5.3 一元一次方程的應(yīng)用（三）行程問題（7大題型提分練）（解析版）

（北師大版）七年級上冊數(shù)學(xué)《第5章一元一次方程》5.3一元一次方程的應(yīng)用（三）行程問題知識點知識點一元一次方程的應(yīng)用★★1、列方程解應(yīng)用題的步驟：1．審：仔細(xì)審題，確定已知量和未知量，找出它們之間的等量關(guān)系．2．設(shè)：設(shè)未知數(shù)（x），根據(jù)實際情況，可設(shè)直接未知數(shù)（問什么設(shè)什么），也可設(shè)間接未知數(shù)．3．列：根據(jù)等量關(guān)系列出方程．4．解：解方程，求得未知數(shù)的值．5．答：檢驗未知數(shù)的值是否正確，是否符合題意，完整地寫出答句．★★2、對于行程問題，通常借助“線段圖”來分析問題中的數(shù)量關(guān)系．一、相遇問題：往往根據(jù)路程之和等于總路程列方程．S甲＋S乙＝兩地距離．二、追擊問題：（1）對于同向同地不同時的問題（出發(fā)地、追及地相同，出發(fā)時間不同）S甲＝S乙先＋S乙后．（2）對于同向同時不同地的問題（兩者出發(fā)地不同，但同時出發(fā)），S甲－S乙＝兩出發(fā)地的距離.三、環(huán)形跑道問題：沿圓周運(yùn)動同時同地（環(huán)形跑道問題）甲、乙第一次相遇，一般有如下兩種情形：①同時同地、同向而行（追及）：S快－S慢＝環(huán)形周長②同時同地、背向而行（相遇）：S快+S慢＝環(huán)形周長四、火車過橋或隧道問題：1、明確基本路程關(guān)系：在火車過橋（隧道）問題中，火車行駛的路程是橋（隧道）長與火車車身長度之和。例如，當(dāng)火車完全通過一座橋時，從火車車頭上橋開始，到車尾離橋結(jié)束，車尾所經(jīng)過的路程就是橋長加車長。2、不同情況的分析①火車完全通過橋（隧道）：路程等于橋（隧道）長加上火車自身長度．②火車完全在橋（隧道）內(nèi)：此時路程等于橋（隧道）長減去火車自身長度．3、根據(jù)等量關(guān)系列方程①利用速度、時間、路程關(guān)系列方程，這就需要準(zhǔn)確理解題目中所描述的火車行駛情況，確定是火車完全通過橋（隧道）還是完全在橋（隧道）內(nèi)等情況，從而確定正確的路程計算方式，進(jìn)而列出方程求解．②對于火車錯車問題列方程當(dāng)兩列火車錯車時：●●相遇錯車（車頭相遇至車尾離開）：兩列火車的長度之和等于它們的速度和乘以錯車時間．●●追及錯車（車頭追上車尾至車尾離開車頭）：兩列火車的長度之和等于它們的速度差乘以錯車時間．★★3、用一元一次方程解決實際問題的基本過程如下：題型一行程問題……相遇問題解題技巧提煉相遇問題：甲的行程＋乙的行程=甲、乙出發(fā)點之間的距離；若甲、乙同時出發(fā)，則甲用的時間=乙用的時間；1．（2022?龍巖模擬）《九章算術(shù)》中記載了這樣一個數(shù)學(xué)問題：今有甲發(fā)長安，五日至齊；乙發(fā)齊，七日至長安．今乙發(fā)已先二日，甲仍發(fā)長安．問幾何日相逢？譯文：甲從長安出發(fā)，5日到齊國；乙從齊國出發(fā)，7日到長安．現(xiàn)乙先出發(fā)2日，甲才從長安出發(fā)．問多久后甲乙相逢？設(shè)乙出發(fā)x日，甲乙相逢，則可列方程（）A．x+27+x5=1 B．x?27【分析】根據(jù)題意設(shè)乙出發(fā)x日，甲乙相逢，則甲、乙分別所走路程占總路程的x?25和x【解答】解：設(shè)乙出發(fā)x日，甲乙相逢，則甲出發(fā)（x﹣2）日，故可列方程為：x7故選：D．【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出一元一次方程，正確表示出兩人所走路程所占比是解題關(guān)鍵．2．甲、乙兩同學(xué)從400米環(huán)形跑道的某一點背向出發(fā)，分別以2米/秒和3米/秒的速度慢跑，6秒后，一只小狗從甲處以6米/秒的速度跑向乙，遇到乙后，立即返回向甲跑，如此往復(fù)直至甲、乙相遇，那么小狗共跑了米．【分析】根據(jù)甲的路程+乙的路程＝400求得甲乙兩人相遇所用的時間，那么可得小狗跑的時間，乘以速度即為小狗跑的路程．【解答】解：設(shè)甲乙兩人相遇需要的時間為x秒．2x+3x＝400，解得x＝80，∴小狗跑了80﹣6＝74秒，∴小狗跑的路程為74×6＝444米，故答案為444．【點評】考查一元一次方程的應(yīng)用，得到小狗跑步的時間是解決本題的突破點．3．（2024秋?呼蘭區(qū)校級月考）甲乙兩車分別從相距340千米的A、B兩地同時出發(fā)相向而行，已知甲的速度為80千米/時，甲的速度比乙的速度少19，當(dāng)兩人相遇時，兩車出發(fā)的時間為【分析】由題意可求得乙車的速度，設(shè)當(dāng)兩人相遇時，兩車出發(fā)的時間為x小時，然后根據(jù)題意列一元一次方程求解即可．【解答】解：由題意得：80÷(1?1設(shè)當(dāng)兩人相遇時，兩車出發(fā)的時間為x小時，由題意可得：（90+80）x＝340，解得：x＝2．答：兩車出發(fā)的時間為2小時，故答案為：2．【點評】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，審清題意、正確列出一元一次方程成為解題的關(guān)鍵．4．（2024?海淀區(qū)校級開學(xué)）甲、乙二人分別從A、B兩地同時出發(fā)，他們計劃在距A地3/5處相遇，但中途甲休息了15秒鐘，結(jié)果乙比計劃多走36米才相遇，那么甲速為米/秒．【分析】設(shè)甲的速度為x米/秒，利用乙比計劃多走的路程＝甲的速度×15×（1?35），可列出關(guān)于【解答】解：設(shè)甲的速度為x米/秒，根據(jù)題意得：15x?（1?3解得：x＝6，∴甲的速度為6米/秒．故答案為：6．【點評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋?安徽月考）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載以下問題：今有鳧起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今鳧雁俱起，問何日相逢？意思是：野鴨從南海起飛，7天飛到北海；大雁從北海起飛，9天飛到南海．野鴨與大雁從南海和北海同時起飛，經(jīng)過幾天相遇？請解決上述問題．【分析】把總路程看作“1”，可得野鴨，大雁每天的速度，即可列方程解得答案．【解答】解：設(shè)經(jīng)過x天相遇，根據(jù)題意得：17x+19x=1，

解得：x=6316【點評】此題主要考查由實際問題抽象出一元一次方程，相遇問題中的基本數(shù)量關(guān)系：速度和×相遇時間=總路程，關(guān)鍵是由題目所給信息先分別求出二者的速度，速度=路程÷時間．6．（2023秋?沙坪壩區(qū)期末）甲、乙兩車分別從A、B兩地出發(fā)沿同一公路相向而行，已知乙車的速度是甲車速度的1.5倍，A、B兩地相距180公里，若甲車比乙車先出發(fā)1小時，則乙車出發(fā)2小時恰好與甲車相遇，求甲車的速度；【分析】設(shè)甲車的速度為x公里/小時，則乙車的速度為1.5x公里/小時，根據(jù)“甲車行駛的路程+乙車行駛的路程＝A、B兩地的距離”列出方程，求解即可；【解答】解：設(shè)甲車的速度為x公里/小時，則乙車的速度為1.5x公里/小時，根據(jù)題意得：x+2x+2×1.5x＝180，解得：x＝30，∴甲車的速度是30公里/小時；【點評】本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用，理清題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系并列出方程是解題關(guān)鍵．7．（2023秋?硚口區(qū)月考）甲、乙兩人同時從同一端點出發(fā)，在一條長120m的直線形道路上來回跑步，甲的速度是5m/s，乙的速度是3m/s．（1）經(jīng)過多少時間，兩人第一次相遇？（2）兩人第一次在端點相遇時，甲跑了多少米？【分析】（1）根據(jù)“兩人第一次相遇時，兩個人的路程和為240米”列方程求解；（2）先分別求出兩個人高一來回所需的時間，再求第一次在端點相遇時的時間，再求解．【解答】解：（1）設(shè)經(jīng)過x秒，兩人第一次相遇，則：5x+3x＝120×2，解得：x＝30，答：經(jīng)過30秒，兩人第一次相遇；（2）甲經(jīng)過240÷5＝48秒跑一個來回，乙經(jīng)過240÷3＝80秒跑一個來回，48和80的最小公倍數(shù)為240，240×5＝1200（米），答：兩人第一次在端點相遇時，甲跑了1200米．【點評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找到相等關(guān)系是解題的關(guān)鍵．8．（2023春?新野縣期中）A、B兩地相距3千米，甲從A地出發(fā)步行到B地，乙從B地出發(fā)步行到A地，兩人同時出發(fā)，20分鐘后兩人相遇，又經(jīng)過10分鐘，甲所余路程為乙所余路程的2倍．（1）求甲、乙每小時各行多少千米？（2）在他們出發(fā)后幾分鐘兩人相距1.5千米（直接寫出結(jié)果）？【分析】（1）這是行程問題中的相遇問題，三個基本量：路程、速度、時間．關(guān)系式為：路程＝速度×?xí)r間．題中的兩個等量關(guān)系是：20分鐘×甲的速度+20分鐘×乙的速度＝3千米，3千米﹣30分鐘×甲的速度＝（3千米﹣30分鐘×乙的速度）×2，依此列出方程求解即可，注意單位換算；（2）先求出兩人一共行駛的路程，再除以速度和即可求解．【解答】解：（1）設(shè)甲的速度是x千米/分鐘，乙的速度是3?20x203﹣30x＝（3﹣30×3?20x解得x=13?20x20115112答：甲每小時行4千米，乙每小時行5千米；（2）相遇前：（3﹣1.5）÷（115＝1.5÷＝10（分鐘），相遇后：（3+1.5）÷（115＝4.5÷＝30（分鐘）．故在他們出發(fā)后10分鐘或30分鐘兩人相距1.5千米．【點評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，本題是行程問題中的相遇問題，解題關(guān)鍵是如何建立一元一次方程的模型．9．（2023秋?萊蕪區(qū)期末）甲，乙兩人分別從A，B兩地同時出發(fā)，沿同一條路線勻速相向行駛，已知出發(fā)后4h兩人相遇．甲的速度比乙快30km/h，相遇后甲再經(jīng)1h到達(dá)B地．（1）甲、乙兩人的速度分別是多少？（2）甲、乙兩人分別從A，B兩地同時出發(fā)后，經(jīng)過多長時間兩人相距50km？【分析】（1）設(shè)甲的速度為xkm/h，則乙的速度為（x﹣30）km/h．根據(jù)出發(fā)后4h兩人相遇，相遇后乙再經(jīng)1h到達(dá)A地，列方程解答；（2）設(shè)經(jīng)過th兩人相距50km．分兩種情況：相遇前和相遇后列方程解答即可．【解答】解：（1）設(shè)甲的速度為xkm/h，則乙的速度為（x﹣30）km/h．根據(jù)題意，得4x+4（x﹣30）＝（4+1）x，解得x＝40，則x﹣30＝10，甲的速度是40km/h，乙的速度是10km/h．（2）設(shè)經(jīng)過th兩人相距50km．①相遇前相距50km時，可得40t+10t+50＝5×40，解得t＝3；②相遇后相距50km時，可得40t+10t＝5×40+50，解得t＝5．答：經(jīng)過3h或5h兩人相距50km．【點評】此題考查了一元一次方程的應(yīng)用，正確理解題意列得方程是解題的關(guān)鍵．題型二行程問題……追擊問題解題技巧提煉追擊問題：快者走的路程－慢者路程=追擊路程；若同時出發(fā)，則快者追上慢者時，快者用的時間=慢者用的時間；1．（2023秋?南京期末）某中學(xué)的學(xué)生以4km/h的速度步行去某地參加社會公益活動．出發(fā)30min后，學(xué)校派一名通信員騎自行車以12km/h的速度去追趕隊伍，通信員用多少時間可追上隊伍？設(shè)通信員用x小時追上隊伍，則可列方程（）A．4x﹣2＝12x B．4x+2＝12x C．4x﹣0.5＝12x D．4x+0.5＝12x【分析】根據(jù)“隊伍走的路程＝通訊員走的路程”，列方程求解．【解答】解：設(shè)通信員用多少小時可以追上隊伍，依題意可得：4x+2＝12x．故選：B．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（2024?黑山縣一模）我國元朝朱世杰所著的《算學(xué)啟蒙》一書，有一道題目是：“今有良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里．駑馬先行一十二日，問良馬幾何日追及之．”譯文是：跑得快的馬每天走240里，跑得慢的馬每天走150里．慢馬先走12天，快馬幾天可以追上慢馬？若設(shè)快馬x天可追上慢馬，可列方程（）A．150x＝240（x+12） B．240x＝150（x﹣12） C．240x＝150（x+12） D．150x＝240（x﹣12）【分析】設(shè)快馬x天可追上慢馬，根據(jù)“路程＝速度×?xí)r間”關(guān)系，即可列出關(guān)于x的一元一次方程【解答】解：設(shè)快馬x天可追上慢馬，由題意得，240x＝150（x+12），故選：C．【點評】此題考查一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵讀懂題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程．3．甲、乙兩人沿400米的環(huán)形跑道競走，甲在乙前100米，甲、乙兩人的速度分別為每分鐘115米和每分鐘135米，若兩人同向出發(fā)，經(jīng)過分鐘后乙首次追上甲．【分析】設(shè)經(jīng)過x分鐘后乙首次追上甲，根據(jù)兩人所行的路程差為100米，列出方程解答即可．【解答】解：設(shè)經(jīng)過x分鐘后乙首次追上甲，由題意得135x﹣115x＝100，解得：x＝5．所以經(jīng)過5分鐘后乙首次追上甲．故答案為：5．【點評】此題考查一元一次方程的實際運(yùn)用，掌握行程問題中的基本數(shù)量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．4．一隊學(xué)生步行去郊外春游，每小時走4km，學(xué)生甲因為有事遲出發(fā)30min，為了趕上隊伍，以6km/h的速度追趕，問該生用多少時間追上了隊伍？【分析】首先根據(jù)題意，設(shè)該生用x小時追上了隊伍，然后根據(jù)：學(xué)生甲和隊伍的速度之差×x＝隊伍先行的路程，列出方程，求出該生用多少時間追上了隊伍即可．【解答】解：設(shè)該生用x小時追上了隊伍，則（6﹣4）x＝4×所以2x＝2解得x＝1答：該生用1小時追上了隊伍．【點評】此題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，以及行程問題中路程、速度、時間的關(guān)系，仔細(xì)審題，確定已知量和未知量，找出它們之間的等量關(guān)系是解答此類問題的關(guān)鍵．5．小明每天早上要在7：50之前趕到距家1000米的學(xué)校上學(xué)，一天，小明以80米/分的速度出發(fā)，5分鐘后，小明的爸爸發(fā)現(xiàn)他忘了帶語文課本，于是爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他．（1）爸爸追上小明用了多長時間？（2）追上小明時，距離學(xué)校還有多遠(yuǎn)？【分析】（1）設(shè)小明爸爸追上小明用了x分鐘，由題意知小明比爸爸多走5分鐘且找出等量關(guān)系，小明和他爸爸走的路程一樣，由此等量關(guān)系列出方程求解；（2）根據(jù)題意，先求出小明此時已經(jīng)行走的路程，然后求解即可．【解答】解：（1）先設(shè)小明爸爸追上小明用了x分鐘，那么小明走了（x+5）分鐘，由題意得：80（x+5）＝180x，解得：x＝4，∵180×4＝720（米）＜1000米，所以，小明爸爸追上小明用了4分鐘．（2）小明此時已經(jīng)行走的路程為：180×4＝720米，∴追上小明時，距離學(xué)校的距離為：1000﹣720＝280米．【點評】本題考查一元一次方程的應(yīng)用問題，關(guān)鍵在于弄清題意，找出等量關(guān)系即：小明爸爸和小明所行路程相等，列出方程求解．6．（2023秋?伊通縣期末）小明和小亮練習(xí)一百米賽跑，小明的速度是6米/秒，小亮的速度是7.5米/秒．（1）列方程求解：若小明先跑3秒，小亮經(jīng)過多長時間追上小明？（2）若小明先跑4秒，小亮能否追上小明？（直接寫出結(jié)果，不必說明理由）【分析】（1）設(shè)小亮經(jīng)過x秒追上小明，利用小明與小亮跑過的路程相等列方程，解方程即可求解；（2）設(shè)小亮經(jīng)過y秒追上小明，利用小明與小亮跑過的路程相等列方程，解方程可求解y值，即可求解追上時兩人跑過的路程，進(jìn)而可求解．【解答】解：（1）設(shè)小亮經(jīng)過x秒追上小明，依題意得6x+6×3＝7.5x，解得x＝12，答：若小明先跑3秒，小亮經(jīng)過12秒追上小明；（2）若小明先跑4秒，設(shè)小亮經(jīng)過y秒追上小明，則6y+6×4＝7.5y，解得y＝16（秒），∴7.5y＝7.5×16＝120m＞100m，故小亮不能追上小明．【點評】本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．7．（2023秋?城陽區(qū)期末）A，B兩地相距46千米，甲騎自行車從A地前往B地，速度為每小時15千米，1小時后，乙騎摩托車也沿相同的路線從A地前往B地，速度為每小時40千米．（1）乙出發(fā)多長時間后能追上甲？（2）若乙到達(dá)B地后立即返回，返回途中與甲相遇的地點距B地多少千米？【分析】（1）設(shè)乙出發(fā)x小時后能追上甲，則此時甲出發(fā)了（x+1）小時，根據(jù)路程＝速度×?xí)r間，結(jié)合甲、乙的路程相等，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)返回途中與甲相遇的地點距B地y千米，利用時間＝路程÷速度，結(jié)合甲比乙早出發(fā)1小時，即可得出關(guān)于y的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)乙出發(fā)x小時后能追上甲，則此時甲出發(fā)了（x+1）小時，依題意得：40x＝15（x+1），解得：x=3答：乙出發(fā)35（2）設(shè)返回途中與甲相遇的地點距B地y千米，依題意得：46?y15解得：y＝10．答：若乙到達(dá)B地后立即返回，返回途中與甲相遇的地點距B地10千米．【點評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．題型三行程問題……航行問題解題技巧提煉航行問題：順流速度=靜水速度＋水流速度；逆流速度=靜水速度－水流速度.順風(fēng)速度=無風(fēng)速度＋風(fēng)速；逆風(fēng)速度=無風(fēng)速度－風(fēng)速.往返于A、B兩地時，順流（風(fēng)）航程=逆流（風(fēng)）航程1．（2023?饒平縣校級模擬）一輪船往返于A、B兩港之間，逆水航行需3小時，順?biāo)叫行?小時，水速是3千米/時，則輪船在靜水中的速度是（）A．18千米/時 B．15千米/時 C．12千米/時 D．20千米/時【分析】本題求的是速度，時間比較明確，那么一定是根據(jù)路程來列等量關(guān)系．本題的等量關(guān)系為：逆水速度×逆水時間＝順?biāo)俣取另標(biāo)畷r間．【解答】解：設(shè)輪船在靜水中的速度是x千米/時，則3（x﹣3）＝2（x+3）解得：x＝15，故選：B．【點評】逆水速度＝靜水速度﹣水流速度；順?biāo)俣龋届o水速度+水流速度是船航行之類的題中的必備內(nèi)容．2．某船從A地順流而下到達(dá)B地，然后逆流返回到達(dá)A地，一共用了8小時．已知此船在靜水中的速度為8千米/小時，水流的速度為2千米/小時．求A、B兩地之間的路程．【分析】設(shè)A、B兩地之間的路程為x千米，根據(jù)時間＝路程÷速度結(jié)合該船往返共用了8小時，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)A、B兩地之間的路程為x千米，依題意，得：x8+2解得：x＝30．答：A、B兩地之間的路程為30千米．【點評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．3．一架飛機(jī)從A城市飛往B城市，順風(fēng)需要5.5h，逆風(fēng)需要6h，風(fēng)速為24km/h，則A，B兩城市間的距離為多少？【分析】設(shè)A，B兩城市間的距離為xkm，利用速度＝路程÷時間，結(jié)合飛機(jī)的速度不變，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)A，B兩城市間的距離為xkm，依題意得：x5.5?24解得：x＝3168．答：A，B兩城市間的距離為3168km．【點評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．4．（2023?龍川縣校級開學(xué)）已知甲碼頭在江的上游，乙碼頭在江的下游．一艘船在靜水中每小時航行20千米，在水流速度為每小時4千米的江中，往返甲、乙兩碼頭共用了12.5小時，求甲、乙兩碼頭之間的距離．【分析】根據(jù)“一艘船在靜水中每小時航行20千米，在水流速度為每小時4千米的江中”可得順?biāo)俣葹?0+4＝24（千米/時），逆水速度為20﹣4＝16（千米/時），設(shè)甲、乙兩碼頭之間的距離為x千米，根據(jù)順?biāo)畯募椎揭业臅r間+逆水從乙到甲的時間＝12.5列出方程，求解即可．【解答】解：∵一艘船在靜水中每小時航行20千米，在水流速度為每小時4千米的江中，∴順?biāo)俣葹?0+4＝24（千米/時），逆水速度為20﹣4＝16（千米/時），設(shè)甲、乙兩碼頭之間的距離為x千米，根據(jù)題意得：x24解得：x＝120，∴甲、乙兩碼頭之間的距離為120千米．【點評】本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用，理清題意，找出題目中的等量關(guān)系列出方程是解題關(guān)鍵．5．（2023秋?天山區(qū)校級期末）輪船在靜水中速度為每小時20km，水流速度為每小時4km，從甲碼頭順流航行到乙碼頭，再返回甲碼頭，共用5小時（不計停留時間），求甲、乙兩碼頭的距離．【分析】根據(jù)所用的總時間可得相應(yīng)的等量關(guān)系為：順流全程的時間+逆流全程的時間＝5，把相關(guān)數(shù)值代入即可．【解答】解：設(shè)甲、乙兩碼頭的距離xkm，∴x20+4∴x＝48，答：甲、乙兩碼頭的距離48km【點評】本題考查一元一次方程，解題的關(guān)鍵正確找出題中的等量關(guān)系，本題屬于基礎(chǔ)題型．6．（2024秋?南崗區(qū)校級月考）一艘船從甲碼頭到乙碼頭順?biāo)?，用?h；從乙碼頭返回甲碼頭逆水而行，用了2.5h．已知水流的速度是3km/h，求：（1）船在靜水中的平均速度；（2）甲、乙兩地之間的距離．【分析】（1）根據(jù)題意以甲碼頭到乙碼頭的路程是一定的為等量關(guān)系，設(shè)船在靜水中的速度為xkm/h，進(jìn)而列方程求解即可；（2）運(yùn)用速度乘上時間等于距離列式計算，即可作答．【解答】解：（1）設(shè)船在靜水中的速度為xkm/h，依題意得：2（x+3）＝2.5（x﹣3），解得x＝27，∴船在靜水中的平均速度為27km/h，答：船在靜水中的平均速度為27km/h；（2）依題意，船在靜水中的平均速度為27km/h，∴甲乙兩碼頭之間的距離為2×（27+3）＝60（km），∴甲乙兩碼頭之間的距離60km．答：甲乙兩碼頭之間的距離60km．【點評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，熟練掌握航行問題的基本等量關(guān)系及找準(zhǔn)題目中的等量關(guān)系進(jìn)行列式求解是解決本題的關(guān)鍵．題型四行程問題……環(huán)形跑道問題解題技巧提煉環(huán)形跑道問題：同相向而行的等量關(guān)系:乙程-甲程=跑道長；背向而行的等量關(guān)系:乙程+甲程=跑道長.1．（2024?南海區(qū)開學(xué)）運(yùn)動場的環(huán)形跑道長為400m，甲、乙兩人在跑道上練習(xí)跑步，已知甲平均每分鐘跑240m，乙平均每分鐘跑280m，如果兩人同時從同一起點同向出發(fā)，經(jīng)過x分鐘后第一次相遇，得到的方程是（）A．240x+280x＝400 B．280x﹣240x＝400 C．240x＝280x D．240x﹣280x＝400【分析】設(shè)兩人同時從同一地點同向而行，經(jīng)過x分鐘兩人才能第一次相遇，根據(jù)行駛的路程差為400米列出方程即可．【解答】解：由題意得：280x﹣240x＝400．故選：B．【點評】此題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，掌握行程問題中的基本數(shù)量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．2．甲、乙兩人繞湖行走，繞湖一周的路程是4000m，乙的速度是80m/min，甲的速度是乙的速度的23，且甲在乙后2400mA．120min B．60min C．80min D．90min【分析】設(shè)兩人第一次相遇是在出發(fā)后xmin，利用二人的速度之差×第一次相遇所需時間＝二者之間的距離，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)兩人第一次相遇是在出發(fā)后xmin，依題意得：（80?23×解得：x＝60．故選：B．【點評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．3．如圖，甲乙兩人同時沿著邊長為30米的等邊三角形，按逆時針的方向行走，甲從A以65米/分的速度，乙從B以71米/分的速度行走，當(dāng)乙第一次追上甲時在等邊三角形的（）A．AB邊上 B．點B處 C．BC邊上 D．AC邊上【分析】首先求得乙追上甲所用的時間，然后求得甲所走的路程，從而確定被追上的位置．【解答】解：設(shè)乙第一次追上甲需要x分鐘，根據(jù)題意得：（71﹣65）x＝60，解得：x＝10，故甲走的路程為650米，∵650÷90＝7…20，∴甲此時在AB邊上．或者按照乙來考慮，乙走的路程為710米，710÷90＝7...80，也說明此時乙在AB邊上，故選：A．【點評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是求得乙追上甲所用的時間，難度不大．4．（2023秋?永定區(qū)期末）如圖，甲、乙兩動點分別從正方形ABCD的頂點A，C同時沿正方形的邊開始勻速運(yùn)動．甲按逆時針方向運(yùn)動，乙按順時針方向運(yùn)動，若乙的速度是甲的3倍，那么它們第一次相遇在AB邊上，請問它們第2024次相遇在（）A．AB邊上 B．BC邊上 C．CD邊上 D．AD邊上【分析】設(shè)甲的速度為v，正方向ABCD的邊長為a，甲、乙第2024次相遇的時間為t，則乙的度數(shù)為3v，利用路程＝速度×?xí)r間，可列出關(guān)于t的一元一次方程（v，a均當(dāng)為常數(shù)），解之可求出t的值，利用甲走的路程＝甲的速度×甲走的時間，可求出甲走的路程，結(jié)合40472a＝505×4a+3a+12a【解答】解：設(shè)甲的速度為v，正方向ABCD的邊長為a，甲、乙第2024次相遇的時間為t，則乙的度數(shù)為3v，根據(jù)題意得：vt+3vt＝2a+2023×4a，解得：t=4047a∴它們第2024次相遇時甲走的路程為vt＝v?4047a2v=∵40472a＝505×4a+3a+1∴它們第2024次相遇在AD邊上．故選：D．【點評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋?長興縣期末）已知甲沿周長為250米的環(huán)形跑道按逆時針方向跑步，與此同時在甲后面100米的乙也沿該環(huán)形跑道按逆時針方向跑步，速度為5米/秒．當(dāng)運(yùn)動時間是50秒時，甲，乙兩人第1次相遇，則甲的速度是米/秒．【分析】設(shè)甲的速度是x米/秒，分乙的速度大于甲的速度及甲的速度大于乙的速度兩種情況考慮，利用路程＝二者的速度之差×運(yùn)動時間，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)甲的速度是x米/秒．當(dāng)乙的速度大于甲的速度時，（5﹣x）×50＝100，解得：x＝3；當(dāng)甲的速度大于乙的速度時，（x﹣5）×50＝250﹣100，解得：x＝8．∴甲的速度是3米/秒或8米/秒．故答案為：3米/秒或8．【點評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．6．（2024?重慶開學(xué)）在一個圓形跑道上，小華與小明分別從一條直徑的兩端同時出發(fā)，相向而行．第一次相遇時，小華走了80米．相遇后，兩人繼續(xù)向前行走，在小明還差55米就走完一圈時，與小華再次相遇，這個圓形跑道的周長是米．【分析】根據(jù)兩次相遇兩人的路程之和間的關(guān)系，可得出第二次相遇的時間是第一次相遇的時間的3倍，設(shè)這個圓形跑道的周長是x米，利用第二次相遇兩人的路程之和為一個半圓形跑道的周長，可列出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：∵第一次相遇，兩人的路程之和為半個圓形跑道的周長，第二次相遇，兩人的路程之和為一個半圓形跑道的周長，∴第二次相遇的時間是第一次相遇的時間的3倍．設(shè)這個圓形跑道的周長是x米，根據(jù)題意得：80×3+（x﹣55）=32解得：x＝370，∴這個圓形跑道的周長是370米．故答案為：370．【點評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．7．（2023?碧江區(qū)期末）甲、乙兩人在環(huán)形跑道上練習(xí)跑步，已知環(huán)形跑道一圈長400米，乙每秒跑6米，甲每秒跑8米．（1）如果甲乙兩人在跑道上相距8米處同時反向出發(fā)，那么經(jīng)過多少秒兩人首次相遇？（2）如果甲在乙前面8米處同時同向出發(fā)，那么經(jīng)過多少秒兩人首次相遇？【分析】（1）設(shè)經(jīng)過x秒，甲乙兩人首次相遇，根據(jù)兩人行走的總路程為（400﹣8）或8米，可得出方程，解出即可；（2）設(shè)經(jīng)過y秒，甲乙兩人首次相遇，根據(jù)甲比乙多走（400﹣8）米，可得出方程，解出即可．【解答】解：（1）設(shè)經(jīng)過x秒，甲乙兩人首次相遇，根據(jù)題意，得：8x+6x＝400﹣8，解得：x＝28；或：8x+6x＝8，解得：x=4答：經(jīng)過28秒，兩人首次相遇；（2）設(shè)經(jīng)過y秒，甲乙兩人首次相遇，根據(jù)題意，得：8y﹣6y＝400﹣8，解得：y＝196．答：經(jīng)過196秒后兩人首次相遇．【點評】本題考查了環(huán)形跑道問題，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)審題，理解每種情況下兩人所走路程之間的關(guān)系．8．（2023秋?惠山區(qū)校級期末）運(yùn)動場環(huán)形跑道周長為300米，爺爺一直都在跑道上按逆時針方向勻速跑步，速度為3米/秒，與此同時小紅在爺爺后面100米的地方也沿該環(huán)形跑道按逆時針方向運(yùn)動，速度為a米/秒．（1）若a＝1，求兩人第一次相遇所用的時間；（2）若兩人第一次相遇所用的時間為80秒，試求a的值．【分析】（1）根據(jù)時間＝路程差÷速度差，列出算式計算即可求解；（2）分情況討論①當(dāng)a＞3時和當(dāng)a＜3時，列出方程計算即可求解．【解答】（1）設(shè)小紅、爺爺兩人第一次相遇所用的時間為x秒，根據(jù)題意，得：3x﹣x＝200，解這個方程，得：x＝100．答：小紅、爺爺兩人第一次相遇所用的時間100秒．（2）①當(dāng)a＞3時，根據(jù)題意，得：80a﹣80×3＝100，解得：a＝4.25．②當(dāng)a＜3時，根據(jù)題意，得：80×3﹣80a＝200，解得：a＝0.5．答：a的值為0.5或者4.25．【點評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用方程解決實際問題的基本思路如下：首先審題，找出題中的未知量和所有的已知量，直接設(shè)要求的未知量或間接設(shè)一關(guān)鍵的未知量為x，然后用含x的式子表示相關(guān)的量，找出之間的相等關(guān)系列方程、求解、作答，即設(shè)、列、解、答．題型五火車過橋（隧道）問題解題技巧提煉不同情況的分析：①火車完全通過橋（隧道）：路程等于橋（隧道）長加上火車自身長度．②火車完全在橋（隧道）內(nèi)：此時路程等于橋（隧道）長減去火車自身長度．1．（2023秋?長安區(qū)校級期末）一列長280m的列車過一座長1000m的橋，當(dāng)列車剛上橋頭時，車尾站著1個人，直到列車尾那個人離開橋尾為止共用64s，則列車的速度為（）A．15m/s B．24m/s C．20m/s D．25m/s【分析】設(shè)列車的速度為xm/s，由題意：一列長280m的列車過一座長1000m的橋，當(dāng)列車剛上橋頭時，車尾站著1個人，直到列車尾那個人離開橋尾為止共用64s，列出一元一次方程，解方程即可．【解答】解：設(shè)列車的速度為xm/s，由題意得：64x＝1000+280，解得：x＝20，即列車的速度為20m/s，故選：C．【點評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．2．一列火車勻速行駛，經(jīng)過一條長400米的隧道需要30秒的時間，隧道的頂上有一盞燈，垂直向下發(fā)光，燈光照在火車上的時間是10秒，則火車的長為（）米．A．4003 B．133 C．200 【分析】設(shè)火車的長為x米，根據(jù)經(jīng)過一條長400米的隧道需要30秒的時間，燈光照在火車上的時間是10秒和火車的速度不變，列出方程求解即可．【解答】解：設(shè)火車的長為x米，由題意得：400+x30解得：x＝200．答：這列火車的長度是200米．故選：C．【點評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解．3．一列勻速前進(jìn)的火車，從它進(jìn)入320米長的隧道到完全通過隧道共用了18秒，隧道頂部一盞固定的小燈燈光在火車上照了10秒鐘，則這列火車的長為（）A．190米 B．400米 C．380米 D．240米【分析】設(shè)這列火車的長為x米，根據(jù)題意表示出火車的速度：320+x18米/秒，或者是x【解答】解：設(shè)這列火車的長為x米，根據(jù)題意得：320+x18解得：x＝400．即：這列火車長為400米．故選：B．【點評】此題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是弄懂題意，表示出火車的速度．4．（2024秋?南崗區(qū)校級期中）一列勻速行駛的火車，經(jīng)過一條長為310m的隧道需要18秒，隧道的頂上有一盞燈垂直向下發(fā)光，燈光照在火車上的時間為8秒，這列火車的長度為m．【分析】設(shè)這列火車的長度為xm，利用速度＝路程÷時間，結(jié)合火車的速度不變，可列出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)這列火車的長度為xm，根據(jù)題意得：310+x18解得：x＝248，∴這列火車的長度為248m．故答案為：248．【點評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋?韶關(guān)校級期末）有一火車要以每分鐘600米的速度過完第一、第二兩座鐵橋，過第二座鐵橋比過第一座鐵橋多5秒時間，又知第二座鐵橋的長度比第一座鐵橋長度的2倍短50米，試求兩座鐵橋的長分別為多少．【分析】設(shè)第一座鐵橋的長為x米，則第二座鐵橋的長為（2x﹣50）米，利用時間＝路程÷速度，結(jié)合過第二座鐵橋比過第一座鐵橋多5秒時間，可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可求出第一座鐵橋的長，再將其代入（2x﹣50）中，即可求出第二座鐵橋的長．【解答】解：設(shè)第一座鐵橋的長為x米，則第二座鐵橋的長為（2x﹣50）米，根據(jù)題意得：2x?50600解得：x＝100，∴2x﹣50＝2×100﹣50＝150．答：第一座鐵橋的長為100米，第二座鐵橋的長為150米．【點評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．6．一列火車勻速行駛，經(jīng)過一條長300米的隧道需要20秒的時間．隧道的頂上有一盞燈，垂直向下發(fā)光，燈光照在火車上的時間是10秒．求這列火車的長度．小冉根據(jù)學(xué)習(xí)解決應(yīng)用問題的經(jīng)驗對上面問題進(jìn)行了探究，下面是小冉的探究過程，請補(bǔ)充完成：設(shè)這列火車的長度是x米，那么（1）從車頭經(jīng)過燈下到車尾經(jīng)過燈下，火車所走的路程是米，這段時間內(nèi)火車的平均速度是米/秒；（2）從車頭進(jìn)入隧道到車尾離開隧道，火車所走的路程是米，這段時間內(nèi)火車的平均速度是米/秒；（3）火車經(jīng)過燈下和火車通過隧道的平均速度的關(guān)系是；（4）由此可以列出方程并求解出這列火車的長度（請列方程求解）【分析】（1）根據(jù)火車長度為xm，根據(jù)題意列出代數(shù)式即可；（2）根據(jù)題意列出代數(shù)式即可；（3）上述問題中火車的平均速度不發(fā)生變化；（4）根據(jù)速度相等列出方程，求出方程的解即可得到結(jié)果．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：從車頭經(jīng)過燈下到車尾經(jīng)過燈下火車所走的路程為xm，這段時間內(nèi)火車的平均速度x10m/s故答案為：x，x10（2）從車頭進(jìn)入隧道到車尾離開隧道火車所走的路程為（x+300）m，這段時間內(nèi)火車的平均速度為x+30020m/s故答案為：（x+300）；x+30020（3）速度沒有發(fā)生變化，即火車經(jīng)過燈下和火車通過隧道的平均速度的關(guān)系是相等．故答案為：相等；（4）根據(jù)題意得：x10解得：x＝300．答：這列火車的長度300m．【點評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解答本題注意理解“完全通過”的含義，完全通過：火車所走的路程＝隧道長度+火車長度．題型六火車錯車問題解題技巧提煉當(dāng)兩列火車錯車時：1、相遇錯車（車頭相遇至車尾離開）：兩列火車的長度之和等于它們的速度和乘以錯車時間．2、追及錯車（車頭追上車尾至車尾離開車頭）：兩列火車的長度之和等于它們的速度差乘以錯車時間．1．在一段雙軌鐵道上，兩輛火車迎頭駛過，A列車車速為40米/秒，B列車車速為50米/秒．若A列車全長200米，B列車全長160米，兩列車錯開需要的時間為秒．【分析】若設(shè)兩列車錯車的時間為x秒，經(jīng)分析可知：兩列車錯車即兩輛火車一共合走了兩輛火車的總車長．【解答】解：設(shè)兩列車錯車的時間為x秒，則有（50+40）x＝200+160，解得：x＝4．故答案為：4．【點評】此題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，此題的難點在于找到等量關(guān)系：兩列車錯車即兩輛火車一共合走了兩輛火車的總車長．2．在一段鐵路上，兩列火車相向駛過，若A列火車全長180m，B列火車全長160m，兩列火車的錯車時間為1.7秒，已知A列車的速度比B火車每秒快5m，則A、B兩車的速度分別是．【分析】可設(shè)B車的速度是xm/秒，則A車的速度是（x+5）m/秒，根據(jù)等量關(guān)系：A列火車全長180m，B列火車全長160m，兩列火車的錯車時間為1.7秒，列出方程求解即可．【解答】解：設(shè)B車的速度是xm/秒，則A車的速度是（x+5）m/秒，依題意有1.7（x+x+5）＝180+160，解得x＝97.5，x+5＝102.5．答：A、B兩車的速度分別是102.5m/秒、97.5m/秒．故答案為：102.5m/秒、97.5m/秒．【點評】考查了一元一次方程的應(yīng)用中的行程問題，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解．3．（2023?越秀區(qū)校級開學(xué)）現(xiàn)有兩列火車同時同向齊頭行進(jìn)，快車每秒行20米，慢車每秒行12米，15秒后快車超過慢車．如果這兩輛火車車尾對齊同時同向行進(jìn)，則9秒后快車超過慢車．如果兩列火車相向而行，它們從車頭相遇到車尾相離需要多少秒？【分析】設(shè)它們從車頭相遇到車尾相離需要x秒，先求出快、慢車的車長，再根據(jù)兩車的路程之和＝兩車的車長之和列方程求解即可．【解答】解：設(shè)它們從車頭相遇到車尾相離需要x秒，由題意知，快車長為：（20﹣12）×15＝120（米），慢車長為：（20﹣12）×9＝72（米），∴20x+12x＝120+72，解得x＝6，答：從車頭相遇到車尾相離需要6秒．【點評】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出快、慢車的車長．4．甲、乙兩列火車的長分別為144米和180米，甲車比乙車每秒多行4米．（1）兩列車相向而行，從相遇到完全錯開需9秒．問：甲、乙兩列車的速度各是多少？（2）若同向而行，甲車的車頭從乙車的車尾追到甲車完全超過乙車，需要多少秒？【分析】（1）設(shè)乙車每秒行駛xm，則甲車每秒行駛（x+4）m，根據(jù)“兩列車相向行駛，從相遇到全部錯開需9s”列出方程即可；（2）同向行駛時，甲車的車頭從乙車的車尾追到甲車完全超過乙車，那么甲車比乙車多行駛（144+180）m，甲車比乙車每秒多行4m，根據(jù)時間＝路程÷速度即可求解．【解答】解：（1）設(shè)乙車每秒行駛xm，則甲車每秒行駛（x+4）m，根據(jù)題意得：9（x+x+4）＝144+180，解得：x＝16，∴x+4＝20，答：甲車每秒行駛20m，乙車每秒行駛16m；（2）同向行駛時，甲車的車頭從乙車的車尾追到甲車完全超過乙車，需要的時間：（144+180）÷4＝81（秒），答：需要81秒．【點評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找出等量關(guān)系列出方程．5．甲、乙兩列火車的長分別為160米和200米，甲車比乙車每秒多行4米．（1）若兩列火車相向行駛，從相遇到全部錯開需9秒，問兩車速度各是多少？（2）若兩車同向行駛，甲車的車頭從乙車的車尾追及到甲車全部超出乙車，需要多長時間？（3）在（1）的條件下，甲、乙兩車車頭對齊停在同一車站，若乙車先行100秒后，甲車開始追乙車，經(jīng)過多長時間甲車車頭追上乙車車尾？【分析】（1）設(shè)甲車的速度為x米/秒，乙車的速度為y米/秒，由題意得等量關(guān)系：①甲車速度﹣乙車速度＝4米；②甲車9秒行駛的路程+乙車9秒行駛的路程＝160+200，根據(jù)等量關(guān)系列出方程組，再解即可；（2）設(shè)需要a秒，由題意得：甲車a秒的路程﹣乙車a秒的路程＝160+200，根據(jù)等量關(guān)系列出方程，再解即可；（3）設(shè)經(jīng)過b秒甲車車頭追上乙車車尾，由題意得等量關(guān)系：甲車與乙車速度差乘以b秒的路程＝乙車100秒的路程﹣乙車車身長，根據(jù)等量關(guān)系列出方程，再解即可．【解答】解：（1）設(shè)甲車的速度為米/秒，乙車的速度為（x﹣4）米/秒，由題意得：9x+9解得：x=22∴乙車的速度為：22﹣4=18（米/秒）答：甲車的速度為22米/秒，乙車的速度為18米/秒；（2）設(shè)需要a秒，由題意得：4a＝160+200，解得：a＝90，答：需要90秒；（3）設(shè)經(jīng)過b秒甲車車頭追上乙車車尾，由題意得：4b＝18×100﹣200，解得：b＝400，答：經(jīng)過400秒甲車車頭追上乙車車尾．【點評】此題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系，設(shè)出未知數(shù)，列出方程．題型七方案決策問題解題技巧提煉方案決策問題選擇設(shè)計方案的一般步驟：①運(yùn)用一元一次方程解應(yīng)用題的方法求解兩種方案值相等的情況；②用特殊值試探法選擇方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比較兩種方案的優(yōu)劣性后下結(jié)論．1．（2023春?玉屏縣期末）某中學(xué)組織一批學(xué)生春游，原計劃租用45座客車若干輛，但有15人沒有座位；若租用同樣數(shù)量的60座客車，則多出一輛車，且其余客車恰好坐滿．已知45座客車租金為每輛300元，60座客車租金為每輛400元，問：（1）這批學(xué)生的人數(shù)是多少？原計劃租用多少輛45座客車？（2）若租用同一種車，要使每位學(xué)生都有座位，應(yīng)該怎樣租用才合算？【分析】（1）設(shè)原計劃租用x輛45座客車，則這批學(xué)生的人數(shù)是（45x+15）人，根據(jù)“若租用同樣數(shù)量的60座客車，則多出一輛車，且其余客車恰好坐滿”，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出原計劃租用45座客車的數(shù)量，再將其代入（45x+15）中可求出這批學(xué)生的人數(shù)；（2）利用總租金＝每輛車的租金×租用數(shù)量，可分別求出租用45座及60座客車所需總租金，比較后即可得出租用4輛60座客車合算．【解答】解：（1）設(shè)原計劃租用x輛45座客車，則這批學(xué)生的人數(shù)是（45x+15）人，依題意得：45x+15＝60（x﹣1），解得：x＝5，∴45x+15＝45×5+15＝240．答：這批學(xué)生的人數(shù)是240人，原計劃租用5輛45座客車．（2）租用45座客車所需費(fèi)用為300×（5+1）＝1800（元），租用60座客車所需費(fèi)用為400×（5﹣1）＝1600（元）．∵1800＞1600，∴租用4輛60座客車合算．【點評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，列式計算．2．（2023秋?播州區(qū)期末）某班到文具店采購作業(yè)本，經(jīng)詢問得知作業(yè)本定價為每本1.5元，經(jīng)協(xié)商，文具店提供了兩種購買方案，并要求只能從中選擇一種購買方案．方案一：每本優(yōu)惠售價為1.4元．方案二：購買數(shù)量不多于50本時按定價銷售，超過50本則超過部分按定價的九折銷售．設(shè)某班購買作業(yè)本的數(shù)量為x本（x＞50）．（1）方案一所需的費(fèi)用為元，方案二所需的費(fèi)用為元（用含x的整式表示）；（2）購買多少本作業(yè)本時，方案一和方案二所需費(fèi)用一樣多．【分析】（1）利用總價＝單價×數(shù)量，結(jié)合文具店給出的兩種優(yōu)惠方案，即可用含x的代數(shù)式分別表示按方案一與方案二購買各需費(fèi)用；（2）根據(jù)方案一和方案二所需費(fèi)用一樣多列方程可解答．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：按方案一購買需付款1.4x元；按方案二購買需付款50×1.5+1.5×0.9（x﹣50）＝（1.35x+7.5）（元）；故答案為：1.4x，（1.35x+7.5）；（2）根據(jù)題意得：1.4x＝1.35x+7.5，∴x＝150．答：購買150本作業(yè)本時，方案一和方案二所需費(fèi)用一樣多．【點評】本題考查了列代數(shù)式，一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，用含x的代數(shù)式分別表示按方案一與方案二購買各需付款金額；（2）確定等量關(guān)系列方程．3．（2023秋?德州期末）隨著5G時代的來臨，張老師換了新發(fā)布的5G手機(jī)并且需要新辦一種5G套餐．運(yùn)營商提出了兩種包月套餐方案，第一種是每月50元月租費(fèi)，流量資費(fèi)0.4元/GB；第二種是沒有月租費(fèi)，但流量資費(fèi)0.6元/GB．設(shè)張老師每月使用流量xGB．（1）張老師按第一種套餐每月需花費(fèi)元，按第二種套餐每月需花費(fèi)元；（用含x的代數(shù)式表示）（2）若張老師這個月使用流量200GB，通過計算說明哪種套餐比較合算；（3）張老師每月使用多少流量時，兩種套餐花費(fèi)一樣多？【分析】（1）按第一種套餐，應(yīng)由月租費(fèi)加流量費(fèi)計算花費(fèi)的錢數(shù)，為每月（50+0.4x），按第二種套餐，只有流量費(fèi)，為每月0.6x元，于是得到問題的答案；（2）分別計算出當(dāng)x＝200時，50+0.4x的值及0.6x的值，再將所求得的結(jié)果比較大小，即得到問題的答案；（3）若兩種套餐花費(fèi)一樣多，則50+0.4x＝0.6x，解方程求出x的值即可．【解答】解：（1）根據(jù)題意得，按第一種套餐每月（50+0.4x）元，按第二種套餐每月0.6x元，故答案為：（50+0.4），0.6．（2）當(dāng)x＝200時，50+0.4x＝50+0.4×200＝130，0.6x＝0.6×200＝120，∴按第一種套餐需要130元，按第二種套餐需要120元，120元＜130元，答：選擇第二種套餐比較合算．（3）根據(jù)題意得50+0.4x＝0.6x，解得x＝250，答：張老師每月用250GB流量時，兩種套餐花費(fèi)一樣多．【點評】此題重點考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解應(yīng)用題等知識與方法，正確地用代數(shù)式表示選擇每種套餐分別花費(fèi)的錢數(shù)是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋?任城區(qū)校級期末）某糕點廠中秋節(jié)前要制作20噸月餅出售，若在市場上直接銷售，每噸利潤為10000元，經(jīng)簡裝加工后銷售，每噸利潤可達(dá)35000元，經(jīng)精包裝工后銷售，每噸利潤漲至75000元．該工廠的加工生產(chǎn)能力是：如果對月餅進(jìn)行簡裝加工，每天可加工1.6噸，如果進(jìn)行精包裝加工，每天可加工0.6噸．但兩種加工方式不能同時進(jìn)行，受季節(jié)等條件限制，工廠必須在15天將這批月餅全部銷售或加工完畢，為此工廠研制了三種可行方案：方案一：將月餅全部進(jìn)行簡裝加工；方案二：盡可能多地對月餅進(jìn)行精包裝加工，沒來得及進(jìn)行加工的月餅，在市場上直接銷售；方案三：將部分月餅進(jìn)行精包裝加工，其余月餅進(jìn)行簡裝加工，并恰好15天完成．你認(rèn)為哪種方案獲利最多？為什么？【分析】分別求出三種方案的獲利，再比較即可．【解答】解：方案三獲利最多，理由如下：方案一獲利為：35000×20＝700000（元），方案二：精包裝月餅為：0.6×15＝9（噸），在市場上直接銷售的月餅為：20﹣9＝11（噸），獲利為：9×75000+10000×11＝675000+110000＝785000（元），方案三：設(shè)x噸月餅進(jìn)行精包裝加工，（20﹣x）噸月餅進(jìn)行簡裝加工，由題意得：x0.6解得：x＝2.4，獲利為：75000×2.4+35000×（20﹣2.4）＝796000（元），∵700000＜785000＜796000，∴方案三獲利最多．【點評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋?代縣期末）某電器商店銷售一種洗衣機(jī)和電磁爐，洗衣機(jī)每臺定價800元，電磁爐每臺定價200元．“十一”假期商店決定開展促銷活動，活動期間向客戶提供兩種優(yōu)惠方案：方案一：買一臺洗衣機(jī)送一臺電磁爐；方案二：洗衣機(jī)和電磁爐都按定價的90%付款．現(xiàn)某客戶要在該商店購買洗衣機(jī)10臺，電磁爐x臺（x＞10）．（1）若該客戶按方案一、方案二購買，分別需付款多少元？（用含x的式子表示）（2）試求當(dāng)x取何值時，方案一和方案二的購買費(fèi)用一樣．（3）當(dāng)x＝40時，你能給出一種更為省錢的購買方案嗎？試寫出你的購買方法，并計算需付款多少元．【分析】（1）根據(jù)題目提供的兩種不同的付款方式列出代數(shù)式即可；（2）構(gòu)建方程求解即可；（3）將x＝40代入求得的代數(shù)式中即可得到費(fèi)用，然后比較即可得到選擇哪種方案更合算．【解答】解：（1）800×10+200（x﹣10）＝200x+6000（元），（800×10+200x）×90%＝180x+7200（元）；答：按方案一、方案二購買，分別需付款（200x+6000）元和（180x+7200）元；（2）當(dāng)200x+6000＝180x+7200，解得x＝60．答：當(dāng)x為60時，方案一和方案二的購買費(fèi)用一樣；（3）當(dāng)x＝40時，按方案一買10臺洗衣機(jī)，方案二買30電磁爐，比較省錢，需付款8000+180×30＝13400元．【點評】本題考查了列代數(shù)式和求代數(shù)式的值的相關(guān)的題目，解題的關(guān)鍵是認(rèn)真分析題目并正確的列出代數(shù)式．6．（2023秋?滿城區(qū)期末）在“節(jié)能減排，做環(huán)保小衛(wèi)士”活動中，小明對兩種照明燈的使用情況進(jìn)行了調(diào)查，得出如下表所示的數(shù)據(jù)．已知這兩種燈的照明效果一樣，小明家所在地的電價是每度0.5元．（注：用電度數(shù)＝功率（千瓦）×?xí)r間（小時），費(fèi)用＝燈的售價+電費(fèi)）功率使用壽命價格白熾燈0.1千瓦2000小時3元/盞節(jié)能燈0.02千瓦4000小時35元/盞（1）在白熾燈的使用壽命內(nèi)，設(shè)照明時間為x小時，則一盞白熾燈的費(fèi)用為元，一盞節(jié)能燈的費(fèi)用為元；（用含x的式子表示）（2）在白熾燈的使用壽命內(nèi)，照明多少小時時，使用這兩種燈的費(fèi)用相等？（3）如果計劃照明4000小時，購買哪一種燈更省錢？請你通過計算說明理由．【分析】（1）由功率乘以時間，再乘以單價，加上燈的價格分別列式可得答案；（2）由費(fèi)用相等建立方程，再解方程可得答案；（3）分別計算當(dāng)x＝4000時，白熾燈的費(fèi)用與節(jié)能燈的費(fèi)用，再比較即可．【解答】解：（1）照明時間為x小時，則一盞白熾燈的費(fèi)用為0.1×0.5