第五章 一元一次方程（十大題型清單） （解析版）-2024-2025學(xué)年七年級數(shù)學(xué)上冊單元速記·巧練（北師大版2024）

第五章一元一次方程（題型清單）01思維導(dǎo)圖01思維導(dǎo)圖0202知識速記知識點(diǎn)1一元一次方程1.概念：只含一個(gè)未知數(shù)（元）且未知數(shù)的次數(shù)都是1的方程；標(biāo)準(zhǔn)式：ax+b=0（x是未知數(shù)，a、b是已知數(shù)，且a≠0）；2.方程的解：使方程等號左右兩邊相等的未知數(shù)的值知識點(diǎn)2等式的性質(zhì)等式的性質(zhì)1：等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等；如果a=b，那么a±c=b±c;等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等；如果a=b，那么ac=bc;如果a=b，c0，那么；知識點(diǎn)3：含參一元一次方程1、次數(shù)含參：主要考察一元一次方程定義2、常數(shù)項(xiàng)含參：求解一個(gè)常數(shù)項(xiàng)含參的一元一次方程，依然采用常規(guī)的五步法解題3、解已知或可求：將解代入?yún)?shù)方程，求出參數(shù)知識點(diǎn)4：解一元一次方程解一元一次方程的步驟：1.去分母兩邊同乘最簡公分母2.去括號（1）先去小括號，再去中括號，最后去大括號（2）乘法分配律應(yīng)滿足分配到每一項(xiàng)注意：特別是去掉括號，符合變化3.移項(xiàng)（1）定義：把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的一邊，不含有未知數(shù)的項(xiàng)移到另一邊；（2）注意：①移項(xiàng)要變符號；②一般把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到左邊，其余項(xiàng)移到右邊．4.合并同類項(xiàng)（1）定義：把方程中的同類項(xiàng)分別合并，化成“axb”的形式（a0）；（2）注意：合并同類項(xiàng)時(shí)，把同類項(xiàng)的系數(shù)相加，字母不變．5.系數(shù)化為1（1）定義：方程兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)a，得；（2）注意：分子、分母不能顛倒知識點(diǎn)5：一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用審:弄清題意，分清已知量和未知量，明確各數(shù)量間的關(guān)系設(shè):設(shè)未知數(shù)，并且用含未知數(shù)的代數(shù)式表示與所列方程有關(guān)的數(shù)量列:根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系、相等關(guān)系、倍數(shù)關(guān)系以及若干倍多或少個(gè)數(shù)字列方程解:解所列的方程，求出未知數(shù)的值以及題目中所要求的相關(guān)數(shù)量的值驗(yàn):檢驗(yàn)所求的解是否符合題意，是否符合實(shí)際意義。0303題型歸納題型一一元一次方程的定義

例題：下列方程中是一元一次方程的是（

）A．2x=3y B．x=9C．x2+1【答案】B【分析】本題考查了一元一次方程的定義，一元一次方程指只含有一個(gè)未知數(shù)、未知數(shù)的最高次數(shù)為1且兩邊都為整式的等式．據(jù)此即可求解．【詳解】解：A：含有兩個(gè)未知數(shù)，不符合題意；B：為一元一次方程，符合題意；C：未知數(shù)的最高次數(shù)為2，不符合題意；D：含有分式，不符合題意；故選：B．例題：已知方程k?1x|k|+1=0是關(guān)于xA．1 B．0 C．?1 D．1【答案】D【分析】本題考查的是解一元一次方程和一元一次方程的定義，掌握一元一次方程的定義與求解是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一元一次方程的定義，即含有1個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的整式方程是一元一次方程，據(jù)此求出k的值，然后再求解方程即可．【詳解】解：根據(jù)一元一次方程的定義可知，|k|=1且k?1≠0，解得：k=?1，原方程為：?2x+1=0，解得：x=1故選：D鞏固訓(xùn)練

1．下列方程是一元一次方程的是（

）A．3x?5y=2 B．1C．2x2+9x=0【答案】B【分析】本題考查了一元一次方程，根據(jù)一元一次方程的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1次的整式方程叫做一元一次方程即可判斷求解，掌握一元一次方程的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、方程3x?5y=2含有兩個(gè)未知數(shù)，不是一元一次方程，該選項(xiàng)不合題意；B、方程13C、方程2x2+9x=0D、方程7x?2=7故選：B．2．把方程x0.7=1.5的分母化為整數(shù)，可得方程（A．x7=1.5 B．x7=15 C．【答案】C【分析】本題考查的是利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)把一元一次方程中的分母化為整數(shù)，掌握分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．把分子，分母都乘以10，從而可得答案．【詳解】解：10x0.7×10=1.5即故選：C．3．已知關(guān)于x的方程3a+1x2?ax+4=0是一元一次方程，則aA．0 B．13 C．1 D．【答案】D【分析】本題主要考查了一元一次方程的定義，只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)為1的整式方程叫做一元一次方程，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的方程3a+1x∴3a+1=0?a≠0∴a=?1故選：D．4．已知a?1xa+3=10是關(guān)于x的一元一次方程，則a【答案】?1【分析】本題主要考查一元一次方程的概念，熟練掌握一元一次方程的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一元一次方程的概念可得a≠?1且a=【詳解】解：∵a?1xa+3=10∴a≠?1且a=∴a=?1．故答案為：?1．

題型二等式的性質(zhì)

例題：運(yùn)用等式性質(zhì)進(jìn)行的變形，正確的是（

）A．若ac=bc，則a=b B．若ac=C．若2a?b=4，則b=4?2a D．若?13【答案】B【分析】本題考查了等式的性質(zhì)，性質(zhì)1：等式兩邊同時(shí)加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等；性質(zhì)2：等式兩邊同時(shí)乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等，根據(jù)對應(yīng)性質(zhì)逐一判斷，即可得到答案．【詳解】解：A、若ac=bc，當(dāng)c=0時(shí)，a≠b，原變形錯(cuò)誤，不符合題意；B、若ac=bC、若2a?b=4，則b=2a?4，原變形錯(cuò)誤，不符合題意；D、若?13x=6故選：B．鞏固訓(xùn)練

1．已知等式a=b，下列變形不正確的是（）A．3a?2=3b?2B．?3a=?3b C．a(chǎn)5=b【答案】D【分析】本題考查了等式的性質(zhì)．熟練掌握等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等式的性質(zhì)對各選項(xiàng)判斷作答即可．【詳解】解：∵a=b，∴3a?2=3b?2，?3a=?3b，a5=b∴A、B、C正確，故不符合要求；D錯(cuò)誤，故符合要求；故選：D．2．在物理學(xué)中，導(dǎo)體中的電流I跟導(dǎo)體兩端的電壓U、導(dǎo)體的電阻R之間有以下關(guān)系：I=UR，去分母得A．等式的基本性質(zhì)1 B．等式的基本性質(zhì)2C．分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì) D．去括號法則【答案】B【分析】本題考查了等式的性質(zhì)：等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，等式仍然成立．根據(jù)等式的性質(zhì)2可得答案．【詳解】解：I=UR，去分母得其變形的依據(jù)是等式的性質(zhì)2，故選：B．3．如圖，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”處應(yīng)放（）個(gè)〇．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本題考查了等式性質(zhì)的應(yīng)用，設(shè)1個(gè)△重a，1個(gè)〇重b，1個(gè)□重c，根據(jù)題意，得出3a=b,2a+b=c，再利用等式性質(zhì)求解即可．【詳解】解：設(shè)1個(gè)△重a，1個(gè)〇重b，1個(gè)□重c．根據(jù)題意，得3a=b,2a+b=c，將3a=b的兩邊同除以3，得a=b將a=b3代入2a+b=c，得∴a+c=b∴“？”處應(yīng)放2個(gè)〇．故選：B．4．將方程3x+y=6寫成用含x的代數(shù)式表示y為（

）A．y=6?3x B．y=3x?6 C．x=y3?2【答案】A【分析】本題考查了等式的性質(zhì)，等式兩邊同時(shí)減去3x即可求解，掌握等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵3x+y=6，∴3x+y?3x=6?3x即y=6?3x，故選：A．

題型三一元一次方程的解

例題：已知x=2是關(guān)于x的一元一次方程2x+m?4=0的解，則m的值為（

）A．0 B．2 C．?1 D．1【答案】A【分析】此題考查了一元一次方程的解，將x=?1代入方程，再解方程即可，解題的關(guān)鍵是正確理解方程的解的概念及應(yīng)用．【詳解】把x=2代入方程2x+m?4=0得，2×2+m?4=0，解得：m=0，故選：A．鞏固訓(xùn)練

1．下列方程中，解是x=12的是（A．?2x=4 B．?2x?3=?1 C．?12x?1=?【答案】D【分析】本題主要考查了一元一次方程的解，牢記方程的解的定義“使方程中等號左右兩邊相等的未知數(shù)的值，就是方程的解”是解題的關(guān)鍵．分別將x=1【詳解】解：分別將x=1A.左邊=?1，右邊=4，∵左邊≠右邊，∴x=1B.左邊=?4，右邊=?1，∵左邊≠右邊，∴x=1C.左邊=?54，右邊∵左邊≠右邊，∴x=1D.左邊=34，右邊∵左邊=右邊，∴x=1故選：D．2．整式mx?n的值隨x取值的變化而變化，下表是當(dāng)x取不同值時(shí)對應(yīng)的整式的值：則關(guān)于x的方程?mx+n=8的解為．

x?10123mx?n?8?4048【答案】?1【分析】本題考查了一元一次方程的解的定義，等式的性質(zhì)等知識，根據(jù)表格得到當(dāng)x=?1時(shí)，mx?n=8，再根據(jù)等式性質(zhì)進(jìn)行變形即可求解，掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由表格得當(dāng)x=?1時(shí)，mx?n=8，等式兩邊同乘?1，得?mx+n=8，所以關(guān)于x的方程?mx+n=8的解為x=?1，故答案為：?1．3．若x=2是方程8?3x=ax的解，則a=．【答案】1【分析】本題考查了方程的解，解題的關(guān)鍵是掌握使方程兩邊相等的未知數(shù)的值是方程的解．將x=2代入原方程進(jìn)行解答即可．【詳解】解：把x=2代入8?3x=ax得：8?3×2=2a，解得：a=1，故答案為：1．4．若x=0.5是關(guān)于x的方程2ax?3b?5=0的解，則代數(shù)式3a?9b?10=．【答案】5【分析】本題考查一元一次方程，解題的關(guān)鍵是正確理解一元一次方程的解的概念，本題屬于基礎(chǔ)題型．將x=0.5代入原方程即可求出a?3b=5，然后將其整體代入求值．【詳解】解：將x=0.5代入原方程可得：a?3b=5，∴3a?9b?10=3a?3b故答案為：5題型四解一元一次方程

例題：解下列方程：(1)3x=2x+1；(2)3x+2=42x+3(3)x?23?3x+14=2【答案】(1)x=1(2)x=?2(3)x=?7(4)x=?【分析】本題考查了解一元一次方程，解一元一次方程的步驟為：去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1，熟練掌握解一元一次方程的步驟是解此題的關(guān)鍵（1）先移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、最后合并同類項(xiàng)即可得到答案；（2）根據(jù)去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1，計(jì)算即可得到答案；（3）根據(jù)解一元一次方程的步驟：去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1，計(jì)算即可得到答案；（4）根據(jù)解一元一次方程的步驟：去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1，計(jì)算即可得到答案．【詳解】（1）3x=2x+1移項(xiàng)，得：3x?2x=1，合并同類項(xiàng)，得：x=1，（2）3x+2=4去括號，得：3x+2=8x+12，移項(xiàng)，得：3x?8x=12?2，合并同類項(xiàng)，得：?5x=10，系數(shù)化成1，得：x=?2；（3）x?2去分母，得：4x?2去括號，得：4x?8?9x?3=24，移項(xiàng)，得：4x?9x=24+3+8，合并同類項(xiàng)，得：?5x=35，系數(shù)化成1，得：x=?7；（4）0.2?x整理，得：2?10x3去分母，得：252?10x去括號，得：50?250x?112.5=30?90x，移項(xiàng)，得：?250x+90x=30?50+112.5，合并同類項(xiàng)，得：?160x=92.5，系數(shù)化成1，得：x=?37鞏固訓(xùn)練

1．下列各題正確的是（

）A．由7x=4x?3移項(xiàng)得7x?4x=3B．由2x?13=1+C．由22x?1?3D．由2x+1=x+7【答案】D【分析】本題考查解一元一次方程，涉及解一元一次方程的方法步驟：去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1等，根據(jù)解一元一次方程的步驟逐項(xiàng)驗(yàn)證即可得到答案，熟記一元一次方程的解法步驟是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、由7x=4x?3移項(xiàng)得7x?4x=?3，選項(xiàng)移項(xiàng)變號錯(cuò)誤，不符合題意；B、由2x?13=1+x?3C、由22x?1?3x?3D、由2x+1=x+7去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得故選：D．2．將3x?1?2x?3A．3x?1?2x?3=5?x B．3x?1?2x+3=5?xC．3x?3?2x?6=5?5x D．3x?3?2x+6=5?5x【答案】D【分析】本題考查了一元一次方程的解法，熟練掌握一元一次方程的解題步驟是解答本題的關(guān)鍵．去括號時(shí)，一是注意不要漏乘括號內(nèi)的項(xiàng)，二是明確括號前的符號．【詳解】解：3x?1?2x?3故選D．3．解方程：(1)5x+2=?8；(2)3x?4(2x+5)=x+4；(3)x?13?x+26=【答案】(1)x=?2(2)x=?4(3)x=4(4)x=8.6【分析】本題考查的知識點(diǎn)是解一元一次方程，根據(jù)去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1解題即可．（1）根據(jù)移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1解題即可；（2）根據(jù)去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1解題即可；（3）根據(jù)去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1解題即可；（4）先整理，然后根據(jù)去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1解題即可．【詳解】（1）解：5x+2=?8移項(xiàng)得：5x=?8?2，合并得：5x=?10，系數(shù)化為1得：x=?2；（2）3x?4(2x+5)=x+4去括號得：3x?8x?20=x+4，移項(xiàng)得：3x?8x?x=20+4，合并得：?6x=24，系數(shù)化為1得：x=?4；（3）解：x?1去分母得：2x?1去括號得：2x?2?x?2=12?3x，移項(xiàng)得：2x?x+3x=12+2+2，合并得：4x=16，系數(shù)化為1得：x=4；（4）x?2整理得：5x?2去分母得：15x?2去括號得：15x?30?10x?10=3，移項(xiàng)得：15x?10x=3+30+10，合并得：5x=43，系數(shù)化為1得：x=8.6．4．解下列方程(1)3x?4=29(2)3x?2=?5(3)4x?320?x+4=0【答案】(1)x=11(2)x=?1(3)x=8(4)x=【分析】本題主要考查了解一元一次方程：（1）按照移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1的步驟解方程即可；（2）按照去括號，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1的步驟解方程即可；（3）按照去括號，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1的步驟解方程即可；（4）按照去分母，去括號，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1的步驟解方程即可．【詳解】（1）解：3x?4=29移項(xiàng)得：3x=29+4，合并同類項(xiàng)得：3x=33，系數(shù)化為1得：x=11；（2）解：3x?2=?5去括號的：3x?2=?5x?10，移項(xiàng)得：3x+5x=?10+2，合并同類項(xiàng)得：8x=?8，系數(shù)化為1得：x=?1；（3）解：4x?3去括號的：4x?60+3x+4=0，移項(xiàng)得：4x+3x=60?4，合并同類項(xiàng)得：7x=56，系數(shù)化為1得：x=8；（4）解：x+1去分母的：2x+1去括號的：2x+2=9x?6，移項(xiàng)得：2x?9x=?6?2，合并同類項(xiàng)得：?7x=?8，系數(shù)化為1得：x=85．解方程：(1)5y+6=9?31?3y【答案】(1)y=6(2)x=【分析】本題主要考查解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的步驟是解答本題的關(guān)鍵：（1）運(yùn)用去括號，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1，求出y的值即可；（2）運(yùn)用去分母、去括號，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1，求出x的值即可；【詳解】（1）解：5y+65y+30=9?3+9y，5y?9y=9?3?30，?4y=?24，解得，y=6；（2）解：x+134x+14x+4?6x=12?6x?3，4x+6x?6x=12?4?3，4x=5，解得，x=6．解方程：(1)4?3x?1=9?x；(2)【答案】(1)x=?1(2)x=【分析】本題考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步驟是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)解一元一次方程的步驟：去括號，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1，進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)解一元一次方程的步驟：去分母，去括號，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1，進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：4?3去括號，得4?3x+3=9?x，移項(xiàng)，得?3x+x=9?4?3，合并同類項(xiàng)，得?2x=2，系數(shù)化為1，得x=?1；（2）解：2x?1去分母，得4去括號，得8x?4?12=2x?3x?9，移項(xiàng)，得8x?2x+3x=?9+4+12，合并同類項(xiàng)，得9x=7，系數(shù)化為1，得x=7題型五同解方程

例題：已知方程2x=1?22x?3的解和關(guān)于x的方程8?k=2x+5【答案】k=4【分析】本題主要考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，根據(jù)同解方程，可得關(guān)于k的方程，根據(jù)解方程可得答案．【詳解】解：2x=1?22x=1?4x+62x+4x=76x=7x=7把x=76代入8?k=28?k=4，k=4

鞏固訓(xùn)練

1．若關(guān)于x的方程2x+3m?1=0和方程5?3x+1=2同解，則m的值等于【答案】1【分析】本題考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，先根據(jù)題意，得x=0，再把x=0代入2x+3m?1=0，即可求出m的值作答．【詳解】解：∵關(guān)于x的方程2x+3m?1=0和方程5?3x+1∴由5?3x+1=2則把x=0代入2x+3m?1=0，得2×0+3m?1=0解得m=故答案為：12．若關(guān)于x的方程2x+3m?1=0和方程5?3x?1=2同解，則m的值等于【答案】－【分析】先求出方程5?3x?1=2的解，然后把這個(gè)解代入到方程2x+3m?1=0中得到關(guān)于【詳解】解：解方程5?3x?1=2得∵關(guān)于x的方程2x+3m?1=0和方程5?3x?1∴方程2x+3m?1=0的解是x=2，∴2×2+3m?1=0，解得m=?1，故答案為：－1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，正確得到關(guān)于m的方程是解題的關(guān)鍵．3．關(guān)于x的方程6x+7=19與3x=18?3m的解相同，則m等于（

）A．?4 B．?2 C．?1 D．4【答案】D【分析】本題考查了一元一次方程的解法、以及兩個(gè)方程同解的問題．先通過移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1求出方程6x+7=19的解，再將x的值代入方程3x=18?3m可得一個(gè)關(guān)于m的方程，求解即可．【詳解】解：6x+7=196x=12x=2，∵關(guān)于x的方程6x+7=19與3x=18?3m的解相同，∴3×2=18?3m，即6=18?3m，解得：m=4，故選：D．題型六一元一次方程之利潤問題

例題：某超市為了吸引消費(fèi)者，將甲種商品降價(jià)30%，乙種商品降價(jià)20(1)甲、乙兩種商品的原銷售單價(jià)各是多少元？(2)若在這次促銷活動中乙種商品仍可獲利20%【答案】(1)甲種商品原銷售單價(jià)是800元，乙種商品原銷售單價(jià)是1200元(2)乙種商品每件的進(jìn)價(jià)是800元【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題是關(guān)鍵是：（1）設(shè)甲種商品原銷售單價(jià)是x元，乙種商品原銷售單價(jià)是2000?x元．再根據(jù)等量關(guān)系“參加活動購買甲、乙兩種商品各一件，共付1520元，”建立方程，即可解題；（2）設(shè)乙種商品每件的進(jìn)價(jià)是m元，根據(jù)“這次促銷活動中乙種商品仍可獲利20%【詳解】（1）解：設(shè)甲種商品原銷售單價(jià)是x元，乙種商品原銷售單價(jià)是2000?x元，根據(jù)題意，得1?30%解得x=800，∴2000?x=1200，答：甲種商品原銷售單價(jià)是800元，乙種商品原銷售單價(jià)是1200元；（2）解：設(shè)乙種商品每件的進(jìn)價(jià)是m元，根據(jù)題意，得1200×1?20解得m=800，答：乙種商品每件的進(jìn)價(jià)是800元．鞏固訓(xùn)練

1．商店里把一件上衣按進(jìn)價(jià)加20%作為定價(jià)，可總賣不出去，后來又按定價(jià)降價(jià)20%，以192元出售．賣出后，這次生意盈虧為（A．虧48元 B．虧8元 C．不虧也不賺 D．虧12元【答案】B【分析】本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用中的經(jīng)濟(jì)問題，充分理解題意并列出方程是求解本題的關(guān)鍵.設(shè)進(jìn)價(jià)為x元，那么第一次定價(jià)為x1+20%，在此基礎(chǔ)上求出第二次減價(jià)后的價(jià)錢為【詳解】設(shè)進(jìn)價(jià)為x元由題意可得：x解得：x=200200?192=8（元）∴虧了8元故選：B.2．某商店一件衣服標(biāo)價(jià)280元，以七五折售出可獲利25%，則這件衣服的進(jìn)價(jià)是【答案】168【分析】本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意．設(shè)這件服裝的進(jìn)價(jià)為x元，然后根據(jù)題意可列方程進(jìn)行求解．【詳解】解：設(shè)這件服裝的進(jìn)價(jià)為x元，依題意得：1+25%解得：x=168，則這件服裝的進(jìn)價(jià)是168元．故答案為：168．3．列一元一次方程解實(shí)際問題：重慶某水果超市銷售沃柑和紐荷爾兩種柑橘類水果，該超市第一次用6300元購進(jìn)沃柑和紐荷爾兩種水果，其中紐荷爾的件數(shù)比沃柑件數(shù)的一半還多25件．沃柑和紐荷爾兩種水果的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表：類別沃柑紐荷爾進(jìn)價(jià)（元/件）2230售價(jià)（元/件）2940(1)該超市購進(jìn)沃柑和紐荷爾兩種水果各多少件？當(dāng)這次購進(jìn)的水果全部銷售后，共獲利多少元？(2)該超市第二次購進(jìn)沃柑和紐荷爾兩種水果的進(jìn)價(jià)與第一次相同，其中沃柑的件數(shù)不變，紐荷爾的件數(shù)是第一次的3倍，沃柑按原價(jià)銷售，紐荷爾打折銷售，第二次購進(jìn)的兩種水果都銷售完所獲得的總利潤比第一次獲得的總利潤多800元，求第二次紐荷爾是按原價(jià)打幾折銷售．【答案】(1)該超市購進(jìn)沃柑150件，紐荷爾100件，全部銷售后，共獲利2050元(2)第二次紐荷爾是按原價(jià)打9折銷售【分析】本題考查一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確的列出方程是解題的關(guān)鍵：（1）設(shè)超市購進(jìn)沃柑x件，則購進(jìn)紐荷爾12（2）設(shè)第二次紐荷爾是按原價(jià)打y折銷售，根據(jù)第二次購進(jìn)的兩種水果都銷售完所獲得的總利潤比第一次獲得的總利潤多800元，列出方程進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)超市購進(jìn)沃柑x件，則購進(jìn)紐荷爾1222x+301解得：x=150，∴12∴該超市購進(jìn)沃柑150件，紐荷爾100件；全部售出的利潤為：29?22×150+答：該超市購進(jìn)沃柑150件，紐荷爾100件，全部銷售后，共獲利2050元．（2）設(shè)第二次紐荷爾是按原價(jià)打y折銷售，由題意，得：第二次購進(jìn)沃柑150件，紐荷爾300件，由題意，得：29?22×150+解得：y=9；答：第二次紐荷爾是按原價(jià)打9折銷售．4．商品甲的成本是定價(jià)的80%；商品乙的定價(jià)是275元，成本是220元．現(xiàn)在商店把1件商品甲與2件商品乙配套出售，并且按它們的定價(jià)之和的90【答案】商品甲的成本是200元【分析】本題考查一元一次方程解應(yīng)用題，解題的關(guān)鍵是找到等量關(guān)系式．設(shè)商品甲的定價(jià)為x元，則成本是80%【詳解】解：設(shè)商品甲的定價(jià)為x元，則成本是80%依題意，得：90%解得：x=250．∴250×80%答：商品甲的成本是200元．5．近年來，隨著人們對健康生活的追求，體育健身越來越受到人們的喜愛和追捧，某體育器材專賣店的A、B兩款體育器材非常暢銷，進(jìn)貨價(jià)和銷售價(jià)如下表：A款器材B款器材進(jìn)貨價(jià)/（元/個(gè)）4030銷售價(jià)/（元/個(gè)）5645(1)該專賣店用1100元購進(jìn)了A，B兩款器材共30個(gè)，求兩款器材分別購進(jìn)多少個(gè)？(2)該專賣店進(jìn)貨時(shí)，A款器材的進(jìn)貨量是B款器材的一半，將進(jìn)貨的體育器材全部售出，共獲利潤1380元．求兩款器材分別購進(jìn)多少個(gè)？【答案】(1)購進(jìn)A款玩具20個(gè)，B款玩具10個(gè)(2)購進(jìn)A款玩具30個(gè)，則購進(jìn)B款玩具60個(gè)【分析】本題考查一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，理解題意，正確列出方程是解答的關(guān)鍵．（1）設(shè)購進(jìn)A款玩具x個(gè)，根據(jù)購進(jìn)A，B兩款玩具費(fèi)用和=1100列方程求解即可；（2）設(shè)購進(jìn)A款玩具y個(gè)，根據(jù)單件利潤=售價(jià)－進(jìn)價(jià)和A，B兩款玩具的利潤和=1380列方程求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)購進(jìn)A款玩具x個(gè)，則購進(jìn)B款玩具30?x個(gè)由題意得：40x+30解得：x=20，30?20=10答：購進(jìn)A款玩具20個(gè)，B款玩具10個(gè)．（2）解：設(shè)購進(jìn)A款玩具y個(gè)，則購進(jìn)B款玩具2y個(gè)由題意得：56?40解得：y=302×30=60答：購進(jìn)A款玩具30個(gè)，則購進(jìn)B款玩具60個(gè)．

題型七一元一次方程之工程問題例題：列一元一次方程解應(yīng)用題新蒲新區(qū)某校舉辦體育文化藝術(shù)節(jié)，七（2）班為了宣傳班上開展的活動，由甲、乙兩位同學(xué)制作宣傳展板．已知甲同學(xué)單獨(dú)完成需要4天，乙同學(xué)單獨(dú)完成需要6天．(1)甲、乙合作需要______天完成；(2)若由乙同學(xué)先做1天，再由甲、乙兩位同學(xué)合作完成．問還需幾天可以完成展板的制作？【答案】(1)2.4(2)2【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解．（1）設(shè)工作總量為1，根據(jù)工作時(shí)間=工作總量÷工作效率和，列式即可求解．（2）設(shè)乙先做1天，再兩人一起做，還需x天完成這項(xiàng)工作，根據(jù)等量關(guān)系：甲完成的工作量+乙完成的工作量=工作總量，列出方程即可求解．【詳解】（1）1÷(14+答：兩個(gè)人一起做，需要2.4天可以完成．故答案為2.4；（2）設(shè)乙先做1天，再兩人一起做，還需x天完成這項(xiàng)工作，由題意可得：x+16解得：x=2．答：還需2天可以完成這項(xiàng)工作．鞏固訓(xùn)練

1．完成某項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需12天完成，乙單獨(dú)做需8天完成.現(xiàn)在甲先做了3天，乙再參加合做，求完成這項(xiàng)工程甲、乙合做了多少天.若設(shè)完成此項(xiàng)工程甲、乙合做了x天，則下列方程中正確的是（）A．x+312+xC．x12+x【答案】A【分析】本題考查了列一元一次方程解決實(shí)際問題，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確建立方程是解題關(guān)鍵．將這項(xiàng)工程的工程量看作為“1”，從而可得甲每天完成的工程量為112，乙每天完成的工程量為1【詳解】解：將這項(xiàng)工程的工程量看成“1”，則甲每天完成的工程量為112，乙每天完成的工程量為1由題意得：x+3故選：A．2．一項(xiàng)工程，由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)合作完成．已知甲工程隊(duì)單獨(dú)完成需要4天，乙工程隊(duì)單獨(dú)完成需要6天．(1)甲、乙合作需要______天完成；(2)若先由乙工程隊(duì)單獨(dú)做1天，再由甲、乙兩隊(duì)合作完成．問還需幾天可以完成這項(xiàng)工程？【答案】(1)12(2)2天【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，涉及工作總量、工作時(shí)間、工作效率等知識內(nèi)容，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)甲乙合作需要x天完成，因?yàn)榧坠こ剃?duì)單獨(dú)完成需要4天，乙工程隊(duì)單獨(dú)完成需要6天，則14（2）依題意，設(shè)還需要y天，因?yàn)橐夜こ剃?duì)單獨(dú)做1天，再由甲、乙兩隊(duì)合作完成，所以y+16【詳解】（1）解：設(shè)甲乙合作需要x天完成，依題意：14解得x=12所以需要125（2）解：設(shè)還需要y天：依題意，y+16解得y=2，故還需要2天．3．哈佳高鐵建設(shè)工程中，有一路段由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)負(fù)責(zé)完成．甲工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需60天，比乙工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程多用30天，若甲先施工6天，再由甲、乙合作完成剩余工程．(1)甲、乙還需要合作多少天完成？(2)如果甲工程隊(duì)每天需工程費(fèi)500元，乙工程隊(duì)每天需工程費(fèi)700元，若甲隊(duì)先單獨(dú)工作若干天再由乙工程隊(duì)完成剩余的任務(wù)，支付工程隊(duì)總費(fèi)用24000元，求甲隊(duì)工作的天數(shù)．【答案】(1)甲、乙還需要合作30天完成(2)甲隊(duì)工作20天【分析】此題考查了一元一次方程的應(yīng)用，分析題意，找到合適的等量關(guān)系，列出方程是解決問題的關(guān)鍵．（1）設(shè)甲、乙還需要合作x天完成，根據(jù)“甲先施工6天，再由甲、乙合作完成剩余工程”列出方程即可求解；（2）設(shè)甲隊(duì)工作的天數(shù)為y，則乙工作的天數(shù)為1?y60÷【詳解】（1）解：設(shè)甲、乙還需要合作x天完成，由題意得，160解得：x=18，答：甲、乙還需要合作18天完成；（2）設(shè)甲隊(duì)工作的天數(shù)為y，則乙工作的天數(shù)為1?y由題意得，500y+70030?解得：y=20，答：甲隊(duì)工作20天．4．勞動教育課程已經(jīng)成為中小學(xué)生的必修課，被納入人才培養(yǎng)的全過程．云南某中學(xué)整理學(xué)生的勞技作品，由一名老師整理要45h完成．現(xiàn)計(jì)劃由一部分老師先做1h，然后再增加3名老師與他們一起做【答案】應(yīng)先安排5人工作【分析】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程，利用方程的知識解答．根據(jù)題意，設(shè)應(yīng)先安排x人工作，則x人先做1h完成這項(xiàng)工作的x45，增加3人與他們一起做5h，完成這項(xiàng)工作的5x+345，由相等關(guān)系：x人先做1h完成的工作【詳解】解：設(shè)應(yīng)先安排x老師整理，x45解得，x=5，答：應(yīng)先安排5人工作．

題型八一元一次方程之行程問題

例題：周末，小明和爸爸在3000m的環(huán)形綠道上騎車鍛煉，他們在同一地點(diǎn)沿著同一方向同時(shí)出發(fā)，騎行結(jié)束后兩人有如圖所示的對話．(1)請根據(jù)他們的對話內(nèi)容，求出小明的騎行速度；(2)爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，再經(jīng)過多少分鐘，小明和爸爸在跑道上相距1000m？【答案】(1)300(2)103min【分析】本題考查一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，讀懂題意找準(zhǔn)等量關(guān)系列出一元一次方程是解題關(guān)鍵．（1）設(shè)小明的騎行速度xm/min（2）設(shè)在第二次相遇前，再經(jīng)過ymin，小明和爸爸在跑道上相距1000m【詳解】（1）解：設(shè)小明的騎行速度為xm/根據(jù)題意，得：10(2x?x)=3000解得：x=300答：小明的騎行速度為300m（2）解：設(shè)在第二次相遇前，再經(jīng)過ymin，小明和爸爸在綠道上相距①爸爸又比小明多騎了1000m根據(jù)題意，得：2×300y?300y=1000解得：y=10②爸爸又比小明多騎了3000?1000根據(jù)題意，得：2×300y?300y=3000?1000解得：y=20答：在第二次相遇前，再經(jīng)過103min或203鞏固訓(xùn)練

1．如圖，沿著邊長為90米的正方形，按A→B→C→D→A??????方向，甲從A以63米/分的速度，乙從B以72米/分的速度同時(shí)行走，當(dāng)乙第一次追上甲時(shí)是在正方形的某個(gè)頂點(diǎn)處，則這個(gè)頂點(diǎn)是（

）A．頂點(diǎn)A B．頂點(diǎn)B C．頂點(diǎn)C D．頂點(diǎn)D【答案】B【分析】設(shè)乙第一次追上甲用了x分鐘，則有乙行走的路程等于甲行走的路程加上90×3，根據(jù)其相等關(guān)系列方程得72x=63x+90×3，再根據(jù)72=7×360+4×90可得出答案．本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系．【詳解】解︰設(shè)乙第一次追上甲用了x分鐘，由題意得∶72x=63x+90×3，解得∶x=30，而72×30=5×360+4×90．所以乙第一次追上甲時(shí)是在正方形的頂點(diǎn)B處．故選∶B．2．輪船往返A(chǔ)、B兩港之間，逆水航行需要3小時(shí)，順?biāo)叫行枰?小時(shí)，水流速度為3千米/時(shí)，則船在靜水中的速度是【答案】15【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，逆水速度=靜水速度?水流速度；順?biāo)俣?靜水速度+水流速度是船航行之類的題中的必備內(nèi)容．設(shè)船在靜水中的速度是x千米/時(shí)，則逆水航行的速度為x?3千米/時(shí)，順?biāo)叫械乃俣葹閤+3千米/時(shí)，根據(jù)逆水航行需要3小時(shí)，順?biāo)叫行枰?小時(shí)，列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)船在靜水中的速度是x千米/時(shí)，則逆水航行的速度為x?3千米/時(shí)，順?biāo)叫械乃俣葹閤+3千米/時(shí)，根據(jù)題意得：3x?3解得：x=15，故答案為：15．3．A、B兩地相距64千米，甲從A地出發(fā)，每小時(shí)行14千米，乙從B地出發(fā)，每小時(shí)行18千米．若兩人同時(shí)出發(fā)相向而行，則需幾小時(shí)兩人相距16千米？【答案】1.5或2.5小時(shí)【分析】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握相遇問題和追及問題的列式方法．設(shè)兩人同時(shí)出發(fā)相向而行，需x小時(shí)兩人相距16千米，分兩種情況進(jìn)行解答：第一種情況：當(dāng)兩人沒有相遇他們相距16千米，列出方程：14+18x+16=64；第二種情況：當(dāng)兩人相遇之后他們相距16千米，列出方程：14+18【詳解】解：設(shè)兩人同時(shí)出發(fā)相向而行，需x小時(shí)兩人相距16千米．第一種情況：當(dāng)兩人沒有相遇他們相距16千米，依題意可得：14+18x+16=64，解得：x=1.5第二種情況：當(dāng)兩人相遇之后他們相距16千米，依題意可得：14+18x=64+16，解得：x=2.5答：若兩人同時(shí)出發(fā)相向而行，則需1.5或2.5小時(shí)兩人相距16千米．4．一群驢友排成一列在野外旅游，隊(duì)長在隊(duì)伍中，數(shù)了一下他前后的人數(shù)，發(fā)現(xiàn)前面的人數(shù)是后面的兩倍，他往前超了7位驢友，發(fā)現(xiàn)前面的人數(shù)和后面的人數(shù)一樣．(1)這群驢友一共有多少人？(2)這群驢友要過一座320米長的獨(dú)木橋，為安全起見，相鄰兩個(gè)驢友間保持固定的距離，行走速度為5米/分，從第一位驢友剛上橋到全體通過獨(dú)木橋用了106分鐘時(shí)間，請問相鄰兩位驢友間的距離是多少米？【答案】(1)43人(2)5米【分析】此題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意得出正確的等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意假設(shè)隊(duì)長前面有2x人，則后面有x人，利用他往前超了7位驢友，發(fā)現(xiàn)前面的人數(shù)和后面的人數(shù)一樣得出等式求出即可；（2）設(shè)相鄰兩個(gè)驢友間的距離是y米，根據(jù)題意，表示出這群驢友行走的總距離進(jìn)而得出等式求出即可．【詳解】（1）解：設(shè)隊(duì)長前面有2x人，則后面有x人，由題意，得：2x?7=x+7，解得：x=14，∴2×14+1+14=43（人）；答：這群驢友一共有43人；（2）設(shè)相鄰兩個(gè)驢友間的距離是y米，由題意，得：320+42y=5×106，解得：y=5；答：相鄰兩位驢友間的距離是5米．5．一只救生船從港口開到出事地點(diǎn)要行840千米，船速每小時(shí)20千米，船上一架直升飛機(jī)，每小時(shí)可飛行220

千米，中途飛機(jī)起飛，提前到出事地點(diǎn)，這樣從船離港到飛機(jī)到達(dá)出事地點(diǎn)一共用了10小時(shí)，飛機(jī)在船離港后多長時(shí)間起飛？【答案】6.8小時(shí)【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，理解題意，找出等量關(guān)系，正確列出方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)飛機(jī)在船離港后x小時(shí)起飛，則飛機(jī)飛行時(shí)間為10?x小時(shí)，根據(jù)飛機(jī)坐船航行路程+飛行路程=總路程列方程為20x+22010?x【詳解】解：設(shè)飛機(jī)在船離港后x小時(shí)起飛，則飛機(jī)飛行時(shí)間為10?x小時(shí)，根據(jù)題意，得20x+22010?x解得：x=6.8，答：飛機(jī)在船離港后6.8小時(shí)起飛．

題型九一元一次方程之方案設(shè)計(jì)問題

例題：當(dāng)今社會，隨著生活水平的提高，人們越來越重視自己的身心健康，開始注重鍛煉身體．某公司計(jì)劃購買50個(gè)羽毛球拍和x個(gè)羽毛球，某體育用品商店每個(gè)羽毛球拍定價(jià)80元，每個(gè)羽毛球定價(jià)5元，經(jīng)協(xié)商擬定了如下兩種優(yōu)惠方案（兩種優(yōu)惠方案不可混用）：方案一：每買一個(gè)羽毛球拍就贈送2個(gè)羽毛球；方案二：羽毛球拍和羽毛球都按定價(jià)的90%(1)若x=100，請計(jì)算哪種方案劃算；(2)若x>100，請用含x的代數(shù)式分別把兩種方案的費(fèi)用表示出來；(3)請你幫助公司寫出x取值不同時(shí)的所有劃算的購買方案．【答案】(1)方案一劃算(2)方案一、方案二的費(fèi)用用代數(shù)式分別表示為5x+3500元，4.5x+3600元(3)當(dāng)0<x≤88時(shí)，方案二劃算；當(dāng)89≤x<200時(shí)，方案一劃算；當(dāng)x=200時(shí)，方案一和方案二一樣劃算；當(dāng)x>200時(shí)，方案二劃算【分析】本題考查了有理數(shù)混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用，列代數(shù)式，一元一次方程的應(yīng)用，理解題意是解題關(guān)鍵．（1）分別求出x=100時(shí)，兩種優(yōu)惠方案的費(fèi)用，比較即可求解；（2）根據(jù)兩種優(yōu)惠方案分別列式即可；（3）若方案一和方案二的費(fèi)用相等，當(dāng)x≤100時(shí)，方案一不需要單獨(dú)再購買羽毛球，列方程求得x=8009；當(dāng)x>100時(shí)，方案一和方案二都需要單獨(dú)購買羽毛球，列方程求得【詳解】（1）解：當(dāng)x=100時(shí)，方案一：80×50=4000（元）．方案二：80×50×90%因?yàn)?000<4050，所以當(dāng)x=100時(shí)，方案一劃算．答：若x=100，方案一劃算．（2）解：當(dāng)x>100時(shí)，方案一：80×50+x?100方案二：80×50×90%答：方案一、方案二的費(fèi)用用代數(shù)式分別表示為5x+3500元，4.5x+3600元．（3）解：若方案一和方案二的費(fèi)用相等，當(dāng)x≤100時(shí)，方案一不需要單獨(dú)再購買羽毛球，可得50×80=50×80+5x解得x=800因?yàn)?8<800所以，當(dāng)0<x≤88時(shí)，方案二劃算；當(dāng)89≤x≤100時(shí)，方案一劃算；當(dāng)x>100時(shí)，方案一和方案二都需要單獨(dú)購買羽毛球，可得50×80+5x?100解得x=200．所以，當(dāng)100<x<200時(shí)，方案一劃算；當(dāng)x=200時(shí)，方案一和方案二一樣劃算；當(dāng)x>200時(shí)，方案二劃算．綜上可知，當(dāng)0<x≤88時(shí)，方案二劃算；當(dāng)89≤x<200時(shí)，方案一劃算；當(dāng)x=200時(shí)，方案一和方案二一樣劃算；當(dāng)x>200時(shí)，方案二劃算．鞏固訓(xùn)練

1．某數(shù)學(xué)興趣小組研究我國古代《算法統(tǒng)宗》里這樣一首詩：我問開店李三公，眾客都來到店中，房客共六三，大比小多二一．后半部分的意思是：房客共有63人，大人比小孩多21人．(1)求該房客大人，小孩各有多少人？(2)假設(shè)店主李三公推出兩種訂房方案：方案一：房客超過40人，超過的按原價(jià)八折優(yōu)惠，方案二：大人原價(jià)，小孩半價(jià)．若詩中“眾客”再次一起入住，他們選擇哪種方案訂房更合算？【答案】(1)房客中大人有42人，小孩有21人(2)方案二【分析】本題考查一元一次方程解實(shí)際應(yīng)用題，最優(yōu)方案選擇等知識，讀懂題意，列出方程求解，進(jìn)而由方案計(jì)算費(fèi)用比較大小是解決問題的關(guān)鍵．（1）設(shè)房客中小孩有x人，則大人有x+21人，由總?cè)藬?shù)為63人列一元一次方程求解即可得到答案；（2）設(shè)每人收費(fèi)相同，為a元，根據(jù)兩種方案，求出費(fèi)用比較大小即可得到答案．【詳解】（1）解：設(shè)房客中小孩有x人，則大人有x+21人，∴x+x+21=63，解得則x+21=42，答：房客中大人有42人，小孩有21人；（2）解：設(shè)每人收費(fèi)相同，為a元，方案一費(fèi)用：40a+0.8a×63?40方案二費(fèi)用：42a+21×1∵58.4a>52.5a，∴若詩中“眾客”再次一起入住，他們選擇方案二訂房更合算．2．甲地欲往外地運(yùn)輸一批水果，有火車和汽車兩種運(yùn)輸方式，運(yùn)輸過程中的損耗均為200元/時(shí)，其它主要參考數(shù)據(jù)如下：運(yùn)輸工具途中平均速度（千米/時(shí)）運(yùn)費(fèi)（元/千米）裝卸費(fèi)（元）火車100152000汽車8020900(1)如果運(yùn)往乙地，汽車的費(fèi)用比火車的費(fèi)用多1100元，求甲、乙兩地間的路程；（費(fèi)用包含損耗、運(yùn)費(fèi)和裝卸費(fèi)）(2)如果運(yùn)往丙地，已知甲、丙兩地間的路程為100千米，通過計(jì)算選擇哪種運(yùn)輸方式比較合算．【答案】(1)400千米；(2)選擇汽車運(yùn)輸比較合算．【分析】（1）設(shè)甲、乙兩地間的路程為x千米，根據(jù)題意列出方程即可求解；（2）分別求出兩種方式的運(yùn)輸費(fèi)用，再比較即可求解；本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：設(shè)甲、乙兩地間的路程為x千米，由題意得，200×x解得x=400，答：甲、乙兩地間的路程為400千米；（2）解：選擇火車運(yùn)輸?shù)馁M(fèi)用為200×100選擇汽車運(yùn)輸?shù)馁M(fèi)用為200×100∵3150<3700，∴選擇汽車運(yùn)輸比較合算．3．2024年4月1日?15日，是第41屆中國洛陽牡丹文化節(jié)，某旅游酒店計(jì)劃印制一批彩色宣傳冊．現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)廣告公司提供印制業(yè)務(wù)．甲公司的收費(fèi)方式為每套彩色宣傳冊按定價(jià)5元的九折收費(fèi)，另收取1500元的服務(wù)費(fèi)；乙公司的收費(fèi)方式為每套彩色宣傳冊按定價(jià)5元收費(fèi)，1500元的服務(wù)費(fèi)按六折優(yōu)惠，且甲、乙兩個(gè)廣告公司都規(guī)定一次印制數(shù)量不少于1000冊．(1)設(shè)共印制彩色宣傳冊xx≥1000套．甲廣告公司收費(fèi)元乙廣告公司收費(fèi)元（用含x(2)該旅游酒店選用哪個(gè)廣告公司所需費(fèi)用較少?請通過計(jì)算說明．【答案】(1)4.5x+1500，5x+900(2)當(dāng)印制數(shù)量多與1200冊時(shí)，甲廣告公司費(fèi)用較少；當(dāng)印制數(shù)量為1200冊時(shí)，甲、乙廣告公司費(fèi)用相同；當(dāng)印制數(shù)量大于等于1000冊且少與1200冊時(shí)，乙廣告公司費(fèi)用最少【分析】本題考查了列代數(shù)式、一元一次方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，理解題意，找準(zhǔn)熟練關(guān)系，正確列出一元一次方程或一元一次不等式是解此題的關(guān)鍵．（1）由甲、乙公式的收費(fèi)方式分別進(jìn)行計(jì)算即可得出答案；（2）分三種情況：若甲廣告公司收費(fèi)少，若甲、乙廣告公司收費(fèi)相同，若乙廣告公司收費(fèi)少，分別列出一元一次方程或一元一次不等式，求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)共印制彩色宣傳冊xx≥1000甲廣告公司收費(fèi)5×0.9x+1500=4.5x+1500乙廣告公司收費(fèi)5x+1500×0.6=5x+900（2）解：若甲廣告公司收費(fèi)少，則4.5x+1500<5x+900，解得：x>1200；若甲、乙廣告公司收費(fèi)相同，則4.5x+1500=5x+900，解得：x=1200，若乙廣告公司收費(fèi)少，則4.5x+1500>5x+900，解得：1000≤x<1200；綜上所述，當(dāng)印制數(shù)量多與1200冊時(shí)，甲廣告公司費(fèi)用較少；當(dāng)印制數(shù)量為1200冊時(shí)，甲、乙廣告公司費(fèi)用相同；當(dāng)印制數(shù)量大于大于1000冊且少與1200冊時(shí)，乙廣告公司費(fèi)用最少．4．小王看到兩個(gè)商場的促銷信息如圖所示．(1)當(dāng)一次性購物標(biāo)價(jià)總額是200元時(shí)，在甲、乙商場實(shí)際付款分別是多少元？(2)當(dāng)標(biāo)價(jià)總額是多少元時(shí)，在甲、乙商場購物實(shí)際付款一樣多？(3)小王兩次到乙商場分別購買標(biāo)價(jià)98元和150元的商品，如果他想只去一次該商場購買這些商品，你能幫他計(jì)算可以節(jié)省多少元嗎？【答案】(1)甲超市付款180元，乙超市付款190元(2)240元(3)18.1元【分析】本題考查一元一次方程的應(yīng)用．（1）根據(jù)圖中的信息，可以分別計(jì)算出在兩家超市需要付款的金額；（2）根據(jù)題意和圖中的信息，可以列出相應(yīng)的方程，然后求解即可；（3）根據(jù)題意可以計(jì)算兩種情況下的實(shí)際付款金額，然后作差即可．解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出等量關(guān)系，列出相應(yīng)的方程．【詳解】（1）解：由題意可得，當(dāng)一次性購物標(biāo)價(jià)總額是200元時(shí)，在甲超市需付款：200×0.9=180（元），在乙超市需付款：200×0.95=190（元），答：當(dāng)一次性購物標(biāo)價(jià)總額是200元時(shí)，甲超市付款180元，乙超市付款190元；（2）由圖中的信息可知，只有當(dāng)購物標(biāo)價(jià)總額超過200元時(shí)，兩家超市才可能付款總金額相等，設(shè)當(dāng)標(biāo)價(jià)總額是x元時(shí)，甲、乙超市實(shí)付款一樣，由題意可得：0.9x=200×0.92+x?200解得x=240，答：當(dāng)標(biāo)價(jià)總額是240時(shí)，甲、乙超市實(shí)付款一樣；（3）由題意可得，小王兩次到乙超市分別購物標(biāo)價(jià)98元和150元時(shí)，需要付款：98+150×0.95=240.5（元），小王一次性到乙超市購物標(biāo)價(jià)98+150=248元的商品，需要付款：200×0.92+248?200240.5﹣答：可以節(jié)省18.1元．

題型十一元一次方程之?dāng)?shù)軸動點(diǎn)問題

例題：如圖，已知數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為6，B是數(shù)軸上在點(diǎn)A左側(cè)的一點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)間的距離為10．動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒6個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為tt>0(1)數(shù)軸上點(diǎn)B表示的數(shù)是______；(2)動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒4個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動，若點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)．求：①當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動多少秒時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇？②當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動多少秒時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q間的距離為8個(gè)單位長度？【答案】(1)?4(2)①5秒；②運(yùn)動1秒或9秒．【分析】本題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離和一元一次方程的應(yīng)用，（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離即可解答；（2）①根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離結(jié)合行程問題的特點(diǎn)列出方程求解；②根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離結(jié)合行程問題的特點(diǎn)分情況列出方程求解．【詳解】（1）解：∵數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為6，∴OA=6，則OB=AB?OA=4，∵點(diǎn)B在原點(diǎn)左邊，∴數(shù)軸上點(diǎn)B所表示的數(shù)為?4，故答案為：?4；（2）解：①點(diǎn)P運(yùn)動t秒時(shí)追上點(diǎn)Q，根據(jù)題意得6t=10+4t，解得t=5，答：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動5秒時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇；②當(dāng)P不超過Q時(shí)，則10+4t?6t=8，解得t=1；當(dāng)P超過Q時(shí)，則10+4t+8=6t，解得t=9；答：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動1或9秒時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q間的距離為8個(gè)單位長度．鞏固訓(xùn)練

1．如圖，已知數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為4，點(diǎn)B是數(shù)軸上在點(diǎn)A左側(cè)的一點(diǎn)，且A、B兩點(diǎn)間的距離為8，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動．（1）數(shù)軸上點(diǎn)B表示的數(shù)是；（2）運(yùn)動1秒時(shí)，點(diǎn)P表示的數(shù)是；（3）動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動，若點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動秒時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇．【答案】（1）?4（2）2（3）8【分析】本題考查了數(shù)軸的應(yīng)用和一元一次方程的應(yīng)用——行程問題，（1）由AB的長、點(diǎn)A表示的數(shù)及點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)，可求出點(diǎn)B表示的數(shù)；（2）利用1秒后點(diǎn)P表示的數(shù)=點(diǎn)A表示的數(shù)?點(diǎn)P運(yùn)動的速度×運(yùn)動時(shí)間，即可求出結(jié)論；（3）設(shè)當(dāng)運(yùn)動時(shí)間為t秒時(shí)，點(diǎn)P表示的數(shù)為4?2t，點(diǎn)Q表示的數(shù)為?4?t，由點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇，即可得出關(guān)于t的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)A表示的數(shù)為4，點(diǎn)B是數(shù)軸上在點(diǎn)A左側(cè)的一點(diǎn)，且A、B兩點(diǎn)間的距離為8，∴點(diǎn)B表示的數(shù)為4?8=?4，故答案為：?4；（2）∵動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動，∴運(yùn)動1秒時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動了2×1=2個(gè)單位長度，此時(shí)點(diǎn)P表示的數(shù)為4?2=2，故答案為：2（3）設(shè)當(dāng)運(yùn)動時(shí)間為t秒時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇，此時(shí)點(diǎn)P表示的數(shù)為4?2t，點(diǎn)Q表示的數(shù)為?4?t，由題意得4?2t=?4?t，解得：t=8，∴當(dāng)運(yùn)動時(shí)間為8秒時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇，故答案為：8．2．【知識背景】數(shù)軸是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要工具，如圖①，若數(shù)軸上點(diǎn)A、點(diǎn)B表示的數(shù)分別為a，bb>a，則線段AB的長（點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離）可表示為b?a．【問題情境】數(shù)軸上三點(diǎn)A，B，C表示的數(shù)分別為a，b，c，其中A在原點(diǎn)左側(cè)，距原點(diǎn)4個(gè)單位，b是最大的負(fù)整數(shù)，C在原點(diǎn)右側(cè)，且AC=9，如圖②，動點(diǎn)M從A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動，與此同時(shí)，動點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動，一只電子狗Q從B出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動，設(shè)移動時(shí)間為t秒t>0．【問題探究】(1)a=______，b=______，c=______．(2)在數(shù)軸上是否存在一點(diǎn)P，使得AP=2BP，若存在，求點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)；若不存在，說明理由．(3)如果在C處豎立一塊擋板，當(dāng)電子狗Q到達(dá)C時(shí)，被擋板彈回，以同樣的速度向相反的方向運(yùn)動，問：當(dāng)t為何值時(shí)，電子狗Q到M，N的距離相等？并求出此時(shí)電子狗Q的位置．【答案】(1)?4(2)點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)為2或?2；(3)t=35，Q表示的數(shù)是45；t=3【分析】本題考查一元一次方程的應(yīng)用、數(shù)軸上的動點(diǎn)問題、整式的加減應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，正確列出方程解決問題．（1）A在原點(diǎn)左側(cè)，距原點(diǎn)4個(gè)單位，b是最大的負(fù)整數(shù)，C在原點(diǎn)右側(cè)，且AC=9，可得a=?4，b=?1，c=?4+9=5，（2）設(shè)點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)為x，可得AP=x??4=x+4，（3）Q從B到C需5?(?1)÷3=2（秒），分兩種情況：①0≤t≤2時(shí)，M表示的數(shù)是?4?t，N表示的數(shù)是5+2t，Q表示的數(shù)是?1+3t，2(?1+3t)=?4?t+5+2t，解得t=35，Q表示的數(shù)是45；②當(dāng)t>2時(shí)，Q表示的數(shù)是5?3(t?2)=?3t+11，2(?3t+11)=?4?t+5+2t，解得t=3，【詳解】（1）解：∵A在原點(diǎn)左側(cè)，距原點(diǎn)4個(gè)單位，b是最大的負(fù)整數(shù)，C在原點(diǎn)右側(cè)，且AC=9，∴a=?4，b=?1，c=?4+9=5，（2）解：設(shè)點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)為x，∴AP=x??4=∵AP=2BP，∴x+4=2解得：x=2或x=?2，∴點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)為2或?2；（3）解：Q從B到C需5?(?1)÷3=2①0≤t≤2時(shí)，M表示的數(shù)是?4?t，N表示的數(shù)是5+2t，Q表示的數(shù)是?1+3t，∴2(?1+3t)=?4?t+5+2t，解得t=3此時(shí)?1+3t=?1+9∴Q表示的數(shù)是45②當(dāng)t>2時(shí)，Q表示的數(shù)是5?3(t?2)=?3t+11，∴2(?3t+11)=?4?t+5+2t，解得t=3，∴?3t+11=?3×3+11=2，∴Q表示的數(shù)是2；綜上所述，t=35，Q表示的數(shù)是45；t=33．?dāng)?shù)軸上有A，B，C三點(diǎn)，給出如下定義：若其中一個(gè)點(diǎn)與其他兩個(gè)點(diǎn)的距離恰好滿足2倍的數(shù)量關(guān)系，則稱該點(diǎn)是其它兩個(gè)點(diǎn)的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．(1)如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)所表示的數(shù)分別為1，3，4，點(diǎn)B到點(diǎn)A的距離AB=，點(diǎn)B到點(diǎn)C的距離是，因?yàn)锳B是BC兩倍，所以稱點(diǎn)B是點(diǎn)A，C的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．(2)若點(diǎn)A表示數(shù)?2，點(diǎn)B表示數(shù)1，下列各數(shù)?1，2，4，6所對應(yīng)的點(diǎn)分別是C1,C2,C3(3)點(diǎn)A表示數(shù)?15，點(diǎn)B表示數(shù)為20，P數(shù)軸上一個(gè)動點(diǎn)．①若點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)，且點(diǎn)P是點(diǎn)A、B的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，求此時(shí)點(diǎn)P表示的數(shù)；②若點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)，點(diǎn)P、A、B中，有一個(gè)點(diǎn)恰好是其它兩個(gè)點(diǎn)的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，請直接寫出此時(shí)點(diǎn)P表示的數(shù)．【答案】(1)2，1(2)C(3)①?50或?103或25【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，數(shù)軸及數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離、動點(diǎn)問題，認(rèn)真理解關(guān)聯(lián)點(diǎn)的概念，分情況討論列式是解題關(guān)鍵．（1）利用數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式直接可求得；（2）根據(jù)題意求得CA與BC的關(guān)系，得到答案；（3）①根據(jù)PA=2PB或PB=2PA列方程求解；②分當(dāng)P為A、B關(guān)聯(lián)點(diǎn)、A為P、B關(guān)聯(lián)點(diǎn)、B為A、P關(guān)聯(lián)點(diǎn)三種情況列方程解答．【詳解】（1）解：∵A,B,C三點(diǎn)所表示的數(shù)分別為1,3,4，∴AB=3?1=2,BC=4?3=1，故答案是：2，1；（2）解：∵點(diǎn)A表示的數(shù)為?2，點(diǎn)B表示的數(shù)為1，C1表示的數(shù)為∴AC1=1∴BC∴C1是點(diǎn)A，B∵點(diǎn)A表示的數(shù)為?2，點(diǎn)B表示的數(shù)為1，C2∴AC2=