第四章 基本平面圖形知識(shí)歸納與題型突破（題型清單）（十一題型清單）（原卷版）-2024-2025學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)單元速記·巧練（北師大版2024）

第四章基本平面圖形知識(shí)歸納與題型突破（題型清單）01思維導(dǎo)圖01思維導(dǎo)圖0202知識(shí)速記知識(shí)點(diǎn)1直線、射線與線段的概念知識(shí)點(diǎn)2：基本事實(shí)1.經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有一條直線，并且僅有一條直線，即兩點(diǎn)確定一條直線2.兩點(diǎn)之間的線段中，線段最短，簡(jiǎn)稱兩點(diǎn)間線段最短知識(shí)點(diǎn)3：基本概念1.兩點(diǎn)間的距離：兩個(gè)端點(diǎn)之間的長(zhǎng)度叫做兩點(diǎn)間的距離。2.線段的等分點(diǎn)：把一條線段平均分成兩份的點(diǎn)，叫做這個(gè)線段的中點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)4：雙中點(diǎn)模型：C為AB上任意一點(diǎn)，M、N分別為AC、BC中點(diǎn)，則知識(shí)點(diǎn)5：角的概念1.角的定義：（1）定義一：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊．如圖1所示，角的頂點(diǎn)是點(diǎn)O，邊是射線OA、OB．圖2圖1圖2圖1（2）定義二：一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)過(guò)的平面部分是角的內(nèi)部．如圖2所示，射線OA繞它的端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OB的位置時(shí)，形成的圖形叫做角，起始位置OA是角的始邊，終止位置OB是角的終邊．注意：（1）兩條射線有公共端點(diǎn)，即角的頂點(diǎn)；角的邊是射線；角的大小與角的兩邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)．（2）平角與周角：如圖1所示射線OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置OB和起始位置OA成一條直線時(shí)，所形成的角叫做平角，如圖2所示繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，OB和OA重合時(shí)，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的幾何符號(hào)用“∠”表示，角的表示法通常有以下四種：知識(shí)點(diǎn)6：角度制及其換算角的度量單位是度、分、秒，把一個(gè)周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的為1分，記作“1′”，1′的為1秒，記作“1″”．這種以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制．1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．注意：在進(jìn)行有關(guān)度分秒的計(jì)算時(shí)，要按級(jí)進(jìn)行，即分別按度、分、秒計(jì)算，不夠減，不夠除的要借位，從高一位借的單位要化為低位的單位后再進(jìn)行運(yùn)算，在相乘或相加時(shí)，當(dāng)?shù)臀坏脭?shù)大于60時(shí)要向高一位進(jìn)位．知識(shí)點(diǎn)7：鐘表上有關(guān)夾角問(wèn)題鐘表中共有12個(gè)大格，把周角12等分、每個(gè)大格對(duì)應(yīng)30°的角，分針1分鐘轉(zhuǎn)6°，時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)30°，時(shí)針1分鐘轉(zhuǎn)0.5°，利用這些關(guān)系，可幫助我們解決鐘表中角度的計(jì)算問(wèn)題．知識(shí)點(diǎn)8：方位角在航行和測(cè)繪等工作中，經(jīng)常要用到表示方向的角．例如，圖中射線OA的方向是北偏東60°；射線OB的方向是南偏西30°．這里的“北偏東60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．知識(shí)點(diǎn)9：角平分線從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的平分線．如圖所示，OC是∠AOB的角平分線，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC=∠AOB．注意：由角平分線的概念產(chǎn)生的合情推理其思維框架與線段中點(diǎn)的思維框架一樣．知識(shí)點(diǎn)10：角的運(yùn)算如圖所示，∠AOB是∠1與∠2的和，記作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB與∠2的差，記作：∠1＝∠AOB-∠2．知識(shí)點(diǎn)11：角的比較角的大小比較與線段的大小比較相類似，方法有兩種．方法1：度量比較法．先用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大?。椒?：疊合比較法．把其中的一個(gè)角移到另一個(gè)角上作比較．如比較∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下圖，由圖（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由圖(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由圖(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．知識(shí)點(diǎn)12：多邊形及正多邊形定義：多邊形是由一些不在同一條直線上的線段依次首尾相連組成的封閉平面圖形．其中，各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形．如下圖：2.正多邊形1.各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形2.正多邊形的每個(gè)內(nèi)角3.正多邊形每個(gè)外角的度數(shù)：（3）平面鑲嵌：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，叫做用多邊形覆蓋平面。3．相關(guān)概念：頂點(diǎn)：每相鄰兩條邊的公共端點(diǎn)叫做多邊形的頂點(diǎn)．邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊．內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫多邊形的內(nèi)角（可簡(jiǎn)稱為多邊形的角），一個(gè)n邊形有n個(gè)內(nèi)角.外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做多邊形的外角.對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線．多邊形公式1.n邊形一個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線數(shù)：n-32.n邊形的對(duì)角線總數(shù)：3.n邊形的外角和：360°4.補(bǔ)充拓展：n邊形截去一個(gè)角后得到n/n-1/n-2邊形知識(shí)點(diǎn)12：圓及扇形1.圓的定義如圖，在一個(gè)平面內(nèi)，一條線段繞著它固定的一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)所形成的圖形叫做圓，固定的端點(diǎn)叫做圓心，線段OA叫做半徑.2.扇形（1）圓?。簣A上任意兩點(diǎn)A，B間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧，記作，讀作“圓弧AB”或“弧AB”.如下圖：（2）扇形的定義：如上圖，由一條弧AB和經(jīng)過(guò)這條弧的端點(diǎn)的兩條半徑OA，OB所組成的圖形叫做扇形.

注意：圓可以分割成若干個(gè)扇形.（3）圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角.如上圖，∠AOB是圓的一個(gè)圓心角，也是扇形OAB的圓心角.0303題型歸納題型一直線/射線和線段及作圖

例題：如圖，已知四點(diǎn)A、B、C、D，請(qǐng)用尺規(guī)作圖完成．（保留畫(huà)圖痕跡）(1)畫(huà)直線AB，畫(huà)射線AC，連接BC；(2)延長(zhǎng)線段BC到E．使得BE=AB+BC；(3)在線段BD上取點(diǎn)P，使PA+PC的值最小．鞏固訓(xùn)練

1．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．畫(huà)線段AB=3厘米 B．畫(huà)射線AB=3厘米C．在射線AC上截取AB=3厘米 D．延長(zhǎng)線段AB到C，使得AC=2AB2．如圖，下列說(shuō)法正確的是（

）A．射線OB和射線AB表示同一條射線B．射線OB和射線OA表示同一條射線C．射線OB和射線BO表示同一條射線D．以點(diǎn)A為端點(diǎn)的射線有4條3．如圖，已知四點(diǎn)A、B、C、D，請(qǐng)按要求作圖并解答．

(1)按要求作圖：①作射線AB；②連接BD；③在射線AB上截取AM，使AM=DB；④在線段BD上取點(diǎn)P，使PA+PC的值最?。?2)小明同學(xué)根據(jù)圖形寫(xiě)出了四個(gè)結(jié)論：①圖中有8條線段；②點(diǎn)B在線段DP的延長(zhǎng)線上；③射線AB和射線AM是兩條射線；④點(diǎn)M在射線AB的延長(zhǎng)線上；其中正確的結(jié)論是_________．題型二直線和線段的性質(zhì)

例題：如圖，經(jīng)過(guò)刨平的木板上的A，B兩個(gè)點(diǎn)，能彈出一條筆直的墨線，而且只能彈出一條墨線，能解釋這一實(shí)際應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識(shí)是（

）A．兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短B．過(guò)一點(diǎn)，有無(wú)數(shù)條直線C．兩點(diǎn)確定一條直線D．兩點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)度叫做這兩點(diǎn)之間的距離鞏固訓(xùn)練

1．如圖，建筑工人砌墻時(shí)，經(jīng)常用細(xì)繩在墻的兩端之間拉一條參照線，使砌的每一層磚在一條直線上，這樣做的依據(jù)是（

）A．直線比曲線短 B．兩點(diǎn)之間，線段最短C．兩點(diǎn)確定一條直線 D．兩點(diǎn)之間，直線最短2．媛媛一家準(zhǔn)備周末從A地前往B地游玩，導(dǎo)航提供了三條可選路線（如圖），其長(zhǎng)度分別為21km，24km，19km，而兩地的直線距離為12.1A．兩點(diǎn)確定一條直線B．垂線段最短 C．兩點(diǎn)之間線段最短 D．公垂線段最短3．下列能用“垂線段最短”來(lái)解釋的現(xiàn)象是（

）A．兩釘子固定木條 B．木板上彈墨線C．測(cè)量跳遠(yuǎn)成績(jī) D．彎曲河道改直題型三線段的運(yùn)用

例題：如圖，AB是一段高鐵行駛路線圖，圖中字母表示的5個(gè)點(diǎn)表示5個(gè)車(chē)站在這段路線上往返行車(chē)，需印制（

）種車(chē)票，共有（

）種票價(jià)．

A．10；10 B．22；11 C．20；10 D．20；20鞏固訓(xùn)練

1．一條火車(chē)線路上共有5個(gè)車(chē)站，則用于這條線路上的車(chē)票共有（）A．10種 B．15種 C．20種 D．25種2．?dāng)?shù)軸上表示整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，某數(shù)軸的單位長(zhǎng)度是1厘米，若在這個(gè)數(shù)軸上隨意畫(huà)出一條長(zhǎng)2017厘米的線段AB，則線段AB蓋住的整點(diǎn)共有（）個(gè)A．2022或2023 B．2017或2018 C．2016或2017 D．2015或20163．由汕頭開(kāi)往廣州東的D7511動(dòng)車(chē)，運(yùn)行途中須?？康能?chē)站依次是：汕頭→潮汕→普寧→汕尾→深圳坪山→東莞→廣州東．那么要為D7511動(dòng)車(chē)制作的車(chē)票一共有（

）A．6種 B．7種 C．21種 D．42種題型四線段的運(yùn)算

例題：如圖，已知線段AB=23，BC=15，點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)．(1)求線段AM的長(zhǎng)；(2)在CB上取一點(diǎn)N，使得CN:NB=2:3，求線段MN的長(zhǎng)．鞏固訓(xùn)練

1．如圖，點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，且AB=12，BD=5．若點(diǎn)E在直線AB上，且AE=3，則DE的長(zhǎng)為（）A．4 B．15 C．3或15 D．4或102．如圖，點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，AB=12，點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離比點(diǎn)C到點(diǎn)B的距離多2，則BC=．3．如圖，C是線段AE的中點(diǎn)，點(diǎn)D在線段CE上，B是線段AD的中點(diǎn)．(1)若AC=3，DE=2，求CD的長(zhǎng)；(2)若BC=3，CD:AD=1:4，求AC的長(zhǎng)．4．如圖，線段AB=16，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)．(1)求線段AD的長(zhǎng)；(2)若在線段AB上有一點(diǎn)E，CE=14BC5．如圖，線段AB=24．C是線段AB的中點(diǎn)，D是線段BC的中點(diǎn)．(1)求線段AD的長(zhǎng)；(2)在線段AD上有一點(diǎn)E，滿足CE=16BC題型五度分秒的運(yùn)算

例題：計(jì)算（結(jié)果用度、分、秒表示）．(1)58°49(2)47.6°?25°12(3)38°45(4)180°?58°3鞏固訓(xùn)練

1．將30.24°用度、分、秒表示為（

）A．30°12′24″ B．30°142．已知∠1=76°24′，∠2=76.24°，∠3=76.4°，下列說(shuō)法正確的是（A．∠1=∠2 B．∠1=∠3 C．∠1<∠2 D．∠2>∠33．用度、分、秒表示34.18°=°′″題型六鐘面角

例題：鐘表上顯示8時(shí)45分時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)鶌A的角度是（

）A．30° B．22.5° C．15° D．7.5°鞏固訓(xùn)練

1．時(shí)鐘在6點(diǎn)10分時(shí)，時(shí)針和分針?biāo)山嵌仁牵ǎ〢．125° B．120° C．115° D．126°2．如圖，在下午四點(diǎn)半的時(shí)候，時(shí)針和分針?biāo)鶌A的銳角度數(shù)是（

）A．75° B．60° C．45° D．30°3．如圖，鐘表上2點(diǎn)半時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)傻慕鞘穷}型七方位角

例題：在燈塔O處測(cè)到輪船C位于北偏西20°的方向，輪船B位于南偏東50°的方向，輪船A在∠BOC的角平分線上，則在燈塔O處觀測(cè)輪船A的方向?yàn)椋?/p>

）A．北偏東55° B．北偏東50° C．北偏東45° D．北偏東40°鞏固訓(xùn)練

1．在燈塔O處觀測(cè)到輪船A位于北偏西64°的方向，同時(shí)輪船B在南偏東18°的方向，那么∠AOB的大小為（）A．82° B．154° C．134° D．172°2．如圖，OA的方向是北偏東15°，OB的方向是北偏西40°，若∠AOC=∠AOB，則OC的方向是（

）

A．北偏東70° B．北偏西70° C．南偏東70° D．南偏西50°3．如圖，OA的方向是北偏東15°，OB的方向是西北方向，若∠AOC=∠AOB，則OC的方向是（

）A．北偏東30° B．北偏東60° C．北偏東75° D．北偏東15°4．如圖，已知輪船A在燈塔P的北偏東27°50′方向，輪船B在燈塔P的南偏東71°22′題型八角平分線的有關(guān)運(yùn)算

例題：如圖，已知OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．(1)若∠AOB是直角，∠BOC=60°，求∠EOF的度數(shù)；(2)若∠AOC=x，∠BOC=y，列式表示∠EOF的大小．鞏固訓(xùn)練

1．如圖，已知A、O、B三點(diǎn)在同一條直線上，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，若∠BOE=31°，求∠AOD的度數(shù)．2．如圖，已知OD平分∠AOB，射線OC在∠AOD內(nèi)，∠BOC=4∠COD，∠AOB=120°，求∠AOC的度數(shù)．3．如圖，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．若∠BOC=70°，∠AOE=25°．(1)求出∠AOB的度數(shù)；(2)判斷∠DOE與∠AOB是否互補(bǔ)，并說(shuō)明理由．4．如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOC，OF⊥CD．(1)若∠AOF=50°，求∠BOE的度數(shù)；(2)若∠BOD:∠BOE=1:4，求∠AOF的度數(shù)．

題型九余角﹑補(bǔ)角的基本運(yùn)算

例題：如圖，∠AOB與∠DOB互為補(bǔ)角，∠AOE與∠AOB互為余角，且∠AOB=4∠AOE．

(1)求∠∠AOB的度數(shù)；(2)若OC平分∠DOB，求∠AOC的度數(shù)．鞏固訓(xùn)練1．如圖，OC,OD,OE是∠AOB內(nèi)三條射線，OE平分∠DOA，OC平分∠AOB．(1)已知∠BOD=80°，∠AOE=25°，求∠COD的度數(shù)；(2)若∠BOD與∠EOC互余，求∠EOC的度數(shù)．2．如圖，將一副三角板的直角頂點(diǎn)疊放在一起．(1)猜想∠AOC與∠BOD的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)求∠AOD+∠BOC的度數(shù)；(3)若∠BOD:∠AOD=2:11，求∠BOC的度數(shù)．題型十多邊形的性質(zhì)

例題：(1)試驗(yàn)分析：如圖1，經(jīng)過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)（如點(diǎn)A）可以作___________條對(duì)角線，它把四邊形ABCD分為_(kāi)__________個(gè)三角形；(2)拓展延伸：運(yùn)用（1）的分析方法，可得：圖2過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)作所有的對(duì)角線，把這個(gè)多邊形分為_(kāi)__________個(gè)三角形；圖3過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)作所有的對(duì)角線，把這個(gè)多邊形分為_(kāi)__________個(gè)三角形；(3)探索歸納：對(duì)于n邊形n>3，過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線把這個(gè)n邊形分為_(kāi)__________個(gè)三角形．（用含n的式子表示）(4)