5.3 一元一次方程的應(yīng)用（二）“盈不足”問題（7大題型提分練）（原卷版）

（北師大版）七年級上冊數(shù)學(xué)《第5章一元一次方程》5.3一元一次方程的應(yīng)用（二）盈不足問題知識點知識點一元一次方程的應(yīng)用★★1、列方程解應(yīng)用題的步驟：1．審：仔細審題，確定已知量和未知量，找出它們之間的等量關(guān)系．2．設(shè)：設(shè)未知數(shù)（x），根據(jù)實際情況，可設(shè)直接未知數(shù)（問什么設(shè)什么），也可設(shè)間接未知數(shù)．3．列：根據(jù)等量關(guān)系列出方程．4．解：解方程，求得未知數(shù)的值．5．答：檢驗未知數(shù)的值是否正確，是否符合題意，完整地寫出答句．★★2、“盈不足”問題：方法點撥：“盈余不足”問題，往往都是根據(jù)同一個量的兩種不同表示方式來列方程求解，一般有兩種設(shè)未知數(shù)的方法．★★3、用一元一次方程解決實際問題的基本過程如下：題型一“盈不足”問題解題技巧提煉“盈不足”問題“表示同一個量的不同式子相等”是解決此類問題中的一個基本相等關(guān)系.1．（2024秋?南崗區(qū)校級月考）我國古代著作《增刪算法統(tǒng)宗》中記載了一首古算詩：“庭前孩童鬧如簇，不知人數(shù)不知梨，每人四梨多十二，每人六梨恰齊足，”其大意：“孩童們在庭院玩耍，不知有多少人和梨，每人分4個梨，多12個梨；每人分6個梨，恰好分完．”設(shè)梨有x個，則可列方程為（）A．x4?12=x6C．6x﹣12＝4x D．4（x﹣12）＝6x2．（2023秋?尋烏縣期末）《九章算術(shù)》中有一道闡述“盈不足術(shù)”的問題，原文如下：今有人共買物，人出八，盈三；人出七，不足四．問人數(shù)，物價各幾何？譯文為：現(xiàn)有一些人共同買一個物品，每人出8元，還盈余3元；每人出7元，則還差4元，問共有多少人？這個物品的價格是多少？設(shè)這個物品的價格是x元，則可列方程為（）A．8x+3＝7x+4 B．8x﹣3＝7x+4 C．x?38=x+43．（2023秋?肥東縣期末）《九章算術(shù)》第七卷“盈不足”中記載：“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四．問人數(shù)、物價各幾何？”譯為：“今有幾個人合伙購買一件物品，每人出8錢，會多3錢；每人出7錢，又差4錢．問人數(shù)和物品價格分別是多少？”這個問題的答案是（）A．1人，11錢 B．6人，50錢 C．7人，61錢 D．7人，53錢4．（2024?海淀區(qū)校級開學(xué)）媽媽買來一箱桔子，若每天比計劃多吃一個，則比計劃少吃2天；若每天比計劃少吃一個，則計劃的時間過去后，還剩12個，那么這一箱桔子共個．5．（2023秋?墊江縣期末）為了全面貫徹黨的教育方針，培養(yǎng)學(xué)生勞動技能，學(xué)校組織七年級學(xué)生乘車前往某社會實踐基地進行勞動實踐活動．若單獨調(diào)配36座新能源客車若干輛，則有2人沒有座位；若只調(diào)配22座新能源客車，則用車數(shù)量增加4輛，并空出2個座位．問：計劃調(diào)配36座的新能源客車多少輛？該校七年級共有多少名學(xué)生？6．某制造工廠計劃若干天完成一批玩具的訂貨任務(wù)，如果每天生產(chǎn)玩具20個，那么就比訂貨任務(wù)少生產(chǎn)100個；如果每天生產(chǎn)玩具23個，那么就可超過訂貨任務(wù)20個，求原計劃幾天完成任務(wù)？7．（2024?碑林區(qū)校級模擬）某車間為提高工作效率，配置了自動化零件檢測設(shè)備，現(xiàn)對一批零件進行檢測，若每套設(shè)備每小時檢測700個零件，則經(jīng)過1小時，剩下300個零件未檢測；若每套設(shè)備每小時檢測750個零件，則經(jīng)過1小時，剩下50個零件未檢測；請問該車間配置了多少套這樣的檢測設(shè)備？8．（2023秋?建鄴區(qū)校級期末）某班共有40名學(xué)生．在該班舉行的元旦聯(lián)歡會上．主持人將一堆糖果分給全班每位同學(xué)，如果男生每人分3顆，女生每人分2顆，那么少2顆；如果女生每人分3顆，男生每人分2顆，那么多2顆．這個班男生和女生各有多少名？題型二和、差、倍、分問題解題技巧提煉和、差、倍、分問題；這類問題主要應(yīng)搞清各量之間的關(guān)系，注意關(guān)鍵詞語，仔細讀題，找出表示和、差、倍、分關(guān)系的關(guān)鍵字，例如:“大，小，多，少，增加，減少”，并根據(jù)題意設(shè)出未知數(shù)，利用這些關(guān)鍵字表示出含有未知數(shù)的量，最后利用題目中的量與量之間的關(guān)系列出方程.1．（2023秋?克東縣期末）某校為了豐富“陽光體育”活動，現(xiàn)購進籃球和足球共16個，共花了2820元，已知籃球的單價為185元，籃球是足球個數(shù)的3倍，則足球的單價為（）A．120元 B．130元 C．150元 D．140元2．A．20頭 B．14頭 C．15頭 D．13頭3．某物流公司，要將300噸物資運往某地，現(xiàn)有A、B兩種型號的車可供調(diào)用，已知A型車每輛可裝20噸，B型車每輛可裝10噸，在每輛車不超載的條件下，把300噸物資一次性運完，現(xiàn)有A型、B型車共25輛可調(diào)用，并且恰好能把物資一次性運完，則A型車有多少輛？4．（2023?陜西）小紅在一家文具店買了一種大筆記本4個和一種小筆記本6個，共用了62元．已知她買的這種大筆記本的單價比這種小筆記本的單價多3元，求該文具店中這種大筆記本的單價．5．（2024?全椒縣一模）我國古代名著《張邱建算經(jīng)》中記載：“今有清酒一斗直粟八斗，醐酒一斗直粟二斗，今持粟兩斛，得酒四斗，問清、醐酒各幾何？”大意：現(xiàn)在一斗清酒價值8斗谷子，一斗翻酒價值2斗谷子，現(xiàn)在拿20斗谷子，共換了4斗酒，問清酒、醐酒各幾斗？6．一籮筐內(nèi)有橘子、梨、蘋果、若干個，已知梨的個數(shù)是橘子個數(shù)的45，蘋果的個數(shù)是橘子個數(shù)的23，梨的個數(shù)的7．（2023秋?倉山區(qū)期末）一個旅游團共26人去參觀一個景點，已知成人票每張120元，兒童票每張80元，經(jīng)預(yù)算，共需要門票錢2640元．（1）求這個旅游團成人和兒童的數(shù)量各是多少人？（2）到了售票窗口得知，購買兩張成人票將會贈送一張兒童票，請計算共需門票錢多少元？題型三配套問題解題技巧提煉配套問題：解這類問題的基本等量關(guān)系是：總量各部分之間的比例=每一套各部分之間的比例.1．（2023秋?鐵嶺縣期末）車間有28名工人生產(chǎn)螺絲和螺母，每人每天平均生產(chǎn)1200個螺絲或1800個螺母，現(xiàn)有x個工人生產(chǎn)螺絲，恰好每天生產(chǎn)的螺母和螺絲按2：1配套，為求x，可列方程（）A．1200x＝1800（28﹣x） B．2×1200x＝1800（28﹣x） C．2×1800x＝1200（28﹣x） D．1200x＝2×1800（28﹣x）2．（2023秋?楚雄州期末）某口罩生產(chǎn)車間有13名工人生產(chǎn)口罩面和耳繩，每人每天平均生產(chǎn)口罩面400個或耳繩500根，一個口罩面要配兩根耳繩．為了使每天的口罩剛好配套，應(yīng)該分配名工人生產(chǎn)耳繩．3．（2023春?惠州期末）用白鐵皮制作罐頭盒，每張鐵皮可制盒身16個，或盒底48個，一個盒身與兩個盒底配成一個罐頭盒，現(xiàn)有100張鐵皮，用張鐵皮制作盒身，正好使得這100張鐵皮制作出來的盒身和盒底全部配套．4．（2023秋?利州區(qū)校級期末）某車間有38名工人，每人每天可以生產(chǎn)1200個甲型零件或2000個乙型零件.2個甲型零件要配3個乙型零件，為使每天生產(chǎn)的兩種型號的零件剛好配套，應(yīng)安排生產(chǎn)甲型零件和乙型零件的工人各多少名？5．（2023秋?天河區(qū)校級期末）初一年級共45名學(xué)生參與科技節(jié)活動，制作紙飛機模型．每人每小時可做20個機身或60個機翼，一個飛機模型要1個機身配2個機翼，為了使每小時制作的成品剛好配套，應(yīng)該分配多少名學(xué)生做機身？多少名學(xué)生做機翼？在剛好配套的情況下，每小時能夠做出多少套？6．（2023秋?新市區(qū)校級期中）家具廠生產(chǎn)方桌，按設(shè)計1立方米木材可制作50個桌面或300個桌腿，現(xiàn)有15立方米木材，怎樣分配木材才能使生產(chǎn)的桌面和桌腿恰好配套，共可生產(chǎn)多少張方桌？（一張方桌按1個桌面4條桌腿配置）7．（2023秋?定州市期末）某校新進了一批課桌椅，七年（2）班的學(xué)生利用活動課時間幫助學(xué)校搬運部分課桌椅，已知七年（2）班共有學(xué)生45人，其中男生的人數(shù)比女生人數(shù)的2倍少24人，要求每個學(xué)生搬運60張桌子或者搬運150張椅子．請解答下列問題：（1）七年（2）班有男生、女生各多少人？（2）一張桌子配兩把椅子，為了使搬運的桌子和椅子剛好配套，應(yīng)該分配多少個學(xué)生搬運桌子，多少個學(xué)生搬運椅子？題型四工程問題解題技巧提煉工程問題：如果題目沒有明確指明總工作量，一般把總工作量設(shè)為1．

基本關(guān)系式：

①總工作量=工作效率×工作時間；

②總工作量=各單位工作量之和．1．（2023秋?涼州區(qū)期末）某工程，甲獨做需12天完成，乙獨做需8天完成，該工程要在規(guī)定時間內(nèi)完成，現(xiàn)由甲先做3天，乙再參加合做，正好如期完成，求完成這項工程規(guī)定的時間．設(shè)完成此項工程用了x天，則下列方程正確的是（）A．x12+x?38=1C．x12+x8=2．（2023秋?大東區(qū)期末）甲、乙兩個工程隊共同承接了某村“煤改氣”工程，甲隊單獨施工需10天完成，乙隊單獨施工需15天完成．若甲隊先做5天，剩下部分由兩隊合做，則完成該工程還需要（）A．8天 B．5天 C．3天 D．2天3．（2023秋?雙臺子區(qū)期末）從一個蓄水池中抽水，甲抽水機單獨抽要12小時抽完，乙抽水機單獨抽要15小時抽完，丙抽水機單獨抽要20小時抽完，若甲、丙先合抽3小時后乙再加入，則還需（）小時可以抽完．A．3 B．4 C．5 D．74．（2023秋?南崗區(qū)校級期中）整理一批數(shù)據(jù)，由一個人做需80h完成，現(xiàn)在計劃先由一些人做2h，再增加5人做8h，完成這項工作的34，則計劃的人數(shù)是5．（2023?淮陰區(qū)校級開學(xué)）做一項工作，甲的工作效率等于乙、丙二人工作效率的和，丙的工作效率與甲、乙二人工作效率的和的比是1：5；如果三人合作需10天完成，那么乙單獨完成此項工作需要天．6．（2023秋?涼州區(qū)期末）某工程甲單獨完成要45天，乙單獨完成要30天，若乙先單獨干22天，剩下的由甲單獨完成．問甲、乙一共用幾天可以完成全部工作？7．（2024?新都區(qū)校級開學(xué)）一件工作，甲單獨完成需要10小時，乙單獨完成，需要15小時，丙單獨完成，需要20小時，現(xiàn)在甲乙合作2小時后，甲因有事離開了，又過3小時后，丙加入進來，直到工作完成，完成這件工作共用了多少小時？8．（2023秋?姑蘇區(qū)校級期末）某市有甲、乙兩個工程隊，現(xiàn)有一小區(qū)需要進行小區(qū)改造，甲工程隊單獨完成這項工需要20天，乙工程隊單獨完成這項工程所需的時間比甲工程隊多10天．（1）現(xiàn)在若甲工程隊先做5天，剩余部分再由甲、乙兩工程隊合作，還需要多少天才能完成？（2）已知甲工程隊每天施工費用為4000元，乙工程隊每天施工費用為2000元，若該工程總費用政府撥款70000元（全部用完），則甲、乙兩個工程隊各需要施工多少天？題型五商品銷售問題解題技巧提煉商品銷售問題

進價、售價、利潤、利潤率、讓利、打折相關(guān)概念及其關(guān)系：成本有時也叫進價，售價有時也叫標價．

利潤=售價-進價=成本×利潤率；實際售價=標價×折扣；標價=成本×（1+利潤率）

利潤率=利潤成本×100%=售價－成本成本×100%

※※注意：“商品利潤=售價1．（2023秋?岳陽縣期末）我縣某一大型超市為慶祝開業(yè)周年慶典，所有商品都打折銷售，該超市某柜臺將單價標為130元的書包按8折出售仍可獲得30%利潤，該書包每個的進價是（）A．65元 B．80元 C．100元 D．104元2．（2023秋?永川區(qū)期末）文具店老板以每個144元的價格賣出兩個計算器，其中一個賺了20%，另一個虧了20%，則賣這兩個計算器總的是（）A．不賺不賠 B．虧12元 C．盈利8元 D．虧損8元3．（2023秋?天橋區(qū)期末）某商場購進一批服裝，每件服裝銷售的標價為400元，由于換季滯銷，商場決定將這種服裝按標價的六折銷售，若打折后每件服裝仍能獲利20%，則該服裝的進價是（）A．160元 B．180元 C．200元 D．220元4．（2024秋?南崗區(qū)校級月考）某種商品的進價為100元，出售標價為150元，由于該商品積壓，商店準備打折銷售，為保證獲得20%利潤率，則要打折．5．（2023秋?新城區(qū)校級月考）某商場在國慶節(jié)期間，開展商品促銷活動．該商場將某型號的電腦按進價提高50%后，以打8折再送50元路費的方式銷售，每臺電腦仍獲利350元，問每臺電腦的進價是多少元？6．（2024春?寬城區(qū)期末）我校七年級社會實踐小組去某商場調(diào)查商品的銷售情況，了解到該商場以每條80元的價格購進了某品牌褲子500條，并以每條120元的價格銷售了400條，商場準備采取促銷措施，將剩下的褲子降價銷售．（1）前400條褲子的利潤是多少元？（2）當每條褲子降價多少元時，銷售完這批褲子正好達到盈利45%的預(yù)期目標？7．（2023秋?肥城市期末）陽光水果店花費615元從市場購進甲、乙兩種蘋果，其中甲種蘋果的重量是乙種蘋果重量的2倍還多15千克，甲、乙兩種蘋果的進價和售價如下表：甲乙進價（元/千克）58售價（元/千克）1015（1）水果店購進兩種蘋果各多少千克？（2）水果店第二次又購進甲、乙兩種蘋果，其中甲種蘋果的重量不變，乙種蘋果的重量是第一次的3倍；甲種蘋果售價不變，乙種蘋果打折銷售．第二次購進的兩種蘋果都售完后獲得的利潤為735元，求第二次乙種蘋果按原價打幾折銷售？8．（2023秋?海林市期末）某購物平臺準備在春節(jié)期間舉行年貨節(jié)活動，此次年貨節(jié)活動特別準備了A、B兩種商品進行特價促銷，已知購進了A、B兩種商品，其中A種商品每件的進價比B種商品每件的進價多40元，購進A種商品2件與購進B種商品3件的進價相同．（1）求A、B兩種商品每件的進價分別是多少元？（2）該網(wǎng)購平臺從廠家購進了A、B兩種商品共60件，所用資金為5800元，出售時，A種商品在進價的基礎(chǔ)上加價20%進行標價；B商品按標價出售每件可獲利20元．若按標價出售A、B兩種商品，則全部售完共可獲利多少元？（3）在（2）的條件下，年貨節(jié)期間，A商品按標價出售，B商品按標價先銷售一部分商品后，余下的再按標價降價8元出售，A、B兩種商品全部售出，總獲利比全部按標價售出獲利少了213，則B題型六增長（下降）率問題解題技巧提煉解這類問題的基本等量關(guān)系式是：原量×(1＋增長率)＝增長后的量；原量×(1－減少率)＝減少后的量.1．某商場出售甲、乙、丙三種型號的電動車，已知甲型車在第一季度的銷售額占這三種車總銷售額的56%，第二季度乙、丙兩種型號的車的銷售額比第一季度減少了a%，但該商場電動車的總銷售額比第一季度增加了12%，且甲型車的銷售額比第一季度增加了23%．則a的值為（）A．8 B．6 C．3 D．22．某品牌自行車1月份銷售量為100輛，每輛車售價相同，2月份的銷售量比1月份增加10%，每輛車的售價比1月份降低了80元，2月份與1月份的銷售總額相同，則1月份的售價為（）A．720元 B．800元 C．880元 D．1080元3．某工廠甲乙兩個車間計劃每月生產(chǎn)3600個零件，上月甲車間產(chǎn)量比原計劃增長了12%，乙車間產(chǎn)量比原計劃增長了10%，因此兩車間共生產(chǎn)了4000個零件，那么甲、乙車間上月實際生產(chǎn)的零件數(shù)分別是．4．某品牌自行車1月份銷售量為100輛，每輛車售價相同.2月份的銷售量比1月份增加10%，每輛車的售價比1月份降低了80元，2月份與1月份的銷售總額相同，求1月份的售價．5．某糧食生產(chǎn)專業(yè)戶去年計劃生產(chǎn)水稻和小麥共15噸，實際生產(chǎn)17噸，其中水稻超產(chǎn)10%，小麥超產(chǎn)20%，該專業(yè)戶去年實際生產(chǎn)水稻、小麥各多少噸？6．（2023肥東縣二模）小王離崗創(chuàng)業(yè)，銷售某品牌電腦，1月份的銷售量為100臺，每臺電腦售價相同，2月份的銷售量比1月份增加10%，每臺售價比1月份降低了400元，2月份與1月份的銷售總額相同，求每臺電腦1月份的售價．7．（2023秋?呼蘭區(qū)校級期中）某村去年種植的油菜籽畝產(chǎn)量達160千克，出油率為40%．今年改種新選育的油菜籽后，畝產(chǎn)量提高了20千克，出油率提高了10%．（1）今年與去年相比，這個村的油菜種植面積減少了44畝，而村榨油廠用本村所產(chǎn)油菜籽的出油量提高20%，今年油菜種植面積是多少畝？（2）在（1）的條件下，油菜種植成本210元/畝，菜油收購價為6元/千克，則這個村去年和今年油菜種植成本與將菜油全部售出所獲的利潤分別是多少．題型七分段計費問題解題技巧提煉解決計費問題的關(guān)鍵是弄清計費方式.常見的類型有：（1）已知用電量（用水量、上網(wǎng)時間等），求應(yīng)繳的費用；（2）已知繳費的錢數(shù)，求用電量（用水量、上網(wǎng)時間等）.此外還要抓住分界點.1．下表為深圳市居民每月用水收費標準，（單位：元/m3）．用水量單價x≤22a剩余部分a+1.1（1）某用戶用水10立方米，共交水費23元，求a的值；（2）在（1）的前提下，該用戶5月份交水費71元，請問該用戶用水多少立方米？2．（2023秋?襄州區(qū)期末）某市為鼓勵居民節(jié)約用水，采用分段計費的方法按月計算每戶家庭的水費，月用水量不超過40立方米時，按2元/立方米計費；月用水量超過40立方米時，其中的40立方米仍按2元/立方米收費，超過部分按3元/立方米計費．（1）小華家四月份用水26立方米，五月份用水52立方米，請幫小華計算一下他家這兩個月一共應(yīng)交多少元水費？（2）小華家六月份交水費170元，請幫小華計算一下他家這個月用水量多少立方米？3．（2023春?重慶期中）網(wǎng)約打車已成為人們打車出行的首選，設(shè)網(wǎng)約打車的行車計費規(guī)則如下表：項目起步費時長費里程費遠途費單價12元0.5元/分鐘2.0元/千米1.0元/千米乘客車費由起步費、時長費、里程費、遠途費四部分構(gòu)成．其中時長費按行車的實際時間計算；里程費按行車的實際里程計算；遠途費收取標準如下：行車里程15千米以內(nèi)（含15千米）不收遠途費，超過15千米的，超出部分每千米收1.0元．（1）王老師網(wǎng)約打車，行車里程為20千米，王老師所付車費為69.5元，則行車時間為多少分鐘？（2）小紅和小蘭同學(xué)各自網(wǎng)約打車，行車里程分別是14千米和16千米，若小紅的乘車時間是小蘭的乘車時間的1.5倍，且兩人所付車費相同，則他們的行車時間各是多少分鐘？4．（2024?蓮湖區(qū)開學(xué)）我國是水資源比較貧乏的國家之一，為了加強公民的節(jié)水意識，合理利用水資源，某市采用價格調(diào)控手段來達到節(jié)約用水的目的，規(guī)定如下用水收費標準：每戶每月用水不超過6立方米時，水費按“基本價”收費；超過6立方米時，不超過的部分仍按“基本價”收費，超過部分按“調(diào)節(jié)價”收費．某戶居民今年3、4月份用水量和水費如表：月份用水量（立方米）水費（元）3512.0047.520.40（1）該市每立方米水費的“基本價”是多少錢？（2）該市每立方米水費的“調(diào)節(jié)價”是多少錢？（3）若該戶居民6月份水費是26.4元，該戶6月份用水多少立方米？（4）根據(jù)該市的這一規(guī)定，請你從環(huán)保角度