2025版高考數(shù)學一輪復習第4章平面向量數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入第4節(jié)數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入教學案理含解析新人教A版

PAGE5-第四節(jié)數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入[考綱傳真]1.理解復數(shù)的概念，理解復數(shù)相等的充要條件.2.了解復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.3.能進行復數(shù)代數(shù)形式的四則運算，了解兩個詳細復數(shù)相加、減的幾何意義．1．復數(shù)的有關(guān)概念(1)復數(shù)的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫復數(shù)，其中a，b分別是它的實部和虛部．若b＝0，則a＋bi為實數(shù)，若b≠0，則a＋bi為虛數(shù)，若a＝0且b≠0，則a＋bi為純虛數(shù)．(2)復數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．(3)共軛復數(shù)：a＋bi與c＋di共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(4)復數(shù)的模：向量eq\o(OZ,\s\up12(→))的模r叫做復數(shù)z＝a＋bi的模，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2).2．復數(shù)的幾何意義復數(shù)z＝a＋bieq\O(一一對應)復平面內(nèi)的點Z(a，b)eq\O(一一對應)平面對量eq\o(OZ,\s\up12(→))＝(a，b)．3．復數(shù)的運算(1)復數(shù)的加、減、乘、除運算法則設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．(2)復數(shù)加法的運算定律復數(shù)的加法滿意交換律、結(jié)合律，即對任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．[常用結(jié)論]1．(1±i)2＝±2i；eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i.2．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)．3．z·eq\x\to(z)＝|z|2＝|eq\x\to(z)|2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(z1,z2)))＝eq\f(|z1|,|z2|)，|zn|＝|z|n.[基礎(chǔ)自測]1．(思索辨析)推斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若a∈C，則a2≥0.()(2)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，當a＝0時，復數(shù)z為純虛數(shù)．()(3)復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的虛部為bi.()(4)方程x2＋x＋1＝0沒有解．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．(教材改編)設(shè)復數(shù)z滿意eq\f(1＋z,1－z)＝i，則|z|等于()A．1B.eq\r(2)C.eq\r(3) D．2A[eq\f(1＋z,1－z)＝i，則z＝eq\f(i－1,1＋i)＝i，∴|z|＝1.]3．設(shè)i是虛數(shù)單位，則復數(shù)eq\f(2i,1－i)在復平面內(nèi)所對應的點位于()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限B[∵eq\f(2i,1－i)＝eq\f(2i1＋i,1－i1＋i)＝eq\f(2i－2,2)＝i－1，∴該復數(shù)對應的點(－1,1)位于其次象限．]4．(教材改編)在復平面內(nèi)，向量eq\o(AB,\s\up12(→))對應的復數(shù)是2＋i，向量eq\o(CB,\s\up12(→))對應的復數(shù)是－1－3i，則向量eq\o(CA,\s\up12(→))對應的復數(shù)是()A．1－2i B．－1＋2iC．3＋4i D．－3－4iD[∵eq\o(CA,\s\up12(→))＝eq\o(CB,\s\up12(→))＋eq\o(BA,\s\up12(→))＝eq\o(CB,\s\up12(→))－eq\o(AB,\s\up12(→))＝－1－3i－2－i＝－3－4i，故選D.]5．(教材改編)已知(1＋2i)eq\x\to(z)＝4＋3i，則z＝________.2＋i[由(1＋2i)eq\x\to(z)＝4＋3i得eq\x\to(z)＝eq\f(4＋3i,1＋2i)＝eq\f(4＋3i1－2i,5)＝2－i.∴z＝2＋i.]復數(shù)的有關(guān)概念1．(2024·福州四校聯(lián)考)假如復數(shù)z＝eq\f(2,－1＋i)，則()A．z的共軛復數(shù)為1＋i B．z的實部為1C．|z|＝2 D．z的實部為－1D[∵z＝eq\f(2,－1＋i)＝eq\f(2－1－i,－1＋i－1－i)＝eq\f(－2－2i,2)＝－1－i，∴z的實部為－1，故選D.]2．(2024·江西九校聯(lián)考)設(shè)(1＋2i)x＝x＋yi，其中x，y是實數(shù)，i為虛數(shù)單位，則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)＋i))＝()A．1B.eq\r(2)C.eq\r(3)D.eq\r(5)D[由x＋2xi＝x＋yi，x，y∈R，則y＝2x，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)＋i))＝|2＋i|＝eq\r(5)，故選D.]3．假如復數(shù)eq\f(m2＋i,1＋mi)是純虛數(shù)，那么實數(shù)m等于()A．－1 B．0C．0或1 D．0或－1D[eq\f(m2＋i,1＋mi)＝eq\f(m2＋i1－mi,1＋mi1－mi)＝eq\f(m2＋m＋1－m3i,1＋m2)，因為此復數(shù)為純虛數(shù)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋m＝0，,1－m3≠0，))解得m＝－1或0，故選D.][規(guī)律方法]解決復數(shù)概念問題的方法及留意事項1復數(shù)的分類及對應點的位置問題都可以轉(zhuǎn)化為復數(shù)的實部與虛部應當滿意的條件問題，只需把復數(shù)化為代數(shù)形式，列出實部和虛部滿意的方程不等式組即可.2解題時肯定要先看復數(shù)是否為a＋bia，b∈R的形式，以確定實部和虛部.復數(shù)的代數(shù)運算【例1】(1)(2024·全國卷Ⅱ)eq\f(1＋2i,1－2i)＝()A．－eq\f(4,5)－eq\f(3,5)iB．－eq\f(4,5)＋eq\f(3,5)iC．－eq\f(3,5)－eq\f(4,5)iD．－eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)i(2)(2024·山西八校聯(lián)考)已知a，b∈R，i為虛數(shù)單位，若3－4i3＝eq\f(2－bi,a＋i)，則a＋b等于()A．－9B．5C．13 D．9(3)已知復數(shù)z滿意：(z－i)(1＋2i)＝i3(其中i為虛數(shù)單位)，則復數(shù)z的虛部等于()A．－eq\f(1,5)B．－eq\f(2,5)C.eq\f(4,5)D.eq\f(3,5)(1)D(2)A(3)C[(1)eq\f(1＋2i,1－2i)＝eq\f(1＋2i1＋2i,1－2i1＋2i)＝－eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)i，故選D.(2)由3－4i3＝eq\f(2－bi,a＋i)得，3＋4i＝eq\f(2－bi,a＋i)，即(a＋i)(3＋4i)＝2－bi，(3a－4)＋(4a＋3)i＝2－bi，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－4＝2，,4a＋3＝－b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－11，))故a＋b＝－9，故選A.(3)z＝eq\f(i3,1＋2i)＋i＝eq\f(－i,1＋2i)＋i＝eq\f(－i－2,5)＋i＝－eq\f(2,5)＋eq\f(4,5)i，故選C.][規(guī)律方法]復數(shù)的加法、減法、乘法運算可以類比多項式運算，除法關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復數(shù)，留意要把i的冪寫成最簡形式.(1)(2024·湖北重點中學聯(lián)考)已知復數(shù)z滿意(z－i)·(1＋i)＝2－i，則eq\x\to(z)·z＝()A．1B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\r(2)(2)(2024·皖南八校聯(lián)考)設(shè)i是虛數(shù)單位，且i2019＝eq\f(i－k,ki－1)，則實數(shù)k＝()A．2 B．1C．0 D．－1(1)B(2)C[(1)由已知，得z＝eq\f(2－i,1＋i)＋i＝eq\f(2－i1－i,1＋i1－i)＋i＝eq\f(1,2)－eq\f(3,2)i＋i＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i，則eq\x\to(z)·z＝|z|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2＝eq\f(1,2)，故選B.(2)因為i2019＝i504×4＋3＝i3＝－i，所以－i＝eq\f(i－k,ki－1)，可得k＋i＝i－k，∴k＝0，故選C.]復數(shù)的幾何意義【例2】(1)(2024·北京高考)在復平面內(nèi)復數(shù)eq\f(1,1－i)的共軛復數(shù)對應的點位于()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限(2)在復平面內(nèi)與復數(shù)z＝eq\f(2i,1＋i)所對應的點關(guān)于實軸對稱的點為A，則A對應的復數(shù)為()A．1＋i B．1－iC．－1－i D．－1＋i(3)若復數(shù)(1－i)(a＋i)在復平面內(nèi)對應的點在其次象限，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，1) B．(－∞，－1)C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)(1)D(2)B(3)B[(1)eq\f(1,1－i)＝eq\f(1,2)＋eq\f(i,2)，其共軛復數(shù)為eq\f(1,2)－eq\f(i,2)，對應點位于第四象限，故選D.(2)因為z＝eq\f(2i,1＋i)＝eq\f(2i1－i,1＋i1－i)＝i(1－i)＝1＋i，所以點A的坐標為(1，－1)，其對應的復數(shù)為1－i.(3)因為復數(shù)(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i在復平面內(nèi)對應的點在其次象限，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1＜0，,1－a＞0，))解得a＜－1.][規(guī)律方法]對復數(shù)幾何意義的理解及應用1復數(shù)z、復平面上的點Z及向量EQ\o(OZ,\s\up12(→))相互聯(lián)系，即z＝a＋bia，b∈R?Za，b?EQ\o(OZ,\s\up12(→)).2由于復數(shù)、點、向量之間建立了一一對應的關(guān)系，因此可把復數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時可運用數(shù)形結(jié)合的方法，使問題的解決更加直觀.(1)如圖，在復平面內(nèi)，復數(shù)z1，z2對應的向量分別是eq\o(OA,\s\up12(→))，eq\o(OB,\s\up12(→))，則復數(shù)z1·z2對應的點位于()A．第一象限B．其次象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限(2)若復數(shù)z滿意|z－i|≤eq\r(2)(i為虛數(shù)單位)，則z在復平面內(nèi)所對應的圖形的面積為________．(1)D(2)2π[(1)由已知eq\o(OA,\s\up12(→))＝(－2，－1)，eq\o(OB,\s\up12(→))＝(0,1)，所以z1＝－2－i，z2＝i，z1z2＝1－2i，它所對應的點為(1，－2)，在第四象限．(2)設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z－i|≤eq\r(2)得|x＋(y－1)i|≤eq\r(2)，所以eq\r(x2＋y－12)≤eq\r(2)，所以x2＋(y－1)2≤2，所以z在復平面內(nèi)所對應的圖形是以點(0,1)為圓心，以eq\r(2)為半徑的圓及其內(nèi)部，它的面積為2π.]1．(2024·全國卷Ⅰ)設(shè)z＝eq\f(1－i,1＋i)＋2i，則|z|＝()A．0B.eq\f(1,2)C．1D.eq\r(2)C[因為z＝eq\f(1－i,1＋i)＋2i＝eq\f(1－i2,1＋i1－i)＋2i＝－i＋2i＝i，所以|z|＝1，故選C.]2．(2024·全國卷Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝()A．－3－i B．－3＋iC．3－i D．3＋iD[(1＋i)(2－i)＝2＋2i－i－i2＝3＋i.]3．(2024·全國卷Ⅲ)復平面內(nèi)表示復數(shù)z＝i(－2＋i)的點位于()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限C[∵z＝i(－2＋i)＝－1－2i，∴復數(shù)z＝－1－2i所對應的復平面內(nèi)的點為Z(－1，－2)，位于第三象限．故選C.]4．(2024·全國卷Ⅰ)設(shè)(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是實數(shù)，則|x＋yi|＝()A．1B.eq\r(2)C.eq\r(3) D．2B[∵(1＋i)x＝1＋yi，∴x＋xi＝1＋yi.又∵x，y∈R，∴x＝1，y＝x＝1.∴|x＋yi|＝|1＋i|＝eq\r(2)，故選B.]5．(2024·全國卷Ⅲ)若z＝1＋2i，則eq\f(4i,z\x\to(z)－1)＝()A．1B．－1