2025年高考數(shù)學(xué)考前沖刺（2）倒計時10-15天（原卷版）

第二輯數(shù)列（解答題）……………………01新定義（解答題）…………………07函數(shù)及其性質(zhì)（選填題）………12三角函數(shù)的圖象及其性質(zhì)（選填題）……………19三角恒等變換（選填題）…………26數(shù)列（解答題）年份題號分值題干2023年新高考I卷2012（2023·新課標Ⅰ卷·高考真題）設(shè)等差數(shù)列的公差為，且．令，記分別為數(shù)列的前項和．(1)若，求的通項公式；(2)若為等差數(shù)列，且，求．等差數(shù)列通項公式的基本量計算；利用等差數(shù)列的性質(zhì)計算；等差數(shù)列前n項和的基本量計算2023年新高考II卷1812（2023·新課標Ⅱ卷·高考真題）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項和，，．(1)求的通項公式；(2)證明：當時，．利用定義求等差數(shù)列通項公式；分組（并項）法求和；等差數(shù)列通項公式的基本量計算；求等差數(shù)列前n項和2022年新高考I卷1710（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）記為數(shù)列的前n項和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)證明：．裂項相消法求和；累乘法求數(shù)列通項；利用與關(guān)系求通項或項；利用等差數(shù)列通項公式求數(shù)列中的項2022年新高考II卷1710（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且．(1)證明：；(2)求集合中元素個數(shù)．等差數(shù)列通項公式的基本量計算；等比數(shù)列通項公式的基本量計算；數(shù)列不等式能成立（有解）問題近三年新高考數(shù)學(xué)數(shù)列解答題考查情況總結(jié)1.考點方面數(shù)列基本量計算：等差數(shù)列通項公式前項和公式的基本量計算是核心。如2023年新課標I卷、Ⅱ卷，2022年新高考卷均涉及。數(shù)列通頂公式求解：利用定義法（如等差數(shù)列定義）、與的關(guān)系(求通項。如2022年新高考I卷通過為等差數(shù)列求通項。數(shù)列求和與綜合：分組求和（如2023年新課標II卷)、裂項相消法（如2022年新高考I卷證明不等式)；數(shù)列與不等式結(jié)合（如證明。2.題目設(shè)置方面通常設(shè)置兩問，第一問求數(shù)列通項公式，第二問求和或證明不等式、比較大小（如2023年新課標卷證明時整體考點穩(wěn)定，注重對數(shù)列基本公式、方法的理解與運用，兼顧計算能力和邏輯推理能力的考查。題型與分值：預(yù)計以一道解答題（分值約12-17分）呈現(xiàn)，設(shè)置兩問，梯度分明。?考查方向?數(shù)列基本性質(zhì)：等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式仍是考查重點，可能結(jié)合遞推關(guān)系求通項。?數(shù)列求和方法：裂項相消法、分組求和法、錯位相減法等仍會考查，尤其裂項相消在證明不等式或求和中出現(xiàn)概率高。?綜合應(yīng)用：數(shù)列與不等式的綜合（如證明數(shù)列和的范圍、不等式恒成立求參數(shù)），或與函數(shù)結(jié)合考查數(shù)列的單調(diào)性、最值。?計算與推理：注重基本概念與公式的靈活運用，第二問可能設(shè)置一定計算量或推理過程，如通過數(shù)列求和證明不等式，考查邏輯嚴謹性和運算準確性。等差數(shù)列通項公式：或等比數(shù)列通項公式：通項公式的構(gòu)造（1）已知，我們可以用待定系數(shù)法構(gòu)造，從而轉(zhuǎn)化為我們熟悉的等比數(shù)列求解（2）已知用求通項（3）已知用求通項公式，其本質(zhì)是除以一個指數(shù)式（4）已知用求通項公式，其本質(zhì)是待定系數(shù)法（5）已知用求通項公式，其本質(zhì)是除以（6）已知用求通項公式，其本質(zhì)是取到數(shù)（7）已知用求通項公式，其本質(zhì)是取對數(shù)的類型，公式數(shù)列求和的常用方法：對于等差、等比數(shù)列，利用公式法可直接求解；等差數(shù)列求和，等比數(shù)列求和對于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，用錯位相減法求和；為公差為d的等差數(shù)列，為公比為q的等比數(shù)列，若數(shù)列滿足，則數(shù)列的前n項和為（3）對于結(jié)構(gòu)，利用分組求和法；（4）對于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，公差為，則，利用裂項相消法求和.或通項公式為形式的數(shù)列，利用裂項相消法求和.即常見的裂項技巧：；；指數(shù)型；對數(shù)型.等典例1（2023·新課標Ⅰ卷·高考真題）設(shè)等差數(shù)列的公差為，且．令，記分別為數(shù)列的前項和．(1)若，求的通項公式；(2)若為等差數(shù)列，且，求．典例2（2023·新課標Ⅱ卷·高考真題）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項和，，．(1)求的通項公式；(2)證明：當時，．典例3（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）記為數(shù)列的前n項和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)證明：．典例4（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且．(1)證明：；(2)求集合中元素個數(shù)．【名校預(yù)測·第一題】（貴州省貴陽市第一中學(xué)2025屆高三下數(shù)學(xué)試卷）已知正項數(shù)列的前項和為，(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．【名校預(yù)測·第二題】（湖北省武漢市華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期數(shù)學(xué)試題）數(shù)列的前n項和為，數(shù)列滿足，且數(shù)列的前n項和為．(1)求，并求數(shù)列的通項公式；(2)抽去數(shù)列中點第1項，第4項，第7項，…，第項，余下的項順序不變，組成一個新數(shù)列，數(shù)列的前n項和為，求證：．【名校預(yù)測·第三題】（遼寧省本溪市高級中學(xué)2025屆高三下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題）已知等差數(shù)列的前n項和為．(1)求的通項公式；(2)數(shù)列滿足為數(shù)列的前n項和，是否存在正整數(shù)m，，使得?若存在，求出m，k的值；若不存在，請說明理由．【名師押題·第一題】已知數(shù)列滿足，．(1)求證：是等差數(shù)列；(2)若，求數(shù)列的前項和．【名師押題·第二題】已知數(shù)列的前n項和為，且．(1)若，求；(2)若，求關(guān)于n的表達式．【名師押題·第三題】已知數(shù)列滿足，（），記．(1)求證：是等比數(shù)列；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項和為．若不等式對一切恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【名師押題·第四題】已知數(shù)列的前n項和為，且，．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列．(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和．(3)設(shè)，證明：．【名師押題·第五題】已知數(shù)列滿足．(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)設(shè)，記數(shù)列的前n項和為．（i）求；（ii）若成立，求m的取值范圍．新定義（解答題）年份題號分值題干2024年新高考I卷1917（2024·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項和后剩余的項可被平均分為組，且每組的4個數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列是可分數(shù)列．(1)寫出所有的，，使數(shù)列是可分數(shù)列；(2)當時，證明：數(shù)列是可分數(shù)列；(3)從中任取兩個數(shù)和，記數(shù)列是可分數(shù)列的概率為，證明：．數(shù)列新定義；等差數(shù)列通項公式的基本量計算，數(shù)列與概率交匯結(jié)合新高考數(shù)學(xué)新定義解答題考查情況總結(jié)?考點方面：聚焦于對新定義概念的理解與運用，如2024年新高考全國I卷“可分數(shù)列”的新定義，結(jié)合等差數(shù)列通項公式的基本量計算，以及數(shù)列與概率的交匯考查。注重知識的綜合運用，要求考生快速理解新定義，并調(diào)用已有知識（如數(shù)列性質(zhì)、概率計算）進行分析。?題目設(shè)置方面：通常設(shè)置多問，第一問常為具體實例探索（如寫出滿足條件的所有可分數(shù)列），幫助考生初步理解新定義；后續(xù)問題逐步深入（如證明某數(shù)列符合新定義、計算相關(guān)概率并證明不等式），對數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和運算求解能力要求較高。整體強調(diào)對新定義的深度理解與綜合應(yīng)用，考查考生學(xué)習(xí)新知識并解決問題的素養(yǎng)。?2025年新高考新定義解答題高考預(yù)測?題型與考查形式：預(yù)計2025年新高考仍會以新定義題考查學(xué)生創(chuàng)新思維與綜合能力，可能涉及更多元的知識交匯，如數(shù)列與函數(shù)、幾何、概率統(tǒng)計等的結(jié)合。題目或設(shè)多問，第一問引導(dǎo)理解新定義，后續(xù)問題增加難度，深入考查應(yīng)用能力。?考點趨勢：除數(shù)列相關(guān)新定義外，函數(shù)、幾何領(lǐng)域的新定義考查概率增加。例如，給出函數(shù)的新性質(zhì)定義，或幾何圖形的新判定規(guī)則，要求考生通過分析、推理、計算解決問題。注重對數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和創(chuàng)新意識的考查，計算與證明過程可能更復(fù)雜，強調(diào)基礎(chǔ)知識的靈活運用與思維的開放性。一、數(shù)列新定義問題1.考察對定義的理解。2.考查滿足新定義的數(shù)列的簡單應(yīng)用，如在某些條件下，滿足新定義的數(shù)列有某些新的性質(zhì)，這也是在新環(huán)境下研究“舊”性質(zhì)，此時需要結(jié)合新數(shù)列的新性質(zhì)，探究“舊”性質(zhì).3.考查綜合分析能力，主要是將新性質(zhì)有機地應(yīng)用在“舊”性質(zhì)上，創(chuàng)造性地證明更新的性質(zhì).遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，轉(zhuǎn)化為已有的知識點是考查的重點，這類思想需要熟練掌握.二、函數(shù)新定義問題涉及函數(shù)新定義問題，理解新定義，找出數(shù)量關(guān)系，聯(lián)想與題意有關(guān)的數(shù)學(xué)知識和方法，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化、抽象為相應(yīng)的函數(shù)問題作答.關(guān)于新定義題的思路有：1.找出新定義有幾個要素，找出要素分別代表什么意思；2.由已知條件，看所求的是什么問題，進行分析，轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語言；3.將已知條件代入新定義的要素中；4.結(jié)合數(shù)學(xué)知識進行解答.三、集合新定義問題對于以集合為背景的新定義問題的求解策略：1.緊扣新定義，首先分析新定義的特點，把心定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，應(yīng)用到具體的解題過程中；2.用好集合的性質(zhì)，解題時要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用的集合的性質(zhì)的一些因素.3.涉及有交叉集合的元素個數(shù)問題往往可采用維恩圖法，基于課標要求的，對于集合問題，要熟練基本的概念，數(shù)學(xué)閱讀技能、推理能力，以及數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理能力.4.認真歸納類比即可得出結(jié)論，但在推理過程中要嚴格按照定義的法則或相關(guān)的定理進行，同時運用轉(zhuǎn)化化歸思想，將陌生的問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問題，或?qū)?fù)雜的問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單的問題．典例1（2024·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項和后剩余的項可被平均分為組，且每組的4個數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列是可分數(shù)列．(1)寫出所有的，，使數(shù)列是可分數(shù)列；(2)當時，證明：數(shù)列是可分數(shù)列；(3)從中任取兩個數(shù)和，記數(shù)列是可分數(shù)列的概率為，證明：．【名校預(yù)測·第一題】（山東省泰安第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題）全集，，，若中存在兩個非空子集，，滿足，，則稱，是的一個“組合分拆”，用表示集合的所有元素的和．(1)若．①若，，求；②若為偶數(shù)，證明：；(2)若，為給定的偶數(shù)，關(guān)于的方程存在有理數(shù)解，求的最小值，并寫出取得最小值時的一個集合．【名校預(yù)測·第二題】（廣東省深圳市高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期數(shù)學(xué)試題）對于一個給定的數(shù)列，令，則數(shù)列稱為數(shù)列的一階和數(shù)列，再令，則數(shù)列是數(shù)列的二階和數(shù)列，以此類推，可得數(shù)列的階和數(shù)列．(1)若的二階和數(shù)列是等比數(shù)列，且，，，，求；(2)若，求的二階和數(shù)列的前項和；(3)若是首項為1的等差數(shù)列，是的一階和數(shù)列，且，，求正整數(shù)的最大值，以及取最大值時的公差．【名校預(yù)測·第三題】（浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題）對于無窮數(shù)列，，，，，我們稱為數(shù)列的生成函數(shù).生成函數(shù)是重要的計數(shù)工具之一.對于給定的正整數(shù)p，記方程的非負整數(shù)解的個數(shù)為，則為展開式中前的系數(shù).(1)寫出無窮常數(shù)列1，1，1，…的生成函數(shù)并化簡；(2)證明：；(3)本次測試共分為十一個大項，前十項各有三個小項，第十一項僅有兩個小項.學(xué)生需參加所有項目獲取最終分數(shù).計分規(guī)則如下：通過第大項中的每一個小項，都可獲得分，通過第十一項中的每一個小項，可獲得1分.記為總分為n分的所有得分組合數(shù)，求．【名校預(yù)測·第四題】（山西大學(xué)附屬中學(xué)校2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期3月模擬數(shù)學(xué)試題）定義可導(dǎo)函數(shù)p（x）在x處的函數(shù)為p（x）的“優(yōu)秀函數(shù)”，其中為p（x）的導(dǎo)函數(shù)．若，都有成立，則稱p（x）在區(qū)間D上具有“優(yōu)秀性質(zhì)”且D為（x）的“優(yōu)秀區(qū)間”．已知．(1)求出f（x）的“優(yōu)秀區(qū)間”；(2)設(shè)f（x）的“優(yōu)秀函數(shù)”為g（x），若方程有兩個不同的實數(shù)解、．（?。┣髆的取值范圍；（ⅱ）證明：（參考數(shù)據(jù)：）．【名師押題·第一題】已知集合，集合B滿足．(1)判斷，，，中的哪些元素屬于B；(2)證明：若，，則；(3)證明：若，則．【名師押題·第二題】已知是函數(shù)定義域的子集，若，，成立，則稱為上的“函數(shù)”.(1)判斷是否是上的“函數(shù)”？請說明理由；(2)證明：當（是與無關(guān)的實數(shù)），是上的“函數(shù)”時，；(3)已知是上的“函數(shù)”，若存在這樣的實數(shù)，，當時，，求的最大值.【名師押題·第三題】已知數(shù)列的前n項和為，且，，當數(shù)列的項數(shù)大于2時，將數(shù)列中各項的所有不同排列填入一個行列的表格中（每個格中一個數(shù)字），使每一行均為這個數(shù)的一個排列，將第行的數(shù)字構(gòu)成的數(shù)列記作，將數(shù)列中的第項記作．若對，均有，則稱數(shù)列為數(shù)列的“異位數(shù)列”，記表格中“異位數(shù)列”的個數(shù)為．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)當數(shù)列的項數(shù)為時，求的值；(3)若數(shù)列為數(shù)列的“異位數(shù)列”，試討論的最小值．【名師押題·第四題】設(shè)是項數(shù)為且各項均不相等的正項數(shù)列，滿足下列條件的數(shù)列稱為的“等比關(guān)聯(lián)數(shù)列”：①數(shù)列的項數(shù)為；②中任意兩項乘積都是中的項；③是公比大于1的等比數(shù)列．(1)已知數(shù)列是的“等比關(guān)聯(lián)數(shù)列”，且，，，求數(shù)列的通項公式；(2)已知數(shù)列是的“等比關(guān)聯(lián)數(shù)列”，且的前3項成等比數(shù)列的概率為，求的值；(3)證明：不存在“等比關(guān)聯(lián)數(shù)列”．【名師押題·第五題】設(shè)數(shù)列和都有無窮項，已知存在非零常數(shù)，使得，此時稱數(shù)列是由“-生成”的．(1)如果是等比數(shù)列，滿足的，若數(shù)列是由“-生成”，求的值；(2)已知數(shù)列是由“-生成”的，如果存在非零常數(shù)，使得是由“-生成”的，求數(shù)列的通項；(3)設(shè)，且數(shù)列，，分別是由數(shù)列，，“-生成”的，表示數(shù)列的前n項和．已知，求的最小值．函數(shù)及其性質(zhì)（選填題）年份題號分值題干2024年新高考I卷65（2024·新課標Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（

） B． C． D．判斷指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)；研究對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性2024年新高考I卷85（2024·新課標Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)的定義域為R，，且當時，則下列結(jié)論中一定正確的是（

）A．B．C．D．求函數(shù)值；比較函數(shù)值的大小關(guān)系2024年新高考II卷65（2024·新課標Ⅱ卷·高考真題）設(shè)函數(shù)，，當時，曲線與恰有一個交點，則（

） B．C．1 D．2函數(shù)奇偶性的應(yīng)用；根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍；函數(shù)奇偶性的定義與判斷；求余弦（型）函數(shù)的奇偶性2024年新高考II卷85（2024·新課標Ⅱ卷·高考真題）設(shè)函數(shù)，若，則的最小值為（

） B．C． D．1由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式；函數(shù)不等式恒成立問題2023年新高考I卷45（2023·新課標Ⅰ卷·高考真題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A．B．C． D．根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值；判斷指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性；已知二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間求參數(shù)值或范圍2023年新高考I卷115（2023·新課標Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)的定義域為，，則（

）．A．B．C．是偶函數(shù)D．為的極小值點函數(shù)奇偶性的定義與判斷；函數(shù)極值點的辨析2023年新高考II卷45（2023·新課標Ⅱ卷·高考真題）若為偶函數(shù)，則（

）． B．0C． D．1由奇偶性求參數(shù)；函數(shù)奇偶性的應(yīng)用2022年新高考I卷125（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（

）B．C． D．函數(shù)對稱性的應(yīng)用；函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系；抽象函數(shù)的奇偶性2022年新高考II卷85（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）已知函數(shù)的定義域為R，且，則（

） B．C．0 D．1函數(shù)奇偶性的應(yīng)用；由抽象函數(shù)的周期性求函數(shù)值近三年新高考數(shù)學(xué)函數(shù)及其性質(zhì)選填題考查情況總結(jié)1.考點方面函數(shù)基本性質(zhì)：單調(diào)性（如根據(jù)分段函數(shù)或復(fù)合函數(shù)單調(diào)求參數(shù)）、奇偶性（由奇偶性求參數(shù)或判斷性質(zhì)）、對稱性（利用函數(shù)對稱性解決問題）是核心考點。例如2024年新課標Ⅰ卷第6題考查分段函數(shù)單調(diào)求參數(shù)，2023年新課標Ⅱ卷第4題由奇偶性求a值。函數(shù)綜合應(yīng)用：涉及函數(shù)值比較（2024年新課標Ⅰ卷第8題）、函數(shù)零點與參數(shù)關(guān)系（2024年新課標Ⅱ卷第6題）、不等式恒成立求最值（2024年新課標Ⅱ卷第8題）。還考查抽象函數(shù)性質(zhì)（2022年新課標Ⅱ卷第8題利用函數(shù)方程求累加和）。導(dǎo)數(shù)與函數(shù)結(jié)合：如2022年新課標Ⅰ卷第12題通過導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)對稱性的關(guān)系解題，體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)工具性。2.題目設(shè)置方面以選擇題為主，分值5分，題干簡潔但綜合性強。注重對函數(shù)性質(zhì)的深度理解與靈活運用，如根據(jù)單調(diào)性列不等式組、利用奇偶性建立方程、結(jié)合對稱性推導(dǎo)函數(shù)值關(guān)系等。1.題型與分值：預(yù)計2025年仍以選擇題或填空題形式出現(xiàn)，分值5-6分，保持對函數(shù)核心性質(zhì)的考查。2.考查方向核心性質(zhì)深化：函數(shù)的單調(diào)、奇偶、對稱性質(zhì)仍是重點，可能結(jié)合導(dǎo)數(shù)考查復(fù)雜函數(shù)單調(diào)性，或通過奇偶性與對稱性的綜合推導(dǎo)函數(shù)特征。綜合應(yīng)用拓展：函數(shù)與方程零點、不等式的綜合會更常見，如根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)范圍，或利用函數(shù)單調(diào)性解不等式。也可能出現(xiàn)函數(shù)與數(shù)列的簡單交匯，如通過函數(shù)周期性求數(shù)列和。創(chuàng)新與靈活度：可能引入新情境或新定義（如給定特殊函數(shù)方程），考查對函數(shù)性質(zhì)的遷移應(yīng)用能力，注重思維靈活性與對知識的綜合運用。單調(diào)性單調(diào)性的運算①增函數(shù)（↗）增函數(shù)（↗）增函數(shù)↗②減函數(shù)（↘）減函數(shù)（↘）減函數(shù)↘③為↗，則為↘，為↘④增函數(shù)（↗）減函數(shù)（↘）增函數(shù)↗⑤減函數(shù)（↘）增函數(shù)（↗）減函數(shù)↘⑥增函數(shù)（↗）減函數(shù)（↘）未知（導(dǎo)數(shù)）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性奇偶性①具有奇偶性的函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱（大前提）②奇偶性的定義：奇函數(shù)：，圖象關(guān)于原點對稱偶函數(shù)：，圖象關(guān)于軸對稱③奇偶性的四則運算周期性（差為常數(shù)有周期）①若，則的周期為：②若，則的周期為：③若，則的周期為：（周期擴倍問題）④若，則的周期為：（周期擴倍問題）對稱性（和為常數(shù)有對稱軸）軸對稱①若，則的對稱軸為②若，則的對稱軸為點對稱①若，則的對稱中心為②若，則的對稱中心為周期性對稱性綜合問題①若，，其中，則的周期為：②若，，其中，則的周期為：③若，，其中，則的周期為：奇偶性對稱性綜合問題①已知為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則的周期為：②已知為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則的周期為：典例1（2024·新課標Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．典例2（2024·新課標Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)的定義域為R，，且當時，則下列結(jié)論中一定正確的是（

）A． B．C． D．典例3（2024·新課標Ⅱ卷·高考真題）設(shè)函數(shù)，，當時，曲線與恰有一個交點，則（

）A． B． C．1 D．2典例4（2023·新課標Ⅰ卷·高考真題）（多選）已知函數(shù)的定義域為，，則（

）．A． B．C．是偶函數(shù) D．為的極小值點典例5（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）（多選）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【名校預(yù)測·第一題】（山東省實驗中學(xué)2025屆高三第五次診斷考試數(shù)學(xué)試題）函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【名校預(yù)測·第二題】（廣東省深圳市高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期數(shù)學(xué)試題）（多選）已知函數(shù)的定義域為，，，則（

）A． B．的圖象關(guān)于點對稱C．的圖象關(guān)于直線對稱 D．【名校預(yù)測·第三題】（重慶市南開中學(xué)校2025屆高三下學(xué)期高考模擬數(shù)學(xué)試題）（多選）已知函數(shù)的定義域為，若為偶函數(shù)，且，，則（

）A．2026 B．2025 C．2024 D．2023【名校預(yù)測·第四題】（河南省鄭州外國語學(xué)校2024-2025學(xué)年高三調(diào)研考試）（多選）已知函數(shù)，的定義域為，的導(dǎo)函數(shù)為，且，，若為偶函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．B．C．若存在使在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則的極小值點為D．若為偶函數(shù)，則滿足題意的唯一，滿足題意的不唯一【名師押題·第一題】已知是奇函數(shù)，則（

）A． B．0 C．1 D．2【名師押題·第二題】若不等式在上恒成立，且，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【名師押題·第三題】已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且，恒成立，則（

）A． B． C．1 D．【名師押題·第四題】已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，若，則（

）A． B． C．0 D．1【名師押題·第五題】（多選）已知定義在上的函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且滿足當時，，當時，，則（

）A． B．C． D．三角函數(shù)的圖象及其性質(zhì)（選填題）年份題號分值題干2024年新高考I卷75（2024·新課標Ⅰ卷·高考真題）當時，曲線與的交點個數(shù)為（

）A．3B．4C．6D．8正弦函數(shù)圖象的應(yīng)用；求函數(shù)零點或方程根的個數(shù)2024年新高考II卷96（2024·新課標Ⅱ卷·高考真題）對于函數(shù)和，下列說法中正確的有（

）與有相同的零點B．與有相同的最大值C．與有相同的最小正周期D．與的圖象有相同的對稱軸求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值；求正弦（型）函數(shù)的最小正周期；求正弦（型）函數(shù)的對稱軸及對稱中心；求函數(shù)零點或方程根的個數(shù)2023年新高考I卷155（2023·新課標Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個零點，則的取值范圍是．根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍；余弦函數(shù)圖象的應(yīng)用2023年新高考II卷165（2023·新課標Ⅱ卷·高考真題）已知函數(shù)，如圖A，B是直線與曲線的兩個交點，若，則．

由圖象確定正（余）弦型函數(shù)解析式；特殊角的三角函數(shù)值2022年新高考I卷65（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）記函數(shù)的最小正周期為T．若，且的圖象關(guān)于點中心對稱，則（

）A．1B．C．D．3由正（余）弦函數(shù)的性質(zhì)確定圖象（解析式）2022年新高考II卷95（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）已知函數(shù)的圖像關(guān)于點中心對稱，則（

）A．在區(qū)間單調(diào)遞減B．在區(qū)間有兩個極值點C．直線是曲線的對稱軸D．直線是曲線的切線求在曲線上一點處的切線方程（斜率）；求正弦（型）函數(shù)的對稱軸及對稱中心；利用正弦函數(shù)的對稱性求參數(shù)；求sinx型三角函數(shù)的單調(diào)性近三年新高考數(shù)學(xué)三角函數(shù)的圖象及其性質(zhì)選填題考查情況總結(jié)考點：涉及函數(shù)圖象交點（如2024年新課標Ⅰ卷）、性質(zhì)比較（2024年新課標Ⅱ卷）、性質(zhì)與參數(shù)求解（2023年新課標Ⅰ卷）、圖象與特殊點（2023年新課標Ⅱ卷）、綜合性質(zhì)判斷（2022年新課標Ⅱ卷）。題型：以選擇題為主，分值5或6分，側(cè)重考查對三角函數(shù)圖象和性質(zhì)（周期、對稱軸等）的理解與應(yīng)用。2025年新高考預(yù)測題型與分值：預(yù)計為選擇題或填空題，分值約5-6分?？疾榉较颍荷罨诵男再|(zhì)（如結(jié)合多性質(zhì)求參數(shù)）；拓展圖象應(yīng)用（如交點問題、求參問題）；綜合創(chuàng)新（與導(dǎo)數(shù)結(jié)合求切線或考查圖象變換）。特殊角的三角函數(shù)值同角三角函數(shù)的基本關(guān)系平方關(guān)系：商數(shù)關(guān)系：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)函函數(shù)性質(zhì)圖象定義域值域最值當時，；當時，．當時，；當時，．既無最大值也無最小值周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)．在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)．在上是增函數(shù)．對稱性對稱中心對稱軸對稱中心對稱軸對稱中心無對稱軸三角函數(shù)型函數(shù)的圖象和性質(zhì)正弦型函數(shù)、余弦型函數(shù)性質(zhì)，振幅，決定函數(shù)的值域，值域為決定函數(shù)的周期，叫做相位，其中叫做初相正切型函數(shù)性質(zhì)的周期公式為：三角函數(shù)的伸縮平移變換伸縮變換（，是伸縮量）振幅，決定函數(shù)的值域，值域為；若↗，縱坐標伸長；若↘，縱坐標縮短；與縱坐標的伸縮變換成正比決定函數(shù)的周期，若↗，↘，橫坐標縮短；若↘，↗，橫坐標伸長；與橫坐標的伸縮變換成反比平移變換（，是平移量）平移法則：左右，上下典例1（2024·新課標Ⅰ卷·高考真題）當時，曲線與的交點個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．6 D．8典例2（2024·新課標Ⅱ卷·高考真題）（多選）對于函數(shù)和，下列說法中正確的有（

）A．與有相同的零點 B．與有相同的最大值C．與有相同的最小正周期 D．與的圖象有相同的對稱軸典例3（2023·新課標Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個零點，則的取值范圍是．典例4（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）記函數(shù)的最小正周期為T．若，且的圖象關(guān)于點中心對稱，則（

）A．1 B． C． D．3典例5（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）（多選）已知函數(shù)的圖像關(guān)于點中心對稱，則（

）A．在區(qū)間單調(diào)遞減B．在區(qū)間有兩個極值點C．直線是曲線的對稱軸D．直線是曲線的切線【名校預(yù)測·第一題】（2025屆湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三模擬考試一數(shù)學(xué)試題）（多選）已知函數(shù)，則（

）A．的圖象關(guān)于直線對稱B．為了得到函數(shù)的圖象，可將的圖象向右平移個單位長度C．在上的值域為D．兩個相鄰的零點之差的絕對值為【名校預(yù)測·第二題】（重慶市南開中學(xué)校2025屆高三下學(xué)期高考模擬數(shù)學(xué)試題）若函數(shù)的兩個零點分別為和，則（

）A． B． C． D．【名校預(yù)測·第三題】（浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)（）在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【名校預(yù)測·第四題】（河南省鄭州外國語學(xué)校2024-2025學(xué)年高三調(diào)研考試）函數(shù)（且在上單調(diào)，且，若在上恰有2個零點，則的取值最準確的范圍是（

）A． B． C． D．【名校預(yù)測·第五題】（廣東省深圳市高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，其中，，其圖象關(guān)于直線對稱，對滿足的，，有，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是A． B．C． D．【名師押題·第一題】已知函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最大值為（

）A． B．C． D．【名師押題·第二題】已知函數(shù)在內(nèi)恰有3個最值點和3個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【名師押題·第三題】下列關(guān)于函數(shù)說法正確的是（

）A．是函數(shù)圖象的一個對稱中心 B．的值域為C．在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸【名師押題·第四題】（多選）已知函數(shù)，則（

）A．的定義域為 B．的最小正周期為C．在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．在區(qū)間上僅有2個零點【名師押題·第五題】（多選）已知函數(shù)，為常數(shù)，則下列說法正確的有（

）A．的最小正周期為B．當時，的值域為C．在，上單調(diào)遞增D．若對于任意的，函數(shù)（a為常數(shù)）的圖象均與曲線總有公共點，則三角恒等變換（選填題）年份題號分值題干2024年新高考I卷45（2024·新課標Ⅰ卷·高考真題）已知，則（

）A． B．C． D．三角函數(shù)的化簡、求值——同角三角函數(shù)基本關(guān)系；用和、差角的余弦公式化簡、求值2024年新高考II卷135（2024·新課標Ⅱ卷·高考真題）已知為第一象限角，為第三象限角，，，則