2025年福建省高考模擬數(shù)學(xué)試卷試題及答案詳解（精校打印）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁廈門市2025屆高三畢業(yè)班第四次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題滿分：150分考試時(shí)間：120分鐘考生注意：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將答題卡交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．復(fù)數(shù)，則的虛部為（

）A． B． C． D．12．已知雙曲線的頂點(diǎn)為，，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為，若為直角三角形，則的離心率為（

）A． B． C．2 D．3．在的展開式中各二項(xiàng)式系數(shù)的和為32，則的系數(shù)為（

）A．10 B．40 C．80 D．1204．以邊長為1的正三角形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正三角形旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積為（

）A． B． C． D．5．在梯形中，，，，，，則（

）A．4 B．6 C．8 D．126．廈門某會(huì)場座位共有20排，第一排有15個(gè)座位，從第二排起，每一排都比前一排多兩個(gè)座位．現(xiàn)有一個(gè)200人的代表團(tuán)來該會(huì)場參加會(huì)議，主辦方需預(yù)留前排座位給該代表團(tuán)，則的最小值為（

）A．7 B．8 C．9 D．107．已知函數(shù)的部分圖象如下，將沿翻折至，使得二面角為．若，則（

）A． B． C． D．8．已知集合，，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員連續(xù)5場比賽的得分如圖所示，則（

）

A．甲得分的極差大于乙得分的極差B．甲得分的平均數(shù)大于乙得分的平均數(shù)C．甲得分的中位數(shù)大于乙得分的中位數(shù)D．甲得分的方差大于乙得分的方差10．如圖，一個(gè)漏斗的上面部分可視為長方體，下面部分可視為正四棱錐，為正方形的中心，兩部分的高都是該正方形邊長的一半，則（

）A． B．平面C．平面平面 D．與為相交直線11．已知是首項(xiàng)為，公比為的遞增等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為．若對任意的，總存在，使得，則稱是“可分等比數(shù)列”，則（）A．不是“可分等比數(shù)列” B．是“可分等比數(shù)列”C．若是“可分等比數(shù)列”，則 D．若是“可分等比數(shù)列”，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知函數(shù)若，則．13．四個(gè)人排成一排，當(dāng)相鄰時(shí)，必須在的右邊，那么不同的排法共有種．14．已知直線：與圓：相切于點(diǎn)T，A是圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，且以P為圓心，為半徑的圓恰與相切，則的最大值為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知向量，，且．(1)求A；(2)若，求周長的最大值．16．已知函數(shù)，．(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，證明：．17．如圖，在多面體中，平面，平面平面，四邊形是正方形，是正三角形，，．(1)證明：平面；(2)若直線與底面的交點(diǎn)為，直線上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面的夾角為60°?若存在，求的長；若不存在，請說明理由．18．已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，離心率為．(1)求的方程；(2)過點(diǎn)且不垂直于y軸的直線與E交于A，B兩點(diǎn)，直線與E交于點(diǎn)C（異于A）．（i）證明：為等腰三角形；（ii）若點(diǎn)M是的外心，求面積的最大值．19．在一個(gè)不透明的口袋中裝有大小、形狀完全相同的n個(gè)小球，將它們分別編號為．每次從口袋中隨機(jī)抽取一個(gè)小球，記錄編號后放回，直至取遍所有小球后立刻停止摸球．記總的摸球次數(shù)為，其期望為．(1)求與；(2)求；(3)證明：．附：①若隨機(jī)變量的可能取值為，則②若隨機(jī)變量，則．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．B【分析】用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求出，即可求得虛部.【詳解】，所以的虛部為,故選：B.2．A【分析】不妨設(shè)雙曲線方程為，根據(jù)題意可得，即，從而求出離心率.【詳解】不妨設(shè)雙曲線方程為，不妨取，，，因?yàn)闉橹苯侨切危?，則為等腰直角三角形，所以，所以，則，所以，雙曲線的離心率.故選：A3．C【分析】先由二項(xiàng)式系數(shù)的和為32求出的值，再根據(jù)二項(xiàng)式的通項(xiàng)即可求得.【詳解】依題意，，解得，則二項(xiàng)式的通項(xiàng)為，取，即得的系數(shù)為.故選：C.4．D【分析】由題可得旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)幾何體為兩個(gè)同底的圓錐，結(jié)合題目數(shù)據(jù)可得相應(yīng)體積.【詳解】如圖，正三角形繞所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，得到幾何體是兩個(gè)同底的圓錐，圓錐的底面半徑為，所得幾何體的底面積為，則體積為.故選：D.5．C【分析】將用來表示，再求數(shù)量積即可.【詳解】由題可知，所以，因，則故選：C.6．C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式計(jì)算判斷即可.【詳解】由題知,前n排座位數(shù)依次構(gòu)成以15為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，故前n排座位數(shù)之和，解得：，故的最小值為9,故選：C.7．B【分析】利用可求得；作出二面角的平面角，結(jié)合余弦定理和勾股定理可求得點(diǎn)坐標(biāo)，由此可得的最小正周期，進(jìn)而得到.【詳解】，又，；記點(diǎn)為，翻折后，連接，，，即為二面角的平面角，，，，軸，，，又，平面，平面，又平面，，，，的最小正周期，.故選：B.8．B【分析】先解一元二次不等式求出集合，然后由可得在時(shí)，恒成立，將問題轉(zhuǎn)化為求在上的最小值，從而可求出的取值范圍.【詳解】由，得，解得，所以，因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，令，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，在上遞增，所以，所以，即的取值范圍是.故選：B9．BC【分析】將甲乙得分由低到高排列，再按照極差、平均數(shù)、中位數(shù)、方差的定義計(jì)算即可.【詳解】甲場比賽得分由低到高分別為，乙場比賽得分由低到高分別為，則甲的極差為，乙的極差為，故甲得分的極差小于乙得分的極差，故A錯(cuò)誤；甲的平均數(shù)，乙的平均數(shù)，則甲得分的平均數(shù)大于乙得分的平均數(shù)，故B正確；甲的中位數(shù)為，乙的中位數(shù)為，則甲得分的中位數(shù)大于乙得分的中位數(shù)，故C正確；甲的方差，乙的方差，故甲得分的方差小于乙得分的方差，故D錯(cuò)誤.故選：BC10．BCD【分析】分別利用線面、面位置關(guān)系的判定定理、性質(zhì)結(jié)合題設(shè)條件逐項(xiàng)分析即可判斷.【詳解】對于A，設(shè)正方形邊長為2，由正四棱錐性質(zhì)可得平面，故，因?yàn)槊?，故在底面的射影為，又不與垂直，故不與垂直，故A不正確；對于B，由題且，故四邊形是平行四邊形，所以不在平面內(nèi)，平面，所以平面，故B正確；對于C，因?yàn)椋矫?，故平面，平面即為平面，因?yàn)槊妫?，所以，又因?yàn)?，，所以平面，又平面，所以平面平面，即平面平面，故C正確；對于D，由C可知與都在平面中且不平行，故與為相交直線，故D正確.故選：BCD.11．ACD【分析】對于A，取，則不存在，使得；對于B，取，則不存在，使得；對于C，D根據(jù)“可分等比數(shù)列”的定義，用反證法證明即可.【詳解】對于A，若，則，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以不存在正整?shù)，使得，所以不是＂可分等比數(shù)列＂，所以選項(xiàng)A正確：對于B，若，則，所以，當(dāng)時(shí)，，所以不存在正整數(shù)，使得，所以不是＂可分等比數(shù)列＂，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對于C，若，則有，所以不存在正整數(shù)，使得，所以，因?yàn)槭沁f增等比數(shù)列，所以，所以，因?yàn)?，所以，即．下證：對任意，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，．反證法：假設(shè)存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，，取滿足條件的最小正整數(shù)，此時(shí)有，使得且，則，即，即與矛盾．所以對任意，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，所以選項(xiàng)C正確；對于D，下證：．由上可知，即恒成立，只需，即恒成立，①當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹愠闪?，所以符合要求；②?dāng)時(shí)，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，不符合題設(shè)要求．綜上，，所以選項(xiàng)D正確．故選：ACD.12．8【分析】求出，再判斷的范圍，即可利用求解.【詳解】，所以，因?yàn)闀r(shí)，，所以，，解得，故答案為：13．【分析】采用插空法和捆綁法直接求解即可.【詳解】當(dāng)A，B不相鄰時(shí)，采用插空法，先排其余兩人再讓A，B插空，共有種排法；當(dāng)A，B相鄰時(shí)，將看作一個(gè)整體，并且在的右邊，相當(dāng)于個(gè)人排隊(duì)，則不同的排法有種；所以共有種.故答案為：.14．##【分析】設(shè)，由題意可得，整理可得點(diǎn)P的軌跡，由此可設(shè)，則是關(guān)于的式子，利用基本不等式得最值即可.【詳解】設(shè)，則，直線：與圓：相切于點(diǎn)T，則，以P為圓心，為半徑的圓恰與相切，則可得，化簡可得，且，從而可設(shè)，且，則，由于，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以，故的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系、距離公式，確定點(diǎn)的軌跡方程，根據(jù)軌跡方程確定動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，從而將所求問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，結(jié)合不等式或者函數(shù)求解最值即可.15．(1)(2)【分析】（1）由，得，由正弦定理求得，可得答案；（2）由余弦定理得，利用基本不等式可得，可解周長最大值.【詳解】（1）.，，，根據(jù)正弦定理，，，，即，，所以，則，；（2）由余弦定理，得，根據(jù)基本不等式，，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以當(dāng)時(shí)，周長最大值是6.16．(1)當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減(2)證明見解析【分析】（1）求出，分、討論可得答案；（2）轉(zhuǎn)化為證明，求出，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最小值可得答案.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令得，所以時(shí)，單調(diào)遞增，時(shí)，單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）由（1）時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，要證明，只需證明，即證明，令，，令，則，所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，可得，即．17．(1)證明見詳解(2)否存在點(diǎn)，使得平面與平面的夾角為60°，此時(shí)【分析】（1）證明平面平面，即可得到平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的法向量，利用空間向量求解即可.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接．因?yàn)槭钦切危?，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面．因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以．又因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫妫忠驗(yàn)槠矫嫫矫?，所以平面平面．因?yàn)槠矫?，所以平面．?）因?yàn)榍?，所以四邊形為梯形，延長交的延長線于．平面，所以平面．以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，可得，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，則，即令，可得，則，解得，故．18．(1)(2)（i）證明見解析；（ii）【分析】（1）依題意求出、，即可求出，從而得解；（2）（i）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元，列出韋達(dá)定理，分析、的斜率均存在，由，即可得證；（ii）設(shè)的中點(diǎn)為，求出的垂直平分線，即可求出點(diǎn)坐標(biāo)，再由表示出三角形的面積，再換元，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值.【詳解】（1）依題意可得，解得，所以，所以橢圓方程為；（2）（i）設(shè)直線的方程為，，，由，整理得，所以，則，所以，，若軸，由，解得，則，此時(shí)的斜率，即（不合題意），所以、的斜率均存在，所以，又，所以，即，又因?yàn)?、均在橢圓上，由橢圓的對稱性可知，即為等腰三角形；（ii）設(shè)的中點(diǎn)為，則，，所以，所以的垂直平分線為，令可得，所以，所以的面積，令，設(shè)，，所以，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)取得最大值，所以面積的最大值為.19．(1)，(2)(3)證明見詳解【分析】（1）理解及的意思，根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)題意求出的概率，根據(jù)數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式，結(jié)合數(shù)列錯(cuò)位相減法求和即可求解；（3）求出的概率，進(jìn)行用同（2）的方法求出，進(jìn)而由可求