2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)71空間幾何中的平行與垂直(精講)(原卷版+解析)

7.1空間幾何中的平行與垂直（精講）（提升版）

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分點呈梃

線線平行

例題剖析

考點一平行問題

【例1-1］（2022廣東珠海）如圖，在三棱柱八8C-A4G中，點。是A8的中點，求證；AQ"平面CD與

【例1-2］（2022?河南?商丘市第一高級中學(xué)）在直三棱柱八8C-44G中，E,尸分別是AC,A片的中點,

求證：EF〃平面38￡C

【例1-3】（2022?云南?彌勒市一中）如圖，在四棱錐P-A4c。中，底而A8CQ為直角梯形，其中AZ）〃BC,

AQ=3,AB=BC=2,且。A=3.點M在棱P。匕點N為3。中點，證明：若DM=2MP,則直線MV〃

平而弘8

【例1-4】（2022?遼宇葫蘆島）如圖，在四面體49C。中，CB=CD,A81皿），點M是AO的中點，NeBD,

kt直線MN〃面/3C,直線MN〃直線A8

力

【例1-5](2022?甘肅酒泉)如圖，在四棱錐尸中，△HVM是邊長為2的正三角形，AN//,

AN=3,BM=1，AB=2g，C,D分別是線段AB,NP的中點，求證：CQ〃平面P8W

【例1-6】(2022?山西臨汾)如圖(1),在梯形A8CQ中，AA/8C且線段AO上有一點E,滿

足CD=DE=l,AE=BC=2,現(xiàn)將△CDE分別沿BE,CE折起，使AO=6,BD=6,得到

如圖(2)所示的幾何體，求證：AB//CD

D

B

圖（1）圖(2)

【一隅三反】

I.（2022?山東濱州）如圖,在四棱錐尸一舫（刀中，底面A6C”是平行四邊形，點七是心的中點,求證:

P?！ㄆ矫鍱4C

2.（2022?遼寧營口）如圖，三棱柱48C—4用6中，E為8G中點，尸為人4中點，求證：EFP^ABC

Bi4

BA

C

3（2022?江蘇宿遷）如圖，三棱柱ABC—A4c中，AB=AC=AAt=2,幺河=幺47=447=60%點朋，

N分別在AG和BC上，且滿足4W=1AG，BN=、BC,證明：MN〃平面八股同

33

4.（2022,全國?高三專題練習(xí)）如圖所示，四棱錐尸-ABC。的底面ABQ）是直角梯形，BC//AD.AB1AD9

A8=8C=」AQ,P4J_底面ABCD,過的平面交PD于M,交E4于N（M與。不重合）.求證：MNBC；

2

5.（2022?江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)）如圖，三棱柱ABC-ABC中M,N,P,。分別為CG，BC,44，8c的

中點，求證：PN〃面ACGA

6.（2022?新疆?三模（文））多面體A80EC中，△8C。與△ABC均為邊長為2的等邊三角形，ZkCOE為腰長

為有的等腰三角形，平面COE_L平面3CO,平面A3C_L平面BCD,產(chǎn)為8c的中點，求證：A尸〃平面EC。

考點二空間幾何中的垂直問題

【例2-1］（2022.云南師大附中高三階段練習(xí)）如圖，48c是邊長為4G的等邊三角形，，尸分別是八氏AC

的中點，G是的重心，將一AQ沿EF折起，使點A到達(dá)點P的位置，點P在平面3￡尸。的射影為點

G.證明：BEA.PC

【例2-2］（2022?湖北?鄂州市教學(xué)研究室）在如圖所示的幾何體中，四邊形A8C。是正方形，平面48C/U

平面應(yīng)從E,產(chǎn)分別是線段4。，P8的中點，=證明：

(1)即〃平面PDC：

(2)PB_L平面DEF.

【例2-3］（2022?四川成都）如圖，三棱錐P-48C中，等邊三角形一P3C的重心為。，ZBAC=90°,

AB=AC=2,PA=2BE,尸，M分別是極8C,BP,人戶的中點，。是線段AM的中點.

⑴求證：MO〃平面。所；

（2）求證：平面￡>EF_L平面P8C

【一隅三反】

1.（2022?全國?高三專題練習(xí)）如圖，四棱錐P-A8CQ中，側(cè)面左。為等邊三角形，且平面PA。J_底面48CQ,

AB=BC=^AD=l,ZBAD=ZABC=90,證明：PD±AB

2.(2022?北京豐臺)如圖，在直角梯形ABC。中，AB//CD,AB1AD,AB=2CD=2,并將直角梯形A8CQ

繞4B邊旋轉(zhuǎn)至A8EF.

(I)求證：直線A8_L平面AOF：

(2)求證：直線CE〃平面從。/：

(3)當(dāng)平面A8CO_L平面A5E戶時，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使平而

AOE與平面8CE垂直.并證明你的結(jié)論.

條件①：AE=&;

條件②：AD=1；

條件③：BELDE.

3.(2022?四川宜賓)如圖，正方形A8E。的邊長為1,AC=BC,平面A8￡O_L平面A8C,直線CE與平面

A8C所成角的正切值為&.

E.D

B

C

（1）若G,尸分別是EC,8。的中點，求證：G/〃平面48C；

（2）求證：平面8CO_L平面AC。.

考點三空間幾何中的定理辨析

【例3-1］（2022?全國?長垣市第一中學(xué)高三開學(xué)考試（理））設(shè)〃?，〃表示兩條不同的直線，。表示平面，且"必7,

則“及J_a”是成立的（

A.充要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

【例3-2】（2022?湖北武漢?高三開學(xué)考試）（多選）如圖,已知正方體ABCD-AMGA，M,N分別是A。,

RB的中點，則卜列結(jié)論正確的是（)

A.AO_L"8B.A\D/iD、BC.MN〃平面八蜴6。D.MN_L平面8QD￡

【一隅三反】

1.（2022?上海?高三專題練習(xí)）設(shè)加，〃是兩條不同的直線，?,夕是兩個不同的平面，則下列說法錯誤的是

（）

A.若相_L〃，mLan工。,則aJ.7?B.若〃?〃〃，w±a,n!/J3,則

C.若機_L〃，mlla,，〃/￡,則a//D.若〃?//〃，mla,nl/3,則a////

2.（2022?全國?模擬預(yù)測（理））己知叭〃是兩條不同的直線，a、尸是兩個不同的平面，則下列結(jié)論一定成

立的是（）

A.若〃?_L〃，則〃〃aB.若加〃a,a〃夕，貝lj，〃〃夕

C.若"i_La,a【B，則〃4D.若〃?J_a,〃_!_夕，貝ija_L￡

3.（2022?全國?高三專題練習(xí)）如圖，在四棱柱人8。。-4*；〃中，AB=AD=A/\=\,AD1AAitAD1AB,

NA人8=60。，M,N分別是棱AB和BC的中點，則下列說法中不正確的是（）

AB

A.A，G，M,N四點共面B.gN與A5共而

C.A/)_L平面人網(wǎng)4D.A"_L平面A6co

7.1空間幾何中的平行與垂直（精講）（提升版）

哥建學(xué)0B

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線線平行

例題制析

考點一平行問題

【例1】（2022?廣東珠海）如圖，在三棱柱ABC-ABG中，點。是A3的中點，求證:ACJ/

平而。。與

【答案】證明見解析；

【解析】連接8c交C用于后，連接班）,由48C-AMG為三棱柱，則8CCg為平行四邊

形，所以E是BG中點，又。是八8的中點，故在△34G中。E〃AG，DEu而CDB-AC,（Z

面C。修，所以4G〃平面

【例1-2】（2022?河南?商丘市第一高級中學(xué)）在直三棱柱ABC-AAG中，E,尸分別是AC,

A畫的中點,求證：EF〃平面BBCQ

【答案】證明見解析

【解析】證明：在直三棱柱ABC-A3c中，E,尸分別是4C,的中點，取8c的中點

G,連接EG,,如圖，則EG〃A8BLEG=；A8,又8尸〃AB且=；AB,所以

乙乙

EG〃BF且EG=BF,所以四邊形EG男尸是平行四邊形，所以EF〃&G.因為3￡u平

面BB￡C,EF（Z平面BB°K，所以砂〃平面83℃；

【例1-3］（2022?云南?彌勒市一中）如圖，在四極錐P-A8C?？?，底面A8CO為直角梯形,

其中AO//8C',AD=3,AB=HC=2,且%=3.點M在棱PQ上，點N為8C中點，證明:

若DM=2MP,則直線MN〃平而Q44

【答案】證明見解析

【解析】在4。上取一點。，使得AQ=g人D,連接MQ,NQ,

'筆=端=3,IMQ/AP,乂MQa平面FAB,PAu平面

???MQ〃平面抬8；

\AQ=-AD=\,BN=、BC=1,ADI/BC、

32

AQ//BN,AQ=BN,「.四邊形AANQ為平行四邊形，AB//QN,

又QN（Z平面AB\平面..QN〃平面PAA；

QMQIQN=Q,MQ,QNu平面MVQ,.?.平面MNQ〃平面33,

?.MNu平面MNQ,：.MN"平面%A.

【例1-4］（2022?遼寧葫蘆島）如圖，在四而體ABC。中，CB=CD,A8_L瓦），點M是A。

的中點，Ne8。，且直線MN〃面48C,直線MN〃直線A8

【答案】證明見解析

【解析】：直線MN〃平面ABC,MNuABD,平面A8Qc平面，MN〃A8.

【例1-5】（2022?甘肅酒泉）如圖，在四樓錐2-人例的中，是邊長為2的正三角形，

AN//BM,AN=3,BM=1，A8=2&，C,。分別是線段48,NP的中點，求證：8〃

平面PBM

【答案】證明見解析

【解析】如圖，取MN中點Q,連CQ,DQ,,??。（?為中位線，，。（2〃"/\又。QN平

面MOu平而BMP,二。?！ㄆ蕉?M尸，同理，在梯形A8MN中，CQ//MBt又

CQS平面BMP,平面BMQ.,CQ〃平面8WP，且。。u平面8（2,CQu平面8Q,

OQcCQ=Q,.,.平面CDQ〃平面8“，乂COu平面CDQ,所以CQ〃平面

【例1-6］（2022?山西臨汾）如圖（1）,在梯形ABC力中，AD/；ffCRAD1CD,線段A。上

有一點已滿足8=?！?1,A￡=3C=2,現(xiàn)將△相￡,分別沿8E,CE折起，使

AD=6,BD=6得到如圖（2）所示的幾何體，求證：ABHCD

【解析】證明：在.Rf_EDC中,CD=DE=\,

所以EC=拒，NDEC=NECB=45。,

在△BEC中，EC=&，BC=2,NECB=45。,

所以反;、3￡=8。2，所以BE_LEC,

同理可得，在“或：中，AB=y/i，旦AB工BE，

在△48。中，AB2+BD2=AD2f所以A3_L8Z）,

因為SO，BEu平面6DE，所以A6_L平而

在心,以乂:中，ED1CD,

在_8DC中，BD'CD'BC2,則3D_LC￡>,

因為瓦>BD=D,所以CO1平血雙犯，

所以八3〃CQ：

【一隅三反】

1.（2022?山東濱州）如圖，在四極錐P-八8CO中，底面/WCD是平行四邊形，點E是

的中點，求證：〃。〃平面E4C

【答案】證明見解析

【解析】證明：連結(jié)BO交AC于點O,連接EO.顯然，。為8。的中點，乂因為E為/>8的

中點，所以EO〃PD又因為戶。仁而E4C,EOu面EAC,所以PQ〃平而EAC：

2.0C22.遼寧營口）如圖，三棱柱A8C—ABG中，￡為打；中點，戶為AA中點.求證：EFP

平面48c

【答案】證明見解析

【解析】證明：取BC中點為D,連接￡Q,AD因為E為BQ中點，故￡O〃CG，EO=；CG，

又CC/A4,/為A4中點，故瓦）〃叢,￡。=幺，所以四邊形EZM”為平行四邊形，故

EF//AD，因為七/飛平面A6C,AOu平面A6C,故"http://平面A4C：

3（2022?江蘇宿遷）如圖，三棱柱八3C-A4G中，AB=AC=AA,=2t

NVm=幺八C=/&tC=60。，點M，N分別在4G和3C上，且滿足,BN=；BC,

證明：MN〃平面A

【答案】見解析

t解析】過點“作用產(chǎn)〃CG，交八。于點〃，連接NP.

?AMAPBN1

由題忠得而=就=正=5

故MP//CG〃/M，NP//AB.而AAu平面ABqA，依仁平面人83小，

二.MP〃平面ABBA,同理得NP〃平面48aA,

而MPNP=P,平面MNP”平面ABB1人,

.??仞V〃平面ABMA

4.（2022?全國?高三專題練習(xí)）如圖所示，四棱錐尸-A8CO的底而ABC。是直角梯形，

BC//AD,AB1AD,AB=8C=gADPA_L底面A8CO,過BC的平面交P。于M,交始

于N（"與。不重合）.求證：MNBC；

【答案】證明見解析

【解析】證明：在梯形A8CQ中，BC//AD,8。二平面04。，AOu平面P4O,

，8c7/平面PAO.

又BCu平面BCNM,平面BCNMc平面PAD=MN,

所以MN//RC.

5.（2022?江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)）如圖，三棱柱ABC-48c中M,N,P,。分別為CG，BC,

AA，4c的中點，求證：PN〃面ACGA

【答案】證明見解析

【解析】???〃，。分別為A4，4G的中點，

PD/ZA^,且AC平面ACGA，PO（Z平面ACGA，

〃平面ACGA,

VD,N分別為BG，8C的中點,

DN//CC,,且CGu平面ACGA，。乂0平而入。64，

DN//平面ACGA,又PDcDN=D.

...平面〃平面ACGA,

又PNu平而PDN,：.PN〃平面ACC.A.

6.（2022新疆三模（文））多面體八〃。EC中，△OCO與△八BC均為邊長為2的等邊三角形，

△COE為腰長為石的等腰三角形，平面COE_L平面8CQ,平面A8C_L平面8cO,F為BC

的中點，求證：AF〃平面ECO

【答案】證明見解析

【解析】證明：取C。的中點G,連接EG

???△CDE為腰長為逐的等腰三角形，???EG1CD

又?.?平面平面3C。，￡6<2平面￡。。，平面。。石門平面3。。=。￡）、

??.EG_L平面8。。，同現(xiàn)可得，4AL平面8co...既；〃人尸

又???EGu平面ECD,A尸0平面COE,，4尸〃平面COE

考點二空間幾何中的垂直問題

【例2-1］（2022?云南師大附中高三階段練習(xí)）如圖，二八8C是邊長為46的等邊三角形，E,

產(chǎn)分別是AB,AC的中點，G是，人的重心，將*AM沿EF折配，便點A到達(dá)點P的位置,

點P在平面BEFC的射影為點G.證明：BELPC

【答案】證明見解析；

【解析】連接CE，因是等邊三角形，石是A8的中點，G是一A8C的重心，所以G在

CE上，BEA.CE,

又點P在平面龐下C的射影為點G,即尸。_1平面跳尸C,BEu平面3EFC,所以PG上BE,

又PGnCE=G,所以BEJ_平面PCE，又尸Cu平面戶CE,所以8E_LPC.

【例2-2*2022?湖北啷州市教學(xué)研究室)在如圖所示的幾何體中，四邊形4BC7)是正方形,

平面/1BCO_L平面門18,E,F分別是線段人D,PB的中點，24=A&證明：

(1)EF〃平面PDC；

(2)P/?_L平面DEF.

【答案】(1)證明見解析

⑵證明見解析

【解析】⑴取PC的中點連接。M,MF.

：.MF//CB,MF=-CB.

2

為D4的中點，四邊形48co為正方形,

/.DEHCB,DE=-CB.

2

:?MF〃DE,MF=DE，

???四邊形DEEM為平行四邊形.

???EF//DM,

,：EF仁平面PDC,八“u平面PDC.

???斯〃平面PDC.

(2)V四邊形A8CO為正方形，???AO_LA&

又平面48CO_L平面用8,平面平面%AQu平面48C，

/.AO_L平面以8.

?.?Q8u平面RW,:?AD1.PB.

連接AF,VPA=AB^尸為尸8中點，AAFLPB.

又ADAF=A,AD,AFu平面DEF,

：.P8_L平面DEF.

【例2-3】(2022?四川成都)如圖，三棱錐P-A3c中，等邊三角形，8c的重心為O,

=9tr,AH=AC=2,PA=20E,尸，M分別是校EC,BP,A〃的中點，。是線

段AM的中點.

(1)求證：MO〃平面。EF；

(2)求證：平面￡>E〃_L平面P8C

【答案】(1)證明見解析⑵證明見解析

【解析】(1)連接尸￡因為二尸3c為等邊三角形，且。為重心，所以P、0、E三點共線，

且無=2,

PMPO

因為M為小中點，。是線段4M的中點，所以不所以▲尸MO-PQE,所以

DMOE

MO//DE,

因為?！陁平而OE”，MOq平面。Er，所以MO〃平面OE尸

(2)連接AE、81),如圖所示

因為一為等邊三角形，E為BC中點,

所以?！阓L6C,

因為A8=AC,N84C=900，E為BC中點,

所以AE_LAC,

因為P￡AEu平面PAE,

所以8C_L平面PAE,

因為OEu平面PAE,

所以8C_LDE,

在△E48中，08=8C=，A廳+AC?=20，A8=2，PA=2。

所以AB'+PB-=PH,即AB上PB，

所以832/%8=竺====走，

PA2x/33

在△AQ8中，AD=—,

2

由余弦定理得BD?=AD2+AB2-2AD-A8cosZPAB=—,

在4BOE中，EB《BC=叵,BE工DE，

所以O(shè)E?=Bllr-BE2=--2=-,

44

在APDE中，PD=當(dāng)，PE=^x20=

所以PD?=PE?+DE?，即

因為P￡8Cu平面PBC,

所以DE_L平而PDC,

因為D￡u平面DEF,

所以平面OE”_L平面PBC

【一隅三反】

1.（2022?全國?高三專題練習(xí)）如圖，四極錐P-ABCO中，側(cè)面抬。為等邊三角形，且平

面B4OJJ氐面ABC。，AB=BC=^-AD=],"AD=NABC=90,證明：PDA.AB

2

【答案】證明見解析

【解析】證明：取人。的中點0,連OC，OP,

為等邊三角形，且O是邊AQ的中點，

/.POLAD.

,/平而qA￡>JL底而ABCD,且它們的交線為AD,

:.P。_L平面ABCD,則AB1PO,

VAB1AD,W.ADryPO=O,

AB_L平面04。，

?\PD1AB-.

2.（2022?北京豐臺）如圖，在直角梯形A8CD中，AB//CD,ABLAD,AB=2CD=2,并

將直角梯形ABCD繞AB邊旋轉(zhuǎn)至ABEF.

(I)求證：直線A8L平面AQF：

⑵求證：直線CE//平面ADF；

(3)當(dāng)平而ABC。_L平面ABE尸時，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為

已知，使平面AOE與平面8CE垂直.并證明你的結(jié)論.

條件①：AE=&;

條件②：AD=\x

條件③：BE±DE.

【答案】(【)證明見解析

(2)證明見解析

(3)答案見解析

【解析】⑴證明：在直角梯形A8CO中，AB//CD,A8_LA￡>,將直角梯形A8CQ繞/W邊

旋轉(zhuǎn)至ABEF,

所以

又4。。4/二八，4。,Abu平面AO廠，

所以平面A/W；

(2)證明：依題意可得ZX?〃所且以?=律，

所以四邊形DCb為平行四邊形，

所以CE//DF,。產(chǎn)u平面A。凡CEa平面AO以

所以CE1〃平面A。/7：

(3)證明：因為平面A8C/)!■平面八班尸，/仍_L4),平面A3CZ)1平面=AQu平

面ABCD,

所以4)_1_平面/15￡7"8Eu平面ABEF,所以AD_L8E,

過點E作交A3于點M,

若選①，AE=百,EFfJ聽以小人=-E.2=近,

AE2+BE2-AH23+3-41

所以=此時cos/A￡8=

=6,2AEBE_2x5/3x5/3-3

所以60<N4EB<90。

如圖過點后作EH1A￡交48的延長線于點II，

因為AO_L平面ABE/"EHu平面AB