第2章 有理數(shù)及其運(yùn)算（核心素養(yǎng)提升+中考能力提升+過關(guān)檢測(cè)）原卷版

第2章有理數(shù)及其運(yùn)算（核心素養(yǎng)提升+中考能力提升+過關(guān)檢測(cè)）知識(shí)點(diǎn)1．有理數(shù)的分類注意：（1）零既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，零是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界；（2）零和正數(shù)統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)；零和負(fù)數(shù)統(tǒng)稱為非正數(shù)．（3）如果一個(gè)數(shù)是小數(shù)，它是否屬于有理數(shù)，就看它是否能化成分?jǐn)?shù)的形式，所有的有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都可以化成分?jǐn)?shù)的形式，因而屬于有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)，不能化成分?jǐn)?shù)形式，因而不屬于有理數(shù)．要點(diǎn)歸納：（1）用正數(shù)、負(fù)數(shù)表示相反意義的量；（2）有理數(shù)“0”的作用：作用舉例表示數(shù)的性質(zhì)0是自然數(shù)、是有理數(shù)表示沒有3個(gè)蘋果用+3表示，沒有蘋果用0表示表示某種狀態(tài)表示冰點(diǎn)表示正數(shù)與負(fù)數(shù)的界點(diǎn)0非正非負(fù)，是一個(gè)中性數(shù)知識(shí)點(diǎn)2．?dāng)?shù)軸規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線．要點(diǎn)歸納：（1）一切有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示出來，數(shù)軸上的點(diǎn)不都表示的是有理數(shù)，如．（2）在數(shù)軸上，右邊的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)總比左邊的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)大．知識(shí)點(diǎn)3．相反數(shù)只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互稱為相反數(shù)，0的相反數(shù)是0．要點(diǎn)歸納：（1）一對(duì)相反數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于原點(diǎn)兩側(cè)，并且到原點(diǎn)的距離相等，這兩點(diǎn)是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的．（2）求任意一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，只要在這個(gè)數(shù)的前面添上“”號(hào)即可．（3）多重符號(hào)的化簡(jiǎn)：數(shù)字前面“”號(hào)的個(gè)數(shù)若有偶數(shù)個(gè)時(shí)，化簡(jiǎn)結(jié)果為正，若有奇數(shù)個(gè)時(shí)，化簡(jiǎn)結(jié)果為負(fù)．知識(shí)點(diǎn)4．絕對(duì)值（1)代數(shù)意義：一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0．?dāng)?shù)a的絕對(duì)值記作．（2)幾何意義：一個(gè)數(shù)a的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離．知識(shí)點(diǎn)5.倒數(shù)乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)．要點(diǎn)歸納：(1)“互為倒數(shù)”的兩個(gè)數(shù)是互相依存的.如-2的倒數(shù)是，-2和是互相依存的；(2)0和任何數(shù)相乘都不等于1，因此0沒有倒數(shù)；(3)倒數(shù)的結(jié)果必須化成最簡(jiǎn)形式，使分母中不含小數(shù)和分?jǐn)?shù)；(4)互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)必定同號(hào)(同為正數(shù)或同為負(fù)數(shù))．知識(shí)點(diǎn)6.有理數(shù)的大小比較比較大小常用的方法有：（1）數(shù)軸比較法；（2）法則比較法：正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而??；(3)作差比較法．（4）作商比較法；（5)倒數(shù)比較法．知識(shí)點(diǎn)7.有理數(shù)運(yùn)算法則（1）加法法則：①同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加．②絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值．③一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)．（2）減法法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加這個(gè)數(shù)的相反數(shù)．即a-b=a+(-b)．（3）乘法法則：①兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘．②任何數(shù)同0相乘，都得0．（4）除法法則：除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)．即a÷b=a·(b≠0)．（5）乘方運(yùn)算的符號(hào)法則：①負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；②正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，0的任何非零次冪都是0．(6)有理數(shù)的混合運(yùn)算順序：①先乘方，再乘除，最后加減；②同級(jí)運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；③如有括號(hào)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)依次進(jìn)行．要點(diǎn)歸納：“奇負(fù)偶正”口訣的應(yīng)用：（1）多重負(fù)號(hào)的化簡(jiǎn)，這里奇偶指的是“－”號(hào)的個(gè)數(shù)，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3．（2）有理數(shù)乘法，當(dāng)多個(gè)非零因數(shù)相乘時(shí)，這里奇偶指的是負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)，正負(fù)指結(jié)果中積的符號(hào)，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．（3）有理數(shù)乘方，這里奇偶指的是指數(shù)，當(dāng)?shù)讛?shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，指數(shù)為奇數(shù)，則冪為負(fù)；指數(shù)為偶數(shù)，則冪為正，例如：，．知識(shí)點(diǎn)8.有理數(shù)運(yùn)算律（1）交換律:①加法交換律:a+b=b+a；②乘法交換律:ab=ba；（2）結(jié)合律:①加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)；②乘法結(jié)合律：（ab）c=a(bc)（3）分配律：a(b+c)=ab+ac知識(shí)點(diǎn)9.科學(xué)記數(shù)法把一個(gè)大于10的數(shù)表示成的形式（其中1≤，是正整數(shù)），此種記法叫做科學(xué)記數(shù)法．例如：200000=．知識(shí)點(diǎn)10.近似數(shù)近似數(shù)是一個(gè)與準(zhǔn)確數(shù)接近的數(shù)，其接近程度可以用精確度表示.四舍五入到某一位，就說這個(gè)數(shù)近似數(shù)精確到那一位．考點(diǎn)1：一個(gè)概念——有理數(shù)的概念【例題1】（23-24六年級(jí)下·上海黃浦·期中）下列說法正確的是（

）A．自然數(shù)就是非負(fù)整數(shù) B．正數(shù)和負(fù)數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)C．零是最小的有理數(shù) D．有最小的正整數(shù)，沒有最大的負(fù)整數(shù)【變式1】（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）零是（）A．最小的整數(shù) B．最小的正數(shù) C．最小的有理數(shù) D．最小的非負(fù)整數(shù)【變式2】（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）下列數(shù)中：，有理數(shù)有個(gè)．【變式3】（23-24七年級(jí)上·吉林松原·階段練習(xí)）把下列各數(shù)填在相應(yīng)的大括號(hào)內(nèi)：(1)正數(shù)集合：{

…}；(2)整數(shù)集合：{

…}；(3)負(fù)分?jǐn)?shù)集合：{

…}．考點(diǎn)2：一種運(yùn)算——有理數(shù)的運(yùn)算【例題2】（2024七年級(jí)上·江蘇·專題練習(xí)）計(jì)算：【變式1】（22-23七年級(jí)上·福建莆田·階段練習(xí)）計(jì)算(1)(2)【變式2】（2024七年級(jí)上·江蘇·專題練習(xí)）運(yùn)用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：(1)；(2)．【變式3】（23-24七年級(jí)上·廣東·期末）計(jì)算(1)(2)考點(diǎn)3：一個(gè)應(yīng)用——有理數(shù)的實(shí)際應(yīng)用【例題3】（22-23七年級(jí)上·山西長(zhǎng)治·階段練習(xí)）一個(gè)長(zhǎng)方體冷藏倉庫，從里面量長(zhǎng)8米，寬6米，高5米，如果往倉庫中放入棱長(zhǎng)為2米的正方體儲(chǔ)物箱，最多可放進(jìn)（

）個(gè).A．60 B．30 C．24 D．38【變式1】（23-24七年級(jí)上·江蘇南京·階段練習(xí)）下表列出了國(guó)外幾個(gè)城市與首都北京的時(shí)差（帶正號(hào)的表示同一時(shí)刻比北京時(shí)間早的時(shí)數(shù)，帶負(fù)號(hào)的表示同一時(shí)刻比北京時(shí)間晚的時(shí)數(shù)）如果現(xiàn)在是北京時(shí)間9月11日15時(shí)，那么現(xiàn)在的紐約時(shí)間是（

）城市紐約巴黎東京芝加哥時(shí)差/時(shí)A．9月10日21時(shí) B．9月12日4時(shí)C．9月11日4時(shí) D．9月11日2時(shí)【變式2】（23-24七年級(jí)上·四川成都·開學(xué)考試）（盈虧問題）買來一批蘋果，分給幼兒園大班的小朋友．如果每人分5個(gè)蘋果，那么還剩余32個(gè)；如果每人分8個(gè)蘋果，那么還有5個(gè)小朋友分不到蘋果，這批蘋果共有個(gè)．【變式3】（23-24七年級(jí)上·廣東深圳·期末）在疫情期間，某縣城為了保障學(xué)校學(xué)生的正常學(xué)習(xí)，需每天抽取不低于總學(xué)生人數(shù)的進(jìn)行核酸抽檢．為了更好地統(tǒng)計(jì)每天抽測(cè)的學(xué)生人數(shù)，醫(yī)務(wù)人員以每天抽測(cè)2000人為標(biāo)準(zhǔn)，超過的人數(shù)記作正，不足的人數(shù)記作負(fù)．下表是該縣城學(xué)校一周核酸抽檢情況的記錄（單位：人）：星期一二三四五與標(biāo)準(zhǔn)的差/人(1)該縣城哪天抽檢的學(xué)生人數(shù)最多？哪天抽檢的最少？分別是多少人？(2)聰明的你，幫醫(yī)務(wù)人員計(jì)算下這周該縣城總共核酸抽檢了學(xué)生多少人？考點(diǎn)4：科學(xué)記數(shù)法與近似數(shù)【例題4】（22-23七年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·期末）盧塞爾體育場(chǎng)是卡塔爾世界杯的主體育場(chǎng)，由中國(guó)建造，是卡塔爾規(guī)模最大的體育場(chǎng)．世界杯之后，將有約170000個(gè)座位將捐贈(zèng)給需要體育基礎(chǔ)設(shè)施的國(guó)家，其中大部分來自世界杯決賽場(chǎng)地盧塞爾體育場(chǎng)，170000這個(gè)數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A． B． C． D．【變式1】（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）求個(gè)偶數(shù)的平均數(shù)，保留一位小數(shù)得數(shù)是，若保留兩位小數(shù)得數(shù)應(yīng)該是（）A． B． C． D．【變式2】（22-23七年級(jí)上·福建莆田·階段練習(xí)）據(jù)統(tǒng)計(jì)截止2021年12月31日，全國(guó)共有學(xué)生團(tuán)員48310000名，48310000用科學(xué)記數(shù)法表示為．【變式3】（23-24七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）下列各數(shù)精確到什么位？請(qǐng)分別指出來．(1)．(2)．(3)．(4)萬．考點(diǎn)5：三種思想思想1：從特殊到一般思想【例題5】（23-24七年級(jí)上·廣東梅州·期中）按一定規(guī)律排列的數(shù)：，，，，，則這列數(shù)的第個(gè)數(shù)是（）A． B． C． D．【變式1】（20-21七年級(jí)上·四川達(dá)州·期中）已知一列數(shù)：1，，，，……，則第n個(gè)數(shù)是（

）A．； B．； C．； D．、【變式2】（23-24七年級(jí)·全國(guó)·假期作業(yè)）觀察下列等式：，，，……（1）根據(jù)上面的規(guī)律，若，則，；（2）用含有自然數(shù)n的式子表示上述規(guī)律為．【變式3】（23-24七年級(jí)上·山西晉中·期中）觀察下列等式：，，，……回答下面的問題：(1)．(2)猜想．(3)計(jì)算：的值．思想2：數(shù)形結(jié)合思想【例題6】（23-24七年級(jí)上·四川達(dá)州·期末）如圖，若A是有理數(shù)a在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，則關(guān)于a，，1的大小關(guān)系表示正確的是（

）A． B． C． D．【變式1】（23-24七年級(jí)上·四川達(dá)州·期末）數(shù)軸上點(diǎn)D、E、F和原點(diǎn)如圖所示，已知有理數(shù)a、b、c分別與其中的一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)(對(duì)應(yīng)順序暫不確定），若a、b、c滿足，，，那么有理數(shù)b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是，【變式2】（23-24七年級(jí)上·江蘇無錫·階段練習(xí)）畫出數(shù)軸，在數(shù)軸上標(biāo)出表示下列各數(shù)的點(diǎn)，并用“>”號(hào)把這些數(shù)連接起來．，0，，，【變式3】（22-23七年級(jí)上·河南信陽·期末）在一條不完整的數(shù)軸上從左到右有點(diǎn)A，B，C，它們對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是a，b，c，其中，，如圖所示．(1)若以B為原點(diǎn)，寫出點(diǎn)A，B，C所對(duì)應(yīng)的數(shù)：，，；此時(shí)中點(diǎn)所表示的數(shù)是；(2)要使b的絕對(duì)值是1，則原點(diǎn)應(yīng)該在什么位置？(3)若原點(diǎn)O在圖中數(shù)軸上點(diǎn)C的右邊，且，求．思想3：分類討論思想【例題7】（23-24七年級(jí)上·四川達(dá)州·期末）數(shù)軸上表示整數(shù)的點(diǎn)叫作整點(diǎn)．某數(shù)軸的單位長(zhǎng)度為，若在這條數(shù)軸上任意畫出一條長(zhǎng)度為的線段，則線段蓋住的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．2025個(gè) B．2024個(gè) C．2025或2024個(gè) D．2024或2023個(gè)【變式1】（22-23七年級(jí)上·福建莆田·階段練習(xí)）點(diǎn)A、B在數(shù)軸上，若數(shù)軸上點(diǎn)A表示，且，則點(diǎn)B表示的數(shù)是．【變式2】（22-23七年級(jí)上·北京海淀·期中）數(shù)軸上表示數(shù)x的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，記作．(1)數(shù)軸上表示數(shù)x的點(diǎn)與表示的點(diǎn)的距離，可以記作___________；(2)當(dāng)時(shí)，的值為___________；當(dāng)時(shí)，的值為___________；當(dāng)時(shí)，的值為___________．(3)當(dāng)x分別取，，……，請(qǐng)你計(jì)算的值，然后觀察，思考并得出結(jié)論：對(duì)于有理數(shù)a，當(dāng)x取任意一對(duì)相反數(shù)m與的值時(shí)，的兩個(gè)值的關(guān)系是___________．【變式3】（23-24七年級(jí)上·湖南岳陽·期中）觀察下列每對(duì)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)間的距離與，與．并回答下列各題：

(1)你能發(fā)現(xiàn)：與在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)間的距離可以表示為：；與在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)間的距離可以表示為：；根據(jù)以上規(guī)律，則與在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離是．(2)若數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)是，點(diǎn)表示的數(shù)是，則與兩點(diǎn)間的距離可以表示為．(3)結(jié)合數(shù)軸思考，的最小值為多少？(4)滿足，求的值為多少？一、單選題1．（2023·江蘇鹽城·中考真題）下列數(shù)中，屬于負(fù)數(shù)的是（

）A．2023 B． C． D．02．（2024·青?！ぶ锌颊骖}）的相反數(shù)是（）A． B． C． D．3．（2024·江蘇南通·中考真題）如果零上記作，那么零下記作（

）A． B． C． D．4．（2023·海南·中考真題）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)的相反數(shù)是（

）

A．1 B．0 C． D．5．（2023·山東濰坊·中考真題）實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖所示，下列判斷正確的是（

）

A． B． C． D．6．（2023·湖南永州·中考真題）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中對(duì)正負(fù)數(shù)的概念注有“今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之”、如：糧庫把運(yùn)進(jìn)30噸糧食記為“”，則“”表示（

）A．運(yùn)出30噸糧食 B．虧損30噸糧食 C．賣掉30噸糧食 D．吃掉30噸糧食二、填空題7．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）的絕對(duì)值等于．8．（2021·江蘇南京·中考真題）；．9．（2021·江蘇常州·中考真題）數(shù)軸上的點(diǎn)A、B分別表示、2，則點(diǎn)離原點(diǎn)的距離較近（填“A”或“B”）．10．（2024·四川資陽·中考真題）若，則．三、解答題11．（2023·廣西·中考真題）計(jì)算：．12．（2024·廣西·中考真題）計(jì)算：13．（2022·浙江杭州·中考真題）計(jì)算：．圓圓在做作業(yè)時(shí)，發(fā)現(xiàn)題中有一個(gè)數(shù)字被墨水污染了．(1)如果被污染的數(shù)字是，請(qǐng)計(jì)算．(2)如果計(jì)算結(jié)果等于6，求被污染的數(shù)字．一、單選題1．（23-24七年級(jí)上·江蘇無錫·階段練習(xí)）在11，0，，，中，整數(shù)的個(gè)數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．52．（23-24七年級(jí)上·河北邯鄲·期末）如圖，檢測(cè)4個(gè)足球，其中超過標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的克數(shù)記為正數(shù)．不足標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的克數(shù)記為負(fù)數(shù)，從輕重的角度看，最接近標(biāo)準(zhǔn)的是（

）A． B． C． D．3．（23-24七年級(jí)上·四川眉山·階段練習(xí)）下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是（

）A．和 B．和C．和 D．和4．（23-24七年級(jí)上·廣東佛山·階段練習(xí)）數(shù)軸上表示數(shù)m和1的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等，則m為（

）A． B．2 C．1 D．5．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）有理數(shù)a，b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則下列各式成立的是（）A． B． C． D．6．（2024七年級(jí)上·江蘇·專題練習(xí)）以下數(shù)軸畫法正確的是（）A． B．C． D．7．（22-23六年級(jí)上·山東泰安·階段練習(xí)）下列說法中，正確的是（

）A．正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù) B．0既是正整數(shù)也是負(fù)整數(shù)C．正整數(shù)、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù) D．正有理數(shù)和負(fù)有理數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)8．（23-24七年級(jí)上·湖北武漢·期末）若氣溫為零上記作，則表示氣溫為（）A．零上 B．零下 C．零上 D．零下9．（23-24七年級(jí)上·河南商丘·期中）若A，B是數(shù)軸上兩點(diǎn)，則點(diǎn)A，B表示的數(shù)互為相反數(shù)的是（

）A． B．C． D．10．（2024七年級(jí)上·江蘇·專題練習(xí)）已知數(shù)軸上兩點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為，3，點(diǎn)P為數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的數(shù)為x．當(dāng)P到點(diǎn)A、B的距離之和為7時(shí)，則對(duì)應(yīng)的數(shù)x的值為（）A． B．和 C．和 D．和二、填空題11．（23-24七年級(jí)上·江蘇徐州·期末）某市地鐵去年年底12月的客運(yùn)量是人次，用科學(xué)記數(shù)法表示這個(gè)數(shù)．12．（22-23七年級(jí)上·遼寧沈陽·階段練習(xí)）下表列出了國(guó)外幾個(gè)城市與北京的時(shí)差（帶正號(hào)的數(shù)表示同一時(shí)刻比北京早的點(diǎn)時(shí)數(shù)）：城市紐約倫敦東京巴黎時(shí)差/時(shí)如果北京時(shí)間是9月13日17時(shí)，那么倫敦的當(dāng)?shù)貢r(shí)間是9月日時(shí)．13．（23-24七年級(jí)上·浙江臺(tái)州·階段練習(xí)）若，且，則．14．（22-23七年級(jí)上·內(nèi)蒙古包頭·期末）已知?jiǎng)t．15．（23-24七年級(jí)上·江蘇淮安·期中）比較大?。海ㄌ睢啊被颉啊被颉啊保?6．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)軸上兩點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為、4，點(diǎn)P為數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)，若P到A、B的距離的比為時(shí)，則點(diǎn)P表示的數(shù)是．17．（22-23七年級(jí)上·四川成都·階段練習(xí)）已知，，且，則的值為．18．（23-24七年級(jí)上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知，則的最大值是，最小值是．三、解答題19．（2024七年級(jí)上·浙江·專題練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)20．（2024七年級(jí)上·浙江·專題練習(xí)）計(jì)算：(1)(2)21．（2024七年級(jí)上·浙江·專題練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．22．（22-23七年級(jí)上·河南安陽·階段練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；