北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步知識(shí)歸納全冊(cè)

第一章豐富的圖形世界知識(shí)要點(diǎn)

1、幾何圖形

從實(shí)物中抽象出來的各種圖形，包括立體圖形和平面圖形。

2、點(diǎn)、線、面、體

（1）幾何圖形的組成

點(diǎn)：線和線相交的地方是點(diǎn)，它是幾何圖形中最基本的圖形。

線：面和面相交的地方是線，分為直線和曲線。

面：包圍著體的是面，分為平面和曲面。

體：幾何體也簡(jiǎn)稱體。

（2）點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體。

3、生活中的立體圖形

廠圓柱

「柱Y

生活中的立體圖形T球匚棱柱：三棱柱、四棱柱（長(zhǎng)方體、正方體）、五棱柱、……

（按名稱分）匚徘，圓錐

［棱錐

球體：由球面圍成的（球面是曲面）

圓柱：圓柱的表面展開圖是由兩個(gè)相同的圓形和一個(gè)長(zhǎng)方形連成。

圓錐：圓錐的表面展開圖是由一個(gè)圓形和一個(gè)扇形連成。

4、棱柱及其有關(guān)概念：

棱：在棱柱中，任何相鄰兩個(gè)面的交線，都叫做棱。

側(cè)棱：相鄰兩個(gè)側(cè)面的交線叫做側(cè)棱。

棱柱的上、下底面的形狀相同，側(cè)面的形狀都是長(zhǎng)方形

根據(jù)底面圖形的邊數(shù)，人們將棱柱分為三極柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它們底而圖形的

形狀分別為三角形、四邊形、五邊形、六邊形……

長(zhǎng)方體和正方體都是四棱柱。

n棱柱有兩個(gè)底面，n個(gè)側(cè)而，共（n+2）個(gè)面：3n條棱，n條例棱；2n個(gè)頂點(diǎn)。

3-3型：1種

6、截一個(gè)正方體：用一個(gè)平面去截一個(gè)正方體，截出的面可能是三角形，四邊形，五邊形，六

邊形。

7、三視圖

物體的三視圖指主視圖、俯視圖、左視圖。

主視圖：從正面看到的圖，叫做主視圖。

左視圖：從左面看到的圖，叫做左視圖。

俯視圖：從上面看到的圖，叫做俯視圖。

第二章有理數(shù)及其運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、有理數(shù)的分類正整數(shù)（自然數(shù)）

，正數(shù)1'正整數(shù)

r整,.正分?jǐn)?shù)

數(shù)負(fù)鬃數(shù)飛

理<

有理數(shù)<

正分?jǐn)?shù)1「負(fù)整數(shù)

、負(fù)數(shù).L負(fù)分?jǐn)?shù)

2、數(shù)軸：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單徼長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸（畫數(shù)軸時(shí)，要注意上述規(guī)定的

三要素缺一不可）。解題時(shí)要真正掌握數(shù)形結(jié)合的思想，并能靈活運(yùn)用。

I）任何一個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來表示

2）在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)“右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大

3）正數(shù)都大于0,負(fù)數(shù)都小于0：正.數(shù)大于一切，負(fù)數(shù)；

3、相反數(shù)：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)，零的相反數(shù)是零

.1）數(shù)a的相反數(shù)是-a（a是任意一個(gè)有理,數(shù)）

2）0的相反數(shù)是0.

3）若a、b互為相反數(shù)，則a+b=0.

4、倒數(shù)：如果a與b互為倒數(shù)，則有ab=l,反之亦成立。倒數(shù)等于本身的數(shù)是1和-1。零

沒有倒數(shù)。

5、絕對(duì)值：在數(shù)釉上，一個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，叫做該數(shù)的絕對(duì)值。數(shù)a的絕對(duì)

值記作IaI

1）對(duì)任何有理數(shù)a,總有IaI>0.

2）零的絕對(duì)值時(shí)它本身，也可看成它的相反數(shù),若|a|=a,則淪0：若|a|=-a,則延0。

3）若a>0,則Ia|=a;若a<0.則IaI=-a;若a=0,則IaI=0;

6、有理數(shù)比較大?。?）正數(shù)大于零，負(fù)數(shù)小于.零，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；

2）數(shù)軸上的兩個(gè)點(diǎn)所.表示的數(shù)，右邊的總比左邊的大：

3）兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小。

7、有理數(shù)的運(yùn)算：

（1）五種運(yùn)算：力n、減、乘、除、乘方

（2）有理數(shù)的運(yùn)算順序

先算乘方，再算乘除，最后算加減，如果有括號(hào)，就先律括號(hào)里面的，對(duì)只含乘除，

或只含加減的運(yùn)算，應(yīng)從左往右運(yùn)算。

.（3）運(yùn)算法則

1）有理數(shù)加法法則

①同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加；

,②界號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào),并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)

值：互為相反數(shù)的兩數(shù)相加得0：

2.）有理數(shù)減法法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù).即a-b=a+（-b）

3）有理數(shù)的乘法法則：兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘；任何數(shù)同

0相乘，都得0.

①.幾個(gè)不等于0的數(shù)相乘，枳的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)教.決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí),

積為負(fù)；當(dāng)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正.

2

②幾個(gè)數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)為0,積就為0.

4府理數(shù)除法法則①除以一個(gè)數(shù)等于乘上這個(gè)數(shù)的倒數(shù)；

②兩數(shù)相除同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除;0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù),

都得0.

5而理教的秉方

正數(shù)的任何次察都是正數(shù)；負(fù)數(shù)的奇次察是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次幕是正數(shù).

（4）運(yùn)算律

加法交換律a+6=b+a

加法結(jié)合律（a+b）+c=a+（b+c）

乘法交換律ab=ba

乘法結(jié)合律（ab）c=a（bc）

乘法對(duì)加法的分配律a（b+c）=ab+ac

《第三章整式及其加減》知識(shí)歸納

I.字母表示數(shù)

1）字母表示運(yùn)算律.

2）字母表示計(jì)算公式；字母可以表示任何數(shù).

2.代數(shù)式

I）概念：像4+3（x-l）,x+x+（x+1）,a+b,ab,2（m+n）,s/t等式子都是代數(shù)式，單獨(dú)?個(gè)數(shù)或?個(gè)

字母也是代數(shù)式，如-5,a,b等.

2）書寫要求：①字母與字母相乘時(shí)，乘號(hào)通常簡(jiǎn)寫作“”或省略不寫；數(shù)字與字母相乘時(shí)，數(shù)字

在前；帶分?jǐn)?shù)與字母相乘時(shí)，應(yīng)先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)后再與字母相乘：數(shù)字與數(shù)字相乘仍用

“X”

②除法一般寫成分?jǐn)?shù)形式

③如果代數(shù)式是積或商的形式，單位直接寫在后面；如果是和或差的形式，必須先把代數(shù)式用

括號(hào)括起來再寫單位。

3.整式

1）單項(xiàng)式：表示數(shù)字和字母的積，單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單項(xiàng)式.

①系數(shù)：?jiǎn)雾?xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)（包括其前面的符號(hào)）.

②次數(shù)：?jiǎn)雾?xiàng)式中，所有字母的指數(shù)的和；單獨(dú)的數(shù)字是0次單項(xiàng)式.

注意：（I）單項(xiàng)式中數(shù)與字母之間都是乘積關(guān)系，凡字母出現(xiàn)在分母中的式子一定不是單項(xiàng)式,

如1/x不是單項(xiàng)式：（2）單項(xiàng)式中不含加減運(yùn)算：（3）幾是常數(shù)，在單項(xiàng)式中相當(dāng)于數(shù)字因數(shù):

（4）定義中的“數(shù)”可以是小數(shù)，也可以是分?jǐn)?shù)、整數(shù).

2）多項(xiàng)式：兒個(gè)單項(xiàng)式的和：在多項(xiàng)式中，每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，不含字母的項(xiàng)叫常數(shù)

3

項(xiàng)；一個(gè)多項(xiàng)式含有兒項(xiàng)，就叫幾項(xiàng)式；

次數(shù)：多項(xiàng)式里，次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)，是多項(xiàng)式的次數(shù)；注意：（1）確定多項(xiàng)式的項(xiàng)時(shí)，不

要忽略它的符號(hào)；（2）關(guān)于某個(gè)字母的n次m項(xiàng)式，要求是合并同類項(xiàng)后的最簡(jiǎn)多項(xiàng)式.

3）整式：?jiǎn)雾?xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式.

4）同類項(xiàng)：①概念：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)：與它們的系數(shù)大小無

關(guān)，與字母順序無關(guān)：幾個(gè)常數(shù)也是同類項(xiàng).

②合并同類項(xiàng)法則：同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變.

4整式的加減:

1）整式加減是求幾個(gè)整式的和或差的運(yùn)算，其實(shí)質(zhì)是去括號(hào)，合并同類項(xiàng)

2）法則：幾個(gè)整式相加減，用拈號(hào)把每一個(gè)整式括起來，再用加減號(hào)連接，然后去括號(hào)，合并

同類項(xiàng).

3）化簡(jiǎn)求值：一是相加減化簡(jiǎn)，二是用具體數(shù)值代替整式中的字母，三是按式子的運(yùn)算關(guān)系計(jì)

算，計(jì)算其結(jié)果.

第四章基本平面圖形知識(shí)梳理（北師大七年級(jí)上冊(cè)）

一、知識(shí)梳理：

1、線段：繃緊的琴弦，人行橫道線都可以近似的看做線段，線段有兩個(gè)端點(diǎn)，可以

度量；射線：將線段向一個(gè)方向無限延長(zhǎng)就形成了射線，射線有一個(gè)端點(diǎn)，不可度

量；

直線：將線段向兩個(gè)方向無限延長(zhǎng)就形成了直線，直線沒有端點(diǎn)，不可度量.

2.點(diǎn)、直線、射線和線段的表示：

一個(gè)點(diǎn)可以用一個(gè)大寫字母表示；A

一條直線可以用一個(gè)小寫字母表示或用直線上兩個(gè)點(diǎn)的大寫字母表示：

一條射線一般用兩個(gè)大寫字母表示，用端點(diǎn)和射線上另一點(diǎn)來表示（端點(diǎn)字母寫在

前面）；

一條線段可以用一個(gè)小寫字母表示或用它的端點(diǎn)的兩個(gè)大寫字母來表示.

3.點(diǎn)和直線的位置關(guān)系有兩種：①點(diǎn)在直線上，或者說直線經(jīng)過這個(gè)點(diǎn)；

②點(diǎn)在直線外，或者說直線不經(jīng)過這個(gè)點(diǎn).

4、直線的性質(zhì)：

①經(jīng)過兩個(gè)點(diǎn)有且只有一條直線（兩點(diǎn)確定一條直線）；

②過一點(diǎn)的直線有無數(shù)條.

5、線段的性質(zhì)：

4

①兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短（兩點(diǎn)間線段最短）.

②兩點(diǎn)之間的距離：兩點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)度，叫做這兩點(diǎn)之間的距離.

③線段的中點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等。（線段上點(diǎn)M把線段AB分成相等的兩條相等的

線段AM與BM,點(diǎn)M叫做線段AB的中點(diǎn).

6、角：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，兩條射線的公共端點(diǎn)叫做這個(gè)角

的頂點(diǎn)，這兩條射線叫做這個(gè)角的邊。或：角也可以看成是一條射線繞著它的端

點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的。

7、角的分類：

平角：一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終邊和始邊成一條直線時(shí)，所形成的角叫做

平角；

周角：一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，終邊與始邊重合時(shí)，所形成的角叫做周角.

8、角的表示：

①用一個(gè)大寫英文字表示一個(gè)獨(dú)立（在一個(gè)頂點(diǎn)處只有一個(gè)角）的角，如NB等：

②用三個(gè)大寫英文字母表示任一個(gè)角，如NBAD,ZBAE,ZCAE等（注意：用三個(gè)

大寫英文字母表示角時(shí)，一定要把頂點(diǎn)字母寫在中間，邊上的字母寫在兩側(cè)）；

③用數(shù)字表示單獨(dú)的角，如/I,Z2,N3等；

④用小寫的希臘字母表示單獨(dú)的一個(gè)角，如Na,NB,Zy,N。等.

9、角的度量：把一個(gè)平角180等分，每一份就是1度的角，單位是度，用”

表示，1度記作1°;

把廣的角60等分，每一份叫做1分的角，1分記作1'；

把1'的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒記作1”.

換算：1°=60',V=60"

直角三角板（45°,45°,90°,30°,600,900）可畫出

15°,75°,105°,120°,135°,150°,165°等，都是15的倍數(shù)。

10、角的性質(zhì):

①角的大小與邊的長(zhǎng)短無關(guān)；

②角的大小可以度量，可以比較；

③角可以參與運(yùn)算.

例：8點(diǎn)15分時(shí)，時(shí)針與分針的夾角是多少度？

5

解析一：8點(diǎn)15分記作8DC11時(shí)，夾角為：8?30-15?6=157.544

解析二：由于時(shí)針與分針每分鐘差5.5°,故夾角為：8?30-15?5.5=157.5

若結(jié)果大于180°,另一角度用360°減這個(gè)角度。

11、角的平分線：從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出的一條射線，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，

這條射線叫做這個(gè)角的平分線.

12、多邊形：由一些不在同一條直線上的線段依次首尾相連組成的封閉平面圖形，

叫做多邊形。

從一個(gè)邊形的同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，分別連接這個(gè)頂點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)，可以把這個(gè)n邊

形分割成(n-2)個(gè)三角形。

過n邊形一個(gè)頂點(diǎn)有(n-3)條對(duì)角線，n邊形共n(n-3)條對(duì)角線.2

15、圓：平面上一條線段繞著固定的一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)形成的圖形叫

做圓，固定的端點(diǎn)稱為圓心；

弧：圓上A、B兩點(diǎn)之間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧。

扇形：由一條弧和經(jīng)過這條弧的端點(diǎn)的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形。

圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角。

《第五章一元一次方程》知識(shí)歸納

(一)、方程的有關(guān)概念

1.方程：含有未知數(shù)的等式就叫做方程.

2.一元一次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)(元)x,未知數(shù)x的指數(shù)都是1(次)，這樣的方程叫做一

元一次方程.

例如：1700+50x=1800,2(x+1.5x)=5等都是一元一次方程.

3.方程的解：使方程中等號(hào)左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解.

注：⑴方程的解和解方程是不同的概念，方程的解實(shí)質(zhì)上是求得的結(jié)果，它是一個(gè)數(shù)

值(或幾個(gè)數(shù)值)，而解方程的含義是指求出方程的解或判斷方程無解的過程.⑵方程的解的

檢驗(yàn)方法，首先把未知數(shù)的值分別代入方程的左、右兩邊計(jì)算它們的值，其次比較兩邊的

值是否相等從而得出結(jié)論.

(二)、等式的性質(zhì)

等式的性質(zhì)(1)：等式兩邊都加上(或減去)同個(gè)數(shù)(或式子)，結(jié)果仍相等.

等式的性質(zhì)(1)用式子形式表示為：如果a=b,那么a±c=b±c

等式的性質(zhì)(2)：等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等，等式的性

6

質(zhì)（2）用式子形式表示為：如果a=b,那么ac=bc;如果a=b（c#））,那么q=2.

cc

（三）、移項(xiàng)法則：把等式一邊的某項(xiàng)變號(hào)后移到另一邊，叫做移項(xiàng).

（四）、去括號(hào)法則

I.括號(hào)外的因數(shù)是正數(shù)，去括號(hào)后各項(xiàng)的符號(hào)與原括號(hào)內(nèi)相應(yīng)各項(xiàng)的符號(hào)相同.

2.括號(hào)外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號(hào)后各項(xiàng)的符號(hào)與原括號(hào)內(nèi)相應(yīng)各項(xiàng)的符號(hào)改變.

（五）、解方程的一般步臊

1.去分母（方程兩邊同乘各分母的最小公倍數(shù)）.

2.去括號(hào)（按去括號(hào)法則和分配律）.

3.移項(xiàng)（把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程一邊，其他項(xiàng)都移到方程的另一邊，移項(xiàng)要變號(hào)）.

4.合并（把方程化成ax=b（a，O）形式）

5.系數(shù)化為1（在方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)a,得到方程的解x=，.

一、列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟

（1）審題：弄清題意.

（2）找出等量關(guān)系：找出能夠表示本題含義的相等關(guān)系.

（3）設(shè)出未知數(shù)，列出方程：設(shè)出未知數(shù)后，表示出有關(guān)的含字母的式子，然后利用已找

出的等量關(guān)系列出方程.

（4）解方程：解所列的方程，求出未知數(shù)的值.

（5）檢驗(yàn)，寫答案：檢驗(yàn)所求出的未知數(shù)的值是否是方程的解，是否符合實(shí)際，檢驗(yàn)后寫

出答案.

二、一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用

I.和、差、倍、分問題：增長(zhǎng)量=原有量x增長(zhǎng)率現(xiàn)在量=原有量+增長(zhǎng)量

（1）倍數(shù)關(guān)系：通過關(guān)鍵詞語“是幾倍，增加幾倍，增加到幾倍，增加百分之幾,增長(zhǎng)率……”

來體現(xiàn).

（2）多少關(guān)系：通過關(guān)鍵詞語“多、少、和、差、不足、剩余……”來體現(xiàn).

2.等積變形問題：（1）“等積變形”是以形狀改變而體積不變?yōu)榍疤?常用等量關(guān)系為：①

形狀面枳變了，周氏沒變；②原料體積=成品體積.

（2）常見幾何圖形的面積、體積、周長(zhǎng)計(jì)算公式，依據(jù)形雖變，但體積不變.①圓柱體

2

的體積公式V二底面積乂高=541=111'

②長(zhǎng)方體的體積V=Kx寬＞：高=28

3.工程問題：

工程問題：工作量=工作效率x工作時(shí)間

7

完成某項(xiàng)任務(wù)的各工作量的和=總工作量=1

4.行程問題：

路程=速度x時(shí)間時(shí)間=路程+速度速度=路程+時(shí)間

（1）相遇問題：快行距+慢行距=原距

（2）追及問題：快行距一慢行距=原距

（3）航行問題：順?biāo)L(fēng)）速度=靜水（風(fēng)）速度+水流（風(fēng)）速度

逆水（風(fēng)）速度=靜水（風(fēng)）速度一水流（風(fēng)）速度

抓住兩碼頭間距離不變，水流速和船速（靜不速）不變的特點(diǎn)考慮相等關(guān)系.

5.商品銷售問題

（1）商品利潤(rùn)率=商品利潤(rùn)/商品成本價(jià)xlOO%

（2）商品銷售額=商品銷售價(jià)x商品銷售量

（3）商品的銷售利潤(rùn)=（銷售價(jià)一成本價(jià)）x銷售量

（4）商品打幾折出售，就是按原標(biāo)價(jià)的百分之幾十出售，如商品打8折出售，即按原標(biāo)價(jià)

的80%出售.有關(guān)關(guān)系式：商品售價(jià)=商品標(biāo)價(jià)x折扣率

（5）商品利潤(rùn)=商品售價(jià)一商品進(jìn)價(jià)=而品標(biāo)價(jià)x折扣率一商品進(jìn)價(jià)

6.儲(chǔ)蓄問題

⑴顧客存入銀行的錢叫做本金，銀行付給顧客的酬金叫利息，本金和利息合稱本息和，存

入銀行的時(shí)間叫做期數(shù)，利息與本金的比叫做利率.利息的20%付利息稅

⑵利息=本金x利率x期數(shù)本息和二本金+利息利息稅=利息x稅率（20%）

（3）利潤(rùn)=每個(gè)期數(shù)內(nèi)的利息/本金x100%

7.數(shù)字問題

（1）要搞清筵數(shù)的表示方法：一般可設(shè)個(gè)位數(shù)字為a