2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題7.1排列組合基本方法練習(xí)含解析

PAGEPAGE1第一講排列組合的基本方法【套路秘籍】【套路秘籍】千里之行始于足下一．計(jì)數(shù)原理1．分類計(jì)數(shù)原理假如完成一件事，有n類方式，在第1類方式中有m1種不同的方法，在第2類方式中有m2種不同的方法，……，在第n類方式中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法．2．分步計(jì)數(shù)原理假如完成一件事，須要分成n個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法．3．分類和分步的區(qū)分，關(guān)鍵是看事務(wù)能否一步完成，事務(wù)一步完成了就是分類；必須要連續(xù)若干步才能完成的則是分步．分類要用分類計(jì)數(shù)原理將種數(shù)相加；分步要用分步計(jì)數(shù)原理，將種數(shù)相乘．二、排列組合1．排列與組合的概念名稱定義排列從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素依據(jù)肯定的依次排成一列組合合成一組2.排列數(shù)與組合數(shù)(1)排列數(shù)的定義：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的全部排列的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用Aeq\o\al(m,n)表示．(2)組合數(shù)的定義：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的全部組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用Ceq\o\al(m,n)表示．3．排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)公式(1)Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,n－m！)(2)Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)＝eq\f(n！,m！n－m！)性質(zhì)(3)0?。?；Aeq\o\al(n,n)＝n！(4)Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)__【修煉套路】【修煉套路】為君聊賦《今日詩(shī)》，努力請(qǐng)從今日始考向一兩個(gè)計(jì)數(shù)原理【例1】（1）滿意a，b∈{－1,0,1,2}，且關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(duì)(a，b)的個(gè)數(shù)為________．(2)有六名同學(xué)報(bào)名參與三個(gè)智力項(xiàng)目，每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多參與一項(xiàng)，則共有________種不同的報(bào)名方法．【答案】（1）13（2）120【解析】（1）方程ax2＋2x＋b＝0有實(shí)數(shù)解的狀況應(yīng)分類探討．①當(dāng)a＝0時(shí)，方程為一元一次方程2x＋b＝0，不論b取何值，方程肯定有解．此時(shí)b的取值有4個(gè)，故此時(shí)有4個(gè)有序數(shù)對(duì)．②當(dāng)a≠0時(shí)，須要Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1.明顯有3個(gè)有序數(shù)對(duì)不滿意題意，分別為(1,2)，(2,1)，(2,2)．a(chǎn)≠0時(shí)，(a，b)共有3×4＝12(個(gè))實(shí)數(shù)對(duì)，故a≠0時(shí)滿意條件的實(shí)數(shù)對(duì)有12－3＝9(個(gè))，所以答案應(yīng)為4＋9＝13.（2）每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多參與一項(xiàng)，因此可由項(xiàng)目選人，第一個(gè)項(xiàng)目有6種選法，其次個(gè)項(xiàng)目有5種選法，第三個(gè)項(xiàng)目有4種選法，依據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，可得不同的報(bào)名方法共有6×5×4＝120(種)．【套路總結(jié)】【套路總結(jié)】1.乘法分步計(jì)數(shù)原理(1)利用分步計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題要按事務(wù)發(fā)生的過(guò)程合理分步，即分步是有先后依次的，并且分步必需滿意：完成一件事的各個(gè)步驟是相互依存的，只有各個(gè)步驟都完成了，才算完成這件事．(2)分步必需滿意兩個(gè)條件：一是步驟相互獨(dú)立，互不干擾；二是步與步確保連續(xù)，逐步完成．2.加法分類計(jì)數(shù)原理(1)依據(jù)題目特點(diǎn)恰當(dāng)選擇一個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn)．(2)分類時(shí)應(yīng)留意完成這件事情的任何一種方法必需屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法，不能重復(fù)．(3)分類時(shí)除了不能交叉重復(fù)外，還不能有遺漏．3.利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決應(yīng)用問(wèn)題的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么．(2)確定是先分類后分步，還是先分步后分類．(3)弄清分步、分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么．(4)利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理求解．【舉一反三】1.用數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有________個(gè)．(用數(shù)字作答)【答案】1080【解析】①當(dāng)組成四位數(shù)的數(shù)字中有一個(gè)偶數(shù)時(shí)，四位數(shù)的個(gè)數(shù)為Ceq\o\al(3,5)·Ceq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)＝960.②當(dāng)組成四位數(shù)的數(shù)字中不含偶數(shù)時(shí)，四位數(shù)的個(gè)數(shù)為Aeq\o\al(4,5)＝120.故符合題意的四位數(shù)一共有960＋120＝1080(個(gè))．2.如圖，用4種不同的顏色對(duì)圖中5個(gè)區(qū)域涂色(4種顏色全部運(yùn)用)，要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色種數(shù)為________．【答案】96【解析】按區(qū)域1與3是否同色分類：①區(qū)域1與3同色：先涂區(qū)域1與3有4種方法，再涂區(qū)域2,4,5(還有3種顏色)有Aeq\o\al(3,3)種方法．∴區(qū)域1與3同色時(shí)，共有4Aeq\o\al(3,3)＝24(種)方法．②區(qū)域1與3不同色：第一步涂區(qū)域1與3有Aeq\o\al(2,4)種方法，其次步涂區(qū)域2有2種涂色方法，第三步涂區(qū)域4只有1種方法，第四步涂區(qū)域5有3種方法．∴共有Aeq\o\al(2,4)×2×1×3＝72(種)方法．故由分類計(jì)數(shù)原理可知，不同的涂色種數(shù)為24＋72＝96.3.假如一條直線與一個(gè)平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”．在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是________．【答案】36【解析】第1類，對(duì)于每一條棱，都可以與兩個(gè)側(cè)面構(gòu)成“正交線面對(duì)”，這樣的“正交線面對(duì)”有2×12＝24(個(gè))；第2類，對(duì)于每一條面對(duì)角線，都可以與一個(gè)對(duì)角面構(gòu)成“正交線面對(duì)”，這樣的“正交線面對(duì)”有12個(gè)．所以正方體中“正交線面對(duì)”共有24＋12＝36(個(gè))．考向二排列【例2】（1）用1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)字，可以組成比20000大，并且百位數(shù)不是數(shù)字3的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，共有________個(gè)．（2）6名同學(xué)站成1排照相，要求同學(xué)甲既不站在最左邊又不站在最右邊，共有________種不同站法【答案】（1）78（2）480【解析】（1）依據(jù)題意知，要求這個(gè)五位數(shù)比20000大，則首位必需是2,3,4,5這4個(gè)數(shù)字中的一個(gè)，當(dāng)首位是3時(shí)，百位數(shù)不是數(shù)字3，符合要求的五位數(shù)有Aeq\o\al(4,4)＝24(個(gè))；當(dāng)首位是2,4,5時(shí)，由于百位數(shù)不能是數(shù)字3，則符合要求的五位數(shù)有3×(Aeq\o\al(4,4)－Aeq\o\al(3,3))＝54(個(gè))，因此共有54＋24＝78(個(gè))這樣的五位數(shù)符合要求．（2）方法一(位置優(yōu)先法)先從其他5人中支配2人站在最左邊和最右邊，再支配余下4人的位置，分為兩步：第1步，從除甲外的5人中選2人站在最左邊和最右邊，有Aeq\o\al(2,5)種站法；第2步，余下4人(含甲)站在剩下的4個(gè)位置上，有Aeq\o\al(4,4)種站法．由分步計(jì)數(shù)原理可知，共有Aeq\o\al(2,5)Aeq\o\al(4,4)＝480(種)不同的站法．方法二(元素優(yōu)先法)先支配甲的位置(既不站在最左邊又不站在最右邊)，再支配其他5人的位置，分為兩步：第1步，將甲排在除最左邊、最右邊外的隨意位置上，有Aeq\o\al(1,4)種站法；第2步，余下5人站在剩下的5個(gè)位置上，有Aeq\o\al(5,5)種站法．由分步計(jì)數(shù)原理可知，共有Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(5,5)＝480(種)不同的站法．【舉一反三】1．某高三畢業(yè)班有40人，同學(xué)之間兩兩彼此給對(duì)方寫一條畢業(yè)留言，那么全班共寫了________條畢業(yè)留言．(用數(shù)字作答)【答案】1560【解析】由題意知兩兩彼此給對(duì)方寫一條畢業(yè)留言相當(dāng)于從40人中任選兩人的排列數(shù)，所以全班共寫了Aeq\o\al(2,40)＝40×39＝1560(條)留言．2．用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為________．【答案】72【解析】由題意可知，五位數(shù)要為奇數(shù)，則個(gè)位數(shù)只能是1,3,5.分為兩步：先從1,3,5三個(gè)數(shù)中選一個(gè)作為個(gè)位數(shù)有Ceq\o\al(1,3)種選法，再將剩下的4個(gè)數(shù)字排列有Aeq\o\al(4,4)種排法，則滿意條件的五位數(shù)有Ceq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(4,4)＝72(個(gè))．考向三組合【例3】男運(yùn)動(dòng)員6名，女運(yùn)動(dòng)員4名，其中男、女隊(duì)長(zhǎng)各1名．現(xiàn)選派5人外出參與競(jìng)賽，在下列情形中各有多少種選派方法？(1)男運(yùn)動(dòng)員3名，女運(yùn)動(dòng)員2名；(2)至少有1名女運(yùn)動(dòng)員；(3)隊(duì)長(zhǎng)中至少有1人參與；(4)既要有隊(duì)長(zhǎng)，又要有女運(yùn)動(dòng)員．【答案】見解析【解析】(1)分兩步完成：第一步，選3名男運(yùn)動(dòng)員，有Ceq\o\al(3,6)種選法；其次步，選2名女運(yùn)動(dòng)員，有Ceq\o\al(2,4)種選法．由分步計(jì)數(shù)原理可得，共有Ceq\o\al(3,6)·Ceq\o\al(2,4)＝120(種)選法．(2)方法一“至少有1名女運(yùn)動(dòng)員”包括以下四種狀況：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．由分類計(jì)數(shù)原理可得總選法共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(4,4)Ceq\o\al(1,6)＝246(種)．方法二“至少有1名女運(yùn)動(dòng)員”的反面為“全是男運(yùn)動(dòng)員”，可用間接法求解．從10人中任選5人有Ceq\o\al(5,10)種選法，其中全是男運(yùn)動(dòng)員的選法有Ceq\o\al(5,6)種．所以“至少有1名女運(yùn)動(dòng)員”的選法有Ceq\o\al(5,10)－Ceq\o\al(5,6)＝246(種)．(3)方法一(干脆法)可分類求解：“只有男隊(duì)長(zhǎng)”的選法種數(shù)為Ceq\o\al(4,8)；“只有女隊(duì)長(zhǎng)”的選法種數(shù)為Ceq\o\al(4,8)；“男、女隊(duì)長(zhǎng)都入選”的選法種數(shù)為Ceq\o\al(3,8)，所以共有2Ceq\o\al(4,8)＋Ceq\o\al(3,8)＝196(種)選法．方法二(間接法)從10人中任選5人有Ceq\o\al(5,10)種選法，其中不選隊(duì)長(zhǎng)的方法有Ceq\o\al(5,8)種．所以“至少有1名隊(duì)長(zhǎng)”的選法有Ceq\o\al(5,10)－Ceq\o\al(5,8)＝196(種)．(4)當(dāng)有女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)，其他人隨意選，共有Ceq\o\al(4,9)種選法；當(dāng)不選女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)，必選男隊(duì)長(zhǎng)，共有Ceq\o\al(4,8)種選法，其中不含女運(yùn)動(dòng)員的選法有Ceq\o\al(4,5)種，所以不選女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)的選法共有(Ceq\o\al(4,8)－Ceq\o\al(4,5))種．所以既要有隊(duì)長(zhǎng)又要有女運(yùn)動(dòng)員的選法共有Ceq\o\al(4,9)＋Ceq\o\al(4,8)－Ceq\o\al(4,5)＝191(種)．【套路總結(jié)】【套路總結(jié)】組合問(wèn)題常有以下兩類題型改變：(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再?gòu)氖Ｏ碌脑刂腥ミx?。?2)“至少”或“至多”含有幾個(gè)元素的組合題型：解這類題必需非常重視“至少”與“至多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解．用干脆法和間接法都可以求解，通常用干脆法分類困難時(shí)，考慮逆向思維，用間接法處理．【舉一反三】1．支配3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則不同的支配方式共有________種．【答案】36【解析】由題意可知，其中1人必需完成2項(xiàng)工作，其他2人各完成1項(xiàng)工作，可得支配方式為Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(2,2)＝36(種)，或列式為Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,2)＝3×eq\f(4×3,2)×2＝36(種)．2．在報(bào)名的3名男老師和6名女老師中，選取5人參與義務(wù)獻(xiàn)血，要求男、女老師都有，則不同的選取方式的種數(shù)為________．(用數(shù)字作答)【答案】120【解析】①1男4女，有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(4,6)＝45(種)選取方式；②2男3女，有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(3,6)＝60(種)選取方式；③3男2女，有Ceq\o\al(3,3)Ceq\o\al(2,6)＝15(種)選取方式；∴共有45＋60＋15＝120(種)不同的選取方式．考向四常用的方法【例4】7名師生站成一排照相留念，其中老師1人，男學(xué)生4人，女學(xué)生2人，在下列狀況下，各有多少種不同站法？(1)老師甲必需站在中間或兩端；(2)兩名女生必需相鄰而站；(3)4名男生互不相鄰；(4)若4名男生身高都不等，按從高到低的依次站．【答案】見解析【解析】方法一：特別元素（位置））優(yōu)先考慮(1)先考慮甲有Aeq\o\al(1,3)種站法，再考慮其余6人全排，故不同站法總數(shù)為：Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(6,6)＝2160(種)；方法二：相鄰捆綁法：誰(shuí)相鄰誰(shuí)捆綁，同時(shí)排列(2)2名女生站在一起有站法Aeq\o\al(2,2)種，視為一種元素與其余5人全排，有Aeq\o\al(6,6)種排法，所以有不同站法Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(6,6)＝1440(種)；方法三：不相鄰插空法：誰(shuí)不相鄰誰(shuí)插空，優(yōu)先排其他(3)先站老師和女生，有站法Aeq\o\al(3,3)種，再在老師和女生站位的間隔(含兩端)處插入男生，每空一人，則插入方法Aeq\o\al(4,4)種，所以共有不同站法Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(4,4)＝144(種)；方法四：定序倍縮法：誰(shuí)定序誰(shuí)被除方法五：定序空位法：誰(shuí)定序誰(shuí)不排，排完其他即可(4)方法一：定序倍縮法：7人全排列中，4名男生不考慮身高依次的站法有Aeq\o\al(4,4)種，而由高到低有從左到右和從右到左的不同，所以共有不同站法2·eq\f(A\o\al(7,7),A\o\al(4,4))＝420(種)．方法二：定序空位法：除了4位男生，其他人先排，3個(gè)人有7個(gè)位置，就是，而由高到低有從左到右和從右到左的不同有2種，所以就是，【套路總結(jié)】【套路總結(jié)】排列組合常用方法1.簡(jiǎn)潔問(wèn)題干脆法：干脆利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，干脆進(jìn)行排列組合解答.2.特別元素(特別位置)優(yōu)先法：優(yōu)先考慮一些特別的元素和位置.3.相鄰問(wèn)題捆綁法：先把相鄰元素捆綁在一起，再進(jìn)行排列.4.不相鄰問(wèn)題插空法：先把沒(méi)有位置要求的元素排列好，再排不相鄰的元素.5.定序問(wèn)題縮倍法（等概率問(wèn)題縮倍法）先把全部的元素支配好，再縮小肯定的倍數(shù).6.至少問(wèn)題間接法：一般先考慮全部的排法，再解除不滿意題意的排法.7.平均分組除法法：一般先分堆，再除以.8.元素相同問(wèn)題隔板法:將n個(gè)相同的元素分成m份（nm為正整數(shù)）,每份至少一個(gè)元素,可以用m-1塊隔板，插入n個(gè)元素排成一排的n-1個(gè)空隙中，全部分法數(shù)為.9.多排問(wèn)題一排法【舉一反三】1.為協(xié)作足球國(guó)家戰(zhàn)略，教化部特派6名相關(guān)專業(yè)技術(shù)人員到甲、乙、丙三所足校進(jìn)行專業(yè)技術(shù)培訓(xùn)，每所學(xué)校至少一人，其中王教練不去甲校的安排方案有________種．【答案】360【解析】甲校派1人，其余5人分為(1,4)，(2,3)兩組，故有Ceq\o\al(1,5)·(Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(2,5))·Aeq\o\al(2,2)＝150(種)，甲校派2人，其余4人分為(1,3)，(2,2)兩組，故有Ceq\o\al(2,5)·(Ceq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,4))＝140(種)，甲校派3人，其余3人分為(1,2)一組，故有Ceq\o\al(3,5)·Ceq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(2,2)＝60(種)，甲校派4人，共余2人分為(1,1)一組，故有Ceq\o\al(4,5)·Aeq\o\al(2,2)＝10(種)，依據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，可得共有150＋140＋60＋10＝360(種)安排方案．2.某次聯(lián)歡會(huì)要支配3個(gè)歌舞類節(jié)目，2個(gè)小品類節(jié)目和1個(gè)相聲類節(jié)目的演出依次，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是________．【答案】120【解析】先支配小品節(jié)目和相聲節(jié)目，然后讓歌舞節(jié)目去插空．支配小品節(jié)目和相聲節(jié)目的依次有三種：“小品1，小品2，相聲”“小品1，相聲，小品2”和“相聲，小品1，小品2”．對(duì)于第一種狀況，形式為“□小品1歌舞1小品2□相聲□”，有Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,3)＝36(種)支配方法；同理，第三種狀況也有36種支配方法，對(duì)于其次種狀況，三個(gè)節(jié)目形成4個(gè)空，其形式為“□小品1□相聲□小品2□”，有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,4)＝48(種)支配方法，故共有36＋36＋48＝120(種)支配方法．3.大數(shù)據(jù)時(shí)代出現(xiàn)了滴滴打車服務(wù)，二胎政策的放開使得家庭中有兩個(gè)孩子的現(xiàn)象普遍存在．某城市關(guān)系要好的A，B，C，D四個(gè)家庭各有兩個(gè)孩子共8人，他們準(zhǔn)備運(yùn)用滴滴打車軟件，分乘甲、乙兩輛汽車出去游玩，每車限坐4名(乘同一輛車的4個(gè)孩子不考慮位置)，其中A家庭的孿生姐妹需乘同一輛車，則乘坐甲車的4個(gè)孩子恰有2個(gè)來(lái)自于同一個(gè)家庭的乘坐方式共有________種．【答案】24【解析】依據(jù)題意，分兩種狀況探討：①A家庭的孿生姐妹在甲車上，甲車上另外的兩個(gè)孩子要來(lái)自不同的家庭，可以在剩下的三個(gè)家庭中任選2個(gè)，再?gòu)拿總€(gè)家庭的2個(gè)孩子中任選一個(gè)來(lái)乘坐甲車，有Ceq\o\al(2,3)×Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(1,2)＝12(種)乘坐方式；②A家庭的孿生姐妹不在甲車上，須要在剩下的三個(gè)家庭中任選1個(gè)，讓其2個(gè)孩子都在甲車上，對(duì)于剩余的兩個(gè)家庭，從每個(gè)家庭的2個(gè)孩子中任選一個(gè)來(lái)乘坐甲車，有Ceq\o\al(1,3)×Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(1,2)＝12(種)乘坐方式，故共有12＋12＝24(種)乘坐方式．4．某賓館支配A，B，C，D，E五人入住3個(gè)房間，每個(gè)房間至少住1人，且A，B不能住同一房間，則共有________種不同的支配方法．(用數(shù)字作答)【答案】114【解析】5個(gè)人住3個(gè)房間，每個(gè)房間至少住1人，則有(3,1，1)和(2,2,1)兩種，當(dāng)為(3,1,1)時(shí)，有Ceq\o\al(3,5)·Aeq\o\al(3,3)＝60(種)，A，B住同一房間有Ceq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(3,3)＝18(種)，故有60－18＝42(種)，當(dāng)為(2,2,1)時(shí)，有eq\f(C\o\al(2,5)·C\o\al(2,3),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)＝90(種)，A，B住同一房間有Ceq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(3,3)＝18(種)，故有90－18＝72(種)，依據(jù)分類計(jì)數(shù)原理可知，共有42＋72＝114(種)不同的支配方法．【運(yùn)用套路】【運(yùn)用套路】紙上得來(lái)終覺淺,絕知此事要躬行1．2024年4月25日-27日，北京召開其次屆“一帶一路”國(guó)際高峰論壇，組委會(huì)要從6個(gè)國(guó)內(nèi)媒體團(tuán)和3個(gè)國(guó)外媒體團(tuán)中選出3個(gè)媒體團(tuán)進(jìn)行提問(wèn)，要求這三個(gè)媒體團(tuán)中既有國(guó)內(nèi)媒體團(tuán)又有國(guó)外媒體團(tuán)，且國(guó)內(nèi)媒體團(tuán)不能連續(xù)提問(wèn)，則不同的提問(wèn)方式的種數(shù)為()A．198 B．268 C．306 D．378【答案】A【解析】分兩種狀況，若選兩個(gè)國(guó)內(nèi)媒體一個(gè)國(guó)外媒體，有種不同提問(wèn)方式；若選兩個(gè)外國(guó)媒體一個(gè)國(guó)內(nèi)媒體，有種不同提問(wèn)方式，所以共有種提問(wèn)方式.故選:A.2．2024年?yáng)|京夏季奧運(yùn)會(huì)將設(shè)置米男女混合泳接力這一新的競(jìng)賽項(xiàng)目，競(jìng)賽的規(guī)則是：每個(gè)參賽國(guó)家派出2男2女共計(jì)4名運(yùn)動(dòng)員參與競(jìng)賽，依據(jù)仰泳蛙泳蝶泳自由泳的接力依次，每種泳姿100米且由1名運(yùn)動(dòng)員完成，且每名運(yùn)動(dòng)員都要出場(chǎng)，若中國(guó)隊(duì)確定了備戰(zhàn)該項(xiàng)目的4名運(yùn)動(dòng)員名單，其中女運(yùn)動(dòng)員甲只能擔(dān)當(dāng)仰泳或者自由泳，男運(yùn)動(dòng)員乙只能擔(dān)當(dāng)?shù)净蛘咦杂捎荆Ｏ碌?名運(yùn)動(dòng)員四種泳姿都可以擔(dān)當(dāng)，則中國(guó)隊(duì)的排兵布陣的方式共有（）A．144種 B．24種 C．12種 D．6種【答案】D【解析】由題意，若甲擔(dān)當(dāng)仰泳，則乙運(yùn)動(dòng)員有A22＝2種支配方法，其他兩名運(yùn)動(dòng)員有A22＝2種支配方法，共計(jì)2×2＝4種方法，若甲擔(dān)當(dāng)自由泳，則乙運(yùn)動(dòng)員只能支配蝶泳，其他兩名運(yùn)動(dòng)員有A22＝2種支配方法，共計(jì)2種方法，所以中國(guó)隊(duì)共有4+2＝6種不同的支配方法，故選：D．3．中國(guó)古代的五經(jīng)是指：《詩(shī)經(jīng)》、《尚書》、《禮記》、《周易》、《春秋》，甲、乙、丙、丁、戊名同學(xué)分別選取了其中一本不同的書作為課外愛好研讀，若甲乙都沒(méi)有選《詩(shī)經(jīng)》，乙也沒(méi)選《春秋》，則名同學(xué)全部可能的選擇有（）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】D【解析】(1)若甲選《春秋》，則有種狀況；(2)若甲不選《春秋》，則有種狀況；所以名同學(xué)全部可能的選擇有種狀況.故選D4．用數(shù)字0,2,4,7,8,9組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù),其中大于420789的正整數(shù)個(gè)數(shù)為（）A．479 B．480 C．455 D．456【答案】C【解析】依據(jù)題意，分3種狀況探討：①，六位數(shù)的首位數(shù)字為7、8、9時(shí)，有3種狀況，將剩下的5個(gè)數(shù)字全排列，支配在后面的5個(gè)數(shù)位，此時(shí)有3×A55＝360種狀況，即有360個(gè)大于420789的正整數(shù)，②，六位數(shù)的首位數(shù)字為4，其萬(wàn)位數(shù)字可以為7、8、9時(shí)，有3種狀況，將剩下的4個(gè)數(shù)字全排列，支配在后面的4個(gè)數(shù)位，此時(shí)有3×A44＝72種狀況，即有72個(gè)大于420789的正整數(shù)，③，六位數(shù)的首位數(shù)字為4，其萬(wàn)位數(shù)字為2，將剩下的4個(gè)數(shù)字全排列，支配在后面的4個(gè)數(shù)位，此時(shí)有A44＝24種狀況，其中有420789不符合題意，有24﹣1＝23個(gè)大于420789的正整數(shù)，則其中大于420789的正整數(shù)個(gè)數(shù)有360+72+23＝455個(gè)；故選：C．5．在中國(guó)國(guó)際大數(shù)據(jù)產(chǎn)業(yè)博覽會(huì)期間，有甲、乙、丙、丁4名游客準(zhǔn)備到貴州的黃果樹瀑布、梵凈山、萬(wàn)峰林三個(gè)景點(diǎn)旅游參觀，其中的每個(gè)人只去一個(gè)景點(diǎn)，每個(gè)景點(diǎn)至少要去一個(gè)人，則游客甲去梵凈山的概率為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】依據(jù)題意，滿意每個(gè)人只去一個(gè)景點(diǎn)，每個(gè)景點(diǎn)至少要去一個(gè)人的全部基本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)為C42A33=36種，若滿意甲去梵凈山，須要分2種狀況探討：①，甲單獨(dú)一個(gè)人去梵凈山，將其他3人分成2組，對(duì)應(yīng)剩下的2個(gè)景點(diǎn)，有C31A22＝6種狀況，則此時(shí)有6種方案；②，甲和乙、丙、丁中1人一起旅游，先在乙、丙、丁中任選1人，與甲一起去梵凈山，有C31＝3種狀況，將剩下的2人全排列，對(duì)應(yīng)剩下的2個(gè)景點(diǎn)，有A22＝2種狀況，則此時(shí)有2×3＝6種方案；則甲去梵凈山的方案有6+6＝12種；所以甲去梵凈山的概率為.故選：B．6．第十四屆全國(guó)運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2024年在陜西舉辦，為宣揚(yáng)地方特色，某電視臺(tái)派出3名男記者和2名女記者到民間進(jìn)行采訪報(bào)導(dǎo)。工作過(guò)程中的任務(wù)劃分為：“負(fù)重扛機(jī)”，“對(duì)象采訪”，“文稿編寫”“編制剪輯”等四項(xiàng)工作，每項(xiàng)工作至少一人參與，但兩名女記者不參與“負(fù)重扛機(jī)”，則不同的支配方案數(shù)共有（）A．150 B．126 C．90 D．54【答案】B【解析】記兩名女記者為甲乙，三名男記者為丙、丁、戊依據(jù)題意，分狀況探討，①甲乙一起參與除了“負(fù)重扛機(jī)”的三項(xiàng)工作之一：C31×A33＝18種；②甲乙不同時(shí)參與一項(xiàng)工作，進(jìn)而又分為2種小狀況；1°丙、丁、戊三人中有兩人擔(dān)當(dāng)同一份工作，有A32×C32×A22＝3×2×3×2＝36種；2°甲或乙與丙、丁、戊三人中的一人擔(dān)當(dāng)同一份工作：A32×C31×C21×A22＝72種；由分類計(jì)數(shù)原理，可得共有18+36+72＝126種，故選：B．7．今有個(gè)人組成的旅游團(tuán),包括4個(gè)大人，2個(gè)小孩，去廬山旅游，準(zhǔn)備同時(shí)乘纜車觀光，現(xiàn)有三輛不同的纜車可供選擇，每輛纜車最多可乘3人，為了平安起見，小孩乘纜車必須要大人陪伴，則不同的乘車方式有()種A．B．C．D．【答案】C【解析】第一類：只用兩輛纜車，若兩個(gè)小孩坐在一塊，則有種乘車方式；若兩個(gè)小孩不坐在一塊，則有種乘車方式；其次類：用三輛纜車，若兩個(gè)小孩坐在一塊，則有種乘車方式；若兩個(gè)小孩不坐在一塊，則有種乘車方式；綜上不同的乘車方式有種.故選C8．為慶祝中國(guó)人民解放軍建軍90周年，南昌市某校準(zhǔn)備組織高一6個(gè)班級(jí)參與紅色旅游活動(dòng)，旅游點(diǎn)選取了八一南昌起義紀(jì)念館，南昌新四軍軍部舊址等5個(gè)紅色旅游景點(diǎn)．若規(guī)定每個(gè)班級(jí)必需參與且只能巡游1個(gè)景點(diǎn)，每個(gè)景點(diǎn)至多有兩個(gè)班級(jí)巡游，則這6個(gè)班級(jí)中沒(méi)有班級(jí)巡游新四軍軍部舊址的不同巡游方法數(shù)為（）A．3600B．1080C．1440D．2520【答案】C【解析】由于每個(gè)班級(jí)必需參與且只能巡游個(gè)景點(diǎn)，且每個(gè)景點(diǎn)至多有兩個(gè)班級(jí)巡游，因此可以把問(wèn)題看成是將個(gè)班級(jí)安排到除新四軍軍部舊址外的四個(gè)景點(diǎn)或三個(gè)景點(diǎn)，可以分兩種狀況：第一種，先將個(gè)班級(jí)分成四組，分別為再安排到四個(gè)景點(diǎn)，不同的參觀方法數(shù)為：種其次種，將人平均分成三組，在安排到除新四軍軍部舊址外的四個(gè)景點(diǎn)的隨意三個(gè)景點(diǎn)，不同的參觀方法數(shù)為：種由上可知，不同的參觀方法數(shù)共有種故選9．若用紅、黃、藍(lán)、綠四種顏色填涂如圖方格，要求有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)格子顏色不同，則不同的涂色方案數(shù)有A．種B．種C．種D．種【答案】C【解析】依據(jù)以下依次涂色，,所以由乘法分步原理得總的方案數(shù)為種.所以總的方案數(shù)為96，故答案為：C10．用種不同的顏色對(duì)正四棱錐的條棱染色，每個(gè)頂點(diǎn)動(dòng)身的棱的顏色各不相同，不同的染色方案共有多少種（）A．B．C．D．【答案】C【解析】從P點(diǎn)動(dòng)身的4條側(cè)棱肯定要用4種不同的顏色，有=360種不同的方案，接下來(lái)底面的染色依據(jù)是否運(yùn)用剩下的2種顏色分類計(jì)數(shù)。不運(yùn)用新的顏色，有2種顏色分類方案；運(yùn)用1種新的顏色，分為2類；第一類，染一條邊，有種方案；其次類，染兩條對(duì)邊，有種方案。運(yùn)用2種新的顏色，分為4類；第一類，染兩條鄰邊，有種方案；其次類，染兩條對(duì)邊，有種方案；第三類，染三條邊，有種方案；第四類，染四條邊，有2種方案。因此不同的染色方案總數(shù)為,選C.11．定義“有增有減”數(shù)列如下：，滿意，且，滿意.已知“有增有減”數(shù)列共4項(xiàng)，若，且，則數(shù)列共有（）A．64個(gè)B．57個(gè)C．56個(gè)D．54個(gè)【答案】D【解析】當(dāng)四個(gè)數(shù)中只有兩個(gè)相同時(shí)，共有種，當(dāng)四個(gè)數(shù)中有三個(gè)數(shù)相同時(shí)，共有種，所以總方法數(shù)有。12．一只小蜜蜂位于數(shù)軸上的原點(diǎn)處，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飛行一個(gè)單位或者兩個(gè)單位距離的實(shí)力，且每次飛行至少一個(gè)單位.若小蜜蜂經(jīng)過(guò)5次飛行后，停在數(shù)軸上實(shí)數(shù)3位于的點(diǎn)處，則小蜜蜂不同的飛行方式有多少種？（）A．5B．25C．55D．75【答案】D【解析】由題意知：小蜜蜂經(jīng)過(guò)5次飛行后，停在數(shù)軸上實(shí)數(shù)3位于的點(diǎn)處，共有以下四種情形：一、小蜜蜂在5次飛行中，有4次向正方向飛行，1次向負(fù)方向飛行，且每次飛行一個(gè)單位，共有種狀況；二、小蜜蜂在5次飛行中，有3次向正方向飛行每次飛行一個(gè)單位，1次向正方向飛行，且每次飛行兩個(gè)單位，1次向負(fù)方向飛行，且每次飛行兩個(gè)單位，共有種狀況；三、小蜜蜂在5次飛行中，有1次向正方向飛行每次飛行一個(gè)單位，2次向正方向飛行，且每次飛行兩個(gè)單位，2次向負(fù)方向飛行，且每次飛行一個(gè)單位，共有種狀況；四、小蜜蜂在5次飛行中，有3次向正方向飛行每次飛行兩個(gè)單位，有1次向負(fù)方向飛行且飛行兩個(gè)單位，有1次向負(fù)方向飛行且飛行一個(gè)單位，共有種狀況；故而共有種狀況，故選：D．13．一名同學(xué)想要報(bào)考某高校，他必需從該校的8個(gè)不同專業(yè)中選出5個(gè)，并按第一志愿、其次志愿、…第五志愿的依次填寫志愿表．若專業(yè)不能作為第一、其次志愿，則他共有______種不同的填法（用數(shù)字作答）．【答案】5040【解析】依據(jù)題意，分2步選專業(yè)：①專業(yè)不能作為第一、其次志愿有種選法，②第三、四、五志愿，有種選法，則這名同學(xué)共有種不同的填報(bào)方法，故答案為：504014．在一次中學(xué)生志愿者活動(dòng)中，須要將共名志愿者分派到個(gè)不同的地點(diǎn)進(jìn)行愛心活動(dòng)，要求每個(gè)地點(diǎn)至少有人活動(dòng)，并且兩名同學(xué)必需在同一個(gè)地點(diǎn)，則不同的愛心分派方案共有_______種（用數(shù)字作答）．【答案】【解析】將個(gè)人分成小組，分組的方法可為①若按的方式分組，則分派方案共有：種；②若按的方式分組，則分派方案共有：種；不同的分派方案共有：種.15．習(xí)近平總書記在湖南省湘西州十八洞村考察時(shí)首次提出“精準(zhǔn)扶貧”概念，精準(zhǔn)扶貧成為我國(guó)脫貧攻堅(jiān)的基本方略．為協(xié)作國(guó)家精準(zhǔn)扶貧戰(zhàn)略，某省示范性中學(xué)支配6名高級(jí)老師（不同姓）到基礎(chǔ)教化薄弱的甲、乙、丙三所中學(xué)進(jìn)行扶貧支教，每所學(xué)校至少1人，因工作須要，其中李老師不去甲校，則安排方案種數(shù)為_________．【答案】360【解析】方法1：依據(jù)甲、乙、丙三所中學(xué)進(jìn)行扶貧支教，每所學(xué)校至少1人，可分四種狀況：（1）甲校支配1名老師，安排方案種數(shù)有；（2）甲校支配2名老師，安排方案種數(shù)有；（3）甲校支配3名老師，安排方案種數(shù)有；（4）甲校支配4名老師，安排方案種數(shù)有；由分類計(jì)數(shù)原理，可得共有（種）安排方案.方法2：由6名老師到三所學(xué)校，每所學(xué)校至少一人，可能的分組狀況為4，1，1；3，2，1；2，2，2，（1）對(duì)于第一種狀況，由于李老師不去甲校，李老師自己去一個(gè)學(xué)校有種，其余5名分成一人組和四人組有種，共（種）；李老師安排到四人組且該組不去甲校有（種），則第一種狀況共有（種）；（2）對(duì)于其次種狀況，李老師安排到一人組有（種），李老師安排到三人組有（種），李老師安排到兩人組有（種），所以其次種狀況共有（種）；（3）對(duì)于第三種狀況，共有（種）；綜上所述，共有（種）安排方案.16．安排5名水暖工去4個(gè)不同的居民家里檢查暖氣管道，要求5名水暖工全部安排出去，每名水暖工只能去一個(gè)居民家，且每個(gè)居民家都要有人去檢查，那么安排的方案共有_______種（用數(shù)字作答）．【答案】240【解析】由題意，把5名水暖工分4組共有種，然后安排到4個(gè)不同的家庭，有種，由分步計(jì)數(shù)原理可得，不同的安排方案共有種，故答案為：240．17．把，，，四本不同的書分給三位同學(xué)，每人至少分到一本，每本書都必需有人分到，，不能同時(shí)分給同一個(gè)人，則不同的安排方式共有__________種（用數(shù)字作答）．【答案】30【解析】由題意，把四本書分給三位同學(xué)，每位同學(xué)至少分到一本書的分法數(shù)目，首先將四本書分成3組，其中1組有兩本，剩余2組各一本，有種分組方法，再將這3組對(duì)應(yīng)三個(gè)同學(xué)，有種方法，則有種狀況；再計(jì)算兩本書分給同一個(gè)人的分法數(shù)目，若兩本書分給同一個(gè)人，則剩余的書分給其他兩人，有種狀況.綜上可得，兩本書不能分給同一個(gè)人的不同分法有種.18．某共享汽車停放點(diǎn)的停車位排成一排且恰好全部空閑，假設(shè)最先來(lái)停車點(diǎn)停車的3輛共享汽車都是隨機(jī)停放的，且這3輛共享汽車都不相鄰的概率與這3輛共享汽車恰有2輛相鄰的概率相等，則該停車點(diǎn)的車位數(shù)為______．【答案】10【解析】設(shè)停車位有n個(gè)，這3輛共享汽車都不相鄰的種數(shù)：相當(dāng)于先將（n﹣3）個(gè)停車位排放好，再將這3輛共享汽車，插入到所成（n﹣2）個(gè)間隔中，故有An﹣23種，恰有2輛相鄰的種數(shù)：先把其中2輛捆綁在一起看做一個(gè)復(fù)合元素，再和另一個(gè)插入到，將（n﹣3）個(gè)停車位排放好所成（n﹣2）個(gè)間隔中，故有A32An﹣22種，因?yàn)檫@3輛共享汽車都不相鄰的概率與這3輛共享汽車恰有2輛相鄰的概率相等，∴An﹣23＝A32An﹣22，解得n＝10，故答案為：10．19．某翻譯處有8名翻譯，其中有小張等3名英語(yǔ)翻譯，小李等3名日語(yǔ)翻譯，另外2名既能翻譯英語(yǔ)又能翻譯日語(yǔ)，現(xiàn)需選取5名翻譯參與翻譯工作，3名翻譯英語(yǔ)，2名翻譯日語(yǔ)，且小張與小李恰有1人選中，則有____種不同選取方法.【答案】29【解析】依據(jù)題意，分5種狀況探討：

①、若從只會(huì)英語(yǔ)的3人中選3人翻譯英語(yǔ)，

則須要從剩余的4人（不含小李）中選出2人翻譯日語(yǔ)即可，則不同的支配方案有種，

②、若從只會(huì)英語(yǔ)的3人中選2人翻譯英語(yǔ)，（包含小張）

則先在既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)日語(yǔ)的2人中選出1人翻譯英語(yǔ)，再?gòu)氖Ｓ嗟?人（不含小李）中選出2人翻譯日語(yǔ)即可，則不同的支配方案有種，

③、若從只會(huì)英語(yǔ)的3人選小張翻譯英語(yǔ)，

則先在既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)日語(yǔ)的2人中選出2人翻譯英語(yǔ)，再?gòu)氖Ｓ嗟?人（不含小李）中選出2人翻譯日語(yǔ)即可，則不同的支配方案有種，

④、若從只會(huì)英語(yǔ)的3人中選2人翻譯英語(yǔ)，（不包含小張）

則先在既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)日語(yǔ)的2人中選出1人翻譯英語(yǔ)，再?gòu)氖Ｓ嗟?人（小李必選）中選出2人翻譯日語(yǔ)即可，則不同的支配方案有種，

⑤、若從只會(huì)英語(yǔ)的3人中選1人翻譯英語(yǔ)，（不包含小張）

則先在既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)日語(yǔ)的2人中選出2人翻譯英語(yǔ)，再?gòu)氖Ｓ嗟?人（小李必選）中選出2人翻譯日語(yǔ)即可，則不同的支配方案有種，則不同的支配方法有種．

故答案為：29．20．用五種不同顏色給三棱臺(tái)的六個(gè)頂點(diǎn)染色，要求每個(gè)點(diǎn)染一種顏色，且每條棱的兩個(gè)端點(diǎn)染不同顏色.則不同的染色方法有___________種.【答案】1920.【解析】分兩步來(lái)進(jìn)行，先涂，再涂.第一類：若5種顏色都用上，先涂，方法有種，再涂中的兩個(gè)點(diǎn)，方法有種，最終剩余的一個(gè)點(diǎn)只有2種涂法，故此時(shí)方法共有種；其次類：若5種顏色只用4種，首先選出4種顏色，方法有種；先涂，方法有種，再涂中的一個(gè)點(diǎn)，方法有3種，最終剩余的兩個(gè)點(diǎn)只有3種涂法，故此時(shí)方法共有種；第三類：若5種顏色只用3種，首先選出3種顏色，方法有種；先涂，方法有種，再涂，方法有2種，故此時(shí)方法共有種；綜上可得，不同涂色方案共有種，故答案是1920.21．2024年1月27日，哈爾濱地鐵3號(hào)線一期開通運(yùn)營(yíng)，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)確定乘坐地鐵去城鄉(xiāng)路、哈西站和哈爾濱大街．每人只能去一個(gè)地方，哈西站肯定要有人去，則不同的巡游方案為________種．【答案】65【解析】依據(jù)題意，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)確定乘坐地鐵去城鄉(xiāng)路、哈西站和哈爾濱大街．每人只能去一個(gè)地方，則每人有3種選擇，則4人一共有3×3×3×3＝81(種)狀況，若哈西站沒(méi)人去，即四位同學(xué)選擇了城鄉(xiāng)路和哈爾濱大街．每人有2種選擇方法，則4人一共有2×2×2×2＝16(種)狀況，故哈西站肯定要有人去有81－16＝65(種)狀況，即哈西站肯定有人去的巡游方案有65種．22．用六種不同的顏色給如圖所示的六個(gè)區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，則不同的涂色方法共有________種．【答案】4320【解析】分步進(jìn)行：1區(qū)域有6種不同的涂色方法，2區(qū)域有5種不同的涂色方法，3區(qū)域有4種不同的涂色方法，4區(qū)域有3種不同的涂色方法，6區(qū)域有4種不同的涂色方法，5區(qū)域有3種不同的涂色方法．依據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可知，共有6×5×4×3×3×4＝4320(種)不同的涂色方法．23.如圖，給7條線段的5個(gè)端點(diǎn)涂色，要求同一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)不能同色，現(xiàn)有4種不同的顏色可供選擇，則不同的涂色方法種數(shù)為________．【答案】96【解析】若A，D顏色相同，先涂E有4種涂法，再涂A，D有3種涂法，再涂B有2種涂法，C只有1種涂法，共有4×3×2＝24(種)；若A，D顏色不同，先涂E有4種涂法，再涂A有3種涂法，再涂D有2種涂法，當(dāng)B和D相同時(shí)，C有2種涂法，當(dāng)B和D不同時(shí)，C只有1種涂法，共有4×3×2×(2＋1)＝72(種)，依據(jù)分類計(jì)數(shù)原理可得，共有24＋72＝96(種)不同的涂色方法．24．用6種不同的顏色給三棱柱ABC－DEF六個(gè)頂點(diǎn)涂色，要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色，且每條棱的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同顏色，則不同的涂色方法有________種．(用數(shù)字作答)【答案】8520【解析】分兩步來(lái)進(jìn)行，先涂A，B，C，再涂D，E，F(xiàn).第一類：若6種顏色都用上，此時(shí)方法共有Aeq\o\al(6,6)＝720(種)；其次類：若6種顏色只用5種，首先選出5種顏色，方法有Ceq\o\al(5,6)種；先涂A，B，C，方法有Aeq\o\al(3,5)種，再涂D，E，F(xiàn)中的兩個(gè)點(diǎn)，方法有Aeq\o\al(2,3)種，最終剩余的一個(gè)點(diǎn)只有2種涂法，故此時(shí)方法共有Ceq\o\al(5,6)·Aeq\o\al(3,5)·Aeq\o\al(2,3)·2＝4320(種)；第三類：若6種顏色只用4種，首先選出4種顏色，方法有Ceq\o\al(4,6)種；先涂A，B，C，方法有Aeq\o\al(3,4)種，再涂D，E，F(xiàn)中的一個(gè)點(diǎn)，方法有3種，最終剩余的兩個(gè)點(diǎn)只有3種涂法，故此時(shí)方法共有Ceq\o\al(4,6)·Aeq\o\al(3,4)·3·3＝3240(種)；第四類：若6種顏色只用3種，首先選出3種顏色，方法有Ceq\o\al(3,6)種；先涂A，B，C，方法有Aeq\o\al(3,3)種，再涂D，E，F(xiàn)，方法有2種，故此時(shí)方法共有Ceq\o\al(3,6)·Aeq\o\al(3,3)×2＝240(種)．綜上可得，不同涂色方案共有720＋4320＋3240＋240＝8520(種)．25.如圖，電路中共有個(gè)電阻與一個(gè)電燈，若燈不亮，則因電阻斷路的可能性的種數(shù)為【答案】【解析】每個(gè)電阻都有斷路與通路兩種狀態(tài)，圖中從上到下的三條支線路，分別記為支線a、b、c，支線a，b中至少有一個(gè)電阻斷路狀況都有種；支線c中至少有一個(gè)電阻斷路的狀況有種，每條支線至少有一個(gè)電阻斷路，燈就不亮，因此燈不亮的狀況共有3×3×7=63種狀況.26.某學(xué)校為了提高學(xué)生的意識(shí)，防止事故的發(fā)生，擬在將來(lái)連續(xù)7天中隨機(jī)選擇3天進(jìn)行緊急疏散演練，則選擇的3天中恰好有2天連續(xù)的狀況有【答案】20種【解析】由枚舉法得選擇的3天中恰好有2天連續(xù)的狀況有4+3+3+3+3+4=20種.27．在其次屆烏鎮(zhèn)互聯(lián)網(wǎng)大會(huì)中，為了提高安保的級(jí)別同時(shí)又為了便利接待，現(xiàn)為其中的五個(gè)參會(huì)國(guó)的人員支配酒店，這五個(gè)參會(huì)國(guó)的人員要在a，b，c三家酒店中任選一家，且這三家都至少有一個(gè)參會(huì)國(guó)的人員入住，則這樣的支配方法共有________種．【答案】150【解析】這三家酒店入住的參會(huì)國(guó)數(shù)目有以下兩種可能：第一種，“2,2,1”，其支配方法有eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3)C\o\al(1,1)A\o\al(3,3),A\o\al(2,2))＝90(種)；其次種，“3,1,1”，其支配方法有eq\f(C\o\al(3,5)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1)A\o\al(3,3),A\o\al(2,2))＝60(種)，滿意題意的支配方法共有90＋60＝150(種)．28.有10個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額，分給7個(gè)班，每班至少一個(gè),有種安排方案？【答案】【解析】因?yàn)?0個(gè)名額沒(méi)有差別，把它們排成一排.相鄰名額之間形成９個(gè)空隙.在９個(gè)空檔中選６個(gè)位置插個(gè)隔板，可把名額分成７份，對(duì)應(yīng)地分給７個(gè)班級(jí)，每一種插板方法對(duì)應(yīng)一種分法共有種分法.29.6個(gè)人按下列要求站一橫排，分別有多少種不同的站法？(1)甲不站兩端；(2)甲、乙必需相鄰；(3)甲、乙不相鄰；(4)甲、乙之間間隔兩人；(5)甲、乙站在兩端；(6)甲不站左端，乙不站右端．【答案】（1）480（2）240（3）480（4）144（5）48（6）504【解析】(1)解法一：要使甲不站在兩端，可先讓甲在中間4個(gè)位置上任選1個(gè)有Aeq\o\al(1,4)種站法，然后其余5人在另外5個(gè)位置上作全排列有Aeq\o\al(5,5)種站法，依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有站法Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(5,5)＝480(種)．解法二：若對(duì)甲沒(méi)有限制條件共有Aeq\o\al(6,6)種站法，甲在兩端共有2Aeq\o\al(5,5)種站法，從總數(shù)中減去這兩種狀況的排列數(shù)即得所求的站法數(shù)有Aeq\o\al(6,6)－2Aeq\o\al(5,5)＝480(種)．(2