湘教版初中數(shù)學(xué)七下 湘教版初中數(shù)學(xué)七下 1.1.5 多項(xiàng)式的乘法（9大題型提分練）（解析版） 提升練習(xí)

1.1.5多項(xiàng)式的乘法題型一計(jì)算單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式及求值1．把代數(shù)式變形為所運(yùn)用的根據(jù)是（

）A．乘法交換律 B．乘法結(jié)合律 C．分配律 D．乘法交換律和分配律【答案】C【分析】本題主要考查了整式的運(yùn)算，是單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，可以根據(jù)乘法分配律進(jìn)行計(jì)算．【詳解】解：把代數(shù)式變形為所運(yùn)用的根據(jù)是分配律，故選：C．2．下列計(jì)算結(jié)果正確的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】本題主要考查了單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算．利用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的計(jì)算方法：先用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加計(jì)算，逐一計(jì)算即可．【詳解】解：A．，故A錯(cuò)誤；B．，故B錯(cuò)誤；C．，故C錯(cuò)誤；D．，故D正確．故選：D．3．先化簡后求值：，其中．【答案】【分析】本題考查了單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式及合并同類項(xiàng)，熟練掌握單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式及合并同類項(xiàng)是解題的關(guān)鍵．先計(jì)算單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，然后合并同類項(xiàng)，得到，再將代入計(jì)算，即得答案．【詳解】，當(dāng)時(shí)，原式．題型二單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的應(yīng)用4．如圖，邊長分別為的兩個(gè)正方形并排放置，(1)求出圖中陰影部分的面積（用含的式子表示）；(2)當(dāng)，b=4時(shí)，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，合并同類項(xiàng)：（）根據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可；（）把代入求值即可．【詳解】（1）；（2）解：當(dāng)時(shí)，．5．我國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功將“天通一號”發(fā)射升空，某校開展了火箭模型制作比賽，如圖為火箭模型截面圖：下面為等腰梯形，中間是長方形，上面是三角形．(1)請用含a，b的式子表示該截面的面積；(2)當(dāng)，時(shí)，求這個(gè)截面的面積．【答案】(1)(2)這個(gè)截面的面積為【分析】本題考查了列代數(shù)式，求代數(shù)式的值，單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式運(yùn)算的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確列出算式．（1）根據(jù)梯形、長方形和三角形的面積公式列式計(jì)算即可；（2）直接把，代入（1）中結(jié)果進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：當(dāng)，時(shí)，．答：這個(gè)截面的面積為．題型三利用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式求字母的值6．若恒成立，求的值．【答案】0【分析】本題考查整式的加減，求代數(shù)式的值，解題的關(guān)鍵是先將等式轉(zhuǎn)化為，則問題轉(zhuǎn)化為恒成立，即且且，即可解得、、，進(jìn)而可得答案．【詳解】解：∵，又∵恒成立，∴恒成立，即：恒成立，∴，，，解得：，，，∴，即的值為．7．若的展開式中不含項(xiàng)，求a的值．【答案】【分析】直接利用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式運(yùn)算法則化簡，進(jìn)而得出項(xiàng)的系數(shù)為0，即可得出答案．【詳解】解：∵展開式中不含項(xiàng)，，解得：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．8．已知計(jì)算的結(jié)果中不含和的項(xiàng)，求m，n的值．【答案】【分析】本題主要考查了單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式中的無關(guān)型問題，先根據(jù)單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算法則去括號，然后合并同類項(xiàng)化簡，再根據(jù)結(jié)果中不含和的項(xiàng)，即含和的項(xiàng)的系數(shù)為0進(jìn)行求解即可．【詳解】解：，∵結(jié)果中不含和的項(xiàng)，∴，∴．題型四計(jì)算多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式及化簡求值9．計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題主要考查了多項(xiàng)式乘法，合并同類項(xiàng)的運(yùn)算法則，理解運(yùn)算法則是解答關(guān)鍵．（1）根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則計(jì)算，然后再合并同類項(xiàng)來求解；（2）根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則來求解；（3）根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則計(jì)算，然后再合并同類項(xiàng)來求解；（4）根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則計(jì)算，然后再合并同類項(xiàng)來求解．【詳解】（1）解：．（2）解：．（3）解：．（4）解：．10．化簡求值：，其中，．【答案】，．【分析】本題考查了整式的化簡求值．先根據(jù)單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則展開，再合并同類項(xiàng)進(jìn)行化簡，然后代入求值即可．【詳解】解：，當(dāng)，時(shí)，原式．題型五（x+a）(x+b)型多項(xiàng)式乘法11．若，則代數(shù)式的值為（

）A．2 B．0 C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，代數(shù)式求值，根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算法則得到，據(jù)此得到，再代值計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴，故選：B．12．觀察下列各式：回答下列問題：(1)總結(jié)公式：_____；(2)已知a，b，m均為整數(shù)，若，求m的值．【答案】(1)(2)或【分析】本題主要考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式．（1）觀察題目中的四個(gè)式子發(fā)現(xiàn)規(guī)律：二次項(xiàng)系數(shù)都是1，一次項(xiàng)系數(shù)為左邊括號中兩個(gè)常數(shù)的和，常數(shù)項(xiàng)為左邊括號中兩個(gè)常數(shù)的積，據(jù)此求解即可；（2）利用（1）的猜想展開左邊，再根據(jù)一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)列方程，最后根據(jù)a，b，m均為整數(shù)求解即可．【詳解】（1）解：根據(jù)上面的計(jì)算，可發(fā)現(xiàn)：，故答案為：；（2）解：∵，∴，，∵a，b，m均為整數(shù)，∴，∴或或或，∴或，∴m的值為或．題型六已知多項(xiàng)式的乘積不含某項(xiàng)求字母的值13．如果關(guān)于的多項(xiàng)式與的乘積中不含的一次項(xiàng)，求的值．【答案】【分析】本題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，多項(xiàng)式不含某項(xiàng)的問題，先列式求出多項(xiàng)式的乘積，再根據(jù)乘積中不含的一次項(xiàng)，得到一次項(xiàng)的系數(shù)為，據(jù)此即可求解，掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，∵乘積中不含的一次項(xiàng)，∴，∴．14．若的積中不含與項(xiàng)．(1)求，的值；(2)求代數(shù)式的值．【答案】(1)(2)【分析】本題考查多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式不含某一項(xiàng)的問題，熟練掌握多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則，正確的計(jì)算，是解題的關(guān)鍵：（1）利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則進(jìn)行展開，根據(jù)積中不含與項(xiàng)，得到與項(xiàng)的系數(shù)為0，進(jìn)行求解即可；（2）先化簡，再把，的值代入計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵，∵積中不含與項(xiàng)∴，∴；（2）∵，∴，∴，．題型七多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式與圖形的面積15．一塊矩形的田地被分割成了四個(gè)小矩形播種不同的農(nóng)作物，它們的邊長如圖所示，則大矩形的面積表示錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了矩形的面積，整式的乘法運(yùn)算，根據(jù)大矩形的面積的求法即可求解，掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】、利用“長寬”，即可求出大矩形的面積為：，原選項(xiàng)不符合題意；、根據(jù)大正方形面積兩個(gè)矩形面積之和：，原選項(xiàng)不符合題意；、不能表示大矩形的面積，原選項(xiàng)符合題意；、根據(jù)大正方形面積四個(gè)矩形面積之和：，原選項(xiàng)不符合題意；故選：．16．如圖，哈爾濱某小區(qū)計(jì)劃在空地處規(guī)劃一塊帶甬道的草坪（空白處為甬道，陰影部分為草坪），其中長方形場地的長：，寬：，兩條甬道的寬分別為a，b，單位：米．(1)用含a、b的式子表示出草坪面積（結(jié)果化為最簡形式）；(2)若，，求出草坪總面積．【答案】(1)(2)81【分析】本題主要考查整式乘除的應(yīng)用，熟練掌握整式乘除運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意表示出面積，再進(jìn)行化簡即可；（2）代入計(jì)算即可．【詳解】（1）解：，，，∴草坪總面積為平方米．（2）解：當(dāng)，時(shí)，原式，∴草坪總面積為81平方米．17．對于一個(gè)平面圖形，通過兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)關(guān)于整式乘法的數(shù)學(xué)等式，例如圖1可以得到完全平方公式，請利用這一方法解決下列問題：(1)觀察圖2，寫出所表示的數(shù)學(xué)等式：________=________．(2)觀察圖3，寫出所表示的數(shù)學(xué)等式：________=________．(3)已知（2）的等式中的三個(gè)字母可以取任何數(shù)，若，，，且．請利用（2）中的結(jié)論求的值．【答案】(1)，(2)，(3)50【分析】（1）先計(jì)算整個(gè)圖形的面積，再計(jì)算各個(gè)圖形的面積，利用整體圖形的面積等于各個(gè)圖形的面積之和，列出等式即可．（2）先計(jì)算整個(gè)圖形的面積，再計(jì)算各個(gè)圖形的面積，利用整體圖形的面積等于各個(gè)圖形的面積之和，列出等式即可．（3）根據(jù)（2）的等式代入解答即可．本題考查了公式與幾何圖形的關(guān)系，熟練掌握公式的意義是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，整體大長方形的面積為：，各個(gè)圖形的面積和為：，故，故答案為：，．（2）解：根據(jù)題意，整體大正方形的面積為：，各個(gè)圖形的面積和為：，故，故答案為：，．（3）解：∵，，，∴，∵，∴，∵．∴，∴．題型八多項(xiàng)式乘法中的規(guī)律性問題18．觀察下列各式：①；②；③；④請回答下列問題：(1)總結(jié)公式：______；(2)已知a，b，m均為整數(shù)，且，求m的值；(3)已知a，b，m，n均為整數(shù)，且若，請直接寫出n的值．【答案】(1)；(2)m的值為6或；(3)n的值為22或8或或【分析】此題主要考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，熟練掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法是解決問題的關(guān)鍵，分類討論是解決問題的難點(diǎn)，漏解是易錯(cuò)點(diǎn)．（1）根據(jù)已知算式的規(guī)律可得出答案；（2）根據(jù)（1）中的規(guī)律得，，再根據(jù)a，b，m均為整數(shù)，①，；②，；③，；④，，據(jù)此可得m的值；（3）根據(jù)中的規(guī)律得，，，再根據(jù)a，b，m，n均為整數(shù)，且得①，；②，；③，；④，，據(jù)此可得n的值．【詳解】（1）解：①；②；③；④；以此類推，，故答案為：（2）解：，由（1）得：，，，b，m均為整數(shù)，有以下四種情況：①，；②，；③，；④，，①當(dāng)，時(shí)，，②當(dāng)，時(shí)，，③當(dāng)，時(shí)，，④當(dāng)，時(shí)，，綜上所述：m的值為6或（3）解：，，，，，又，b，m，n均為整數(shù)，且，有以下四種情況：①，；②，；③，；④，，①當(dāng)，時(shí)，；②當(dāng)，時(shí)，；③當(dāng)，時(shí)，；④當(dāng)，時(shí)，，綜上所述：n的值為22或8或或19．觀察下列各式，回答問題：①；②；③；……(1)；(2)按此規(guī)律，第n個(gè)等式是：

；(3)的值的末位數(shù)字是．【答案】(1)(2)（為正整數(shù)）(3)【分析】本題考查等式和數(shù)字的規(guī)律探索，（1）觀察已知的3個(gè)等式，即可確定出所求式子的結(jié)果；（2）觀察一系列等式得到一般性規(guī)律，即可確定出所求式子的結(jié)果；（3）先根據(jù)（2）得出的規(guī)律求出它的值，再根據(jù)末位數(shù)字的循環(huán)規(guī)律即可得解；解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知式子確定一般規(guī)律．【詳解】（1）解：依題意，得：，故答案為：；（2）∵，，，，……再結(jié)合（1）的結(jié)論，得：第n個(gè)等式是：（為正整數(shù)），故答案為：（為正整數(shù)）；（3）解：，∵，末位數(shù)學(xué)是，，末位數(shù)學(xué)是，，末位數(shù)學(xué)是，，末位數(shù)學(xué)是，，末位數(shù)學(xué)是，……∴結(jié)果的末位數(shù)學(xué)有一個(gè)循環(huán)的規(guī)律，即，，，這四個(gè)數(shù)字依次循環(huán)，∵，∴的末位數(shù)字是，∴的值的末位數(shù)字是．故答案為：．題型九整式乘法混合運(yùn)算20．代數(shù)式的值（

）A．與字母都有關(guān) B．只與有關(guān)C．只與有關(guān) D．與字母都無關(guān)【答案】B【分析】本題考查了整式的混合運(yùn)算，掌握整式混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)整式的混合運(yùn)算法則先展開，再合并，由此即可求解．【詳解】解：，∴結(jié)果只與有關(guān)，故選：B．21．計(jì)算(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】此題考查了整式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．（1）利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則展開計(jì)算，再合并同類項(xiàng)即可；（2）利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則展開計(jì)算，再合并同類項(xiàng)即可得到結(jié)果．【詳解】（1）解：；（2）解：．22．已知，，．求：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】此題主要考查了整式的加減，熟練掌握去括號法則和合并同類項(xiàng)法則是解題關(guān)鍵．（1）代入代數(shù)式，去括號，然后合并同類項(xiàng)，即可求解；（2）代入代數(shù)式，利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式去括號，然后合并同類項(xiàng)，即可求解．【詳解】（1）解：；（2）解：．23．對于任意的有理數(shù)a，b，c，d，我們規(guī)定．如，根據(jù)這一規(guī)定，解答下列問題：(1)化簡；(2)若x，y同時(shí)滿足，，求x，y的值．【答案】(1)(2)【分析】本題考查的是自定義下的整式的加減乘除混合運(yùn)算，以及解方程組，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意列式，然后再計(jì)算乘法，后算加減即可；（2）根據(jù)題意列出方程組，再解方程組即可．【詳解】（1）解：；（2）解：∵，，∴，得：，解得：，把代入①得，解得：，∴方程組的解為：．24．已知，化簡代數(shù)式：并求出它的值．【答案】，【分析】本題考查了整式的乘法和加減法，化簡求值，冪的乘方的逆用，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．先逆用冪的乘方求出，再利用整式的乘法和加減法的運(yùn)算法則化簡，最后代入求值即可．【詳解】解：∵∴，∴，原式，當(dāng)，原式25．李老師給學(xué)生出了一道題：當(dāng)，時(shí)，求的值．題目出完后，小聰說：“老師給的條件，是多余的．”小明說：“不給這兩個(gè)條件，就不能求出結(jié)果，所以不是多余的．”你認(rèn)為他們誰說的有道理？為什么？【答案】小聰說得有道理，理由見解析【分析】本題主要考查多項(xiàng)式的乘法和合并同類項(xiàng)，根據(jù)題意將代數(shù)式展開，將同類項(xiàng)合并即可知小聰說的有道理．【詳解】解：小聰說得有道理．則此題的結(jié)果與a、b無關(guān)．故小聰說得有道理．26．已知，．(1)求證：代數(shù)式的值與的取值無關(guān)；(2)若，求的值．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查整式的乘法以及化簡求值．（1）將代數(shù)式化簡即可求解；（2）計(jì)算，進(jìn)而將字母的值代入，即可求解．【詳解】（1）解：證明：∴代數(shù)式的值與的取值無關(guān)（2）解：∵，∴∵，∴27．先閱讀下面的材料，再解決問題：已知，在求關(guān)于的代數(shù)式的值時(shí)，可將變形為，就可將表示為的一次多項(xiàng)式，從而達(dá)到“降次”的目的．我們稱為“降次代換法”例如：已知，求代數(shù)式的值．解：，原式請用“降次代換法”完成下列各小題：(1)若，則代數(shù)式的值為．(2)若，求代數(shù)式的值．【答案】(1)(2)【分析】本題考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式—化簡求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．（1）先由得出，再代入進(jìn)行計(jì)算，即可作答．（2）先由得出，再代入進(jìn)行化簡計(jì)算，即可作答．【詳解】（1）解：，，，故答案為：；（2）解：，，．28．仔細(xì)閱讀下面例題，解答問題：例題：已知關(guān)于x的多項(xiàng)式有一個(gè)因式是，求另一個(gè)因式以及m的值．解：設(shè)另一個(gè)因式為，得：，則，∴，解得：，．∴另一個(gè)因式為，m的值為－21．問題：仿照以上方法解答下面問題：(1)二次三項(xiàng)式有一個(gè)因式是，求p的值；(2)已知關(guān)于x的多項(xiàng)式有一個(gè)因式是，求另一個(gè)因式以及k的值；(3)已知關(guān)于x的多項(xiàng)式有一個(gè)因式為，求b的值．【答案】(1)p的值為6(2)另一個(gè)因式是，(3)【分析】本題主要考查了整式的乘法；（1）設(shè)另一個(gè)因式為，根據(jù)整式乘法的法則進(jìn)行計(jì)算，得出關(guān)于p、n的方程，求解即可；（2）設(shè)另一個(gè)因式為，根據(jù)整式乘法的法則進(jìn)行計(jì)算，得出關(guān)于k、n的方程，求解即可；（3）設(shè)另一個(gè)因式為，根據(jù)整式乘法的法則進(jìn)行計(jì)算，得出