為直線AB上一點，將直角三角板MON的直角頂點放在點O處，若OC是∠MOB的平分線，則下列結(jié)論正確的是（）A．∠AOM＝3∠NOC B．∠AOM＝2∠NOC C．2∠AOM＝3∠NOC D．3∠AOM＝5∠NOC6．題型八角的平分線的應(yīng)用解題技巧提煉1.角平分線的定義：從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線叫做這個角的平分線．2.性質(zhì)：若OC是∠AOB的平分線：則∠AOC＝∠BOC=12∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠1．（2024春?濰城區(qū)期中）如圖，已知OB是∠AOC內(nèi)部的一條射線，下列說法一定正確的是（）A．∠AOC＝2∠BOC B．∠BOC＜∠AOB C．∠AOC可以用∠O表示 D．∠1與∠AOB表示同一個角2．A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOC＜∠AOB C．∠AOC＝∠BOC或∠AOC＝2∠BOC D．∠AOC＝∠BOC或∠AOC＝3∠BOC3．（2023?大慶開學(xué)）如圖，點O在直線AB上，∠COD＝90°，OE是∠BOD的平分線，OC為∠BOE的平分線，∠BOC＝．4．（2023秋?南明區(qū)期末）如圖所示，∠AOB＝30°，∠BOC＝40°，∠COD＝26°，OE平分∠AOD，則∠BOE的大小為．5．（2023秋?碑林區(qū)校級期末）已知如圖，∠AOB：∠BOC＝5：3，OD是∠BOC的平分線，OE是∠AOC的平分線，且∠BOE＝16°，求∠DOE的度數(shù)．題型九角的尺規(guī)作圖解題技巧提煉角的尺規(guī)作圖是利用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角.1．（2023秋?橋西區(qū)期末）如圖，用尺規(guī)作出了∠NCB＝∠AOC，作圖痕跡中弧FG是（）A．以點C為圓心，OD為半徑的弧 B．以點C為圓心，DM為半徑的弧 C．以點E為圓心，OD為半徑的弧 D．以點E為圓心，DM為半徑的弧2．（2024春?遼陽期末）如圖，點C在∠AOB的OB邊上，用尺規(guī)作出了∠BCD＝∠AOB．以下是排亂的作圖過程：則正確的作圖順序是（）①以C為圓心，OE長為半徑畫MN，交OB于點M．②作射線CD，則∠BCD＝∠AOB．③以M為圓心，EF長為半徑畫弧，交MN于點D．④以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫EF，分別交OA，OB于點E，F(xiàn)．A．①﹣②﹣③﹣④B．③﹣②﹣④﹣① C．④﹣①﹣③﹣②D．④﹣③﹣①﹣②3．（2023秋?裕華區(qū)期末）下面是黑板上出示的尺規(guī)作圖題，需要回答符號代表的內(nèi)容（）如圖，已知∠AOB，求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB作法：（1）以●為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA、OB于點P、Q（2）作射線EG，并以點E為圓心◎長為半徑畫弧交EG于點D（3）以點D為圓心⊙長為半徑畫弧交（2）步中所畫弧于點F（4）作⊕，∠DEF即為所求作的角A．●表示點E B．◎表示PQ C．⊙表示OQ D．⊕表示射線EF4．（2024春?芝罘區(qū)期末）如圖，用尺規(guī)作圖作出∠OBF＝∠AOB，則作圖痕跡弧MN是（）A．以點B為圓心，以O(shè)D長為半徑的弧 B．以點B為圓心，以DC長為半徑的弧 C．以點E為圓心，以O(shè)D長為半徑的弧 D．以點E為圓心，以DC長為半徑的弧題型十三角板中角的計算解題技巧提煉三角板中的角的計算主要是利用特殊角30°，45°，60°，90°進(jìn)行相關(guān)的計算.1．（2023秋?廣州期末）如圖，把一副三角板疊合在一起，則∠AOB的度數(shù)是（）A．15° B．20° C．30° D．70°2．（）A．24° B．25° C．26° D．27°3．（2023春?滕州市校級期末）將一副三角板的直角頂點重合放置于A處（兩塊三角板可以在同一平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動），下列結(jié)論一定成立的是（）A．∠CAE+∠DAB＝90° B．∠BAE﹣∠DAC＝45° C．∠BAE+∠DAC＝180° D．∠DAC＝2∠BAD4．（2023秋?市北區(qū)期末）如圖，一副三角板中，將一個三角板60°角的頂點與另一個三角板的直角頂點重合，如果∠1＝23°，那么∠2的大小是度．5．（2023秋?江漢區(qū)期末）如圖，將三角板的直角頂點O放在直線AB上，OE平分∠AOC，繞點O轉(zhuǎn)動三角板，若∠BOD＝20°，則∠AOE＝°．6．（2023秋?荊門期末）如圖，將一副三角尺的兩個銳角（60°角和45°角）的頂點O疊放在一起，若∠AOD與∠BOC的和為35°，則∠AOC的度數(shù)為（）A．55° B．65° C．70° D．75°題型十一角度計算的解答題解題技巧提煉角度計算的解答題是綜合運算角的和差倍分進(jìn)行相關(guān)的計算，有時要用到角分線的性質(zhì)。1．（2023秋?靈寶市期末）如圖，點A，O，B在同一條直線上，∠AOC＝∠BOD，OM，ON分別是∠AOC，∠BOD的平分線．（1）若∠COD＝80°，求∠MON的度數(shù)；（2）比較∠DOM和∠CON的大小，并說明理由．2．（2023秋?德惠市期末）如圖，OC是∠AOD的平分線，OE是∠BOD的平分線．（1）如果∠AOB＝130°，那么∠COE是多少度？（2）在（1）的條件下，如果∠COD＝20°31′，那么∠BOE是多少度？3．（2023秋?天山區(qū)校級期末）如圖，已知∠AOB＝120°，∠AOD＝2∠BOD．（1）求∠AOD的度數(shù)；（2）自O(shè)點引射線OC，若∠AOC：∠COB＝1：3，求∠COD的度數(shù)．4．（2024春?萊州市期末）新定義：若∠α的度數(shù)是∠β的度數(shù)的n倍，則∠α叫做∠β的n倍角．（1）若∠M＝10°21′，請直接寫出∠M的4倍角的度數(shù)；（2）如圖1所示，若∠AOB＝∠BOC＝∠COD，請直接寫出圖中∠COD的2倍角；（3）如圖2所示，若∠AOC是∠AOB的3倍角，∠COD是∠AOB的4倍角，且∠BOD＝90°，求∠BOC的度數(shù)．5．（2023秋?江源區(qū)期末）如圖甲所示，將一副三角尺的直角頂點重合在點O處．（1）①∠AOD和∠BOC相等嗎？說明理由．②∠AOC和∠BOD在數(shù)量上有何關(guān)系？說明理由．（2）若將這副三角尺按左圖乙所示擺放，三角尺的直角頂點重合在點O處．①∠AOD和∠BOC相等嗎？說明理由．②∠AOC和∠BOD的以上關(guān)系還成立嗎？說明理由．6．（2023秋?斗門區(qū)期末）如圖①，OC是∠AOE內(nèi)部的一條射線，OB、OD分別平分∠AOC，∠EOC．（1）若∠AOE＝140°，∠COD＝30°，求∠BOC＝；（2）∠AOE與∠BOD的大小有什么關(guān)系，寫出你的結(jié)論并說明理由．（3）如圖②，如果OC是∠AOE外部的一條射線，OB、OD分別平分∠AOC，∠EOC．那么（2）中∠AOE與∠BOD的大小關(guān)系還成立嗎？請說明理由．題型十二角度計算的動態(tài)問題解題技巧提煉角度計算的動態(tài)問題是化動為靜，綜合運算角的和差倍分進(jìn)行相關(guān)的計算，有時要用到方程思想和分類討論的思想.1．（2023秋?橋西區(qū)期末）已知直角三角形MON的直角頂點O在直線AB上，射線OC平分∠AON．（1）如圖1，若∠MOC＝34°，求∠AOM的度數(shù)；（2）如圖2，將三角形MON繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，若∠BON＝100°，求∠AOM的度數(shù)；（3）如圖3，將三角形MON繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，試寫出∠BON和∠MOC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．2．（2023秋?泊頭市期末）已知一副直角三角尺OAB和OCD，∠AOB＝90°，∠B＝45°，∠D＝9