2025年高考數(shù)學(xué)考前沖刺（3）倒計(jì)時(shí)6-10天（解析版）

第三輯導(dǎo)數(shù)（選填題）………………………01立體幾何（選填題）…………………17直線與圓（選填題）…………………41圓錐曲線（選填題）…………………56數(shù)列（選填題）………………………85導(dǎo)數(shù)（選填題）年份題號(hào)分值題干考點(diǎn)2024年新高考I卷106（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）設(shè)函數(shù)，則（

）A．是的極小值點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）；求已知函數(shù)的極值點(diǎn)2024年新高考I卷135（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）若曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線，則.兩條切線平行、垂直、重合（公切線）問題；已知切線（斜率）求參數(shù)2024年新高考II卷116（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）設(shè)函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，是的極大值點(diǎn)C．存在a，b，使得為曲線的對(duì)稱軸D．存在a，使得點(diǎn)為曲線的對(duì)稱中心函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用；函數(shù)單調(diào)性、極值與最值的綜合應(yīng)用；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)；判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間2023年新高考I卷115（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t（

）．A．B．C．是偶函數(shù) D．為的極小值點(diǎn)函數(shù)奇偶性的定義與判斷；函數(shù)極值點(diǎn)的辨析2023年新高考II卷65（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的最小值為（

）．A． B．eC． D．由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)2023年新高考II卷115（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則（

）．A．B．C． D．根據(jù)二次函數(shù)零點(diǎn)的分布求參數(shù)的范圍；根據(jù)極值求參數(shù)2022年新高考I卷75（2022·新高考全國(guó)Ⅰ卷·高考真題）設(shè)，則（

） B． C． D．用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性；比較指數(shù)冪的大??；比較對(duì)數(shù)式的大小2022年新高考I卷105（2022·新高考全國(guó)Ⅰ卷·高考真題）若曲線有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是．求過一點(diǎn)的切線方程；求某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值2022年新高考I卷155（2022·新高考全國(guó)Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)，則（

）有兩個(gè)極值點(diǎn)B．有三個(gè)零點(diǎn)C．點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心D．直線是曲線的切線求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）；求已知函數(shù)的極值點(diǎn)；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)2022年新高考II卷145（2022·新高考全國(guó)Ⅱ卷·高考真題）曲線過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為，．求過一點(diǎn)的切線方程近三年新高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)選填題考查情況總結(jié)1.考點(diǎn)：涵蓋利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間、極值點(diǎn)（2024年新課標(biāo)Ⅰ卷）；根據(jù)切線求參數(shù)（2024年新課標(biāo)Ⅰ卷）；函數(shù)對(duì)稱性、單調(diào)性與極值最值綜合（2024年新課標(biāo)Ⅱ卷）；函數(shù)奇偶性判斷（2023年新課標(biāo)Ⅰ卷）；由單調(diào)性求參數(shù)（2023年新課標(biāo)Ⅱ卷）；根據(jù)極值求參數(shù)范圍（2023年新課標(biāo)Ⅱ卷）；用導(dǎo)數(shù)比較大?。?022年新課標(biāo)Ⅰ卷）；求切線方程（2022年新課標(biāo)Ⅰ卷、Ⅱ卷）等。2.題型：以選擇題為主，分值5-6分，注重考查導(dǎo)數(shù)工具在研究函數(shù)性質(zhì)（單調(diào)性、極值、最值等）及切線問題中的應(yīng)用，對(duì)運(yùn)算和邏輯推理能力要求較高。題型與分值：預(yù)計(jì)仍為選擇題或填空題，分值5-6分。2.考查方向：持續(xù)考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)性質(zhì)的結(jié)合，如根據(jù)函數(shù)單調(diào)性、極值情況求參數(shù)；可能增加與函數(shù)圖象（如切線、零點(diǎn)分布）、不等式的綜合；也可能出現(xiàn)新穎的函數(shù)形式，考查對(duì)導(dǎo)數(shù)知識(shí)的靈活運(yùn)用和創(chuàng)新思維。八大常用函數(shù)的求導(dǎo)公式（為常數(shù)）；例：，，，，，，，導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算和的導(dǎo)數(shù)：差的導(dǎo)數(shù)：積的導(dǎo)數(shù)：（前導(dǎo)后不導(dǎo)前不導(dǎo)后導(dǎo)）商的導(dǎo)數(shù)：，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式函數(shù)中，設(shè)（內(nèi)函數(shù)），則（外函數(shù)）導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在某點(diǎn)處切線的斜率直線的點(diǎn)斜式方程直線的點(diǎn)斜式方程：已知直線過點(diǎn)，斜率為，則直線的點(diǎn)斜式方程為：用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù).判別是極大（?。┲档姆椒ó?dāng)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)時(shí)，（1）如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，則是極大值；（2）如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，則是極小值.常見的指對(duì)放縮，，，常見的三角函數(shù)放縮其他放縮，，，，，，常見函數(shù)的泰勒展開式（1），其中；（2），其中；（3），其中；（4），其中；（5）；（6）；（7）；（8）．由泰勒公式，我們得到如下常用的不等式：，，，，，，，，．典例1（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）若曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線，則.【答案】【分析】先求出曲線在的切線方程，再設(shè)曲線的切點(diǎn)為，求出，利用公切線斜率相等求出，表示出切線方程，結(jié)合兩切線方程相同即可求解.【詳解】由得，，故曲線在處的切線方程為；由得，設(shè)切線與曲線相切的切點(diǎn)為，由兩曲線有公切線得，解得，則切點(diǎn)為，切線方程為，根據(jù)兩切線重合,所以，解得.故答案為：典例2（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）（多選）設(shè)函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，是的極大值點(diǎn)C．存在a，b，使得為曲線的對(duì)稱軸D．存在a，使得點(diǎn)為曲線的對(duì)稱中心【答案】AD【分析】A選項(xiàng)，先分析出函數(shù)的極值點(diǎn)為，根據(jù)零點(diǎn)存在定理和極值的符號(hào)判斷出在上各有一個(gè)零點(diǎn)；B選項(xiàng)，根據(jù)極值和導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的關(guān)系進(jìn)行分析；C選項(xiàng)，假設(shè)存在這樣的，使得為的對(duì)稱軸，則為恒等式，據(jù)此計(jì)算判斷；D選項(xiàng)，若存在這樣的，使得為的對(duì)稱中心，則，據(jù)此進(jìn)行計(jì)算判斷，亦可利用拐點(diǎn)結(jié)論直接求解.【詳解】A選項(xiàng)，，由于，故時(shí)，故在上單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，則在處取到極大值，在處取到極小值，由，，則，根據(jù)零點(diǎn)存在定理在上有一個(gè)零點(diǎn)，又，，則，則在上各有一個(gè)零點(diǎn)，于是時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增，此時(shí)在處取到極小值，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，假設(shè)存在這樣的，使得為的對(duì)稱軸，即存在這樣的使得，即，根據(jù)二項(xiàng)式定理，等式右邊展開式含有的項(xiàng)為，于是等式左右兩邊的系數(shù)都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在這樣的，使得為的對(duì)稱軸，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，方法一：利用對(duì)稱中心的表達(dá)式化簡(jiǎn)，若存在這樣的，使得為的對(duì)稱中心，則，事實(shí)上，，于是即，解得，即存在使得是的對(duì)稱中心，D選項(xiàng)正確.方法二：直接利用拐點(diǎn)結(jié)論任何三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)是二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，，，，由，于是該三次函數(shù)的對(duì)稱中心為，由題意也是對(duì)稱中心，故，即存在使得是的對(duì)稱中心，D選項(xiàng)正確.故選：AD【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：（1）的對(duì)稱軸為；（2）關(guān)于對(duì)稱；（3）任何三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，對(duì)稱中心是三次函數(shù)的拐點(diǎn)，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)是的解，即是三次函數(shù)的對(duì)稱中心典例3（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的最小值為（

）．A． B．e C． D．【答案】C【分析】根據(jù)在上恒成立，再根據(jù)分參求最值即可求出．【詳解】依題可知，在上恒成立，顯然，所以，設(shè)，所以，所以在上單調(diào)遞增，，故，即，即a的最小值為．故選：C．典例4（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）（多選）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則（

）．A． B． C． D．【答案】BCD【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由已知可得在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為一元二次方程有兩個(gè)不等的正根判斷作答.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，因?yàn)楹瘮?shù)既有極大值也有極小值，則函數(shù)在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，而，因此方程有兩個(gè)不等的正根，于是，即有，，，顯然，即，A錯(cuò)誤，BCD正確.故選：BCD典例5（2022·新高考全國(guó)Ⅰ卷·高考真題）設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)，導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，由此確定的大小.【詳解】方法一：構(gòu)造法設(shè)，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，設(shè)，則,令，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，所以故選：C.方法二：比較法解：，，，①，令則，故在上單調(diào)遞減，可得，即，所以；②，令則，令，所以，所以在上單調(diào)遞增，可得，即，所以在上單調(diào)遞增，可得，即，所以故典例6（2022·新高考全國(guó)Ⅰ卷·高考真題）（多選）已知函數(shù)，則（

）A．有兩個(gè)極值點(diǎn) B．有三個(gè)零點(diǎn)C．點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心 D．直線是曲線的切線【答案】AC【分析】利用極值點(diǎn)的定義可判斷A，結(jié)合的單調(diào)性、極值可判斷B，利用平移可判斷C；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷D.【詳解】由題，，令得或，令得，所以在，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以是極值點(diǎn)，故A正確；因，，，所以，函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上無零點(diǎn)，綜上所述，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；令，該函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則是奇函數(shù)，是的對(duì)稱中心，將的圖象向上移動(dòng)一個(gè)單位得到的圖象，所以點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心，故C正確；令，可得，又，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為，故D錯(cuò)誤.故選：AC.【名校預(yù)測(cè)·第一題】（山東省泰安第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)記為，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】D【來源】山東省泰安第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題【分析】化簡(jiǎn)，令，判斷該函數(shù)的奇偶性，結(jié)合奇偶性以及，求得，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得，進(jìn)而得，即，即可得解.【詳解】因?yàn)椋?，則，又因?yàn)?，所以函?shù)為奇函數(shù)，所以，所以；因?yàn)?，所以，即，又，所以，所以，所以．故選：D【名校預(yù)測(cè)·第二題】（廣東省深圳市高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期試題）已知曲線的切線與曲線也相切，若該切線過原點(diǎn)，則．【答案】【來源】廣東省深圳市高級(jí)中學(xué)高中園2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得曲線在點(diǎn)處的切線方程過原點(diǎn)得出切線方程為，再次利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得的切點(diǎn)，再帶入點(diǎn)計(jì)算求參.【詳解】因?yàn)榈膶?dǎo)數(shù)為，設(shè)切點(diǎn)為，所以切線斜率為，所以曲線在處的切線過原點(diǎn)，所以，即，所以，切線為，又切線與曲線相切，設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)?，所以切線斜率為，解得，所以，則，解得.故答案為：.【名校預(yù)測(cè)·第三題】（吉林省東北師范大學(xué)附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期試題）已知函數(shù)，若經(jīng)過點(diǎn)且與曲線相切的直線有三條，則的取值范圍是．【答案】【來源】吉林省長(zhǎng)春市東北師范大學(xué)附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期期初考試數(shù)學(xué)試題【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，然后將經(jīng)過且與曲線相切的直線有三條轉(zhuǎn)化為與的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，求導(dǎo)，利用函數(shù)單調(diào)性畫出大致圖象，然后列不等式求解.【詳解】，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為，當(dāng)時(shí)，明顯只有一條切線，故，則，整理得，經(jīng)過且與曲線相切的直線有三條，即方程有三個(gè)解，即與的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，，當(dāng)或時(shí)，，所以在，上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，又，，所以的大致圖象如下：所以，解得.故答案為：.【名校預(yù)測(cè)·第四題】（2025屆湖南省長(zhǎng)沙市雅禮中學(xué)高三4月試題）當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【來源】2025屆湖南省長(zhǎng)沙市雅禮中學(xué)高三4月綜合自主測(cè)試（提升卷）數(shù)學(xué)試題【分析】由已知得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出的單調(diào)性，可得在時(shí)恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值可得答案.【詳解】由得，即，令，則，所以在上單調(diào)遞增，由，可得，，即在時(shí)恒成立，令，則，令得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，所以.故選：D.【名校預(yù)測(cè)·第五題】（遼寧省本溪市高級(jí)中學(xué)2025屆高三下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題）（多選）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則下列命題正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)， B．函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)C．的解集為 D．，都有【答案】BCD【來源】遼寧省本溪市高級(jí)中學(xué)2025屆高三下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性求解析判斷A；解方程求零點(diǎn)判斷B；解不等式可判斷C；利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值，可得函數(shù)值域，即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，故，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，故；當(dāng)時(shí)，令，解得；當(dāng)時(shí)，令，解得；故函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，令，解得；當(dāng)時(shí)，令，解得，則，故的解集為，C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，所以時(shí)，取最小值為，且時(shí)，，所以，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以時(shí)，取極大值為，且時(shí)，，時(shí)，，所以，所以，綜合以上，的值域?yàn)椋?，都有，故D正確；故選：BCD【名師押題·第一題】已知函數(shù)，若與曲線相切，則實(shí)數(shù)．【答案】【分析】設(shè)切點(diǎn)為，得出過該點(diǎn)的切線方程結(jié)合已知即可求解．【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，又，則，所以切線方程為，即，所以，解得，故答案為：．【名師押題·第二題】已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可得恒成立，進(jìn)而分，兩種情況討論求解即可.【詳解】由，得，因?yàn)槭巧系脑龊瘮?shù)，則恒成立，即恒成立，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不恒成立，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，等價(jià)于對(duì)恒成立，則，即，則，設(shè)，，則，令，得；令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，即的最小值是.故選：C.【名師押題·第三題】已知函數(shù)恰有2個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【答案】【分析】由題可得有兩個(gè)不同正根，利用分離參數(shù)法得到.令，，只需與有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性與極值，利用數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，由，可得，要使函?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，只需有兩個(gè)不同正根，并且在的兩側(cè)的單調(diào)性相反，由得，，所以，由題意可知與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，，作出圖形如圖所示：由圖象可得實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故答案為：.【名師押題·第四題】（多選）已知函數(shù)，則（

）A．有三個(gè)零點(diǎn)B．，使得點(diǎn)為曲線的對(duì)稱中心C．既有極大值又有極小值D．，，【答案】CD【分析】結(jié)合零點(diǎn)的定義分析可得當(dāng)時(shí)，函數(shù)只有2個(gè)零點(diǎn)，即可判斷A；利用檢驗(yàn)判斷B；求導(dǎo)，分析函數(shù)的單調(diào)性即可判斷C；舉特例判斷D.【詳解】對(duì)于B，對(duì)于A，令，解得或，當(dāng)時(shí)，函數(shù)只有2個(gè)零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，則，又，要使點(diǎn)為曲線的對(duì)稱中心，則對(duì)，，此時(shí)，但，所以不存在，使得點(diǎn)為曲線的對(duì)稱中心，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，則，由于，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，設(shè)，則或時(shí)，；時(shí)，，則函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則函數(shù)在取得極大值，在取得極小值，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，故D正確.故選：CD.【名師押題·第五題】（多選）函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，的極小值為0B．若有3個(gè)零點(diǎn)，，，則C．若，則為奇函數(shù)D．當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】BD【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出的極小值，即可判斷A；利用韋達(dá)定理求出的零點(diǎn)之和判斷B；利用奇函數(shù)的定義判斷C；利用的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上的正負(fù)判斷D.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；所以為的極小值，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由可知是其一個(gè)零點(diǎn)，令，令，設(shè)是的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理得，所以，若函數(shù)的3個(gè)零點(diǎn)為，，，則，故B正確；對(duì)于C，令，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)不是奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D正確.故選：BD.立體幾何（選填題）年份題號(hào)分值題干考點(diǎn)2024年新高考I卷55（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為，則圓錐的體積為（

）A． B．C． D．圓錐表面積的有關(guān)計(jì)算、錐體體積的有關(guān)計(jì)算、圓柱表面積的有關(guān)計(jì)算2024年新高考II卷75（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知正三棱臺(tái)的體積為，，，則與平面ABC所成角的正切值為（

）A．B．1C．2D．3求線面角錐體體積的有關(guān)計(jì)算臺(tái)體體積的有關(guān)計(jì)算2023年新高考I卷125（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）下列物體中，能夠被整體放入棱長(zhǎng)為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)的有（

）A．直徑為的球體B．所有棱長(zhǎng)均為的四面體C．底面直徑為，高為的圓柱體D．底面直徑為，高為的圓柱體正棱錐及基有關(guān)計(jì)算多面體與球體內(nèi)切外接問題2023年新高考I卷145（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）在正四棱臺(tái)中，則該棱臺(tái)的體積為．臺(tái)體體積的有關(guān)計(jì)算2023年新高考II卷95（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，，，點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角為45°，則（

）．該圓錐的體積為B．該圓錐的側(cè)面積為C．D．的面積為錐體體積的有關(guān)計(jì)算由二面角大小求線段長(zhǎng)度或距離圓錐表面積的有關(guān)計(jì)算二面角的概念及辨析2023年新高考II卷145（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）底面邊長(zhǎng)為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺(tái)的體積為．正棱臺(tái)及基有關(guān)計(jì)算錐體體積的有關(guān)計(jì)算臺(tái)體體積的有關(guān)計(jì)算2022年新高考I卷85（2022·新高考全國(guó)Ⅰ卷·高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

）B．C． D．由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(不含參)多面體與球體內(nèi)切外接問題錐體體積的有關(guān)計(jì)算球的體積的有關(guān)計(jì)算2022年新高考I卷95（2022·新高考全國(guó)Ⅰ卷·高考真題）已知正方體，則（

）A．直線與所成的角為B．直線與所成的角為C．直線與平面所成的角為D．直線與平面ABCD所成的角為求異面直線所成的角求線面角2022年新高考II卷75（2022·新高考全國(guó)Ⅱ卷·高考真題）已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長(zhǎng)分別為和，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（

）A． B．C． D．球的表面積的有關(guān)計(jì)算多面體與球體內(nèi)切外接問題2022年新高考II卷115（2022·新高考全國(guó)Ⅱ卷·高考真題）如圖，四邊形為正方形，平面，，記三棱錐，，的體積分別為，則（

）A．B．C．D．錐體體積的有關(guān)計(jì)算證明線面垂直近三年新高考數(shù)學(xué)立體幾何選填題考查情況總結(jié)?考點(diǎn)：涵蓋幾何體體積（圓柱、圓錐、棱臺(tái)、棱錐等，如2024年新課標(biāo)Ⅰ卷圓錐體積、2023年新課標(biāo)Ⅰ卷正四棱臺(tái)體積）、表面積（圓錐側(cè)面積等，如2023年新課標(biāo)Ⅱ卷）、空間角（線面角，如2024年新課標(biāo)Ⅱ卷）、球的表面積（2022年新課標(biāo)Ⅱ卷）及幾何體性質(zhì)綜合（如2022年新課標(biāo)Ⅰ卷正四棱錐體積范圍）。?題型：以選擇題為主，分值5分，側(cè)重考查空間想象能力、公式運(yùn)用及計(jì)算能力。2025年新高考立體幾何選填題高考預(yù)測(cè)?題型與分值：預(yù)計(jì)為選擇題或填空題，分值5-6分。?考查方向：延續(xù)對(duì)幾何體體積、表面積的考查，可能涉及空間角（如線面角、二面角）、球與幾何體的切接問題，或出現(xiàn)新穎幾何體，強(qiáng)化空間想象與運(yùn)算求解能力的考查。平面初等幾何基礎(chǔ)三角形的面積公式：正方形的面積公式：長(zhǎng)方形的面積公式：平行四邊形的面積公式：菱形的面積公式：（，為菱形的對(duì)角線）梯形的面積公式：（為上底，為下底，為高）圓的周長(zhǎng)和面積公式：，立體幾何基礎(chǔ)公式所有椎體體積公式：所有柱體體積公式：球體體積公式：球體表面積公式：圓柱：圓錐：長(zhǎng)方體（正方體、正四棱柱）的體對(duì)角線的公式已知長(zhǎng)寬高求體對(duì)角線：已知三條面對(duì)角線求體對(duì)角線：球體問題球體體積公式：，球體表面積公式：正方體、長(zhǎng)方體、正四棱錐的外接球問題（類型Ⅰ）球心體心，直徑體對(duì)角線已知長(zhǎng)寬高，，求體對(duì)角線，公式為：，直棱柱的外接球問題（類型Ⅱ），其中為直棱柱的高，為底面外接圓半徑（可用正弦定理求解）墻角問題可轉(zhuǎn)化為類型Ⅰ側(cè)棱底面問題可轉(zhuǎn)化為類型Ⅱ異面直線所成角=（其中（）為異面直線所成角，分別表示異面直線的方向向量）線面角直線與平面所成角，(為平面的法向量).二面角的平面角（，為平面，的法向量）.點(diǎn)到平面的距離（為平面的法向量，是經(jīng)過面的一條斜線，）.典例1（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為，則圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為，根據(jù)圓錐和圓柱的側(cè)面積相等可得半徑的方程，求出解后可求圓錐的體積.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，則圓錐的母線長(zhǎng)為，而它們的側(cè)面積相等，所以即，故，故圓錐的體積為.故選：B.典例2（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知正三棱臺(tái)的體積為，，，則與平面ABC所成角的正切值為（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】解法一：根據(jù)臺(tái)體的體積公式可得三棱臺(tái)的高，做輔助線，結(jié)合正三棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征求得，進(jìn)而根據(jù)線面夾角的定義分析求解；解法二：將正三棱臺(tái)補(bǔ)成正三棱錐，與平面ABC所成角即為與平面ABC所成角，根據(jù)比例關(guān)系可得，進(jìn)而可求正三棱錐的高，即可得結(jié)果.【詳解】解法一：分別取的中點(diǎn)，則，可知，設(shè)正三棱臺(tái)的為，則，解得，如圖，分別過作底面垂線，垂足為，設(shè)，則，，可得，結(jié)合等腰梯形可得,即，解得，所以與平面ABC所成角的正切值為；解法二：將正三棱臺(tái)補(bǔ)成正三棱錐，則與平面ABC所成角即為與平面ABC所成角，因?yàn)?，則，可知，則，設(shè)正三棱錐的高為，則，解得，取底面ABC的中心為，則底面ABC，且，所以與平面ABC所成角的正切值.故選：B.典例3（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）在正四棱臺(tái)中，，則該棱臺(tái)的體積為．【答案】/【分析】結(jié)合圖像，依次求得，從而利用棱臺(tái)的體積公式即可得解.【詳解】如圖，過作，垂足為，易知為四棱臺(tái)的高，

因?yàn)?，則，故，則，所以所求體積為.故答案為：.典例4（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，，，點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角為45°，則（

）．A．該圓錐的體積為 B．該圓錐的側(cè)面積為C． D．的面積為【答案】AC【分析】根據(jù)圓錐的體積、側(cè)面積判斷A、B選項(xiàng)的正確性，利用二面角的知識(shí)判斷C、D選項(xiàng)的正確性.【詳解】依題意，，，所以，A選項(xiàng)，圓錐的體積為，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，圓錐的側(cè)面積為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，設(shè)是的中點(diǎn)，連接，則，所以是二面角的平面角，則，所以，故，則，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，，所以，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.

典例5（2022·新高考全國(guó)Ⅰ卷·高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)正四棱錐的高為，由球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長(zhǎng)與高的關(guān)系，由此確定正四棱錐體積的取值范圍.【詳解】∵球的體積為，所以球的半徑,[方法一]：導(dǎo)數(shù)法設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，高為，則，,所以，所以正四棱錐的體積，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，正四棱錐的體積取最大值，最大值為，又時(shí)，，時(shí)，,所以正四棱錐的體積的最小值為，所以該正四棱錐體積的取值范圍是.故選：C.[方法二]：基本不等式法由方法一故所以當(dāng)且僅當(dāng)取到，當(dāng)時(shí)，得，則當(dāng)時(shí)，球心在正四棱錐高線上，此時(shí)，，正四棱錐體積，故該正四棱錐體積的取值范圍是典例6（2022·新高考全國(guó)Ⅱ卷·高考真題）已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長(zhǎng)分別為和，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可求出正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑，再根據(jù)球心距，圓面半徑，以及球的半徑之間的關(guān)系，即可解出球的半徑，從而得出球的表面積．【詳解】設(shè)正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑，所以，即，設(shè)球心到上下底面的距離分別為，球的半徑為，所以，，故或，即或，解得符合題意，所以球的表面積為．故選：A．

【名校預(yù)測(cè)·第一題】（廣東省深圳市高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期第三次模擬試題）底面半徑為3的圓錐被平行底面的平面所截，截去一個(gè)底面半徑為1、高為2的圓錐，所得圓臺(tái)的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【來源】廣東省深圳市高級(jí)中學(xué)高中園2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題【分析】畫出圖形，由三角形相似比得到，再由兩圓錐的側(cè)面積之差計(jì)算可得.【詳解】如圖，設(shè)截面圓的圓心為，截面圓的半徑，底面圓半徑，，由于，所以，所以，所以原圓臺(tái)的側(cè)面積為，故選：A.【名校預(yù)測(cè)·第二題】（湖南省長(zhǎng)沙市湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)2025屆高三下學(xué)期模擬試卷）一個(gè)圓錐的底面圓和頂點(diǎn)都恰好在同一個(gè)球面上，且該球的半徑為1，當(dāng)圓錐的體積取最大值時(shí)，圓錐的底面半徑為（

）A． B． C． D．【答案】B【來源】湖南省長(zhǎng)沙市湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)2025屆高三下學(xué)期模擬（一）數(shù)學(xué)試卷【分析】根據(jù)給定條件，利用球的截面圓性質(zhì)及圓錐的體積公式列出函數(shù)關(guān)系，再利用導(dǎo)數(shù)求解.【詳解】如圖，根據(jù)題意，圓錐高為，底面圓半徑，外接球球心為，半徑，則球心到圓錐底面圓心距離，由，得，圓錐的體積，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞減，則當(dāng)時(shí)，圓錐的體積最大，此時(shí)底面圓半徑.故選：B【名校預(yù)測(cè)·第三題】（山東省泰安第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題）已知兩個(gè)正四棱錐組合成的簡(jiǎn)單幾何體中，頂點(diǎn)，分別位于平面的兩側(cè)．其中正方形的邊長(zhǎng)為2，兩個(gè)正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)均為3．則四棱錐的外接球的表面積為．【答案】【來源】山東省泰安第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題【分析】建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間中兩點(diǎn)距離公式即可得到球的半徑，從而利用球的表面積公式得到結(jié)果.【詳解】連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié)，由正四棱錐性質(zhì)可知平面，平面，所以三點(diǎn)共線，又四邊形是正方形，可得兩兩垂直，且交于點(diǎn).以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，由，在中，，則，設(shè)四棱錐的外接球球心為，連接，則，得，解得，所以四棱錐的外接球的半徑的平方為，故四棱錐的外接球的表面積為.故答案為：.【名校預(yù)測(cè)·第四題】（吉林省東北師范大學(xué)附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期試題）（多選）已知邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)均在平面的上方，，且與平面所成角分別為，則下列說法中正確的是（

）A．四面體的體積為定值B．面積的最小值為C．四面體體積的最大值為1D．當(dāng)四面體的體積最大時(shí)，其外接球的表面積為【答案】BCD【來源】吉林省長(zhǎng)春市東北師范大學(xué)附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期期初考試數(shù)學(xué)試題【分析】由三棱錐體積公式計(jì)算即可判斷A項(xiàng)，由三角形面積公式及范圍計(jì)算即可判斷B項(xiàng)，當(dāng)取最大值且面時(shí)四面體體積取得最大值即可判斷C項(xiàng)，當(dāng)四面體體積最大時(shí)，，，兩兩垂直，進(jìn)而借助模型（長(zhǎng)方體外接球直徑為其體對(duì)角線長(zhǎng)）即可求得半徑，進(jìn)而可求得外接球表面積即可判斷D項(xiàng).【詳解】由題意知，與是共軸的圓錐母線，如圖所示，對(duì)于A項(xiàng)，由題意知，因?yàn)榍遗c平面所成角為，所以點(diǎn)到平面的距離為定值，所以四面體ABCM的體積為定值，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，與是共軸的圓錐母線，所以，即，當(dāng)時(shí)，的面積最小，最小值為，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，的面積最大，最大值為，當(dāng)所在平面旋轉(zhuǎn)至與垂直時(shí)，四面體ABMN的高最長(zhǎng)，最長(zhǎng)值為2，所以體積的最大值為，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，當(dāng)四面體體積最大時(shí)，線段，，兩兩垂直，所以其外接球直徑，所以外接球的表面積為，故D項(xiàng)正確．故選：BCD．【名校預(yù)測(cè)·第五題】（湖北省武漢市華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年數(shù)學(xué)試題）如圖，在直四棱柱中，底面為菱形，，P為的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則四面體的體積為定值B．若，則點(diǎn)的軌跡為一段圓弧C．若的外心為O，則為定值2D．若且，則存在點(diǎn)E在線段上，使得的最小值為【答案】ABD【來源】湖北省武漢市華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期開學(xué)檢測(cè)數(shù)學(xué)試題【分析】利用平行線的性質(zhì)結(jié)合給定條件判斷底面積和高都是定值來處理A，利用圓的定義結(jié)合夾角求解軌跡來處理B，利用三角形外心和向量數(shù)量積的性質(zhì)判斷C，將三角形翻折后，利用勾股定理和余弦定理判斷D即可.【詳解】對(duì)于A，如圖，取靠近的三等分點(diǎn)為，靠近的三等分點(diǎn)為，連接，因?yàn)椋?，令，而，則，得到，因?yàn)榭拷娜确贮c(diǎn)為，靠近的三等分點(diǎn)為，所以，而由直四棱柱性質(zhì)得，而，由勾股定理得，在直四棱柱中，，，得到四邊形是平行四邊形，故，則，由題意得為的中點(diǎn)，則的面積是定值，而面，面，所以面，結(jié)合，由線面平行性質(zhì)得到面的距離為定值，即四面體的體積為定值，故A正確，對(duì)于B，如圖，在面中，過作，連接，由直四棱柱性質(zhì)得面，則，而，面，故面，則，而面為菱形，則面為菱形，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，則，由銳角三角函數(shù)定義得，解得，由勾股定理得，因?yàn)椋杂晒垂啥ɡ淼?，則在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)該圓與交于，與交于，由三角函數(shù)定義得，則，即點(diǎn)的軌跡為一段圓弧，故B正確，對(duì)于C，如圖，作，由題意得的外心為，故是的中點(diǎn)，由已知得，因?yàn)椋?，而，，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，若且，此時(shí)，因?yàn)镻為的中點(diǎn)，所以，由向量加法法則得，故，則點(diǎn)與點(diǎn)重合，此時(shí)把沿著翻折，如圖，使得四點(diǎn)共面，此時(shí)有最小值，此時(shí)的點(diǎn)均為翻折過的點(diǎn)，因?yàn)镻為的中點(diǎn)，所以，由勾股定理得，如圖，連接，由已知得，則，由余弦定理得，解得，由直四棱柱性質(zhì)得面，則，則由勾股定理得，則，故，而，則，得到，由余弦定理得，解得，故D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵在于根據(jù)所給條件結(jié)合線面位置關(guān)系確定點(diǎn)的軌跡，再結(jié)合錐體體積公式，空間圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)化解決問題即可.【名師押題·第一題】如圖所示，一個(gè)正四棱臺(tái)的上底邊長(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng)相等，且為下底邊長(zhǎng)的一半，一個(gè)側(cè)面的面積為，則該正四棱臺(tái)的體積為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】檢驗(yàn)所給定條件，結(jié)合正四棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征求出正四棱臺(tái)的高擴(kuò)底面邊長(zhǎng)，再利用臺(tái)體的體積公式計(jì)算得解.【詳解】設(shè)，則，正四棱臺(tái)的各個(gè)側(cè)面都為等腰梯形，上?下底面為正方形，在四邊形中，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，則，，解得，在平面中，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則為正四棱臺(tái)的高，且，因此，該正四棱臺(tái)的體積為.故選：D【名師押題·第二題】如圖，已知圓臺(tái)形水杯盛有水（不計(jì)厚度），杯口的半徑為，杯底的半徑為，高為，當(dāng)杯底水平放置時(shí)，水面的高度為水杯高度的一半，若放入一個(gè)半徑為的球（球被完全浸沒），水恰好充滿水杯，則（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】求出圓臺(tái)上面部分的體積，根據(jù)小球的體積恰好等于的體積求出球的半徑.【詳解】如圖，，又放入的球的半徑為，由于圓臺(tái)的體積，由題可知：，則，此時(shí)小球恰好與上下底面相切；下面考慮當(dāng)小球與側(cè)棱相切時(shí)，設(shè)球心為，球的半徑為，則，由于，則，則，那么，則，那么在上方，即該小球先與上下底面相切．

故選：D.【名師押題·第三題】已知正四棱臺(tái)的上底面的邊長(zhǎng)為2，現(xiàn)有一個(gè)半球，球心為正方形的中心，且正四棱臺(tái)的上底面、四條側(cè)棱和下底面的四條邊均與球相切，則該半球的表面積為.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用正四棱臺(tái)及半球的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合切線的性質(zhì)列式求出半球的半徑，進(jìn)而求出其表面積.【詳解】如圖，記正四棱臺(tái)的上底面的中心為，過作平面于，則點(diǎn)在上，記半球與分別相切于點(diǎn)，由正四棱臺(tái)和球的結(jié)構(gòu)特征知，為的中點(diǎn)，由，得，記半球半徑為，則，于是，在中，，解得，所以半球的表面積為.故答案為：【名師押題·第四題】（多選）如圖，在直棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)（包含邊界），則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．平面與平面所成角的余弦值為C．若，則點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度為D．若點(diǎn)在直線上，則的最小值為【答案】ABC【分析】通過線面垂直可判斷線線垂直，判斷A的真假；利用投影面積法求二面角的余弦，判斷B的真假；弄清點(diǎn)的軌跡，再求其長(zhǎng)度，可判斷C的真假；利用表面展開，轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間，直線段最短求的最小值，判斷D的真假.【詳解】如圖1，連接，由菱形可得．再由直棱柱，可得底面．又因?yàn)榈酌?，所以，而平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，故A正確；，，，所以為直角三角形，且，其在底面投影的三角形的面積為，由投影面積法可得平面和平面所成角的余弦值為，故B正確；如圖2，動(dòng)點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)（包含邊界），過作，垂足為，由直棱柱，所以平面平面，平面平面，平面，且，所以平面.而側(cè)面，即有，由菱形邊長(zhǎng)為2，，可得，再由勾股定理得：，則點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓?。ㄈ鐖D3中），則由側(cè)面正方形，可知，，可得，所以點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度為，故C正確；由為直角三角形，且為等腰直角三角形，將與展開成一個(gè)平面圖，如圖4，則；由余弦定理得：，即，故的最小值為，故D錯(cuò)誤．故選：ABC【名師押題·第五題】（多選）如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱上，且，，其中，點(diǎn)是平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（異于點(diǎn)），且，則（

）A．B．直線與平面所成的角的余弦值為C．當(dāng)變化時(shí)，平面截正方體所得的截面周長(zhǎng)為定值D．點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，三棱錐的外接球的表面積為【答案】ACD【分析】以為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由結(jié)合空間向量的數(shù)量積即可判斷A；由線面夾角的向量公式即可判斷B；作出平面截正方體所得的截面，結(jié)合，，即可判斷；根據(jù)球的表面積公式即可判斷D．【詳解】以為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，設(shè)，則，所以，，所以，，，，，，因?yàn)?，所以，所以，故A正確；因?yàn)?，，平面，所以平面，所以平面的法向量為，則直線與平面所成的角的正弦值為，所以直線與平面所成的角的余弦值為，故B錯(cuò)誤；取上一點(diǎn)，滿足，則，因?yàn)?，且有公共點(diǎn)，所以平面，又平面，平面平面，所以共線，作出平面截正方體所得的截面，由，得為等腰直角三角形，同理可得均為等腰直角三角形，，所以截面周長(zhǎng)為為定值，故C正確；當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，，所以，，，則，所以，所以三棱錐的外接球的球心在過中點(diǎn)，垂直于平面的直線上，連接，因?yàn)椋?，所以四邊形為平行四邊形，則共面，設(shè)交點(diǎn)為，則，設(shè)球心為，，則，則，即，解得，半徑為，表面積為，故D正確；故選：ACD．直線與圓（選填題）年份題號(hào)分值題干考點(diǎn)2023年新高考I卷65（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）過點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A．1 B．C． D．切線長(zhǎng)；給值求值型問題；余弦定理解三角形；已知點(diǎn)到直線距離求參數(shù)2023年新高考II卷155（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知直線與交于A，B兩點(diǎn)，寫出滿足“面積為”的m的一個(gè)值．圓的弦長(zhǎng)與中點(diǎn)弦2022年新高考I卷145（2022·新高考全國(guó)Ⅰ卷·高考真題）寫出與圓和都相切的一條直線的方程．判斷圓與圓的位置關(guān)系；圓的公切線方程2022年新高考II卷155（2022·新高考全國(guó)Ⅱ卷·高考真題）設(shè)點(diǎn)，若直線關(guān)于對(duì)稱的直線與圓有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是．由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)；求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)；直線關(guān)于直線對(duì)稱問題近三年新高考數(shù)學(xué)直線與圓選填題考查情況總結(jié)?考點(diǎn)：涵蓋切線問題（切線長(zhǎng)、方程，如2023年新課標(biāo)Ⅰ卷）、弦長(zhǎng)與面積（利用圓的性質(zhì)求參數(shù)，如2023年新課標(biāo)Ⅱ卷）、圓與圓位置關(guān)系（公切線方程，如2022年新課標(biāo)Ⅰ卷）、點(diǎn)線對(duì)稱及位置關(guān)系求參數(shù)（如2022年新課標(biāo)Ⅱ卷）。?題型：以填空題為主，分值5分，側(cè)重考查直線與圓的幾何性質(zhì)、方程求解及位置關(guān)系的綜合運(yùn)用，注重計(jì)算與推理能力。2025年新高考直線與圓選填題高考預(yù)測(cè)?題型與分值：預(yù)計(jì)為填空題，分值5分。?考查方向：延續(xù)對(duì)切線（方程、性質(zhì)）、弦長(zhǎng)面積的考查，可能涉及點(diǎn)線對(duì)稱問題，或與其他知識(shí)綜合（如幾何最值），強(qiáng)化幾何直觀與運(yùn)算求解能力，注重對(duì)直線與圓位置關(guān)系的深度理解與應(yīng)用。1.兩點(diǎn)間的距離公式，，2.中點(diǎn)坐標(biāo)公式，，為的中點(diǎn)，則：3.三角形重心坐標(biāo)公式4.直線的斜率與傾斜角的定義及其關(guān)系斜率：表示直線的變化快慢的程度；，直線遞增，，直線遞減，傾斜角：直線向上的部分與軸正方向的夾角，范圍為直線的斜率與傾斜角的關(guān)系：不存在5.兩點(diǎn)間的斜率公式，，6.直線的斜截式方程，其中為斜率，為軸上的截距7.直線的點(diǎn)斜式方程已知點(diǎn)，直線的斜率，則直線方程為：8.直線的一般式方程9.兩條直線的位置關(guān)系平行的條件①斜截式方程：，，②一般式方程：，，重合的條件①斜截式方程：，，②一般式方程：，，垂直的條件①斜截式方程：，，②一般式方程：，，10.點(diǎn)到直線的距離公式點(diǎn)，直線，點(diǎn)到直線的距離為：11.兩條平行線間的距離公式，，12.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，其中圓心坐標(biāo)為，半徑為13.圓的一般方程（）配方可得：，圓心坐標(biāo)為，半徑為14.表示圓的充要條件：15.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系已知點(diǎn)，圓的方程為：若，點(diǎn)在圓內(nèi)若，點(diǎn)在圓上若，點(diǎn)在圓外16.直線與圓的位置關(guān)系直線，圓代數(shù)關(guān)系，其中為聯(lián)立方程根的個(gè)數(shù)，幾何關(guān)系，其中為圓心到直線的距離17.圓上一點(diǎn)的切線方程18.圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓的半徑為，設(shè)圓的半徑為，兩圓的圓心距為若，兩圓外離，若，兩圓外切，若，兩圓內(nèi)切若，兩圓相交，若，兩圓內(nèi)含，若，同心圓兩圓外離，公切線的條數(shù)為4條；兩圓外切，公切線的條數(shù)為3條；兩圓相交，公切線的條數(shù)為2條；兩圓內(nèi)切，公切線的條數(shù)為1條；兩圓內(nèi)含，公切線的條數(shù)為0條；19.弦長(zhǎng)公式設(shè)，，則或：20.圓上一點(diǎn)到圓外一點(diǎn)的距離的最值21.圓上一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離的最值22.圓上一點(diǎn)到直線距離的最值23.過圓內(nèi)一點(diǎn)的最長(zhǎng)弦和最短弦最長(zhǎng)弦：直徑；最短弦：垂直于直徑典例1（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）過點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】方法一：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長(zhǎng)，結(jié)合倍角公式運(yùn)算求解；方法二：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長(zhǎng)，結(jié)合余弦定理運(yùn)算求解；方法三：根據(jù)切線結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可得，利用韋達(dá)定理結(jié)合夾角公式運(yùn)算求解.【詳解】方法一：因?yàn)椋?，可得圓心，半徑，過點(diǎn)作圓C的切線，切點(diǎn)為，因?yàn)椋瑒t，可得，則，，即為鈍角，所以；法二：圓的圓心，半徑，過點(diǎn)作圓C的切線，切點(diǎn)為，連接，可得，則，因?yàn)榍?，則，即，解得，即為鈍角，則，且為銳角，所以；方法三：圓的圓心，半徑，若切線斜率不存在，則切線方程為，則圓心到切點(diǎn)的距離，不合題意；若切線斜率存在，設(shè)切線方程為，即，則，整理得，且設(shè)兩切線斜率分別為，則，可得，所以，即，可得，則，且，則，解得.故選：B.

典例2（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知直線與交于A，B兩點(diǎn)，寫出滿足“面積為”的m的一個(gè)值．【答案】（中任意一個(gè)皆可以）【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，求出弦長(zhǎng)，以及點(diǎn)到直線的距離，結(jié)合面積公式即可解出．【詳解】設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，由弦長(zhǎng)公式得，所以，解得：或，由，所以或，解得：或．故答案為：（中任意一個(gè)皆可以）．典例3（2022·新高考全國(guó)Ⅰ卷·高考真題）寫出與圓和都相切的一條直線的方程．【答案】或或【分析】先判斷兩圓位置關(guān)系，分情況討論即可.【詳解】[方法一]：顯然直線的斜率不為0，不妨設(shè)直線方程為，于是，故①，于是或，再結(jié)合①解得或或，所以直線方程有三條，分別為，，填一條即可[方法二]：設(shè)圓的圓心，半徑為，圓的圓心，半徑，則，因此兩圓外切，由圖像可知，共有三條直線符合條件，顯然符合題意；又由方程和相減可得方程，即為過兩圓公共切點(diǎn)的切線方程，又易知兩圓圓心所在直線OC的方程為，直線OC與直線的交點(diǎn)為，設(shè)過該點(diǎn)的直線為，則，解得，從而該切線的方程為填一條即可[方法三]：圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，兩圓圓心距為，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，如圖，當(dāng)切線為l時(shí)，因?yàn)?，所以，設(shè)方程為O到l的距離，解得，所以l的方程為，當(dāng)切線為m時(shí)，設(shè)直線方程為，其中，，由題意，解得，當(dāng)切線為n時(shí)，易知切線方程為，故答案為：或或.典例4（2022·新高考全國(guó)Ⅱ卷·高考真題）設(shè)點(diǎn)，若直線關(guān)于對(duì)稱的直線與圓有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是．【答案】【分析】首先求出點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到直線的方程，根據(jù)圓心到直線的距離小于等于半徑得到不等式，解得即可；【詳解】解：關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，在直線上，所以所在直線即為直線，所以直線為，即；圓，圓心，半徑，依題意圓心到直線的距離，即，解得，即；故答案為：【名校預(yù)測(cè)·第一題】（廣東省深圳市高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期數(shù)學(xué)試題）已知，，若直線上存在點(diǎn)P，使得，則的取值范圍為.【答案】【來源】廣東省深圳市高級(jí)中學(xué)高中園2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題【分析】根據(jù)得出點(diǎn)的軌跡方程，再根據(jù)直線與點(diǎn)的軌跡有公共點(diǎn)，利用圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系求解的取值范圍.【詳解】設(shè)點(diǎn)，已知，，則，.因?yàn)?，可得：，整理?所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓.因?yàn)橹本€上存在點(diǎn)滿足條件，所以直線與圓有公共點(diǎn).可得圓心到直線的距離.因?yàn)橹本€與圓有公共點(diǎn)，所以圓心到直線的距離小于等于半徑，即，則.兩邊同時(shí)平方可得，即.得.所以不等式的解集為，即的取值范圍是.故答案為：.【名校預(yù)測(cè)·第二題】（吉林省東北師范大學(xué)附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期數(shù)學(xué)試題）設(shè)直線被圓所截弦的中點(diǎn)的軌跡為，則曲線與直線的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定【答案】A【來源】吉林省長(zhǎng)春市東北師范大學(xué)附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期期初考試數(shù)學(xué)試題【分析】求出直線恒過定點(diǎn)，由圓的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得點(diǎn)的軌跡是一個(gè)以為直徑的圓，求出該圓的方程，求出圓心到直線的距離，與圓的半徑比較大小即可判斷出直線與圓的位置關(guān)系，即可求解．【詳解】由可得，所以該直線恒過定點(diǎn)，由圓的性質(zhì)可得：，所以中點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓（去除O點(diǎn)），所以圓心為，半徑為，所以點(diǎn)的軌跡方程為：，則圓心到直線的距離，所以直線與圓的位置關(guān)系是相交．故選：A【名校預(yù)測(cè)·第三題】（貴州省貴陽(yáng)市第一中學(xué)2025屆高三下學(xué)期數(shù)學(xué)試卷）已知直線：與圓：交于，兩點(diǎn)，則的一個(gè)充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】A【來源】貴州省貴陽(yáng)市第一中學(xué)2025屆高三下學(xué)期月考（六）（3月）數(shù)學(xué)試卷【分析】由幾何法求弦長(zhǎng)的充要條件時(shí)的取值范圍，再求其真子集即可.【詳解】的充要條件是：圓心，到的距離，即，故的充分不必要條件是的真子集.故選：A．【名校預(yù)測(cè)·第四題】（湖北省武漢市華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年數(shù)學(xué)試題）設(shè)，過定點(diǎn)A的動(dòng)直線和過定點(diǎn)B的動(dòng)直線交于點(diǎn)P，點(diǎn)P到直線的距離為d，則d的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【來源】湖北省武漢市華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期開學(xué)檢測(cè)數(shù)學(xué)試題【分析】根據(jù)直線方程求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，判斷兩直線的交點(diǎn)的軌跡為圓，利用點(diǎn)到直線的距離公式判斷直線與圓相切，即可求出的取值范圍【詳解】動(dòng)直線過定點(diǎn)，動(dòng)直線即過定點(diǎn).因?yàn)?，所以直線與直線垂直，又直線的斜率一定存在，點(diǎn)在以為直徑的圓上（去除點(diǎn)），圓心為，半徑，圓心到直線的距離為所以圓與直線相切（切點(diǎn)不是點(diǎn)），的最小值為0；圓的直徑，且點(diǎn)到直線的距離為，所以，即的取值范圍為.故選：A.【名校預(yù)測(cè)·第五題】（湖南省長(zhǎng)沙市湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)2025屆高三下數(shù)學(xué)試卷）（多選）已知圓，直線（其中為參數(shù)），則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．圓的半徑 B．直線與圓相交C．直線不可能將圓的周長(zhǎng)平分 D．直線被圓截得的最短弦長(zhǎng)為【答案】BD【來源】湖南省長(zhǎng)沙市湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)2025屆高三下學(xué)期模擬（一）數(shù)學(xué)試卷【分析】對(duì)于A，根據(jù)條件得到圓心為，半徑為，即可求解；對(duì)于B，根據(jù)條件可得直線過定點(diǎn)，且定點(diǎn)在圓內(nèi)，即可求解；對(duì)于C，當(dāng)直線過圓心時(shí)，直線平分圓，即可求解；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，直線被圓截得的弦長(zhǎng)最短，由弦長(zhǎng)公式，即可求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，由，得到，所以圓圓心為，半徑為，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)B，由，得到，由，得到，所以直線過點(diǎn)，又，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，故直線與圓相交，則選項(xiàng)B正確，對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)直線過點(diǎn)，即時(shí)，直線平分圓的周長(zhǎng)，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，圓心到直線的距離最大，直線被圓截得的弦長(zhǎng)最短，此時(shí)弦長(zhǎng)為，所以選項(xiàng)D正確，故選：BD.【名師押題·第一題】已知過原點(diǎn)的直線與圓相交于兩點(diǎn)，若，則直線的方程為．【答案】【分析】先由弦長(zhǎng)、半徑求出弦心距，再分斜率存在和不存在兩種情況設(shè)出直線方程，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式列式求解即可.【詳解】圓的圓心，半徑直線截圓所得弦長(zhǎng)，則弦心距當(dāng)過原點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，的方程為，圓心到直線的距離為1，不符合題意要求；當(dāng)過原點(diǎn)的直線斜率存在時(shí)，的方程可設(shè)為，由，可得，此時(shí)的方程為綜上，直線的方程為.故答案為：.【名師押題·第二題】若圓被直線所截得的弦長(zhǎng)為10，過點(diǎn)作圓的切線，其中一個(gè)切點(diǎn)為，則的值為.【答案】【分析】利用垂徑定理來求弦長(zhǎng)，得用勾股定理來求切線長(zhǎng)，即可解決問題.【詳解】由弦長(zhǎng)為，結(jié)合垂徑定理可得：，解得，結(jié)合已知點(diǎn)，可得：所以，故答案為：.【名師押題·第三題】已知點(diǎn)，圓上一動(dòng)點(diǎn)P，以線段PF為直徑的圓交軸于A，B兩點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出圓心的軌跡方程，再利用動(dòng)點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的取值范圍的求法，求出，注意排除特殊位置.【詳解】設(shè)，，由為的中點(diǎn)，可得，即，又在圓上，則可得，即，即圓心的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，而，則的范圍為，即，又當(dāng)時(shí)，圓心，半徑為，此時(shí)圓與軸相切，不符合題意，此時(shí).故的范圍為.故選：B.【名師押題·第四題】已知圓與圓相交于兩點(diǎn)，則四邊形的面積等于.【答案】9【分析】法一：準(zhǔn)確畫圖，可得四邊形是邊長(zhǎng)為3正方形，進(jìn)而求得其面積；法二：將兩圓方程做差求相交弦方程，再應(yīng)用弦心距、半徑與弦長(zhǎng)關(guān)系即可求得，利用兩點(diǎn)間距離公式求得，進(jìn)而求得四邊形的面積.【詳解】由已知，圓，圓，圓心，半徑，圓心，半徑，法一：如圖，準(zhǔn)確畫圖，容易發(fā)現(xiàn)四邊形是邊長(zhǎng)為3正方形，其面積為9；法二：將兩圓方程相減，可得公共弦所在直線的方程為：到距離為，所以，即，又，所以，四邊形的面積.故答案為：9.【名師押題·第五題】已知，，點(diǎn)P滿足，當(dāng)取到最大值時(shí)，的面積為（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】由可得點(diǎn)P軌跡方程，然后由直線與圓D相切時(shí)，最大，可得答案.【詳解】設(shè)，由得，即，則點(diǎn)P軌跡為的圓心為，半徑為的圓.當(dāng)直線與圓D相切時(shí)，最大，則．又，，所以．又，所以．故選：D．圓錐曲線（選填題）年份題號(hào)分值題干考點(diǎn)2024年新高考I卷116（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）設(shè)計(jì)一條美麗的絲帶,其造型可以看作圖中的曲線C的一部分.已知C過坐標(biāo)原點(diǎn)O.且C上的點(diǎn)滿足:橫坐標(biāo)大于，到點(diǎn)的距離與到定直線的距離之積為4，則（

）B．點(diǎn)在C上C．C在第一象限的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為1D．當(dāng)點(diǎn)在C上時(shí)，由方程研究曲線的性質(zhì)求平面軌跡方程2024年新高考I卷125（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）設(shè)雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，過作平行于軸的直線交C于A，B兩點(diǎn)，若，則C的離心率為．求雙曲線的離心率2024年新高考II卷55（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知曲線C：（），從C上任意一點(diǎn)P向x軸作垂線段，為垂足，則線段的中點(diǎn)M的軌跡方程為（

）（）B．（）C．（）D．（）求平面軌跡方程軌跡問題--橢圓2024年新高考II卷106（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）拋物線C：的準(zhǔn)線為l，P為C上的動(dòng)點(diǎn)，過P作的一條切線，Q為切點(diǎn)，過P作l的垂線，垂足為B，則（

）A．l與相切B．當(dāng)P，A，B三點(diǎn)共線時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，D．滿足的點(diǎn)有且僅有2個(gè)直線與拋物線交點(diǎn)相關(guān)問題切線長(zhǎng)根據(jù)拋物線方程求焦點(diǎn)或準(zhǔn)線2023年新高考I卷55（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）設(shè)橢圓的離心率分別為．若，則（

）A． B．C． D．由橢圓的離心率求參數(shù)2023年新高考I卷165（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為．點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，，則的離心率為．利用定義解決雙曲線中焦點(diǎn)三角形問題求雙曲線的離心率2023年新高考II卷55（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若面積是面積的2倍，則（

）．A． B．C． D．根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系求參數(shù)橢圓中三角形的面積2023年新高考II卷105（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與C交于M，N兩點(diǎn)，l為C的準(zhǔn)線，則（

）．A．B．C．以MN為直徑的圓與l相切D．為等腰三角形求直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)與拋物線焦點(diǎn)弦有關(guān)的幾何性質(zhì)拋物線定義的理解根據(jù)焦點(diǎn)或準(zhǔn)線寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程2022年新高考I卷115（2022·新高考全國(guó)Ⅰ卷·高考真題）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，則（

）A．C的準(zhǔn)線為B．直線AB與C相切C．D．判斷直線與拋物線的位置關(guān)系求直線與拋物線相交所得弦的弦長(zhǎng)根據(jù)拋物線方程求焦點(diǎn)或準(zhǔn)線2022年新高考I卷165（2022·新高考全國(guó)Ⅰ卷·高考真題）已知橢圓，C的上頂點(diǎn)為A，兩個(gè)焦點(diǎn)為，，離心率為．過且垂直于的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，，則的周長(zhǎng)是．橢圓中焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)問題根據(jù)離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程2022年新高考II卷105（2022·新高考全國(guó)Ⅱ卷·高考真題）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，其中A在第一象限，點(diǎn)，若，則（

）A．直線的斜率為B．C．D．拋物線定義的理解求直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)量積的坐標(biāo)表示已知兩點(diǎn)求斜率2022年新高考II卷165（2022·新高考全國(guó)Ⅱ卷·高考真題）已知直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩點(diǎn)，l與x軸，y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，且，則l的方程為．根據(jù)弦長(zhǎng)求參數(shù)由弦中點(diǎn)求弦方程或斜率近三年新高考數(shù)學(xué)圓錐曲線選填題考查情況總結(jié)?考點(diǎn)：涵蓋求圓錐曲線方程（橢圓、雙曲線、拋物線）、離心率計(jì)算、軌跡方程、直線與圓錐曲線位置關(guān)系（弦長(zhǎng)、面積、交點(diǎn)性質(zhì)），涉及定義、幾何性質(zhì)及代數(shù)運(yùn)算（如2024年新課標(biāo)Ⅰ卷求軌跡方程、Ⅱ卷直線與拋物線交點(diǎn)；2023年新課標(biāo)Ⅰ卷橢圓離心率、Ⅱ卷橢圓中直線與橢圓關(guān)系；2022年新課標(biāo)Ⅰ卷拋物線性質(zhì)、Ⅱ卷橢圓弦長(zhǎng)）。?題型：以選擇題為主，分值5-6分，側(cè)重考查圓錐曲線基本性質(zhì)與直線和曲線綜合問題的分析能力。2025年新高考圓錐曲線選填題高考預(yù)測(cè)?題型與分值：預(yù)計(jì)為選擇題或填空題，分值5-6分。?考查方向：延續(xù)離心率、軌跡方程、直線與圓錐曲線位置關(guān)系的考查，可能強(qiáng)化雙曲線漸近線、拋物線焦點(diǎn)弦性質(zhì)，或與幾何最值、參數(shù)范圍結(jié)合，注重定義和性質(zhì)的綜合運(yùn)用。點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱的一般性結(jié)論點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線Ax+By+C=0的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為直徑端點(diǎn)圓的方程若圓的直徑端點(diǎn)，則圓的方程為解析幾何中的切線方程①過圓上任意一點(diǎn)的切線方程為②過橢圓上任意一點(diǎn)的切線方程為③過雙曲線上任意一點(diǎn)的切線方程為④設(shè)QUOTEPx0,y0Px0,y0為拋物線QUOTEy2=2pxy2=2px解析結(jié)合中的切點(diǎn)弦方程平面內(nèi)一點(diǎn)引曲線的兩條切線，兩切點(diǎn)所在直線的方程叫做曲線的切點(diǎn)弦方程①圓的切點(diǎn)弦方程為②橢圓的切點(diǎn)弦方程為③雙曲線的切點(diǎn)弦方程為④拋物線的切點(diǎn)弦方程為 ⑤二次曲線的切點(diǎn)弦方程為相切的條件①橢圓與直線相切的條件是②雙曲線與直線相切的條件是斜率關(guān)系若A、B、C、D是圓錐曲線(二次曲線)上順次四點(diǎn),則四點(diǎn)共圓(常用相交弦定理)的一個(gè)充要條件是:直線AC、BD的斜率存在且不等于零,并有,(,分別表示AC和BD的斜率)常見不等式已知橢圓方程為，兩焦點(diǎn)分別為，，設(shè)焦點(diǎn)三角形中，則()橢球體積橢圓繞Ox坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為縱坐標(biāo)之和y=kx+m與橢圓相交于兩點(diǎn)，則縱坐標(biāo)之和為漸近線圍成的四邊形面積過雙曲線上任意一點(diǎn)作兩條漸近線的平行線，與漸近線圍成的四邊形面積為帕斯卡定理如果一個(gè)六邊形內(nèi)接于一條二次曲線(橢圓、雙曲線、拋物線)，那么它的三對(duì)對(duì)邊的交點(diǎn)在同一條直線上斜率定值過原點(diǎn)的直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)和橢圓上不與左右頂點(diǎn)重合的任一點(diǎn)構(gòu)成的直線斜率乘積為定值推論1：橢圓上不與左右頂點(diǎn)重合的任一點(diǎn)與左右頂點(diǎn)構(gòu)成的直線斜率乘積為定值推論2：過橢圓上一點(diǎn)做斜率互為相反數(shù)的兩條直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，則直線AB的斜率為定值橢圓和雙曲線的結(jié)論匯總橢圓雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)焦點(diǎn)焦半徑為離心率，為點(diǎn)的橫坐標(biāo).為離心率，為點(diǎn)的橫坐標(biāo).焦半徑范圍為橢圓上一點(diǎn)，為焦點(diǎn).為雙曲線上一點(diǎn)，為焦點(diǎn).通徑過焦點(diǎn)與長(zhǎng)軸垂直的弦稱為通徑.通徑長(zhǎng)為過焦點(diǎn)與實(shí)軸垂直的弦稱為通徑.通徑長(zhǎng)為如圖，直線過焦點(diǎn)與橢圓相交于兩點(diǎn).則的周長(zhǎng)為.（即）如圖，直線過焦點(diǎn)與雙曲線相交于兩點(diǎn).則.焦點(diǎn)弦傾斜角為的直線過焦點(diǎn)與橢圓相交于兩點(diǎn).焦點(diǎn)弦長(zhǎng).最長(zhǎng)焦點(diǎn)弦為長(zhǎng)軸，最短焦點(diǎn)弦為通徑.傾斜角為的直線過焦點(diǎn)與雙曲線相交于兩點(diǎn).焦點(diǎn)弦長(zhǎng).與數(shù)量關(guān)系直線過焦點(diǎn)與橢圓相交于兩點(diǎn)，則.直線過焦點(diǎn)與雙曲線相交于兩點(diǎn)，則.已知點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)，則.已知點(diǎn)是雙曲線上一點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)，則.焦三角形如圖，是橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的一點(diǎn)，已知，，，則（1）；（2）離心率.如圖，是雙曲線上異于實(shí)軸端點(diǎn)的一點(diǎn)，已知，，，則（1）；（2）離心率.垂徑定理如圖，已知直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，為原點(diǎn)，則.如圖，已知直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，為原點(diǎn)，則.（注：直線與雙曲線的漸近線相交于兩點(diǎn)，其他條件不變，結(jié)論依然成立）周角定理如圖，已知點(diǎn)橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)（短軸端點(diǎn)），是橢圓上異于的一點(diǎn)，則.推廣：如圖，已知點(diǎn)是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，是橢圓上異于的一點(diǎn)，若直線的斜率存在且不為零，如圖，已知點(diǎn)雙曲線實(shí)軸端點(diǎn)，是雙曲線上異于的一點(diǎn)，則.推廣：如圖，已知點(diǎn)是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，是雙曲線上異于的一點(diǎn)，若直線的斜率存在且不為零，.直線過焦點(diǎn)與橢圓相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)，則（即）.直線過焦點(diǎn)與雙曲線相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)，則（即）.切線方程已知點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，則橢圓在點(diǎn)處的切線方程為.已知點(diǎn)是雙曲線上一點(diǎn)，則雙曲線在點(diǎn)處的切線方程為.補(bǔ)充結(jié)論11．過定點(diǎn)（定點(diǎn)在雙曲線外且不在漸近線上）的直線與雙曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題：設(shè)斜率為的直線過定點(diǎn)，雙曲線方程為，過點(diǎn)與雙曲線相切時(shí)的斜率為.（1）當(dāng)時(shí)，直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩交點(diǎn)在雙曲線的兩支上；（2）當(dāng)時(shí)，直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)；（3）當(dāng)時(shí)，直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩交點(diǎn)在雙曲線的同一支上；（4）當(dāng)時(shí)，直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)；（5）當(dāng)時(shí)，直線與雙曲線沒有交點(diǎn).2．如圖，是雙曲線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)作垂直雙曲線的其中一條漸近線，垂足為，為原點(diǎn)，則.3．點(diǎn)是雙曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離之積為定值.4．點(diǎn)是雙曲線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作雙曲線的漸近線的平行線分別與漸近線相交于兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，則平行四邊形的面積為定值.拋物線的結(jié)論如圖，拋物線方程為，準(zhǔn)線與軸相交于點(diǎn)，過焦點(diǎn)的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，直線的傾斜角為.1．2．焦半徑：，，.3．焦點(diǎn)弦：.4．的數(shù)量關(guān)系：，.5．三角形的面積.6．以焦點(diǎn)弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；以焦半徑為直徑的圓與軸相切.7．直線的斜率之和為零（），即.8．點(diǎn)三點(diǎn)共線；點(diǎn)三點(diǎn)共線.9．如圖，點(diǎn)是拋物線，為原點(diǎn)，若，則直線過定點(diǎn).補(bǔ)充結(jié)論21.已知橢圓（a＞b＞0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且.則（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值為;（3）的最小值是.2.與共軛的雙曲線方程為，①它們有公共的漸近線；②四個(gè)焦點(diǎn)都在以原點(diǎn)為圓心，C為半徑的圓上；③。3.與有相同焦點(diǎn)的雙曲線方程為4.與有相同焦點(diǎn)的橢圓方程為：5.與有相同焦點(diǎn)的雙曲線方程為：6.與有相同離心率的雙曲線方程為：①焦點(diǎn)在軸上時(shí)：②焦點(diǎn)在軸上時(shí)：7.與有相同的漸近線方程為：；典例1（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）（多選）設(shè)計(jì)一條美麗的絲帶,其造型可以看作圖中的曲線C的一部分.已知C過坐標(biāo)原點(diǎn)O.且C上的點(diǎn)滿足:橫坐標(biāo)大于，到點(diǎn)的距離與到定直線的距離之積為4，則（

）A． B．點(diǎn)在C上C．C在第一象限的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為1 D．當(dāng)點(diǎn)在C上時(shí)，【答案】ABD【分析】根據(jù)題設(shè)將原點(diǎn)代入曲線方程后可求，故可判斷A的正誤，結(jié)合曲線方程可判斷B的正誤，利用特例法可判斷C的正誤，將曲線方程化簡(jiǎn)后結(jié)合不等式的性質(zhì)可判斷D的正誤.【詳解】對(duì)于A：設(shè)曲線上的動(dòng)點(diǎn)，則且，因?yàn)榍€過坐標(biāo)原點(diǎn)，故，解得，故A正確.對(duì)于B：又曲線方程為，而，故.當(dāng)時(shí)，，故在曲線上，故B正確.對(duì)于C：由曲線的方程可得，取，則，而，故此時(shí)，故在第一象限內(nèi)點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值大于1，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D：當(dāng)點(diǎn)在曲線上時(shí)，由C的分析可得，故，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：根據(jù)曲線方程討論曲線的性質(zhì)，一般需要將曲線方程變形化簡(jiǎn)后結(jié)合不等式的性質(zhì)等來處理.典例2（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）設(shè)雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，過作平行于軸的直線交C于A，B兩點(diǎn)，若，則C的離心率為．【答案】【分析】由題意畫出雙曲線大致圖象，求出，結(jié)合雙曲線第一定義求出，即可得到的值，從而求出離心率.【詳解】由題可知三點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，設(shè)在第一象限，將代入得，即，故，，又，得，解得，代入得，故，即，所以.故答案為：典例3（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知曲線C：（），從C上任意一點(diǎn)P向x軸作垂線段，為垂足，則線段的中點(diǎn)M的軌跡方程為（

）A．（） B．（）C．（） D．（）【答案】A【分析】設(shè)點(diǎn)，由題意，根據(jù)中點(diǎn)的坐標(biāo)表示可得，代入圓的方程即可求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，即，又在圓上，所以，即，即點(diǎn)的軌跡方程為.故選：A典例4（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）（多選）拋物線C：的準(zhǔn)線為l，P為C上的動(dòng)點(diǎn)，過P作的一條切線，Q為切點(diǎn)，過P作l的垂線，垂足為B，則（

）A．l與相切B．當(dāng)P，A，B三點(diǎn)共線時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，D．滿足的點(diǎn)有且僅有2個(gè)【答案】ABD【分析】A選項(xiàng)，拋物線準(zhǔn)線為，根據(jù)圓心到準(zhǔn)線的距離來判斷；B選項(xiàng)，三點(diǎn)共線時(shí)，先求出的坐標(biāo)，進(jìn)而得出切線長(zhǎng)；C選項(xiàng)，根據(jù)先算出的坐標(biāo)，然后驗(yàn)證是否成立；D選項(xiàng)，根據(jù)拋物線的定義，，于是問題轉(zhuǎn)化成的點(diǎn)的存在性問題，此時(shí)考察的中垂線和拋物線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可，亦可直接設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行求解.【詳解】A選項(xiàng)，拋物線的準(zhǔn)線為，的圓心到直線的距離顯然是，等于圓的半徑，故準(zhǔn)線和相切，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，三點(diǎn)共線時(shí)，即，則的縱坐標(biāo)，由，得到，故，此時(shí)切線長(zhǎng)，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故或，當(dāng)時(shí)，，，，不滿足；當(dāng)時(shí)，，，，不滿足；于是不成立，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，方法一：利用拋物線定義轉(zhuǎn)化根據(jù)拋物線的定義，，這里，于是時(shí)點(diǎn)的存在性問題轉(zhuǎn)化成時(shí)點(diǎn)的存在性問題，，中點(diǎn)，中垂線的斜率為，于是的中垂線方程為：，與拋物線聯(lián)立可得，，即的中垂線和拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，即存在兩個(gè)點(diǎn)，使得，D選項(xiàng)正確.方法二：（設(shè)點(diǎn)直接求解）設(shè)，由可得，又，又，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，，整理得，，則關(guān)于的方程有兩個(gè)解，即存在兩個(gè)這樣的點(diǎn)，D選項(xiàng)正確.故選：ABD典例5（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為．點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，，則的離心率為．【答案】/【分析】方法一：利用雙曲線的定義與向量數(shù)積的幾何意義得到關(guān)于的表達(dá)式，從而利用勾股定理求得，進(jìn)而利用余弦定理得到的齊次方程，從而得解.方法二：依題意設(shè)出各點(diǎn)坐標(biāo)，從而由向量坐標(biāo)運(yùn)算求得，，將點(diǎn)代入雙曲線得到關(guān)于的齊次方程，從而得解；【詳解】方法一：依題意，設(shè)，則，在中，，則，故或（舍去），所以，，則，故，所以在中，，整理得，故.方法二:依題意，得，令，因?yàn)?，所以，則，又，所以，則，又點(diǎn)在上，則，整理得，則，所以，即，整理得，則，解得或，又，所以或（舍去），故.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：雙曲線過焦點(diǎn)的三角形的解決關(guān)鍵是充分利用雙曲線的定義，結(jié)合勾股定理與余弦定理得到關(guān)于的齊次方程，從而得解.典例6（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）（多選）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與C交于M，N兩點(diǎn)，l為C的準(zhǔn)線，則（

）．A． B．C．以MN為直徑的圓與l相切 D．為等腰三角形【答案】AC【分析】先求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得，根據(jù)弦長(zhǎng)公式求得，根據(jù)圓與等腰三角形的知識(shí)確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)：直線過點(diǎn)，所以拋物線的焦點(diǎn)，所以，則A選項(xiàng)正確，且拋物線的方程為.B選項(xiàng)：設(shè)，由消去并化簡(jiǎn)得，解得，所以，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)：設(shè)的中點(diǎn)為，到直線的距離分別為，因?yàn)?，即到直線的距離等于的一半，所以以為直徑的圓與直線相切，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)：直線，即，到直線的距離為，所以三角形的面積為，由上述分析可知，所以，所以三角形不是等腰三角形，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.

【名校預(yù)測(cè)·第一題】（山東省泰安第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題）已知拋物線的焦點(diǎn)為，，是拋物線上兩點(diǎn)，且，弦的中點(diǎn)在的準(zhǔn)線的射影為，則的最小值為（

）A． B． C． D．2【答案】C【來源】山東省泰安第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題【分析】由拋物線定義對(duì)線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再由中位線得到線段，解三角形得到線段，由基本不等式得到取值范圍，從而得到最值.【詳解】設(shè)、，，在準(zhǔn)線的射影分別為，如圖所示，根據(jù)拋物線的定義，可知，，在梯形中，有，在中，，又∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴，故的最小值為.故選：C【名校預(yù)測(cè)·第二題】（浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，A是雙曲線C的左頂點(diǎn)，以為直徑的圓與雙曲線C的一條漸近線交于P，Q兩點(diǎn)，且，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．2【答案】D【來源】浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題【分析】根據(jù)已知條件分別表示出點(diǎn)A、P、Q的坐標(biāo)，代入可得b與a的關(guān)系式，再由及離心率公式可求得結(jié)果.【詳解】依題意，易得以為直徑的圓的方程為.又由雙曲線，易得雙曲線C的漸近線方程為.當(dāng)時(shí)，如圖，設(shè)，則.聯(lián)立，解得或，所以，.又因?yàn)椋暂S.所以，.所以，所以.因?yàn)?，所?同理，當(dāng)時(shí)，亦可得.故雙曲線C的離心率為.故選：D.【名校預(yù)測(cè)·第三題】（湖北省武漢市華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué)2024-2025數(shù)學(xué)試題）設(shè)為雙曲線的一個(gè)實(shí)軸頂點(diǎn)，為的漸近線上的兩點(diǎn)，滿足，，則的漸近線方程是．【答案】【來源】湖北省武漢市華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期開學(xué)檢測(cè)數(shù)學(xué)試題【分析】由角平分線定理，結(jié)合余弦定理，求得，再求的正切值，進(jìn)而即可求得漸近線方程.【詳解】根據(jù)題意，作圖如下：

依題意，為的角平分線，且，設(shè)，由角平分線定理可得：，則；在中，由余弦定理；在中，由余弦定理可得，，即，解得.故，，所以的漸近線方程是．故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求雙曲線的漸近線方程，常見有三種方法：①直接求出，從而得解；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，轉(zhuǎn)化為的齊次式，從而得解；③求得其中一個(gè)漸近線的傾斜角（或斜率），從而得解.【名校預(yù)測(cè)·第四題】（貴州省貴陽(yáng)市第一中學(xué)2025屆高三下學(xué)期數(shù)學(xué)試卷）（多選）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線：的焦點(diǎn)為，直線與交于，兩點(diǎn)，是上異于頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若過點(diǎn)，則為鈍角B．若，則的斜率為C．若，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1時(shí)，最小D．若四邊形為平行四邊形，則過定點(diǎn)【答案】AC【來源】貴州省貴陽(yáng)市第一中學(xué)2025屆高三下學(xué)期月考（六）（3月）數(shù)學(xué)試卷【分析】聯(lián)立直線與拋物線方程利用向量數(shù)量積的符號(hào)可判斷A正確，由可得坐標(biāo)間的關(guān)系，聯(lián)立解方程組可得B錯(cuò)誤，利用拋物線定義以及幾何關(guān)系可得C正確，根據(jù)四邊形為平行四邊形并結(jié)合韋達(dá)定理，利用向量表示解方程可得D正確.【詳解】易知焦點(diǎn)，對(duì)于A，若過點(diǎn)，可設(shè)直線方程為，，，聯(lián)立拋物線方程可得，可得，，所以，所以為鈍角，即A正確；對(duì)于B，由，可得過點(diǎn)，由題意可得，所以，結(jié)合，，可得，可得的斜率為，即B錯(cuò)誤；對(duì)于C，易知是拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，作與準(zhǔn)線垂直，垂足為，如圖所示：由拋物線的定義可得，所以．又在中，，且，因此當(dāng)取得最大值時(shí)，滿足題意，此時(shí)斜率存在且與拋物線相切．設(shè)的方程為，代入拋物線方程可得，所以，即，解得，此時(shí)，因此