數(shù)字通信原理（第3版）課件 第3章 隨機信號分析

3.1信號及其分類

3.2隨機過程1第3章

隨機信號分析第3章

隨機信號分析確定性信號與隨機信號連續(xù)信號與離散信號周期信號與非周期信號能量信號與功率信號

能量信號

功率信號3第3章

隨機信號分析3.1信號及其分類1.信號分類4第3章

隨機信號分析2.相關(guān)函數(shù)1）自相關(guān)表達(dá)式可見，自相關(guān)函數(shù)反映了一個信號與其延遲秒后的信號間的相關(guān)程度。自相關(guān)函數(shù)只與時間差有關(guān)，而與時間t無關(guān)。通常，我們會利用自相關(guān)函數(shù)來檢測和識別淹沒在隨機噪聲中的有效周期信號。性質(zhì)：自相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù)，即；自相關(guān)函數(shù)在時可以獲得最大值，并等于該隨機信號的均方值；自相關(guān)函數(shù)在時可以獲得最小值，并等于該隨機信號的均值m的平方；若隨機信號中含有常值分量，則含有常值分量；若均值為零且不含周期成分的“純”隨機信號，當(dāng)夠大時，趨于零；如果隨機信號含有周期分量，則自相關(guān)函數(shù)中必含同頻率的周期分量。5第3章

隨機信號分析2）互相關(guān)表達(dá)式可見，互相關(guān)函數(shù)描述了一個信號與延遲秒后的另一個信號間的依賴程度。同樣，互相關(guān)函數(shù)只與兩個信號的時間差有關(guān)，而與時間t無關(guān)。但互相關(guān)函數(shù)與兩個信號的前后次序有關(guān)。性質(zhì)：互相關(guān)函數(shù)既非偶也非奇函數(shù)；只有當(dāng)兩個周期信號具有相同的頻率時，才存在互相關(guān)函數(shù)，即兩個非同頻的周期信號不相關(guān)；兩個信號錯開一個時間間隔處相關(guān)程度有可能最高，它反映兩信號、之間主傳輸通道的滯后時間。周期信號周期信號的傅氏三角級數(shù)表示周期信號的傅氏指數(shù)級數(shù)表示6第3章

隨機信號分析3.頻譜密度（預(yù)備知識）信號的傅里葉變換一個非周期信號可以看成一個周期信號。傅氏正變換傅氏反變換7第3章

隨機信號分析8第3章

隨機信號分析1）帕什瓦爾定理若為能量信號，且其傅里葉變換為，則有如下關(guān)系：式中，--信號的幅值譜。上式說明時域內(nèi)能量信號的總能量等于頻域內(nèi)各個頻率分量能量的連續(xù)和。帕什瓦爾定理表明：在時域內(nèi)計算的信號總能量，等于在頻域內(nèi)計算的各個頻率分量信號的能量之和。它從能量角度反映時域和頻域關(guān)系，故又稱為能量恒等式。在實際應(yīng)用中，對功率信號無法直接運用，研究信號平均功率更適合。2）能量譜密度能量譜密度描述了信號的能量在頻域上的分布特性。設(shè)能量信號的頻譜密度函數(shù)為，利用帕什瓦爾定理，可得到時域和頻域表示的信號能量，即：式中，稱為能量譜密度，表示在頻率f處寬度為df頻帶內(nèi)的信號能量，或能量譜密度描述了單位帶寬上的信號能量，單位為焦/赫。令G(f)為能量譜密度，即則可得到下式：由于信號是實函數(shù)，是頻率的偶函數(shù)，因此正負(fù)頻率部分具有相等的能量，即9第3章

隨機信號分析10第3章

隨機信號分析2）功率譜密度假設(shè)周期信號是周期為T的周期信號，則就是功率信號。利用實值周期信號的帕什瓦爾定理，可得上式中，n是該周期信號x的傅里葉基數(shù)的系數(shù)；是該周期信號的基波角頻率，即

是該周期信號的第n次諧波（角頻率為)的幅值。周期信號的功率譜密度為P(f)定義為：式中，為單位沖激函數(shù)。信號的平均功率為11第3章

隨機信號分析4.隨機信號的數(shù)學(xué)描述隨機信號：在不同的條件下受偶然因素的影響，不能用確定的時間函數(shù)來描述的信號，具有隨機性與不確定性（1）幅值描述

均值方差均方值概率密度函數(shù)12第3章

隨機信號分析4.隨機信號的數(shù)學(xué)描述（2）時域描述：在時域，一般不關(guān)心單個樣本函數(shù)的波形或時域表達(dá)式，而是討論信號在不同時刻瞬時值的相互依從關(guān)系，即時域相關(guān)特性（3）頻域描述

自功率譜密度函數(shù)反變換自功率譜密度函數(shù)

是自相關(guān)函數(shù)

的傅里葉變換由上兩式可得：13第3章

隨機信號分析4.隨機信號的數(shù)學(xué)描述互功率譜密度函數(shù)：若互相關(guān)函數(shù)

滿足傅里葉變換的條件，則定義信號

和

的互功率譜密度函數(shù)

為互相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換

的反變換

同樣可得概率及隨機變量概率分布函數(shù)分布函數(shù)屬性

是非降函數(shù)14第3章

隨機信號分析3.2隨機過程1.統(tǒng)計特性描述隨機變量的數(shù)字特征數(shù)學(xué)期望方差協(xié)方差15第3章

隨機信號分析隨機過程及其統(tǒng)計特性隨機過程的定義隨機過程是一類隨時間作隨機變化的過程，它不能用確切的時間函數(shù)描述。理解1：對應(yīng)不同隨機試驗結(jié)果的時間過程的集合。理解2：看作是在時間進(jìn)程中處于不同時刻的隨機變量的集合。隨機過程的數(shù)學(xué)期望方差

16第3章

隨機信號分析隨機過程的自協(xié)方差函數(shù)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)17第3章

隨機信號分析隨機過程的互協(xié)方差函數(shù)隨機過程的互相關(guān)函數(shù)18第3章

隨機信號分析定義若一個隨機過程

(t)的任意有限維分布函數(shù)與時間起點無關(guān)，也就是說，對于任意的正整數(shù)n和所有實數(shù)

，有

則稱該隨機過程是平穩(wěn)隨機過程。該平穩(wěn)稱為嚴(yán)格平穩(wěn)（簡稱為嚴(yán)平穩(wěn)）。這是狹義上的平穩(wěn)。對比廣義上的平穩(wěn)過程是指若一個隨機過程的數(shù)學(xué)期望及方差與時間無關(guān)，而其相關(guān)函數(shù)僅與τ有關(guān)。通信系統(tǒng)中的信號及噪聲，大多數(shù)可視為平穩(wěn)的隨機過程。因此，研究平穩(wěn)隨機過程有很大的實際意義。19第3章

隨機信號分析2.平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)

性質(zhì)各態(tài)歷經(jīng)性20第3章

隨機信號分析平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度可以寫為隨機過程的平均功率可表示為平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度服從維納－辛欽關(guān)系21第3章

隨機信號分析3.高斯隨機過程定義如果隨機過程

(t)的任意n維（n=1,2,...）分布均服從正態(tài)分布，則稱它為正態(tài)過程或高斯過程。性質(zhì)若高斯過程是廣義平穩(wěn)的，則它也一定是狹義平穩(wěn)的。對于高斯過程在不同瞬間的值，互不相關(guān)和相互獨立是等價的，也就是說，如果高斯過程在不同時刻的取值是不相關(guān)的，那么它們也是統(tǒng)計獨立的。高斯過程經(jīng)過線性變換后生成的過程仍是高斯過程。也可以說，若線性系統(tǒng)的輸入為高斯過程，則系統(tǒng)輸出也是高斯過程。22第3章

隨機信號分析一維高斯分布高斯過程在任一時刻上的取值是一個正態(tài)分布的隨機變量，也稱高斯隨機變量，其一維概率密度函數(shù)為

式中：a

－均值

2

－方差23第3章

隨機信號分析由圖形可見：①對稱于均值a；②曲線在a

σ處有拐點即圖形的

寬度與σ成比例。其中，當(dāng)a=0、σ=1時，則稱為標(biāo)準(zhǔn)高斯（正態(tài)）分布。在通信系統(tǒng)中，通常要計算高斯隨機變量X大于某常數(shù)

C的概率P（X>C）

令又由于所以24第3章

隨機信號分析Q函數(shù)與誤差函數(shù)的關(guān)系誤差函數(shù)的定義互補誤差函數(shù)的定義互補誤差函數(shù)的近似計算

25第3章

隨機信號分析高斯過程性質(zhì)若高斯過程是寬平穩(wěn)的，則它也是嚴(yán)平穩(wěn)的。若高斯過程在不同時刻的取值（隨機變量）是不相關(guān)的，則它們也是統(tǒng)計獨立的。若干個高斯過程的代數(shù)和所組成的隨機過程仍是高斯型。高斯過程經(jīng)過線性變換（或線性系統(tǒng)）后仍是高斯型隨機過程。26第3章

隨機信號分析高斯過程的n維分布完全由n個隨機變量的均值、方差和歸一化協(xié)方差決定，且它的均值與時間無關(guān)，協(xié)方差函數(shù)只與時間間隔有關(guān)，與時間起點無關(guān)。因此，它是一個寬平穩(wěn)隨機過程。高斯白噪聲定義一維概率密度函數(shù)為

且其功率譜密度在所有頻率上均為常數(shù)的噪聲，即白噪聲的功率譜密度及其自相關(guān)函數(shù)如下圖27第3章

隨機信號分析特點說明由于白噪聲的帶寬無限，其平均功率為無窮大，所以，真正“白”的噪聲是不存在的，它只是構(gòu)造的一種理想化的噪聲形式。實際中，只要噪聲的功率譜均勻分布的頻率范圍遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于通信系統(tǒng)的工作頻帶，我們就可以把它視為白噪聲。如果白噪聲取值的概率分布服從高斯分布，則稱之為高斯白噪聲。高斯白噪聲在任意兩個不同時刻上的隨機變量之間，不僅是互不相關(guān)的，而且還是統(tǒng)計獨立的。28第3章

隨機信號分析4.窄帶隨機過程什么是窄帶隨機過程若隨機過程X(t)的譜密度集中在中心頻率fc附近相對窄的頻帶范圍

f內(nèi)，即滿足

f<<fc的條件，且fc遠(yuǎn)離零頻率，則稱該X(t)為窄帶隨機過程。窄帶隨機過程的表示式其中稱為同相分量；稱為正交分量。

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