專(zhuān)題04 一次函數(shù)-2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考點(diǎn)大串講（人教版）

第第頁(yè)專(zhuān)題04一次函數(shù)（考點(diǎn)清單，5考點(diǎn)梳理+8題型解讀）清單01變量與函數(shù)1.常量、變量：在一個(gè)變化過(guò)程中,數(shù)值發(fā)生變化的量叫做變量；數(shù)值始終不變的量叫做常量。2、函數(shù)的概念：一般的，在一個(gè)變化過(guò)程中,如果有兩個(gè)變量x與y，并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說(shuō)x是自變量，y是x的函數(shù)．3.函數(shù)有三種表示形式：（1）列表法（2）圖像法（3）解析式法清單02一次函數(shù)的定義一般地，形如y=kx(k為常數(shù)，且k≠0)的函數(shù)叫做正比例函數(shù).其中k叫做比例系數(shù)。一般地，形如y=kx+b(k,b為常數(shù)，且k≠0)的函數(shù)叫做一次函數(shù).當(dāng)b=0時(shí),y=kx+b即為y=kx,所以正比例函數(shù)，是一次函數(shù)的特例.清單03一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)1.正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)（1)圖象:正比例函數(shù)y=kx(k是常數(shù)，k≠0))的圖象是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的一條直線(xiàn)，我們稱(chēng)它為直線(xiàn)y=kx。(2)性質(zhì):當(dāng)k>0時(shí),直線(xiàn)y=kx經(jīng)過(guò)第一，三象限，從左向右上升，即隨著x的增大y也增大；當(dāng)k<0時(shí),直線(xiàn)y=kx經(jīng)過(guò)二,四象限，從左向右下降，即隨著x的增大y反而減小。2.一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)一次函數(shù)[y=kx+b（k、b是常數(shù)，k≠0]概念如果y=kx+b（k、b是常數(shù)，k≠0），那么y叫x的一次函數(shù).當(dāng)b=0時(shí)，一次函數(shù)y=kx（k≠0）也叫正比例函數(shù).圖像一條直線(xiàn)性質(zhì)k＞0時(shí)，y隨x的增大(或減小)而增大(或減小)；k＜0時(shí)，y隨x的增大(或減小)而減小(或增大).直線(xiàn)y=kx+b（k≠0）的位置與k、b符號(hào)之間的關(guān)系.（1）k>0，b＞0圖像經(jīng)過(guò)一、二、三象限；（2）k>0，b＜0圖像經(jīng)過(guò)一、三、四象限；（3）k>0，b＝0圖像經(jīng)過(guò)一、三象限；（4）k＜0，b＞0圖像經(jīng)過(guò)一、二、四象限；（5）k＜0，b＜0圖像經(jīng)過(guò)二、三、四象限；（6）k＜0，b＝0圖像經(jīng)過(guò)二、四象限。一次函數(shù)表達(dá)式的確定求一次函數(shù)y=kx+b（k、b是常數(shù)，k≠0）時(shí)，需要由兩個(gè)點(diǎn)來(lái)確定；求正比例函數(shù)y=kx（k≠0）時(shí)，只需一個(gè)點(diǎn)即可.清單04一次函數(shù)的圖象與方程、不等式1.一次函數(shù)與一元一次方程x為何值時(shí)函數(shù)y=ax+b的值為0．從“數(shù)”的角度看，求ax+b=0(a,b是常數(shù)，a≠0)的解，從“形”的角度看，求直線(xiàn)y=ax+b與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)2.一次函數(shù)與二元一次方程1）每個(gè)二元一次方程組都對(duì)應(yīng)兩個(gè)一次函數(shù)，于是也對(duì)應(yīng)兩條直線(xiàn).從“數(shù)”的角度看，解方程組相當(dāng)于考慮自變量為何值時(shí)兩個(gè)函數(shù)的值相等，以及這時(shí)的函數(shù)為何值；從“形”的角度看，解方程組相當(dāng)于確定兩條直線(xiàn)交點(diǎn)的坐標(biāo).2）兩個(gè)一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)與二元一次方程組的解的聯(lián)系是：在同一直角坐標(biāo)系中，兩個(gè)一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)就是相應(yīng)的二元一次方程組的解，反之也成立.3）當(dāng)二元一次方程組無(wú)解時(shí)，相應(yīng)的兩個(gè)一次函數(shù)在坐標(biāo)系中的直線(xiàn)就沒(méi)有交點(diǎn)，則兩個(gè)一次函數(shù)的直線(xiàn)平行.反過(guò)來(lái)，當(dāng)兩個(gè)一次函數(shù)直線(xiàn)平行時(shí)，相應(yīng)的二元一次方程組就無(wú)解.4）當(dāng)二元一次方程組有無(wú)數(shù)解時(shí)，則相應(yīng)的兩個(gè)一次函數(shù)在坐標(biāo)系中重合，反之也成立.3.一次函數(shù)與一元一次不等式解不等式ax+b＞0(a，b是常數(shù)，a≠0)．從“數(shù)”的角度看，x為何值時(shí)函數(shù)y=ax+b的值大于0．解不等式ax+b＞0(a，b是常數(shù)，a≠0)．從“形”的角度看，求直線(xiàn)y=ax+b在x軸上方的部分（射線(xiàn)）所對(duì)應(yīng)的的橫坐標(biāo)的取值范圍．清單05一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用1、分段函數(shù)問(wèn)題分段函數(shù)是在不同區(qū)間有不同對(duì)應(yīng)方式的函數(shù)，要特別注意自變量取值范圍的劃分，既要科學(xué)合理，又要符合實(shí)際．2、函數(shù)的多變量問(wèn)題解決含有多變量問(wèn)題時(shí)，可以分析這些變量的關(guān)系，選取其中一個(gè)變量作為自變量，然后根據(jù)問(wèn)題的條件尋求可以反映實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)．3、概括整合（1）簡(jiǎn)單的一次函數(shù)問(wèn)題：①建立函數(shù)模型的方法；②分段函數(shù)思想的應(yīng)用．（2）理清題意是采用分段函數(shù)解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型一】變量與函數(shù)（）【例1-1】（23-24八年級(jí)下·甘肅隴南·期末）圓的半徑為r，面積S與r的關(guān)系式為，下列判斷正確的是（

）A．r是因變量 B．π是常量 C．S是自變量 D．S，π，r都是變量【答案】B【分析】本題主要考查函數(shù)中常量與變量的概念，掌握其概念是解題的關(guān)鍵．根據(jù)常量（不會(huì)發(fā)生變化的量）與變量（會(huì)發(fā)生變化的量）的定義即可求解．【詳解】解：A、是自變量，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、是常量，故B選項(xiàng)正確，符合題意；C、是因變量，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D、是常量，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：B．【例1-2】（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·期末）下列說(shuō)法正確的是（

）A．變量，滿(mǎn)足，則是的函數(shù)B．變量，滿(mǎn)足，則是的函數(shù)C．變量，滿(mǎn)足，則是的函數(shù)D．在中，是常量，，是自變量，是的函數(shù)【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的定義解答即可．本題考查對(duì)函數(shù)概念的理解，認(rèn)識(shí)變量和常量．【詳解】解：與不是唯一的值對(duì)應(yīng)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．當(dāng)取一值時(shí)，有唯一的值與之對(duì)應(yīng)，故選項(xiàng)正確；C．與不是唯一的值對(duì)應(yīng)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；D．在中，、是常量，是自變量，是的函數(shù)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選B．【例1-3】（23-24八年級(jí)下·云南紅河·期末）在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是（

）A． B．且 C． D．且【答案】D【分析】本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍的求解，根據(jù)分式有意義的條件，二次根式被開(kāi)方數(shù)非負(fù)性質(zhì)，解一元一次不等式組，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：且，解得：且，故選：D．【例1-4】（23-24八年級(jí)下·河北承德·期末）一艘輪船在同一航線(xiàn)上往返于甲、乙兩地．已知輪船在靜水中的速度為，水流速度為．輪船先從甲地順?biāo)叫械揭业?，在乙地停留一段時(shí)間后，又從乙地逆水航行返回到甲地．設(shè)輪船從甲地出發(fā)后所用時(shí)間為，航行的路程為，則與的函數(shù)圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由航行，休息，航行可得此函數(shù)圖象將分三個(gè)階段，逐段進(jìn)行分析即可得答案．本題考查了實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)圖象，解決本題的關(guān)鍵是抓住相同路程用時(shí)不同得到相應(yīng)的函數(shù)圖象．【詳解】解：第一個(gè)階段，逆水航行，用時(shí)較多；第二個(gè)階段，在乙地停留一段時(shí)間，隨著時(shí)間的增長(zhǎng)，路程不再變化，函數(shù)圖象將與x軸平行；第三個(gè)階段，順?biāo)叫?，所走的路程繼續(xù)增加，相對(duì)于第一個(gè)階段，用時(shí)較少，故選：C．【變式1-1】（23-24八年級(jí)下·河南安陽(yáng)·期末）如圖所示是加油站某時(shí)刻加油機(jī)上的數(shù)據(jù)顯示牌．在金額、數(shù)量、單價(jià)三個(gè)量中，下列說(shuō)法正確的是（

）A．金額、單價(jià)是變量，數(shù)量是常量B．?dāng)?shù)量、單價(jià)是變量，金額是常量C．金額、數(shù)量是變量，單價(jià)是常量D．金額、數(shù)量、單價(jià)都是變量【答案】C【分析】本題主要考查了常量與變量的定義，汽油的單價(jià)是不會(huì)變的，因此是常量，而金額會(huì)隨著數(shù)量的變化而變化，因此金額和數(shù)量是變量．【詳解】解：∵在一個(gè)變化過(guò)程中，數(shù)值始終不變的量是常量，∴金額、數(shù)量是變量，單價(jià)是常量．故選：C．【變式1-2】（新定義）（22-23八年級(jí)下·四川宜賓·期末）對(duì)于實(shí)數(shù)、，定義一種運(yùn)算“”為：，在函數(shù)的圖象上的點(diǎn)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了新定義，函數(shù)圖象上的點(diǎn)與圖象的關(guān)系，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)新定義求得，分別計(jì)算驗(yàn)證即可．【詳解】解：由題意得，，A、時(shí)，，故不在圖象上，故本選項(xiàng)不符合題意；B、時(shí)，，故不在圖象上，故本選項(xiàng)不符合題意；C、時(shí)，，故不在圖象上，故本選項(xiàng)不符合題意；D、時(shí)，，故在圖象上，故本選項(xiàng)符合題意，故選：D．【變式1-3】（23-24八年級(jí)下·湖南岳陽(yáng)·期末）函數(shù)，對(duì)于自變量取的每一個(gè)值，因變量的對(duì)應(yīng)值稱(chēng)為函數(shù)值，記作：，已知，則．【答案】【分析】本題考查待定系數(shù)法求解析式，求函數(shù)值，讀懂題意是解題的關(guān)鍵．由可求得的值，從而得到，進(jìn)而即可解答．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴．故答案為：【變式1-4】（23-24八年級(jí)下·陜西安康·期末）等腰三角形周長(zhǎng)為，底邊長(zhǎng)為，腰長(zhǎng)為，(1)寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)求x的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】主要考查建立函數(shù)的模型解決實(shí)際問(wèn)題的能力．要讀懂題意并根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式．解題的關(guān)鍵是要分析題意根據(jù)實(shí)際意義求解，并會(huì)根據(jù)實(shí)際意義求函數(shù)值和自變量的取值范圍．（1）根據(jù)等腰三角形周長(zhǎng)公式即可求得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）利用三角形邊長(zhǎng)為正數(shù)和三邊關(guān)系求自變量的范圍；【詳解】（1）解：根據(jù)三角形周長(zhǎng)公式可知：，∴．（2）解：∵，，，∴，，解得：．【考點(diǎn)題型二】函數(shù)圖象（）【例2-1】（23-24八年級(jí)下·云南紅河·期末）下列圖象中，不能表示函數(shù)的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】本題考查函數(shù)的基本概念，函數(shù)的定義要求定義域中任意一個(gè)自變量，都存在唯一確定的函數(shù)值與之對(duì)應(yīng)．【詳解】解：A、圖象能表示函數(shù)，故不符合題意；B、圖象能表示函數(shù)，故不符合題意；C、圖象能表示函數(shù)，故不符合題意；D、一個(gè)自變量x對(duì)應(yīng)兩個(gè)函數(shù)值y，這與函數(shù)的概念矛盾，故圖象不能表示函數(shù)，符合題意；故選：D．【例2-2】（24-25八年級(jí)上·浙江金華·期末）【情境】跑步是一種簡(jiǎn)單而強(qiáng)大的有氧運(yùn)動(dòng)，被廣泛認(rèn)為是最佳的鍛煉方式．周末小明從家出發(fā)跑步去健身主題公園，中途休息一段時(shí)間，到達(dá)健身公園后又再次休息，之后跑步返回家中，已知小明兩次休息時(shí)間相同且跑步速度始終不變．小明離開(kāi)家的路程S與時(shí)間t的關(guān)系（部分?jǐn)?shù)據(jù)）如圖所示．【問(wèn)題】小明每次休息的時(shí)間為（

）A．8分鐘 B．10分鐘 C．12分鐘 D．14分鐘【答案】B【分析】本題考查了函數(shù)的圖象．先求出跑步速度，再求出跑步返回家中所用的時(shí)間，根據(jù)兩次休息時(shí)間相同且跑步速度始終不變，即可求解．【詳解】解：由題意，小明跑步速度為（米/分鐘），跑步返回家中所用的時(shí)間為（分鐘），∴小明每次休息的時(shí)間為（分鐘），故選：B．【例2-3】（23-24七年級(jí)下·廣東深圳·期中）如圖，在長(zhǎng)方形中，，，對(duì)角線(xiàn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為，BCP的面積為．若y與x的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖所示，則圖中（）A． B．1 C．3 D．4【答案】C【分析】本題考查用圖象表示變量的關(guān)系．根據(jù)題意，先求出當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)的面積即的值，再根據(jù)點(diǎn)沿運(yùn)動(dòng)到時(shí)的路程來(lái)求的值即可．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由圖知，點(diǎn)沿運(yùn)動(dòng)到時(shí)，路程為．∴．故選：C．【例2-4】（23-24八年級(jí)下·河北滄州·期末）某書(shū)定價(jià)8元，如果一次購(gòu)買(mǎi)10本以上，超過(guò)10本部分打八折，那么付款金額y與購(gòu)書(shū)數(shù)量x之間的函數(shù)關(guān)系如何，同學(xué)們對(duì)此展開(kāi)了討論：（1）小明說(shuō)：y與x之間的函數(shù)關(guān)系為；（2）小剛說(shuō)：y與x之間的函數(shù)關(guān)系為；（3）小聰說(shuō)：y與x之間的函數(shù)關(guān)系在時(shí)，；在時(shí)，；（4）小斌說(shuō)：我認(rèn)為用下面的列表法也能表示它們之間的關(guān)系；購(gòu)買(mǎi)量/本1234…9101112…付款金額/元8162432…728086.492.8…（5）小志補(bǔ)充說(shuō)：如圖所示的圖象也能表示它們之間的關(guān)系．其中，表示函數(shù)關(guān)系正確的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】本題考查函數(shù)的表示方式以及用函數(shù)關(guān)系式表示兩個(gè)量之間的關(guān)系，根據(jù)題意可知關(guān)系應(yīng)該分為兩部分，購(gòu)買(mǎi)10本及10本以下、購(gòu)買(mǎi)10本以上2部分分析求解．【詳解】解：∵定價(jià)8元，一次購(gòu)買(mǎi)10本以上，超過(guò)10本部分打八折，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系在時(shí)，；在時(shí)，；∴（1）（2）說(shuō)法錯(cuò)誤，（3）說(shuō)法正確；由（4）中表格可以得到，購(gòu)買(mǎi)10本及10本以下單價(jià)為8元，購(gòu)買(mǎi)10本以上，超過(guò)部分打八折，∴表達(dá)兩個(gè)量之間的關(guān)系，（5）中的函數(shù)圖象是一個(gè)分段函數(shù)，可以表達(dá)這兩個(gè)量之間的關(guān)系，綜上，表示函數(shù)關(guān)系正確的個(gè)數(shù)有（3）（4）（5），共3個(gè)，故選：C．【例2-5】（22-23八年級(jí)下·江蘇泰州·期末）小明根據(jù)函數(shù)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，參照研究函數(shù)的過(guò)程與方法，對(duì)于函數(shù)的圖像和性質(zhì)進(jìn)行探究．

(1)列表：下表列出了y與x的幾組對(duì)應(yīng)值，請(qǐng)寫(xiě)出m，n的值：m=________，n=________；x…-4-3-2-11234……m-2n2…描點(diǎn)：在平面直角坐標(biāo)系中，以自變量x的取值為橫坐標(biāo)，以相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo)，描出相應(yīng)的點(diǎn)，如圖所示：(2)請(qǐng)把y軸左邊各點(diǎn)和右邊各點(diǎn)，分別用光滑的曲線(xiàn)順次連接起來(lái)；(3)觀察圖形并分析表格，解決下列問(wèn)題：①自變量x的取值范圍是__________；②函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)___________中心對(duì)稱(chēng)；③求證：當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大．【答案】(1)，(2)見(jiàn)詳解(3)①②③見(jiàn)詳解【分析】（1）將，代入函數(shù)解析式即可求解；（2）用光滑的曲線(xiàn)順次連接起來(lái)，即可求解；（3）①由得，分母不為，即可求解；②由表格可得第一、三象限的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)分別互為相反數(shù)，即可求解；③設(shè)，可得，，可求，，，，即可求解．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；故答案：，．（2）解：如圖，用光滑的曲線(xiàn)順次連接起來(lái)，

（3）①解：由得自變量x的取值范圍是，故答案：；②解：由表格得：與，與，與，，第一、三象限的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)分別互為相反數(shù)，函數(shù)圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，故答案：．③證明：設(shè)，，，，，，，，，，，故當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大．【點(diǎn)睛】本題考查了通過(guò)作函數(shù)圖象，通過(guò)圖象來(lái)研究函數(shù)性質(zhì)：自變量取值范圍、對(duì)稱(chēng)性、增減性，掌握函數(shù)增減性的證明方法是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（24-25八年級(jí)上·浙江紹興·期末）如圖，在等腰三角形中，，點(diǎn)D為中點(diǎn)，連結(jié)，若，，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是（

） B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了函數(shù)的圖象、等腰三角形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)．根據(jù)題意，先得出y與x的函數(shù)關(guān)系式，再結(jié)合x(chóng)的取值范圍進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：因?yàn)?，所以，即，所以．因?yàn)?，所以，觀察四個(gè)選項(xiàng)，D選項(xiàng)符合題意．故選：D．【變式2-2】（24-25八年級(jí)上·安徽合肥·期末）甲、乙兩人在筆直的湖邊公路上同起點(diǎn)、同終點(diǎn)、同方向勻速步行米，先到終點(diǎn)的人原地休息．已知甲先出發(fā)分鐘，在整個(gè)步行過(guò)程中，甲、乙兩人的距離（米）與甲出發(fā)的時(shí)間（分）之間的關(guān)系如圖所示，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．甲、乙兩人之間的最遠(yuǎn)距離是米B．乙追上甲后，再走米才到達(dá)終點(diǎn)C．乙用分鐘追上甲D．甲到終點(diǎn)時(shí)，乙已經(jīng)在終點(diǎn)處休息了分鐘【答案】A【分析】本題考查了函數(shù)圖象，解題的關(guān)鍵是理解題意，利用數(shù)形結(jié)合思想獲取所求問(wèn)題需要的條件．根據(jù)題意和函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)可以逐個(gè)判斷結(jié)論是否正確即可解答．【詳解】解：由圖象可知，甲出發(fā)分鐘后乙追上甲，則乙用了（分鐘）追上甲，故原選項(xiàng)正確，不符合題意；根據(jù)圖象，甲步行分鐘走了米，甲步行的速度為（米分鐘），乙的速度為（米分鐘），則乙走完全程的時(shí)間為（分鐘），乙追上甲剩下的路程為：（米），∴乙追上甲后，再走米才到達(dá)終點(diǎn)，故選項(xiàng)正確，不符合題意；當(dāng)乙到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，甲步行了（米），甲離終點(diǎn)還有（米），故甲乙兩人之間的最遠(yuǎn)距離是米，故錯(cuò)誤，符合題意；∵甲步行了米，∴甲離終點(diǎn)還有（分），∴甲到終點(diǎn)時(shí)，乙已經(jīng)在終點(diǎn)處休息了分鐘，故正確，不符合題意，故選：．【變式2-3】（23-24八年級(jí)下·廣西河池·期末）如圖，在如圖1矩形中，動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，沿，，運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A停止，設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程為x，的面積y，且x與y的關(guān)系如圖2所示，則矩形的面積是．【答案】20【分析】點(diǎn)P從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過(guò)程中，y與x的關(guān)系是一個(gè)一次函數(shù)，運(yùn)動(dòng)路程為4時(shí)，面積發(fā)生了變化，說(shuō)明的長(zhǎng)為4；當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的面積保持不變，就是矩形面積的一半，并且動(dòng)路程由4到9，說(shuō)明的長(zhǎng)為5；根據(jù)上述求出的矩形的邊長(zhǎng)，求出矩形的面積.本題主要考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，在解題時(shí)要能根據(jù)函數(shù)的圖象求出、的長(zhǎng)度是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【詳解】解：結(jié)合圖形可以知道，P點(diǎn)在上，的面積為y增大，當(dāng)x在4-9之間時(shí)的面積不變，得出，，∴矩形的面積為：．故答案為：20．【變式2-4】（22-23八年級(jí)下·湖南湘西·期末）閱讀下面材料：小明想探究函數(shù)的性質(zhì)，他借助計(jì)算器求出了y與x的幾組對(duì)應(yīng)值，并在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出了函數(shù)圖象：小聰看了一眼就說(shuō)：“你畫(huà)的圖象肯定是錯(cuò)誤的．”請(qǐng)回答：小聰判斷的理由是．寫(xiě)出函數(shù)的一條性質(zhì)：．x…123…y…2.831.73001.732.83…【答案】因?yàn)楹瘮?shù)值不可能為負(fù)，所以在x軸下方不會(huì)有圖象當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減?。划?dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大（答案不唯一）【分析】此題考查函數(shù)的表示方法：表格法和圖象法，還考查了函數(shù)的性質(zhì)：利用表格中x與y的對(duì)應(yīng)值確定函數(shù)圖象的位置及函數(shù)的性質(zhì)，正確理解表格中自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，分析其變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.根據(jù)表格函數(shù)值沒(méi)有負(fù)數(shù)解答，根據(jù)表格的x與y的值得到增減性.【詳解】解：由表格可知：∵函數(shù)值不可能為負(fù)，∴在x軸下方不會(huì)有圖象，性質(zhì)：當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，故答案為：因?yàn)楹瘮?shù)值不可能為負(fù)，所以在x軸下方不會(huì)有圖象；當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小；當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大；【變式2-5】（22-23八年級(jí)下·山西大同·期末）閱讀與思考下面是小李同學(xué)的一篇日記，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．在物理活動(dòng)課上，我們“博學(xué)”小組的同學(xué)，進(jìn)行了“彈簧的長(zhǎng)度與外力的變化關(guān)系”的探究活動(dòng)．第一步：實(shí)驗(yàn)測(cè)量多次改變砝碼的質(zhì)量x（克），測(cè)量彈簧的長(zhǎng)度y（厘米），其中．第二步：整理數(shù)據(jù)砝碼的質(zhì)量x（克）050100150200250彈簧的長(zhǎng)度y（厘米）23455.57第三步：畫(huà)函數(shù)y關(guān)于x的圖象在數(shù)據(jù)分析時(shí)，我發(fā)現(xiàn)有一個(gè)彈簧的長(zhǎng)度是錯(cuò)誤的，重新測(cè)量后，證明了我的猜想正確，并修改了表中這個(gè)數(shù)據(jù)．任務(wù)：(1)表格中錯(cuò)誤的數(shù)據(jù)是_________，y與x的函數(shù)表達(dá)式為_(kāi)________；(2)在平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出y與x的函數(shù)圖象；(3)當(dāng)彈簧的長(zhǎng)度為4.5厘米時(shí)，懸掛砝碼的質(zhì)量是多少克，并在圖象上描出這個(gè)點(diǎn)．【答案】(1)5.5；(2)見(jiàn)解析(3)125克，描點(diǎn)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)表格中砝碼的質(zhì)量與彈簧的長(zhǎng)度變化規(guī)律解答即可；（2）用描點(diǎn)法畫(huà)出圖象即可；（3）令，代入解析式求出x，再在圖象上描點(diǎn)即可．【詳解】（1）由表格可知，砝碼每增加50千克，彈簧的長(zhǎng)度增加1厘米，∴砝碼為200克時(shí)，彈簧的長(zhǎng)度為6厘米，函數(shù)解析式為．故答案為：5.5；；（2）如圖，

（3）當(dāng)時(shí)，答：當(dāng)彈簧的長(zhǎng)度為4.5厘米時(shí)，懸掛砝碼的質(zhì)量是125克點(diǎn)P即為所求的點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查了變量之間的函數(shù)關(guān)系，描點(diǎn)法畫(huà)函數(shù)圖象，以及求自變量的值，求出函數(shù)解析式是解答本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型一】正比例函數(shù)（）【例3-1】（24-25八年級(jí)上·貴州貴陽(yáng)·期末）下列函數(shù)關(guān)系式中，y是x的正比例函數(shù)的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查的是正比例函數(shù)的定義，一般地，形如（k是常數(shù)，）的函數(shù)叫做正比例函數(shù)．根據(jù)正比例函數(shù)的定義解答即可．【詳解】解：A、，不是正比例函數(shù)，不符合題意；B、，不是正比例函數(shù)，不符合題意；C、，是正比例函數(shù)，符合題意；D、，不是正比例函數(shù)，不符合題意．故選：C．【例3-2】（23-24八年級(jí)下·廣西河池·期末）下列各點(diǎn)中，在正比例函數(shù)的圖象上的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將各選項(xiàng)所給點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入中求出縱坐標(biāo)，看與所給點(diǎn)的縱坐標(biāo)是否相等，如果相等，則該點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，若不相等，則該點(diǎn)不在函數(shù)的圖象上．本題主要考查了正比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，凡是滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系式的點(diǎn)都在該函數(shù)圖象上，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、∵當(dāng)時(shí)，，∴此點(diǎn)不在正比例函數(shù)圖象上，故A本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、∵當(dāng)時(shí)，，∴此點(diǎn)在正比例函數(shù)圖象上，故本選項(xiàng)正確；C、∵當(dāng)時(shí)，，∴此點(diǎn)不在正比例函數(shù)圖象上，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、∵當(dāng)時(shí)，，∴此點(diǎn)不在正比例函數(shù)圖象上，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選B．【例3-3】（24-25八年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）已知正比例函數(shù)．(1)點(diǎn)在它的圖象上，求這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式．(2)在（1）的結(jié)論下，若的取值范圍是，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了正比例函數(shù)圖象的增減性，圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，求函數(shù)關(guān)系式，解題關(guān)鍵是理解正比例函數(shù)的增減性．（1）把點(diǎn)代入中，即可求解的值；（2）分別計(jì)算出自變量為和所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，然后根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)確定的取值范圍．【詳解】（1）解：把點(diǎn)代入得：，解得：，這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式為：；（2）解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，隨的增大而減小，的取值范圍：．【變式3-1】（23-24八年級(jí)下·云南昭通·期末）已知的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】本題考查正比例函數(shù)的圖像，把點(diǎn)代入解析式，求解即可．【詳解】解：把點(diǎn)代入，得：，∴；故選A．【變式3-2】（23-24八年級(jí)下·四川宜賓·期末）在探究“重力的大小與質(zhì)量的關(guān)系”實(shí)驗(yàn)中，下列選項(xiàng)能反映物體重力G與質(zhì)量m的函數(shù)關(guān)系大致圖象是（

）

B．

C．

D．

【答案】A【分析】本題考查了正比例函數(shù)．由題意得到重力G與質(zhì)量m是正比例函數(shù)關(guān)系，即可判斷．【詳解】解：由題意得重力G與質(zhì)量m的函數(shù)關(guān)系是正比例函數(shù)關(guān)系，且圖象過(guò)原點(diǎn)，故選項(xiàng)A符合題意，故選：A．【變式3-3】（24-25八年級(jí)上·內(nèi)蒙古包頭·期末）若點(diǎn)和點(diǎn)在同一個(gè)正比例函數(shù)的圖象上，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了正比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，比較函數(shù)值的大小，將點(diǎn)代入解析式，根據(jù)，即可解決問(wèn)題．【詳解】解：根據(jù)題意得，，，，即，故選項(xiàng)B，C，D錯(cuò)誤，，，選項(xiàng)A正確；故選：A．【變式3-4】（23-24八年級(jí)下·廣西河池·期末）若y關(guān)于x的函數(shù)是正比例函數(shù)，則．【答案】0【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的定義即可得解．一般地，對(duì)于兩個(gè)變量x、y，若x、y之間的關(guān)系式可以表示成（其中k、b為常數(shù)，且）的形式，那么稱(chēng)y是x的一次函數(shù)，特別的，當(dāng)時(shí)，稱(chēng)y是x的正比例函數(shù).題中告訴我們是正比例函數(shù)，所以，即．熟練掌握正比例函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵y關(guān)于x的函數(shù)是正比例函數(shù)，∴,故答案為：0．【變式3-5】（24-25八年級(jí)上·陜西西安·期末）已知點(diǎn)，在正比例函數(shù)的圖象上，若，則．（填“”或“”）【答案】【分析】本題考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)：當(dāng)時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限，y隨x的增大而增大，當(dāng)時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限，y隨x的增大而增減?。鶕?jù)正比例函數(shù)，y隨x的增大而增減小即可求解．【詳解】解：∵，∴隨著的增大而減小，∵，∴，故答案為：．【考點(diǎn)題型四】一次函數(shù)（）【例4-1】（23-24八年級(jí)下·河南商丘·期末）下列函數(shù)中，是一次函數(shù)的是（

）①；②；③；④．A．①② B．②③ C．①④ D．①③【答案】D【分析】根據(jù)一次函數(shù)的定義對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可．本題考查的是一次函數(shù)的定義，即一般地，形如，、是常數(shù)）的函數(shù)，叫做一次函數(shù)．【詳解】解：①是一次函數(shù)，故本選項(xiàng)正確；②不是一次函數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；③是一次函數(shù)，故本選項(xiàng)正確；④不是一次函數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：D．【例4-2】（23-24八年級(jí)下·安徽宣城·期末）兩個(gè)一次函數(shù)與，它們?cè)谕恢苯亲鴺?biāo)系中的圖象可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；觀察題中所給選項(xiàng)，根據(jù)圖象逐項(xiàng)判斷m、n的正負(fù)，如果通過(guò)兩個(gè)一次函數(shù)圖象所判斷的m、n的正負(fù)一致，即為正確選項(xiàng)；【詳解】解：A、由的圖象可知，，即；由的圖象可知，，，兩結(jié)論相矛盾，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、由的圖象可知，，即；由的圖象可知，，，兩結(jié)論一致，故本選項(xiàng)正確，符合題意；C、由的圖象可知，，即；由的圖象可知，，，兩結(jié)論相矛盾，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D、由的圖象可知，，即；由的圖象可知，，，兩結(jié)論相矛盾，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：B．【例4-3】（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)：交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)，，在直線(xiàn)上，點(diǎn)，，，在軸的正半軸上，若，，，，依次均為等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)都在軸上，則第個(gè)等腰直角三角形頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．【答案】【分析】本題考查規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)．先求出、、的坐標(biāo)，探究規(guī)律后，即可根據(jù)規(guī)律解決問(wèn)題．【詳解】解：對(duì)于直線(xiàn)：，令，則；令，則；∴，∴，，，∴，，，，，，∴的橫坐標(biāo)為．故答案為：．【例4-4】（24-25八年級(jí)上·江蘇南京·期末）一次函數(shù)，與的圖像如圖所示，，，的大小關(guān)系是．（用“”連接）【答案】【分析】本題考查一次函數(shù)以及正比例函數(shù)圖象與性質(zhì)；首先根據(jù)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)的象限判斷k的符號(hào)，再根據(jù)直線(xiàn)的平緩趨勢(shì)判斷k的絕對(duì)值的大小，最后判斷三個(gè)系數(shù)的大小．【詳解】解：由直線(xiàn)經(jīng)過(guò)的象限，知：，∵根據(jù)直線(xiàn)越陡，越大，∴，∴，故答案為：．【例4-5】（23-24八年級(jí)下·廣西河池·期末）已知直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，且將該直線(xiàn)向下平移5個(gè)單位后得到直線(xiàn)，則．【答案】25【分析】利用一次函數(shù)圖象的平移規(guī)律“上加下減”和兩直線(xiàn)相互平行時(shí)的值相同，得出即可．此題主要考查了一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，兩條直線(xiàn)相交或平行問(wèn)題以及一次函數(shù)圖象與幾何變換，若兩條直線(xiàn)是平行的關(guān)系，那么他們的自變量系數(shù)相同，即k值相同．掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，∴，∵將直線(xiàn)向下平移5個(gè)單位后得到直線(xiàn)，將直線(xiàn)向下平移5個(gè)單位后得到直線(xiàn)，∴，，∴，∴．故答案為：25．【例4-6】（23-24八年級(jí)下·安徽淮南·期末）已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)．求該一次函數(shù)的表達(dá)式．【答案】【分析】本題主要考求一次函數(shù)的解析式．利用待定系數(shù)法解答，即可求解．【詳解】解：一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，，解得，該一次函數(shù)的表達(dá)式為．【例4-7】（新定義）（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·期末）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)和點(diǎn)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，則稱(chēng)點(diǎn)N為點(diǎn)M的變換點(diǎn)．例如：點(diǎn)變換點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)變換點(diǎn)的坐標(biāo)是．(1)則點(diǎn)的變換點(diǎn)的坐標(biāo)是；(2)已知點(diǎn)M在函數(shù)的圖象上，點(diǎn)M的變換點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為5，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．(3)已知點(diǎn)M在函數(shù)的圖象上，其變換點(diǎn)N的縱坐標(biāo)的取值范圍是，求k的取值范圍．【答案】(1)(2)或(3)k的取值范圍為【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖象，由函數(shù)值求自變量，點(diǎn)坐標(biāo)等知識(shí)．理解題意，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．（1）由，可得進(jìn)而可求結(jié)果；（2）設(shè)，當(dāng)時(shí)，，可求，進(jìn)而可得，則；當(dāng)時(shí)，，可求，進(jìn)而可得，則；（3）由題意知，上的點(diǎn)的變換點(diǎn)的圖象如圖所示，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，可求，當(dāng)時(shí)，，可求，由變換點(diǎn)N的縱坐標(biāo)的取值范圍是，數(shù)形結(jié)合作答即可．【詳解】（1）解：∵，∴∴點(diǎn)的變換點(diǎn)的坐標(biāo)是；故答案為：；（2）解：設(shè)，當(dāng)時(shí)，，解得，，∴，∴；當(dāng)時(shí)，解得，，∴，∴；綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或；（3）解：由題意知，上的點(diǎn)的變換點(diǎn)的圖象如圖所示，當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，，解得，，當(dāng)時(shí)，，解得，，∵變換點(diǎn)N的縱坐標(biāo)的取值范圍是，∴由圖象可知，，∴k的取值范圍為．【變式4-1】（22-23八年級(jí)下·河南洛陽(yáng)·期末）已知直線(xiàn)，不論取什么值，該直線(xiàn)必定經(jīng)過(guò)（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，把一次函數(shù)解析式變形為，則可得到當(dāng)時(shí)，，則直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵直線(xiàn)解析式為，∴當(dāng)，即時(shí)，，∴直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，∴不論取什么值，該直線(xiàn)必定經(jīng)過(guò)第四象限，故選：D．【變式4-2】（23-24八年級(jí)下·廣東汕頭·期末）下列函數(shù)中，是一次函數(shù)有（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查一次函數(shù)的定義．形如的函數(shù)叫做一次函數(shù)，根據(jù)定義，逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A.是二次函數(shù)，此項(xiàng)不符合題意；B.是常數(shù)函數(shù)，此項(xiàng)不符合題意；C.是一次函數(shù)，此項(xiàng)符合題意；D.是反比例函數(shù)，此項(xiàng)不符合題意．故選：C．【變式4-3】（23-24八年級(jí)下·安徽淮南·期末）將直線(xiàn)向下平移3個(gè)單位后恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值為．【答案】【分析】本題主要考查了一次函數(shù)圖象的平移，熟知一次函數(shù)圖象平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵．先求出平移后的直線(xiàn)解析式，再根據(jù)平移后的直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由題意得平移后的直線(xiàn)解析式為，∵平移后的直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，∴，故答案為：．【變式4-4】（23-24八年級(jí)下·內(nèi)蒙古赤峰·期中）已知是關(guān)于的一次函數(shù)，則．【答案】【分析】此題考查了一次函數(shù)的定義．根據(jù)一次函數(shù)的定義得出，代入代數(shù)式求解即可．形如的函數(shù)為一次函數(shù)．【詳解】解：函數(shù)是關(guān)于x的一次函數(shù)則，解得∴，故答案為：．【變式4-5】（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·期末）正方形按如圖的方式放置，點(diǎn)和點(diǎn)分別在直線(xiàn)和y軸上，則點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是．【答案】【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、正方形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形，設(shè)直線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)為D，求出，，易證，得到，的橫坐標(biāo)為，同理的橫坐標(biāo)為，的橫坐標(biāo)為，進(jìn)而得到，再由正方形的性質(zhì)得出，即可得解．【詳解】解：如圖，設(shè)直線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)為D，則，，又∵，，，，∴，，，的橫坐標(biāo)為，同理的橫坐標(biāo)為，的橫坐標(biāo)為，，∵都是正方形，∴的橫坐標(biāo)為，的縱坐標(biāo)為，，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故答案為：，．【變式4-6】（23-24八年級(jí)下·云南紅河·期末）如果點(diǎn)、點(diǎn)在直線(xiàn)上，那么（填“”或“”）．【答案】【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握一次函數(shù)增減性是關(guān)鍵．根據(jù)隨增大而減小判斷即可．【詳解】解：∵直線(xiàn)中，故隨的增大而減小，∵∴故答案為：．【變式4-7】（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·期末）已知一次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)與點(diǎn)，則當(dāng)y的值增加1時(shí)，x的值將．【答案】增加【分析】本題主要考查了求一次函數(shù)解析式，求自變量的變化，先利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式為，則可得到，據(jù)此可得答案．【詳解】解：把、代入中得：，∴，∴一次函數(shù)解析式為，∴，∴當(dāng)y的值增加1時(shí)，x的值將增加，故答案為：增加．【變式4-8】（新定義）（23-24八年級(jí)下·廣東江門(mén)·期末）已知分別是的三條邊長(zhǎng)，為斜邊長(zhǎng)，，我們把關(guān)于的形如的一次函數(shù)稱(chēng)為“勾股一次函數(shù)”，若點(diǎn)在“勾股一次函數(shù)”圖象上，且的面積為9，則的值為．【答案】【分析】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，完全平方公式的變形運(yùn)用，掌握以上知識(shí)的綜合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可得，根據(jù)勾股定理可得，，根據(jù)完全平方公式的變形運(yùn)算即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意，點(diǎn)在“勾股一次函數(shù)”的圖象上，∴，即，∴，∵是直角的三邊，為斜邊，∴，，∴，∵，∴，解得，（負(fù)值舍去），故答案為：．【變式4-9】（22-23八年級(jí)下·河南洛陽(yáng)·期末）關(guān)于函數(shù)，給出下列結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，此函數(shù)是一次函數(shù)；②無(wú)論取什么值，函數(shù)圖象必經(jīng)過(guò)點(diǎn)；③若圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，則的取值范圍是；④若函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)始終在正半軸，則的取值范圍是．其中正確的說(shuō)法是．（只填序號(hào)）【答案】①②③【分析】本題考查根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)確定解析式字母系數(shù)的取值及分類(lèi)討論思想的運(yùn)用，一般地，先求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再把坐標(biāo)滿(mǎn)足的條件轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的方程或是不等式（組）進(jìn)而解決問(wèn)題．①當(dāng)時(shí)，函數(shù)是一次函數(shù)；②，當(dāng)時(shí)，，過(guò)函數(shù)過(guò)點(diǎn)，即可求解；③函數(shù)經(jīng)過(guò)二，三，四象限，可得，從而可以求得k的取值范圍；④當(dāng)時(shí)，，與x軸無(wú)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)始終在正半軸，即，即可求解．【詳解】解：①當(dāng)時(shí)，函數(shù)是一次函數(shù)；故①符合題意；②，當(dāng)時(shí)，，過(guò)函數(shù)過(guò)點(diǎn)，故②符合題意；③函數(shù)經(jīng)過(guò)二，三，四象限，則，解得：，故③符合題意；④當(dāng)，即時(shí)，，與x軸無(wú)交點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，令，則，∴函數(shù)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，∵函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)始終在正半軸，即，由除法的意義可得：或，解得：，故④不符合題；故答案為：①②③．【變式4-10】（22-23八年級(jí)下·山東聊城·期末）如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)，分別在軸，軸上，，兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，線(xiàn)段在邊上移動(dòng)，保持，當(dāng)四邊形的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

【答案】【分析】在矩形邊上截取，可證四邊形是平行四邊形，可得，由對(duì)稱(chēng)性可得，則四邊形的周長(zhǎng)，由和是定值，則當(dāng)有最小值時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)有最小值，即當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，有最小值，利用待定系數(shù)法可求解析式，即可求解．【詳解】解：在矩形邊上截取，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，如圖所示：

，，四邊形是平行四邊形，，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，，點(diǎn)坐標(biāo)為，四邊形的周長(zhǎng)，四邊形的周長(zhǎng)，和是定值，當(dāng)有最小值時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)有最小值，當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，有最小值，點(diǎn)，，，即點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)的解析式為，將、代入得，解得，直線(xiàn)的解析式為，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)最短路線(xiàn)問(wèn)題，坐標(biāo)與圖形，平行四邊形的判定和性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，確定點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．【變式4-11】（新定義）（24-25八年級(jí)上·浙江杭州·期末）定義：若，滿(mǎn)足，（為常數(shù)），則稱(chēng)點(diǎn)為“好點(diǎn)”．（1）若是“好點(diǎn)”，則；（2）在的范圍內(nèi)，若直線(xiàn)上存在“好點(diǎn)”，則的取值范圍為．【答案】【分析】本題考查了新定義，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，有一定難度．（1）根據(jù)題意得出，消去t即可得到；（2）根據(jù)題意得出，消去t得，由-在，得出．【詳解】（1）∵是“好點(diǎn)”，∴，消去t得到，故答案為：；（2）∵在的范圍內(nèi)，若直線(xiàn)上存在“好點(diǎn)”，∴，消去t得：，∵，∴，故答案為：．【變式4-12】（22-23八年級(jí)下·重慶北碚·期末）如圖1，正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C后停止．連接．設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路程為x，的面積為y．

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍；(2)在圖2中畫(huà)出（1）中函數(shù)的圖象；(3)觀察函數(shù)圖象，寫(xiě)出該函數(shù)的一條性質(zhì)．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析【分析】（1）分點(diǎn)E在邊上和點(diǎn)E在邊上兩種情況，根據(jù)三角形的面積公式解答即可；（2）先確定圖象上的兩點(diǎn)，再結(jié)合自變量的范圍即可畫(huà)出一次函數(shù)的圖象；（3）根據(jù)一次函數(shù)的增減性或?qū)ΨQ(chēng)性或最值解答即可．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，∴．當(dāng)時(shí)，如圖，，∴．

綜上所述，．（2）解：函數(shù)圖象如圖所示．

（3）解：①當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減?。谠摵瘮?shù)圖象是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)．③該函數(shù)在自變量的取值范圍內(nèi)有最大值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值8．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)和幾何的結(jié)合，正確分類(lèi)、熟練掌握一次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型五】一次函數(shù)與方程、不等式（）【例5-1】（23-24八年級(jí)下·廣東廣州·期末）若是方程的解，則直線(xiàn)的圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與一元一次方程，關(guān)鍵是掌握方程的解就是一次函數(shù)與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)值．根據(jù)一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系：由于任何一元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為（，為常數(shù)，）的形式，所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)某個(gè)一次函數(shù)的值為時(shí)，求相應(yīng)的自變量的值，從圖象上看，這相當(dāng)于已知直線(xiàn)確定它與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可得答案．【詳解】解：一元一次方程的解是，當(dāng)時(shí)，，故直線(xiàn)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是．故選：A．【例5-2】（23-24八年級(jí)下·廣東揭陽(yáng)·期末）如圖所示，一次函數(shù)（k，b是常數(shù)，）與正比例函數(shù)（m是常數(shù)，）的圖象相交于點(diǎn)，下列判斷錯(cuò)誤的是（

）

A．關(guān)于x的方程的解是B．關(guān)于x的不等式的解集是C．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值比函數(shù)的值大D．關(guān)于x，y的方程組的解是【答案】B【分析】本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程(組)，一次函數(shù)與一元一次不等式，一次函數(shù)的性質(zhì)．方程組的解就是使方程組中兩個(gè)方程同時(shí)成立的一對(duì)未知數(shù)的值，而這一對(duì)未知數(shù)的值也同時(shí)滿(mǎn)足兩個(gè)相應(yīng)的一次函數(shù)式，因此方程組的解就是兩個(gè)相應(yīng)的一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)．根據(jù)條件結(jié)合圖象對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵一次函數(shù)是常數(shù)與正比例函數(shù)是常數(shù)，的圖象相交于點(diǎn)，A．關(guān)于的方程，的解是，選項(xiàng)A判斷正確，不符合題意；B．關(guān)于的不等式的解集是，選項(xiàng)B判斷錯(cuò)誤，符合題意；C．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值比函數(shù)的值大，選項(xiàng)C判斷正確，不符合題意；D．關(guān)于的方程組的解是，選項(xiàng)D判斷正確，不符合題意．故選：B．【例5-3】（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·期末）已知一次函數(shù)（為正整數(shù)）的函數(shù)隨的增大而減小，當(dāng)時(shí)，的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，以及一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，先根據(jù)一次函數(shù)的增減性和為正整數(shù)求出的值，然后求出與軸的交點(diǎn)即可，掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵一次函數(shù)（為正整數(shù)）的函數(shù)隨的增大而減小，∴，∴，∵為正整數(shù)，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，∵隨的增大而減小，∴當(dāng)時(shí)，的取值范圍為，故選：．【例5-4】（24-25八年級(jí)下·全國(guó)·期末）已知直線(xiàn)與直線(xiàn)相交于點(diǎn)，則關(guān)于x，y的二元一次方程組的解是．【答案】【分析】本題考查二元一次方程組與一次函數(shù)，根據(jù)兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)的坐標(biāo)即為由兩條直線(xiàn)的解析式組成的二元一次方程組的解，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：把，代入，得：，解得：，∴，∵直線(xiàn)與直線(xiàn)相交于點(diǎn)，∴關(guān)于x，y的二元一次方程組的解是；故答案為：．【例5-5】（23-24八年級(jí)下·廣東江門(mén)·期末）如圖，直線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)，則關(guān)于x的不等式的解集為．【答案】【分析】本題考查了一次函數(shù)與軸的交點(diǎn)問(wèn)題，根據(jù)直線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)并結(jié)合圖象即可得解，采用數(shù)形結(jié)合的思想是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵直線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)，∴由圖象可得，關(guān)于x的不等式的解集為，故答案為：．【例5-6】（23-24八年級(jí)下·湖北武漢·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)交x，y軸于點(diǎn)B，C，直線(xiàn)（k為任意實(shí)數(shù)）與直線(xiàn)交于點(diǎn)A．現(xiàn)有如下結(jié)論：①對(duì)于直線(xiàn)在時(shí)，；②直線(xiàn)與x軸所夾銳角總等于；③，若直線(xiàn)與y軸交點(diǎn)為為等腰直角三角形，的長(zhǎng)為2或4；④關(guān)于x，y的二元一次方程組一定有一組解的．其中正確的結(jié)論序號(hào)為．【答案】②③④【分析】利用一次函數(shù)的增減性即可判斷①；由即可判斷②；分兩組情況討論求得的值即可判斷③；根據(jù)A的橫坐標(biāo)即可判斷④．【詳解】解：①∵直線(xiàn)中，∴隨x的增大而增大，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴，故①錯(cuò)誤；②∵當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴直線(xiàn)與x軸所夾銳角總等于，故②正確；③∵時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，∵為等腰直角三角形，∴；當(dāng)時(shí)，∵為等腰直角三角形，∴；∴的長(zhǎng)為2或4，故③正確；④由③可知，直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)A橫坐標(biāo)為2，∴關(guān)于x，y的二元一次方程組一定有一組解的，故④正確．故答案為：②③④．【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)與二元一次方程組，一次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等，求得A點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．【例5-7】（23-24八年級(jí)下·河南南陽(yáng)·期末）請(qǐng)根據(jù)學(xué)習(xí)“一次函數(shù)”時(shí)積累的經(jīng)驗(yàn)和方法研究函數(shù)的圖象和性質(zhì)，并解決問(wèn)題．(1)填空：①當(dāng)時(shí)，_____；②當(dāng)時(shí)，_____；③當(dāng)時(shí)，_____；(2)在平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象；(3)觀察函數(shù)圖象，寫(xiě)出關(guān)于這個(gè)函數(shù)的兩條結(jié)論；(4)進(jìn)一步探究函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn)：若關(guān)于的方程無(wú)解，則的取值范圍是_____．【答案】(1)；，；(2)見(jiàn)解析(3)①函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；②當(dāng)時(shí)，有最小值．（答案不唯一）；(4)【分析】此題主要考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)與方程的關(guān)系，正確數(shù)形結(jié)合分析是解題關(guān)鍵．（1）直接利用絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)而化簡(jiǎn)得出答案；（2）直接利用（1）中所求得出函數(shù)圖象；（3）根據(jù)圖象即可求得；（4）直接利用函數(shù)圖象得出答案．【詳解】（1）解：①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，；③當(dāng)時(shí)，；故答案為：；，；（2）函數(shù)的圖象，如圖所示：（3）由圖象可知：①函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；②當(dāng)時(shí)，有最小值．（答案不唯一）；（4）若關(guān)于的方程無(wú)解，則函數(shù)圖象與直線(xiàn)沒(méi)有交點(diǎn)，則的取值范圍是．故答案為：．【變式5-1】（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·期末）如圖，若一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)．則方程的解為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此題主要考查了一次函數(shù)與一元一次方程，正確數(shù)形結(jié)合分析是解題關(guān)鍵．直接利用圖象得出答案即可．【詳解】解：如圖所示：不等式的解為：．故選：A．【變式5-2】（23-24八年級(jí)下·廣西河池·期末）已知一次函數(shù)與的圖象如圖所示，有下列結(jié)論：①；②；③關(guān)于x的方程的解為；④當(dāng)時(shí)，其中正確的結(jié)論有（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】利用一次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)①②進(jìn)行判斷；利用兩直線(xiàn)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3可對(duì)③進(jìn)行判斷；利用兩直線(xiàn)的位置關(guān)系對(duì)④進(jìn)行判斷．本題考查了一次函數(shù)圖象的性質(zhì)以及一次函數(shù)與與一元一次不等式組的關(guān)系，熟練掌握一次函數(shù)圖象的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵直線(xiàn)經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，∴，，所以①正確；∵直線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，∴，所以②錯(cuò)誤；∵當(dāng)時(shí)，，∴關(guān)于x的方程的解為，所以③正確；∵當(dāng)，直線(xiàn)在直線(xiàn)的下方，∴時(shí)，．所以④錯(cuò)誤．故答案為：C．【變式5-3】（24-25八年級(jí)下·全國(guó)·期末）如圖，一次函數(shù)與的圖象相交于點(diǎn)，則關(guān)于的方程的解是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了一次函數(shù)與一元一次方程，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．先將點(diǎn)代入一次函數(shù)可得，從而可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，再將點(diǎn)代入一次函數(shù)可得，由此即可得．【詳解】解：由題意，將點(diǎn)代入一次函數(shù)得：，解得，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵點(diǎn)在一次函數(shù)的圖象上，∴，∴關(guān)于的方程的解是，故選：A．【變式5-4】（22-23八年級(jí)下·陜西商洛·期末）如圖，直線(xiàn)與直線(xiàn)相交于點(diǎn)，則方程組的解是．【答案】【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與二元一次方程(組)，熟知一次函數(shù)與二元一次方程組之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．先求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再根據(jù)二元一次方程組與一次函數(shù)之間的關(guān)系即可解決問(wèn)題．【詳解】解∶將代入得，．解得．點(diǎn)P的坐標(biāo)為．方程組的解可看成函數(shù)與函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，此方程組的解為【變式5-5】（23-24八年級(jí)下·湖北武漢·期末）直線(xiàn)（k、b是常數(shù)，）經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，其中，下列四個(gè)結(jié)論：①方程的解在和0之間；②關(guān)于x的不等式的解集為；③；④關(guān)于x的不等式的解集為時(shí)，．其中正確的結(jié)論有．（只需填寫(xiě)序號(hào)）【答案】①②④【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖象性質(zhì)，一次函數(shù)與一元一次不等式，一次函數(shù)與一元一次方程，畫(huà)出圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圖象可對(duì)①②③進(jìn)行判斷；把，代入，得，解得：，則不等式化為，即可得，再根據(jù)不等式的解集為，可得，求解，即可對(duì)④進(jìn)行判斷．【詳解】解：如圖，直線(xiàn)、是常數(shù)，經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，其中，直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)在和0之間，故①正確；由圖象可得關(guān)于x的不等式的解集為，故②正確；由圖象可知：的圖象比的圖象平緩，∴，故③錯(cuò)誤；把，代入，得，解得：，不等式化為，∵的解集為∴∴，故④正確．故答案為：①②④．【變式5-6】（23-24八年級(jí)下·安徽淮南·期末）如圖，已知直線(xiàn)分別與，軸交于點(diǎn)，，與直線(xiàn)相交于點(diǎn)．(1)求和的值；(2)求不等式的解集．【答案】(1)，(2)【分析】本題考查了兩直線(xiàn)交點(diǎn)，一次函數(shù)解析式．（1）將代入，可求，即，將代入，可求，然后作答即可；（2）根據(jù)函數(shù)圖象及交點(diǎn)坐標(biāo)即可解答．【詳解】（1）解：將點(diǎn)代入，得，解得：，，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得，解得：；（2）解：由圖象可知，當(dāng)時(shí)，，不等式的解集為．【變式5-7】（23-24八年級(jí)下·廣西河池·期末）綜合與實(shí)踐同學(xué)，還記得學(xué)習(xí)研究一次函數(shù)的路徑嗎？請(qǐng)結(jié)合一次函數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)探究函數(shù)的圖象．(1)列表：x…012…y…3mn3…表格中_____________，_____________；(2)在下面的平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出該函數(shù)的圖象；

(3)觀察（2）中所畫(huà)函數(shù)的圖象，寫(xiě)出關(guān)于該函數(shù)的兩條結(jié)論．結(jié)論1：_____________；結(jié)論2：_____________；(4)寫(xiě)出關(guān)于的方程的解，并簡(jiǎn)單說(shuō)明此方程的解是如何得到的．【答案】(1)1；1(2)見(jiàn)解析(3)函數(shù)有最小值，最小值為；函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)(4)，理由見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，掌握畫(huà)一次函數(shù)圖像的方法，理解一次函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)的意義是解題的關(guān)鍵．（1）分別把和代入函數(shù)解析式，即可求解；（2）根據(jù)表格選取點(diǎn)，點(diǎn)作射線(xiàn)，選取點(diǎn)，點(diǎn)作射線(xiàn)，即可解答；（3）觀察（2）中的函數(shù)圖象，從最小值，對(duì)稱(chēng)性，增減性等方面總結(jié)即可；（4）畫(huà)出函數(shù)和的圖象，由兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)即可求解．【詳解】（1）解：；故答案為：1；1（2）解：如圖，

（3）解：根據(jù)題意得：結(jié)論1：函數(shù)有最小值，最小值為；結(jié)論21：函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)；（4）解：方程的解為：，理由如下：畫(huà)出函數(shù)和的圖象，如圖所示：

函數(shù)和的圖象交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，∴關(guān)于的方程的解為：．【考點(diǎn)題型六】一次函數(shù)的應(yīng)用（）【例6-1】（23-24八年級(jí)下·安徽宣城·期末）某樂(lè)隊(duì)舉行專(zhuān)場(chǎng)音樂(lè)會(huì)，為學(xué)校師生提供了兩種優(yōu)惠方案，教師票每張100元，學(xué)生票每張50元．方案一：購(gòu)買(mǎi)一張教師票贈(zèng)送1張學(xué)生票；方案二：按總價(jià)的付款．新星學(xué)校有4名教師與名學(xué)生購(gòu)票聽(tīng)音樂(lè)會(huì)，若付款總金額為（元）．(1)分別寫(xiě)出兩種方案中與的函數(shù)關(guān)系式；(2)至少有多少名學(xué)生參加時(shí)，選擇方案二的購(gòu)票方案比方案一便宜？【答案】(1)方案一中與的函數(shù)關(guān)系式為，方案二中與的函數(shù)關(guān)系式為(2)至少有13名學(xué)生參加時(shí)，選擇方案二的購(gòu)票方案比方案一便宜【分析】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，正確理解兩種優(yōu)惠方案是解題關(guān)鍵．（1）方案一：根據(jù)付款總金額4名教師的費(fèi)用名學(xué)生的費(fèi)用即可得；方案二：根據(jù)付款總金額（4名教師的費(fèi)用名學(xué)生的費(fèi)用）即可得；（2）結(jié)合（1）的答案，根據(jù)選擇方案二的購(gòu)票方案比方案一便宜建立一元一次不等式，解不等式求出的最小正整數(shù)解即可得．【詳解】（1）解：由題意得：方案一：，方案二：，答：方案一中與的函數(shù)關(guān)系式為，方案二中與的函數(shù)關(guān)系式為．（2）解：由題意得：，解得，∵為正整數(shù)，∴的最小值為13，答：至少有13名學(xué)生參加時(shí)，選擇方案二的購(gòu)票方案比方案一便宜．【例6-2】（23-24八年級(jí)下·新疆昌吉·期末）某商場(chǎng)籌集資金萬(wàn)元，一次性購(gòu)進(jìn)空調(diào)、彩電共臺(tái)．根據(jù)市場(chǎng)需要，這些空調(diào)、彩電可以全部銷(xiāo)售，全部銷(xiāo)售后利潤(rùn)不少于萬(wàn)元，其中空調(diào)、彩電的進(jìn)價(jià)和售價(jià)見(jiàn)表格．空調(diào)彩電進(jìn)價(jià)(元/臺(tái))售價(jià)(元/臺(tái))設(shè)商場(chǎng)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)空調(diào)x臺(tái)，空調(diào)和彩電全部銷(xiāo)售后商場(chǎng)獲得的利潤(rùn)為y元．(1)試寫(xiě)出y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)商場(chǎng)有哪幾種進(jìn)貨方案可供選擇？(3)最大利潤(rùn)為多少？【答案】(1)(2)商場(chǎng)有三種方案可供選擇：方案：購(gòu)空調(diào)臺(tái)，購(gòu)彩電臺(tái)；方案：購(gòu)空調(diào)臺(tái)，購(gòu)彩電臺(tái)；方案：購(gòu)空調(diào)臺(tái)，購(gòu)彩電臺(tái)(3)最大利潤(rùn)是元【分析】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用；（1）根據(jù)利潤(rùn)等于售價(jià)減去進(jìn)價(jià)再乘以數(shù)量，列出函數(shù)關(guān)系式，即可求解；（2）根據(jù)題意列出不等式組，求得整數(shù)解，進(jìn)而即可求解；（3）根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求最值，即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)商場(chǎng)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)空調(diào)臺(tái)，則計(jì)劃購(gòu)進(jìn)彩電臺(tái)，由題意，得；（2）依題意，有解得為整數(shù)，，，即商場(chǎng)有三種方案可供選擇：方案：購(gòu)空調(diào)臺(tái)，購(gòu)彩電臺(tái)；

方案：購(gòu)空調(diào)臺(tái)，購(gòu)彩電臺(tái)；方案：購(gòu)空調(diào)臺(tái)，購(gòu)彩電臺(tái)（3），，隨的增大而增大，

即當(dāng)時(shí)，有最大值，最大元．故選擇方案：購(gòu)空調(diào)臺(tái)，購(gòu)彩電臺(tái)時(shí)，商場(chǎng)獲利最大，最大利潤(rùn)是元【例6-3】（24-25八年級(jí)上·四川成都·期末）我國(guó)新能源汽車(chē)快速健康發(fā)展，續(xù)航里程不斷提升．王師傅駕駛一輛純電動(dòng)汽車(chē)從一高速公路入口駛?cè)霑r(shí)，該車(chē)的剩余電量是千瓦時(shí)，行駛了千米后，從另一高速公路出口駛出．已知該車(chē)在高速公路上行駛的過(guò)程中，剩余電量（千瓦時(shí)）與行駛路程（千米）之間的關(guān)系如圖所示．(1)求與之間的函數(shù)表達(dá)式；(2)若這輛車(chē)從高速路入口駛?cè)霑r(shí)，剩余電量為千瓦時(shí)，請(qǐng)問(wèn)王師傅能在不充電的情況下行駛千米路程到達(dá)高速公路出口嗎？并說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)能，理由見(jiàn)解析【分析】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．（1）利用待定系數(shù)法解答即可；（2）求出每千米消耗的電量，計(jì)算出行駛千米消耗的電量并與比較大小即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)與之間的函數(shù)表達(dá)式為，將點(diǎn)和分別代入，得，解得，∴，又∵，與之間的函數(shù)表達(dá)式為；（2）解：王師傅能在不充電的情況下行駛千米路程到達(dá)高速公路出口．理由如下：∵該電動(dòng)汽車(chē)每千米消耗的電量為（千瓦），∴該電動(dòng)汽車(chē)從高速路入口行駛360千米消耗的電量為（千瓦），∵，王師傅能在不充電的情況下行駛千米路程到達(dá)高速公路出口．【例6-4】（24-25八年級(jí)下·全國(guó)·期中）為了加強(qiáng)公民的節(jié)水意識(shí)，某市制定了如下用水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：每戶(hù)每月用水不超過(guò)10立方米時(shí)，水價(jià)為每立方米2.2元；超過(guò)10立方米時(shí)，超過(guò)部分按每立方米2.5元收費(fèi)．(1)若某戶(hù)某月用水8立方米，應(yīng)交水費(fèi)多少元？若用水14立方米呢？(2)寫(xiě)出每戶(hù)每月應(yīng)交水費(fèi)y（元）與用水量x（立方米）之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)自來(lái)水公司到琪琪家收水費(fèi)，爸爸、媽媽不在家，琪琪自己手里有30元的零花錢(qián)，他最多能交多少立方米的水費(fèi)？（水量x為整數(shù)）【答案】(1)17.6元；32元(2)(3)最多能交13立方米【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算、一次函數(shù)的應(yīng)用，正確求出函數(shù)解析式是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意列式計(jì)算即可得解；（2）根據(jù)題意，分兩種情況：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，分別求解即可；（3）令，求解即可．【詳解】（1）解：∵某戶(hù)某月用水8立方米，小于立方米，∴用水8立方米，應(yīng)交水費(fèi)（元）；∵用水14立方米，大于立方米，∴用水14立方米，應(yīng)交水費(fèi)（元）；（2）解：由題意可得：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故；（3）解：∵，∴令，解得：，∵水量x為整數(shù)，∴最多能交13立方米．【變式6-1】（22-23八年級(jí)下·全國(guó)·期末）為了響應(yīng)“足球進(jìn)校園”的號(hào)召，更好地開(kāi)展足球運(yùn)動(dòng)，某學(xué)校計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)一批足球，已知購(gòu)買(mǎi)4個(gè)A品牌足球和3個(gè)B品牌足球共需440元；購(gòu)買(mǎi)2個(gè)A品牌足球和1個(gè)B品牌足球共需180元．(1)求A，B兩種品牌足球的單價(jià)；(2)若學(xué)校準(zhǔn)備購(gòu)買(mǎi)A，B兩種品牌的足球共60個(gè)，且B品牌足球數(shù)不少于A品牌足球數(shù)的2倍，設(shè)購(gòu)買(mǎi)兩種品牌足球所需總費(fèi)用為y元，A品牌足球x個(gè)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并設(shè)計(jì)一種購(gòu)買(mǎi)方案，使所需總費(fèi)用最低，并求出最低總費(fèi)用．【答案】(1)A品牌足球單價(jià)為50元，B品牌足球單價(jià)為80元(2)，y取得最小值4200元，此時(shí)A品牌足球購(gòu)買(mǎi)了20個(gè)，B品牌足球購(gòu)買(mǎi)了40個(gè)【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式，一次函數(shù)的應(yīng)用，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意，列二元一次方程組即可；（2）根據(jù)題意，得一元一次不等式，解不等式，表示出總費(fèi)用y，根據(jù)一次函數(shù)的增減性計(jì)算y最小值即可．【詳解】（1）解：設(shè)A，B兩種品牌足球的單價(jià)分別為a元，b元，根據(jù)題意，得，解得：，∴A品牌足球單價(jià)為50元，B品牌足球單價(jià)為80元．（2）解：根據(jù)題意可知，B品牌足球個(gè)，∵B品牌足球不少于a品牌數(shù)的2倍，∴，∴，∴，∵，∴y隨x的增大而減小，∴當(dāng)時(shí)，y最小，此時(shí)．綜上，，y取得最小值4200元，此時(shí)A品牌足球購(gòu)買(mǎi)了20個(gè)，B品牌足球購(gòu)買(mǎi)了40個(gè)．【變式6-2】（23-24八年級(jí)下·云南紅河·期末）文化賦能鄉(xiāng)村振興，某縣以文明實(shí)踐引領(lǐng)鄉(xiāng)村治理，在群眾聚集地打造文化墻，以文化人、以文惠民、以文興城，該縣現(xiàn)欲購(gòu)買(mǎi)、兩種繪畫(huà)工具用于打造文化手繪墻．已知每件種工具的單價(jià)比每件種工具便宜元，用元購(gòu)買(mǎi)種工具的數(shù)量和用元購(gòu)買(mǎi)種工具的數(shù)量相同．(1)求、兩種工具的單價(jià)各是多少元．(2)該縣計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)、兩種工具共件，且種工具的數(shù)量不大于種工具數(shù)量的倍，請(qǐng)你幫忙設(shè)計(jì)出最省錢(qián)的購(gòu)買(mǎi)方案，并求出最低購(gòu)買(mǎi)費(fèi)用．【答案】(1)種工具的單價(jià)是元，則種工具的單價(jià)是元(2)最省錢(qián)的購(gòu)買(mǎi)方案是購(gòu)進(jìn)種工具件，購(gòu)進(jìn)種工具件，最低購(gòu)買(mǎi)費(fèi)用為元．【分析】本題考查分式方程和一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用，利用一次函數(shù)的增減性求最值，讀懂題意，列方程和不等式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．（1）設(shè)種工具的單價(jià)是元，則種工具的單價(jià)是元，根據(jù)題意，列分式方程，解方程即可；（2）根據(jù)題意，列一元一次不等式，再根據(jù)一次函數(shù)的增減性進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)種工具的單價(jià)是元，則種工具的單價(jià)是元，根據(jù)題意得，解得：經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解且符合題意，則種工具的單價(jià)是：元，答：種工具的單價(jià)是元，則種工具的單價(jià)是元（2）解：設(shè)夠買(mǎi)種工具件，則購(gòu)買(mǎi)種工具件，根據(jù)題意得，解得：，設(shè)購(gòu)買(mǎi)費(fèi)用為元，根據(jù)題意得，∵∴隨的增大而減小,∴時(shí)，取的最小值，此時(shí)元，購(gòu)進(jìn)種工具件，答：最省錢(qián)的購(gòu)買(mǎi)方案是購(gòu)進(jìn)種工具件，購(gòu)進(jìn)種工具件，最低購(gòu)買(mǎi)費(fèi)用為元．【變式6-3】（24-25八年級(jí)上·浙江·期末）一輛大客車(chē)和一輛小轎車(chē)沿同一公路同時(shí)從甲地出發(fā)去乙地，圖中折線(xiàn)和線(xiàn)段分別表示小轎車(chē)和大客車(chē)離開(kāi)甲地的路程與時(shí)間的關(guān)系，其中小轎車(chē)往返的速度相同．請(qǐng)結(jié)合圖象解答下列問(wèn)題：(1)分別求出小轎車(chē)和大客車(chē)速度；(2)點(diǎn)為與的交點(diǎn)，試求點(diǎn)的坐標(biāo)，并說(shuō)明點(diǎn)所表示的實(shí)際意義；(3)求出發(fā)后經(jīng)過(guò)多少小時(shí)兩車(chē)相距？【答案】(1)小轎車(chē)的速度為，大客車(chē)的速度為(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)實(shí)際意義是：兩車(chē)出發(fā)小時(shí)后相遇，此時(shí)距離甲地(3)小時(shí)或小時(shí)或小時(shí)【分析】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，（1）根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出小轎車(chē)和大客車(chē)的速度；（2）先確定與所在直線(xiàn)的解析式，再聯(lián)立方程組求解即可確定兩車(chē)出發(fā)多少小時(shí)兩車(chē)相遇，兩車(chē)相遇時(shí)，距離甲地的路程；（3）分三種情況求解即可；解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答．【詳解】（1）解：由圖象可知：小轎車(chē)的速度為：，大客車(chē)的速度為：，∴小轎車(chē)的速度為，大客車(chē)的速度為；（2）由圖像可知：，，，∵小轎車(chē)往返的速度相同，∴，設(shè)的解析式為，過(guò)點(diǎn)，，∴，解得：，∴的解析式為，設(shè)的解析式為，過(guò)點(diǎn)，∴，解得：，∴的解析式為，聯(lián)立方程組，得：，解得：，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)實(shí)際意義是：兩車(chē)出發(fā)小時(shí)后相遇，此時(shí)距離甲地；（3）設(shè)的解析式為，過(guò)點(diǎn)，∴，解得：，∴的解析式為，當(dāng)時(shí)，得：，解得：；當(dāng)時(shí)，則，得：，此時(shí)，兩車(chē)相距超過(guò)；當(dāng)時(shí)，得：，解得：或；綜上所述，出發(fā)后經(jīng)過(guò)小時(shí)或小時(shí)或小時(shí)兩車(chē)相距．【變式6-4】（24-25八年級(jí)上·安徽六安·階段練習(xí)）某市為了節(jié)約用水，采用分段收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)．設(shè)居民每月應(yīng)交水費(fèi)為y（元），用水量為x（立方米）．用水量（立方米）收費(fèi)（元）不超過(guò)10立方米每立方米2元超過(guò)10立方米超過(guò)的部分每立方米3元(1)寫(xiě)出每月用水量不超過(guò)10立方米和超過(guò)10立方米時(shí)，水費(fèi)與用水量之間的關(guān)系式；(2)若某戶(hù)居民某月用水量為7立方米，則應(yīng)交水費(fèi)多少元？(3)若某戶(hù)居民某月交水費(fèi)26元，則該戶(hù)居民用水多少立方米？【答案】(1)(2)應(yīng)交水費(fèi)14元(3)該戶(hù)居民用水12立方米【分析】本題考查一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，讀懂題意，正確的列出函數(shù)關(guān)系式，是解題的關(guān)鍵：（1）根據(jù)收費(fèi)方式，分2種情況，列出函數(shù)關(guān)系式即可；（2）將代入對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式進(jìn)行求解即可；（3）令，求出對(duì)應(yīng)的自變量的值即可．【詳解】（1）解：由題意，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴；（2）當(dāng)時(shí)，（元）；答：應(yīng)交水費(fèi)14元；（3）∵，∴，∴當(dāng)時(shí)，，解得：；答：該戶(hù)居民用水12立方米．【考點(diǎn)題型七】一次函數(shù)與面積問(wèn)題（）【例7】（24-25八年級(jí)上·江蘇宿遷·期末）如圖，已知直線(xiàn)交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，直線(xiàn)交軸于點(diǎn)，與直線(xiàn)相交于點(diǎn)．(1)求的值與求直線(xiàn)的解析式；(2)根據(jù)圖像，直接寫(xiě)出關(guān)于的不等式的解集；(3)求四邊形的面積．【答案】(1)，；(2)；(3)．【分析】本題主要考查了求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與幾何綜合，一次函數(shù)與不等式之間的關(guān)系，正確根據(jù)待定系數(shù)法求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．（1）把點(diǎn)坐標(biāo)代入中求得的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得直線(xiàn)的解析式；（2）根據(jù)函數(shù)圖象找到當(dāng)一次函數(shù)圖象在直線(xiàn)圖象上方時(shí)，自變量的取值范圍即可得到答案；（3）得出點(diǎn)、的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)四邊形的面積解答即可．【詳解】（1）解：∵直線(xiàn)與直線(xiàn)相交于點(diǎn)．∴，解得；∴，把點(diǎn)，代入可得，解得：，∴直線(xiàn)的解析式為：；（2）解：由圖象可知，當(dāng)一次函數(shù)圖象在直線(xiàn)圖象上方時(shí)，自變量的取值范圍為，∴不等式的解集是；（3）解：把代入得：，∴，把代入得：，解得，∴，∵，∴，∵∴四邊形的面積．【變式7-1】（22-23八年級(jí)下·河北唐山·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線(xiàn)與y軸相交于C點(diǎn)，與線(xiàn)段交于P點(diǎn)

(1)求的面積；(2)若點(diǎn)A和點(diǎn)B在直線(xiàn)的兩側(cè)，求k的取值范圍；(3)若P點(diǎn)將線(xiàn)段分成兩部分，直接寫(xiě)出k的值．【答案】(1)6(2)(3)或【分析】（1）延長(zhǎng)線(xiàn)段交y軸于點(diǎn)D，則軸，求出，利用三角形的面積公式求解即可；（2）先求出直線(xiàn)的斜率，即可求出的取值范圍；（3）分兩種情況：或求解.【詳解】（1）解：，∴軸，延長(zhǎng)線(xiàn)段交y軸于點(diǎn)D，軸，∵，，∴

（2）解：設(shè)直線(xiàn)的解析式為，，解得，∴直線(xiàn)的解析式為設(shè)直線(xiàn)的解析式為，，解得，∴直線(xiàn)的解析式為∵點(diǎn)和點(diǎn)在直線(xiàn)的兩側(cè)，∴；（3）解：當(dāng)，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，將點(diǎn)代入，得，解得，，當(dāng)，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，將點(diǎn)代入，得，解得，，綜上所述，或【點(diǎn)睛】此題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，正確理解一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（23-24八年級(jí)下·吉林長(zhǎng)春·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象交x軸于點(diǎn)A、交y軸于點(diǎn)B，函數(shù)（m為常數(shù)）的圖象為直線(xiàn)，交x軸于點(diǎn)C、交y軸于點(diǎn)D，直線(xiàn)與直線(xiàn)相交于點(diǎn)P．(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為_(kāi)_________，點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)________．(2)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．(3)當(dāng)點(diǎn)P位于第四象限時(shí)，求m的取值范圍．(4)連結(jié)，，當(dāng)?shù)拿娣e是面積的2倍時(shí)，直接寫(xiě)出m的值．【答案】(1)，(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3)(4)或【分析】（1）根據(jù)，得到當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即可得到與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）時(shí)，得到方程，解到，再求出對(duì)應(yīng)y值即得；（3）求出點(diǎn)P在點(diǎn)和時(shí)的m值，即得；（4）求出，根據(jù)，，，即可求得m值．【詳解】（1）在中，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，；∴，；故答案為：，，（2）當(dāng)時(shí)，有，，解得，，∴，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；（3）當(dāng)P點(diǎn)在時(shí)，代入，得；當(dāng)P點(diǎn)在時(shí)，代入，得；∴當(dāng)P點(diǎn)在第四象限時(shí)；（4）或．理由：當(dāng)時(shí)，，解得，∴，∴．∵，，，∴，得；或，得．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)綜合．熟練掌握一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系，一次函數(shù)與不等式的關(guān)系，三角形的面積公式，分類(lèi)討論，是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（24-25八年級(jí)上·河北保定·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，直線(xiàn)．(1)求直線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；(2)若，將直線(xiàn)沿軸向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)平移后的直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，求的值；(3)無(wú)論的值怎樣變化，直線(xiàn)都過(guò)定點(diǎn)________；若當(dāng)從開(kāi)始逐漸增大時(shí)，函數(shù)的值比直線(xiàn)對(duì)應(yīng)函數(shù)的值先到達(dá)，求的取值范圍；(4)已知直線(xiàn)（直線(xiàn)上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)都為），若直線(xiàn)（且）直線(xiàn)與直線(xiàn)圍成的三角形的面積是，直接寫(xiě)出的值．【答案】(1)(2)(3)

(4)或【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求解；（2）先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)平移過(guò)程寫(xiě)出平移后的直線(xiàn)解析式，最后把點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求解；（3）根據(jù)函數(shù)表達(dá)式的特征即可求解；根據(jù)“函數(shù)的值比直線(xiàn)對(duì)應(yīng)函數(shù)的值先到達(dá)”列出一元一次不等式，解出的范圍即可求解；（4）如圖所示，根據(jù)題意表示出三條直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)，再表示出三條直線(xiàn)圍成的三角形的面積，令其等于，解絕對(duì)值方程即可．【詳解】（1）解：設(shè)直線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，解得：，直線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為；（2）解：當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，直線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為，將直線(xiàn)沿軸向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后的直線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為，平移后的直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，將代入中，得，解得：；（3）解：無(wú)論的值怎樣變化，直線(xiàn)都過(guò)定點(diǎn)，故答案為：；當(dāng)時(shí)，，解得：，將代入中，得，函數(shù)的值比直線(xiàn)對(duì)應(yīng)函數(shù)的值先到達(dá)，，解得：；（4）解：由，解得：，即直線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)，如圖所示，把分別代入、得、，即直線(xiàn)分別與、交于點(diǎn)、，如圖所示，則，作于，則，則，又，，解得：或．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、一次函數(shù)的平移規(guī)律、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、一次函數(shù)的性質(zhì)、兩直線(xiàn)的交點(diǎn)與二元一次方程組的解的關(guān)系、解一元一次不等式等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握以上知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型八】一次函數(shù)的動(dòng)態(tài)問(wèn)題（）【例8-1】（24-25八年級(jí)上·山東煙臺(tái)·期末）如圖，直線(xiàn)與軸，軸分別交于，兩點(diǎn)，且．(1)求的值；(2)點(diǎn)是直線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e是時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，且點(diǎn)在第一象限，軸上是否存在一點(diǎn)，使是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的所有點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為或(3)，，，．【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，待定系數(shù)法，三角形的面積公式，等腰三角形的性質(zhì)．（1）確定出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入函數(shù)解析式中即可求出；（2）利用三角形的面積求出求出點(diǎn)坐標(biāo)；（3）設(shè)出點(diǎn)，表示出，，計(jì)算出，分三種情況討論計(jì)算即可得出點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】（1）解：，，點(diǎn)在直線(xiàn)上，，；（2）由（1）知，，直線(xiàn)解析式為，點(diǎn)是第一象限內(nèi)的直線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，，解得或，故點(diǎn)的坐標(biāo)為或；（3）軸上存在一點(diǎn)，使等腰三角形；理由如下：在①的條件下，且點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)，∴，，①當(dāng)時(shí)，∴，∴，∴，②當(dāng)時(shí)，∴，∴舍去)或，∴，③當(dāng)時(shí)，∴，∴，∴綜上所述，滿(mǎn)足條件的所有點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，．【例8-2】（24-25八年級(jí)上·山東棗莊·期末）如圖，直線(xiàn)與軸、軸分別交于點(diǎn)和點(diǎn)是上的一點(diǎn)，若將沿折疊，點(diǎn)恰好落在軸上的點(diǎn)處．求：(1)求、兩點(diǎn)坐標(biāo)；(2)求坐標(biāo)；(3)在軸上找一點(diǎn)，使得以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)，(2)(3)或或或【分析】本題考查一次函數(shù)、勾股定理于折疊、等腰三角形的定義等知識(shí)點(diǎn)，將圖形與數(shù)學(xué)知識(shí)相結(jié)合是解題的關(guān)鍵．（1）令可求得A點(diǎn)坐標(biāo)；令，得B點(diǎn)坐標(biāo)；（2）由勾股定理可得線(xiàn)段，由折疊的性質(zhì)可知，，進(jìn)而得到，設(shè)，則，在中，由勾股定理可得m值，即可確定點(diǎn)M坐標(biāo)；（3）由勾股定理可得，然后分三種情況分別畫(huà)出圖形并運(yùn)用等腰三角形的定義和勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：，令，則；，則；，；（2）解：，，，，，由折疊的性質(zhì)可知，，，設(shè)，則，在中，由勾股定理可得，解得，；（3）解：由（2）知，，；以點(diǎn)M為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓交x軸于一點(diǎn)P，此時(shí)，；；以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓交x軸于一點(diǎn)P，此時(shí)，或，或；如圖：作線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)交x軸于一點(diǎn)P，此時(shí)，，設(shè)，則，在中，由勾股定理可得，解得，；綜合上述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或或．【例8-3】（24-25八年級(jí)上·江蘇鹽城·期末）【探索發(fā)現(xiàn)】如圖1，在等腰直角三角形中，，，直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)A作直線(xiàn)l，垂足為點(diǎn)D．過(guò)B作，垂足為點(diǎn)E，易證，我們稱(chēng)這種全等模型為“k型全等”．（不需要證明）【遷移應(yīng)用】已知：直線(xiàn)的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)．（1）如圖2．當(dāng)時(shí)，在第一象限構(gòu)造等腰直角，，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為_(kāi)_____；（2）如圖3，當(dāng)點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在y軸左側(cè)過(guò)點(diǎn)B作，并且，連接，試問(wèn)的面積是否為定值？若是請(qǐng)求出這個(gè)定值，若不是請(qǐng)說(shuō)明理由；【拓展提高】（3）如圖4，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，直線(xiàn)與y軸交于點(diǎn)N，與x軸交于點(diǎn)Q，將直線(xiàn)繞N點(diǎn)沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后，所得的直線(xiàn)交x軸于點(diǎn)M．求直線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式．【答案】（1）；（2）的面積是定值，詳見(jiàn)解析；（3）【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形，一次函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握“k型全等”是解題的關(guān)鍵：（1）過(guò)點(diǎn)作軸，證明，即可得出結(jié)果；（2）過(guò)點(diǎn)Q作軸，垂足為點(diǎn)H，證明，得到，求出點(diǎn)坐標(biāo)，再利用三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可；（3）過(guò)點(diǎn)Q作交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作軸，垂足為點(diǎn)H，證明，求出點(diǎn)坐標(biāo)，待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可．【詳解】解：（1）過(guò)點(diǎn)作軸，則：，∵等腰直角，∴，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∴，∴；（2）的面積是定值．理由如下：過(guò)點(diǎn)Q作軸，垂足為點(diǎn)H，，，，，，，在和中，，，．當(dāng)時(shí)，，∴，．，的面積是定值，定值為；（3）過(guò)點(diǎn)Q作交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作軸，垂足為點(diǎn)H．．，，．在中，由題意，，．．在和中，，，．由題意知，直線(xiàn)與y軸交